GUÍA PARA EL EXAMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS I.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
VARIABLESSEPARABLES Paraestasecciónseproporci Paraestasecciónseproporcionalasolu onalasolucióncomplet cióncompletadelasecuaci adelasecuacionesparaquep onesparaquepuedasrepasarl uedasrepasarlas as técnicasdeintegración, técnicasdeintegración,yaquemuchas yaquemuchasveceselprob veceselproblemanosonl lemanosonlosprocedimi osprocedimientossin entossinolas olas integralesqueresultan:
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ECUACIONESHOMOGÉNEAS.Resolver ECUACIONESHOMOGÉNE AS.Resolverlassigui lassiguientesE.D.emp entesE.D.empleandoelmét leandoelmétododesust ododesustitución: itución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ECUACIONESEXACTAS.Verifiquesi ECUACIONESEXACTAS.VerifiquesilaE.D.es laE.D.esexactayresuél exactayresuélvala: vala:
1.
2.
No es exacta
4.
3.
5.
6.
No es exacta 7.
,
8.
.
12
ECUACIONESLINEALES.Resuelv ECUACIONESLINEALES.Resuelvalassigu alassiguientesE.D. ientesE.D.porelmétodo porelmétododefactori defactorintegrante. ntegrante.
ECUACIONESDEBERNOULLI.Resuel ECUACIONESDEBERNOULLI.Resuelvalassig valassiguientesE.D. uientesE.D.empleandola empleandolasustituci sustituciónapropiada: ónapropiada:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MISCELÁNEOSE.D.ORDEN1:Reso MISCELÁNEOSE.D.ORDEN1:Resolverloss lverlossiguientes iguientesproblemaspor problemasporelmétodoq elmétodoqueleseapo ueleseaposible: sible:
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5.
6.
K Constante, T(0)=200
II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el método de coeficientes coeficientes indeterminados. 1.
3.
5.
7.
2.
4.
6.
8.
14
VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el método de variación de parámetros. 1.
2.
;
4.
3.
6.
5.
7.
8.
ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones no homogéneas aplique variación de parámetros. parámetros. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
15
7.
,
8.
,
9.
III. TRANSFORMADA DE LAPLACE
1.DeterminelaTransformadadeL 1.DeterminelaTransformadadeLaplacedelas aplacedelassiguientes siguientesfunciones: funciones: a)L
para
1) f(t ) =
2) 2) f f(t ) =
b)L
c)L
d)L
e)L
f)L
g)L
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2.DeterminelaTransformadadeL 2.DeterminelaTransformadadeLaplaceInversad aplaceInversadelassig elassiguientesfun uientesfunciones: ciones: -1
a)L
-1
b)L
c)L
-1
-1
d)L
e)L
-1
-1
f)L
g)L
-1
-1
h)L
-1
i)L
-1
j)L
-1
k)L
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3.DeterminelaTransformadadeL 3.DeterminelaTransformadadeLaplacedelas aplacedelassiguiente siguientesfunciones sfuncionesperiódicas: periódicas:
f (t )
a) 1
0
1
2
3
4
t
-1
b) f (t ) )
1
0
1
2
3
t
4.Re 4.Resol solver verl las asecu ecuaci acione ones sdif difere erenci nciale aless ssig iguie uiente ntesm smedi ediant anteT eTran ransfo sforma rmada dade deLap Laplac lace e a)
b)
c)
y ( 0) = 1 ,
y’(0) = -1
18
d)
y(0) =2,
y ’ ( 0) = 6
e)
y(0) =0,
y’(0) =0
f)
g)
h)
y ( 0) = 0 ,
y(0) =0,
y’(0) =1
y’(0) =1
y(0) =0,
y’(0) =0
IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
1.Resolverlossiguientessistemasdeecuacionesdiferencialeslinealesmedianteeliminacióno determinantes:
a)
b)
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c)
2.Resolverlossigu 2.Resolverlossiguientessis ientessistemasdeecuac temasdeecuacionesdifere ionesdiferencialesli ncialeslinealesmedian nealesmedianteTransformadade teTransformadade Laplace
a)
b)
c)
d)
b)
c)
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EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS
1.(a)Digaconsuspropiaspalabras 1.(a)Digaconsuspropiaspalabrasqueentiendeporsolucion queentiendeporsolucioneslinealmenteindependientesd eslinealmenteindependientesde e unaecuacióndiferencial. (b)Enuncieelprincipiodelasuperposición. (c)Definaelconjuntofundamentaldesoluciones (d)Demuestraque
y
e
esunconjuntofundamentaldelaecuación
2.Unamasaquepesa20librasalargaaunresorte 2.Unamasaquepesa20lib rasalargaaunresorte6pulgadas.Lamasaseliber 6pulgadas.Lamasaseliberaaliniciodesdeelrepos aaliniciodesdeelreposo o deunpunto6pulgadasa deunpunto6pulgadasabajodebajode bajodebajodelaposición laposicióndeequilibri deequilibrio. o. (a) encuentrelaposicióndelamasaenlostiempost=π/12,π/8,π/6,π/4,Y9π/32s. (b) ¿Cuáleslavelocidaddelamasacuandot=3π/16s?¿enquedirecciónsedirigelamasaeneste instante? (c) ¿enquetiempolamasap ¿enquetiempolamasapasaporlaposi asaporlaposicióndeequi cióndeequilibrio? librio?
3.Unamasaquepesa64libras 3.Unamasaquepesa64librasalargaunresor alargaunresorte0.32pi te0.32pies.Aliniciolama es.Aliniciolamasaseliberadesd saseliberadesdeunpuntoque eunpuntoque esta8pulgadasarribad esta8pulgadasarribadelaposición elaposicióndeequilibr deequilibrioconunav ioconunavelocidaddesc elocidaddescendentede endentede5pies/s 5pies/s (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)
encuentrelaecuacióndemovimiento ¿Cuálessonamplitudype ¿Cuálessonamplitudyperiododelmov riododelmovimiento? imiento? ¿Cuántoscicloscomplet ¿Cuántoscicloscompletoshabrácompl oshabrácompletadolamasaa etadolamasaalfinalde lfinalde3πsegundos? 3πsegundos? ¿en ¿en que moment momento o la masa masa pasa pasa por la posici posición ón de equili equilibr brio io con direcc dirección ión hacia hacia abajo abajo por segundavez? ¿enqueinstanteslamasaalc ¿enqueinstanteslamasaalcanzasusdespl anzasusdesplazamientosex azamientosextremosencu tremosencualquierladode alquierladodelaposición laposición deequilibrio? ¿cualeslaposiciónde ¿cualeslaposicióndelamasaent lamasaent=3s? =3s? ¿cualeslavelocidadinstantáneaent=3s? ¿Cuáleslaaceleraciónent=3s? ¿Cuá ¿Cuál l es la velo veloci cida dad d inst instan antá táne nea a en los los inst instan ante tes s cuan cuando do la masa masa pasa pasa por por la posi posici ción ón de equilibrio? ¿en ¿en que que inst instan ante te la masa masa esta esta 5 pulg pulgad adas as abaj abajo o de la posi posici ción ón de equi equili libr brio io apun apunta tand ndo o en direcciónhaciaarriba?
4.Calculelacar 4.Calculelacargadelcap gadelcapacit acitorenuncirc orenuncircuito uitoenuncircui enuncircuitoLRCenser toLRCenseriecuan iecuandoL=¼h,R doL=¼h,R =20Ω,C= 1/300f,E(t)=0V,q(0)=4Cei(0)=0A.¿algunavezlacargaenelcapacitoresigualacero?
5.EncuentrelacorrientedeestadoestableenuncircuitoLRCcuandoL=1/2h,R=10Ω,C=0.001fyE(t) =100sen60t+200cos40tV.
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6.(a)DefinirlaTransformadadeLaplace. (b) (b) Expl Expliq ique ue las las cond condic icio ione nes s que que debe debe cump cumpli lir r f(t) f(t) para para que que exis exista ta su Tran Transf sfor orma mada da de de Laplace (c)Empleeladefinicióndetransformadapara (c)Empleeladefinicióndetra nsformadaparademostrarque: demostrarque: 2
L{sen5t} =5/(s +25) -5t
L{e
} =s/(s-5)
7. Dada
(a)Grafiquelafunción. (b)Expreselafunciónentérminosdelafunción (b)Expreselafunciónentérminosdelafuncióndelescalónunitario. delescalónunitario. (c)Calculelatransformadadefaplicandoladefinición.
8.Usandoconvolución,demuestreque:
9.Resuelvalaecuaciónintegraldadausand 9.Resuelvalaecuaciónin tegraldadausandolatransformada olatransformadadeLaplace. deLaplace.
10.UsandoTransformadadeLaplace,determin 10.UsandoTransformadadeLaplace,determinalacargaq(t)ylacorrientei(t)enuncircuitoenserieen alacargaq(t)ylacorrientei(t)enuncircuitoenserieen elcualL=1h,R=20Ω,C=.01F,E(t)=120sen(10t ,C=.01F,E(t)=120sen(10t)V,q(0)=0,ei(0 )V,q(0)=0,ei(0)=0,¿cuáleslacorr )=0,¿cuáleslacorrientedeestado ientedeestado estable?.
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