Guia Ejercicios Resueltos I

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALÍTICA I (1027)

TEJIENDO EL ALGEBRA ALGEBRA LINEAL

Guía de ejercicios resueltos

Curso de Verano del 2018

Mariela Glassman

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Primera parte

=23  =1 =2 ⃗ ⃗

1) Se 1) Se tienen las rectas r:

y r’: pasa por A= (5; 2; 4) y B= (6; 5; 4).

a) Verificar a) Verificar que r y r’ son perpendiculares y secantes en Q; dar las coordenadas de Q de Q? b) ¿Cuáles son todos los puntos Pε r que se encuentran a distancia c) Para c) Para algún P hallado en b), halle el área del triángulo AQP y explique, sin hacer cuentas, cuánto debe valer .

√ 1414

Resolución: a) a) Primero verifiquemos que las rectas son perpendiculares; para ello debe pasar que sus vectores directores lo sean. Alcanza con realizar el producto escalar entre esos vectores y ver que da 0. De las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta r podemos obtener la ecuación vectorial, resultando: r: . Una posible ecuación vectorial para ´ es ´ , , donde se tomó como α vector director a . Así, el producto escalar entre sus vectores directores resulta , , por lo tanto las rectas son perpendiculares. Ahora veamos que son secantes y busquemos el punto de intersección. Trabajemos con las

x;x;y;z = k.k. 3;3;1;2 2;1;0 r r : x;x;y;z = . 1;1;3;0 5;2;4 ⃗AB 3;3;1;2 • 1;3;0 =330=0 x=23k x=5 5  y=1k r :  y=23 z = 4 z=2k =23k  2  34=2k=1k   14 1 4 √ ⃗ PQ 14 1 4 √ PQ⃗  = √ 1414 →→ ‖ Q63k 63k P‖ =√ 2k 14→ 14 → ‖63k; 42k 2k;4=2k√ 1414‖ = √ 1414 5656k14k = √ 14→5656k14k 14→5656k14k =14→4256k14k  = 0 √ 5656k14k formas paramétricas cartesianas de las rectas. Como r: punto Q pertenece a ambas rectas, debe cumplir que

y

α

α

´

α α , y el

. De la última ecuación

se obtiene que k=2 y reemplazando este valor en las dos primeras ecuaciones de ellas se desprende que =-1. Reemplazando k=2 y =-1 en r y r´ respectivamente se encuentra el punto Q de intersección: Q= (4;-1; 4). , b) Si Pεr resulta que P= (-2+3k; 1-k; 2k). Si la distancia del punto P al punto Q debe ser entonces la longitud del vector es . Luego…

Desarrollando los cuadrados de esos binomios y agrupando, esta última expresión queda…

Resolviendo esta última ecuación cuadrática obtenemos que hay dos valores de k posible que satisfacen la ecuación (k=3 y k=1), de donde resultan dos puntos que cumplen lo pedido:





1; 0 ; 2  l t = ⃗ ⃗  = √ √ √  = √   ⃗  ⃗ ⃗ 

Si elegimos P= Área=

, , podemos calcular calcular el área del triángulo triángulo de la siguiente siguiente manera:

 =

2) Dadas 2) Dadas las rectas r1: (x; y; z) = β.(1; – 1; 2) + (k; 1; k+1)y r2: x=1; se pide: ( 1; –4; 7). a) Determinar a) Determinar k y para que ambas rectas sean secantes en el punto (1; b) Obtener b) Obtener una recta r3 perpendicular a las anteriores y que corte al eje z. respectivos vectores directores de las rectas r1 , , r2 y r3. c) Sean c) Sean , ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo que determinan?

Resolución: a) Al a) Al ser secantes las rectas en el punto (1; –4; 7), este debe pertenecer a ambas rectas y por lo tanto verificar las ecuaciones de ellas. Como (1; –4; 7) r2 resulta que: x=1; , luego α=9. Como (1; –4; 7) r1 resulta que (1; - 4; 7) = β.(1; – 1; 2) + (k; 1; k+1). De esta igualdad, usando

ϵϵ

− =7α

operaciones entre vectores, llegamos a que

1=βk 4=β1 7=2βk1

. De la segunda ecuación obtenemos

que β=5 y reemplazando este valor en la primera ecuación llegamos a que k= -4. Estos valores

obtenidos hacen que se verifique la última ecuación.

Por lo tanto, para que ambas rectas sean sean secantes debe pasar pasar que α=9 y k= -4. b) Con b) Con los valores valores de k y α obtenidos en el ítem anterior las rectas resultan: , , y podemos obtener una posible ecuación r1: (x; y; z) = β.(1; – 1; 2) + (-4; 1; -3) y r2: x=1;

 =z9

vectorial para la segunda recta r2: (x; y; z) = ϴ.(0; 2; 1) + (1; 0; 9). Como la recta r3 que debemos obtener tiene que ser perpendicular a las dos anteriores su vector director debe ser perpendicular al de r 1 y al de r 2. Una posible manera de obtener un vector perpendicular a dos vectores dados es realizando el producto vectorial entre ellos. Tomo como





⃗v= 1;1;1;2;2 ⃗v= 0; 2; 1 y v⃗  |v⃗  × v⃗ •v⃗ | = |5;5;1;2 •5;1;2| = |3030| = 30 ⃗   ⃗ 

c) c) Siendo , = (-5;-1; 2), el volumen del paralelepípedo determinado por estos vectores se calcula tomando módulo del resultado del producto mixto entre ellos. Volumen=

⃗   ⃗

3) 3) A los puntos A= ( –2; 1), B= ( –1; –1) y C= (2; 2) se le aplica la transformación geométrica f(x; y) = (2x + y; x – 2y). Demuestre que la amplitud del ángulo de los vectores y el de sus imágenes se conserva pero que la norma de los vectores se ha incrementado en un factor k que debe establecer. Graficar los cuatros vectores en un único sistema de referencia cartesiano. ′

′

′

′

Resolución: Aplicando la transformación f a los puntos A, B y C se obtienen respectivamente A´= (-3;-4), B´= (-3; 1) y C´= (6;-2). Así resulta que . Sus respectivas normas son = . Para ver en qué factor se incremento la norma de los vectores imágenes realizamos los siguientes cocientes:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗       AB = 1; 1 ;  2 ; AC = 4 ;4;1 1 ; A′ B ′ = 0 ;0;5 5 y A′ C ′ = 9; 2  AB⃗  = √ 5;5; AC⃗  √ 17;17; A′⃗ B′=5 y A′⃗ C′ = √ 8585 A′AB⃗⃗ B′ = √ 55 = √ 5=k5 =k y A′AC⃗⃗ C′ = √ √ 85178157 = √ 5 = k ⃗ ⃗ AB y AC ⃗AB cos• AC⃗ (Â)AB=⃗ .AC⃗ →.Âcos(A=77º28´ ̂)→2=√ ̂ )→2= 5 .5. 17. 1 7. c os(A ) √ √ √ 16.29´´ A′⃗ B′ y A′⃗ C′ √ ..√ √  cos(A´̂ ) = ..√ √  ⃗AB y AC⃗ A´̂ =77º28´16.29´´

Para calcular el ángulo entre usamos que = , , de donde, despejando, podemos obtener que . De manera análoga, podemos calcular el ángulo entre y se obtiene que , , resultando . Conservando así la transformación el ángulo entre los vectores y sus respectivos vectores imagen.





  T( T( x ;x;y y )=x4; ) =x4; y 2 R−A =(2x;2;1;x;y1y)=y; )→=y;2;2;3x → 3;3; 2     B = 1; 1 ;  3 → 3;  3;  1 →1; 3  P = x;x;yy → x4;y2 x 4;y2 →y2;  x4 ⃗AB x;x; y = . 1;1;42; 2;1 4  1  2;4  1 →  2;4  3 → S =4  3;3;2=0→  2 = 2

Resolución: a) Apliquemos a) Apliquemos a los puntos A, B y P la traslación horaria de 90º cuya expresión es º

y luego la rotación

:

b) Una b) Una ecuación vectorial posible para recta r que determinan A y B resulta ser α r: , , tomando como vector director a . Luego, cualquier punto S de r será de la forma S= α . Como necesito trabajar sobre la imagen final de este α punto, aplico los dos movimientos en forma consecutiva a la expresión de S: α α α ´ α α S= α Como S´ debe estar ubicado en el eje x necesariamente α , , valor con el cual, α reemplazando, tenemos que S= (4; 9) y S´= (11; 0).

5) Justificar adecuadamente cada ítem. a) a) Para dos matrices cuadradas A y B de orden 2 e inversibles siempre ocurre que A+B es inversible. y no nulos de R 3 , ¿qué condición debe cumplirse para que b) b) Dados dos vectores ? c) Explique qué obtenemos (si fuera posible) posible) luego de las siguientes siguientes operaciones entre vectores:

⃗    .⃗  < 0  ⃗⦁•  ∧⃗    ⃗∧ ⦁•⃗

  ⦁•⃗ ⃗. 





1 0 1 0     0 1 0 1 0 0 A− = 10 01 yBx− y=10 01 0 0 . x y AB=  0 2 1 0 =  z w 0 2 z w 0 1 20z 20wproy. = e10sc⃗ 01v⃗ = v⃗• ǔ = ‖⃗v‖. ‖̌u‖.cosos  ⃗ v u ⃗ proy.esc⃗ v⃗= ‖v⏟> ‖ .1.cosos    cos co s < 0 → 90 < ≤180  ⃗u⦁ •v⃗  ∧ ⃗w ⃗ u ⦁ •v ⃗ ∧ u⃗ ∧ v⃗ ⦁ • w⃗ ⃗ w ⃗v⦁ •w⃗ . ⃗w

Contraejemplo: Si tomamos como A=

y B=

matrices de orden 2 e inversibles

(puedes comprobar que

), resulta que

que no

tiene inversa; pues al buscar la matriz tal que , , resulta que debería pasar que que existan valores reales reales de x, y, z y w que verifiquen la siguiente siguiente igualdad matricial: y no existen tales valores. v alores. α , , siendo α el ángulo entre y b) Se b) Se tiene que: Luego: α Para que este producto sea negativo, necesariamente debe pasar que º

α

α

º

c) Este primer producto no es posible de realizar, ya que da por resultado un número y el producto vectorial solo es posible entre vectores. ii) Este producto si puede realizarse. El resultado del paréntesis es un vector; y al realizar el producto escalar entre este y se obtiene un número. iii) Este producto si puede realizarse. El resultado del paréntesis es un número y la operación final a realizar es el producto de un número por un vector (producto de escalar por vector), que da como resultado un vector.  x  2

6) Dadas 6) Dadas A=  2 x  z 

 1 , B=  2 

y

z  3  z   1 0   y C =  2  1   x  4 y  4 z  3 2  se pide:    

a) A a) A través del método de Gauss obtenga la solución de A.B = C b) ¿Existe b) ¿Existe alguna solución para la cual la suma de sus coordenadas valga 6? Si la respuesta es afirmativa indique el valor de dichas coordenadas.

Resolución: a) a) Como pide resolver a través del método de Gauss, deberíamos tener un sistema de ecuaciones lineales que resolver. Planteamos lo pedido, que A.B = C  z  z  3  x  2 y  1   1 0   . = 2 x  z  2   2  1   x  4 y  4 z  3 2         z  z  3  ( x  2)  2( y  1)  ( y  1)  =   (2 x  z )  4   2     x  4 y  4 z  3 2  ; aplicamos propiedad distributiva y

acomodamos…







 z  z  3  y  1    x  2 y =  2 x  z  4  2    x  4 y  4 z  3 2   ; luego resulta que…

x2y=z3 y1=z 2xz4=x4y4z3 2=2 x2yz=3 yz=1 x4y3z=1  01 21 11 31 f −f →f 01 21 11  31  f +f →f  01 21 11 31 1 4x2yz=3 yz=1 3 1 0 2 2 2 0 0 0 0  x2yz=3 y4; y ; 1 yy,yϵR}ϵR} y  4  y  1  y =6 →3y3=6→y=31;3;4 2=4 4=3 6=1 {22=7  32=11

, acomodando, nos queda queda el siguiente siguiente sistema (notar que la

última ecuación se verifica para todo valor de x, y, z):

Este sistema lo resolvemos con el método de Gauss, planteamos la matriz ampliada:

El sistema queda . Despejando de la última ecuación tenemos que z= 1+y; y reemplazando esto en la primera ecuación tenemos que x=y-4; luego la solución sería el conjunto . b) Veamos b) Veamos si alguna de esas infinitas soluciones cumple con que la suma de sus coordenadas valga 6: Luego la solución que cumple con esta condición es .

7) Dados 7) Dados los sistemas S:

y S’:

a) Demuestre que S y S’ son sistemas equivalentes. b) ¿Existe alguna solución de S y S’ para la cual la suma de sus dos primeras coordenadas valga 0? Si la respuesta es afirmativa indique cual es esa solución.

Resolución: a) Primero, a) Primero, analizamos los rangos de cada sistema:

2xyz=4 4  2 1  1 4  2 1  1 4  2 1  1 6xz=1 →  60 03 12 111 f +f →f  00 33 22 1111 f −f →f  00 30 02 110  →  3y2z=11

S:





2x2yz=7 20 23 z2=1 117   y {3y2z=11     x = y     y   ;y;    y,yϵR  y  y=0→y=1  1;1;7 x4yz=2   . z =3 xy2x9y3z=5

b) Encontremos b) Encontremos primero la solución del sistema (ambos tiene la misma, al ser equivalentes). La matriz ampliada nos quedo , , que corresponde al sistema . De la última ecuación obtenemos que . Reemplazando esto en la primera ecuación, llegamos a que . Luego la solución es . Veamos si alguna de esas infinitas soluciones cumple con que la suma de sus dos primeras coordenadas vale 0: . Por lo tanto la solución que cumple lo pedido es .

8) Se 8) Se tiene el sistema S:

y se sabe sabe que el punto P= ( –2; 1; 0) pertenece al

conjunto solución. y b para para que el sistema sea compatible indeterminado a) Hallar a) Hallar todos los valores posibles de a y b usando el método de triangulación de Gauss y el teorema de Rouché-Frobenius. b) Indique b) Indique todas las soluciones para el caso anterior y encuentre, si existe, aquella en la que el valor de la segunda coordenada sea el doble de la tercera coordenada.

Resolución: a) a) Primero, antes de usar el método de Gauss, usemos el dato de que el punto P= ( –2; 1; 0) pertenece al conjunto solución. Así P debe verificar las 3 ecuaciones; reemplazamos y nos queda que:

40=2 =2  21490=5 →a=1  . 0 =3 →  3=3 5=5 x4yz=2   2. z =3 xy2x9y3z=5  1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2

Ahora ya sabemos que si el punto P pertenece a la solución, necesariamente a=-1; quedándonos el siguiente sistema

, del cual sabemos que tiene que tener infinitas

soluciones. Trabajemos con la matriz ampliada:





x=23z

y=1z 23z;1z;z,zϵR}ϵR} 1z=2z→z=1 5;2;1

De la última ecuaciones obtenemos que y reemplazando esto en la primer ecuación nos queda que . Luego la solución del sistema es . Veamos si algunas de estas infinitas soluciones cumplen con que el valor de la segunda coordenada sea el doble de la tercera: . Luego hay uno sola solución de esas infinitas que cumple con esta condición y es . 9) Los habitantes de la ciudad Z disponen de dos proveedores de cable: “ MilTV ” y “CanalZ”. Estadísticamente se sabe que trimestralmente trimestralmente se cambian de proveedor el 20% de los suscriptores a MilTV y y el 40% de los adherentes a CanalZ. Para una situación de 3000 abonados se pide: a) Modelizar a) Modelizar a través de una cadena de Markov para una situación inicial de reparto del 50% de clientes para cada compañía. b) ¿Cuántos b) ¿Cuántos abonados tendrá cada empresa al final del noveno mes? c) Hallar c) Hallar la cantidad inicial de clientes de cada cable para que el número de suscriptores sea constante.

Resolución: a) En a) En el siguiente esquema podemos observar la información suministrada por el problema, los porcentajes del total que mantiene proveedor y el que cambia, trimestralmente.





 = 00..82 00..46 .  ≥ 0  =( =)0.8 0.4 . () = ()  0.2 0.6    = 00..82 00..46 . () = ()  = 00..82 00..46 . () = ()

, , con k . b) b) Para saber la cantidad de abonados al final del noveno mes debieron pasar 3 trimestres. Luego sabiendo que inicialmente eran 3000 abonados y el reparto inicial era del 50% para cada compañía se tiene que . Luego del primer trimestre:

Luego del segundo trimestre:

Luego del tercer trimestre: Entonces, después del noveno mes la empresa MilTV tendrá 1968 abonados y la empresa CanalZ 1080. , de c) Para c) Para que la cantidad de suscriptores sea constante debe pasar que donde de cualquiera de las ecuaciones podemos despejar y obtener que y como .

{mmc==0.=0.2c28mm0.0.64cc m  c =3000→2c  c =3000→3c =3000→c =1000⇒m =2000

10) Una empresa de celulares fabrica tres modelos: Go1 , Go2 y Go+ , en dos tamaños: 4,5” y 10) Una Go1: 500 unidades de 4,5” y 150 unidades de 5,5”. En un día de trabajo produce del modelo Go1: Go2: 300 unidades 4,5” y 100 unidades de 5,5” y del modelo Go+: Go+: 50 unidades 5,5”; del modelo Go2: de 4,5” y 100 unidades de 5,5”. Los celulares de 5,5” necesitan 20 horas de taller y 2 horas de embalado y los de 4,5” llevan 15 horas de taller y 1,5 horas de embalado. a) Representar a) Representar la información información en dos matrices: A, que relaciona relaciona a cada modelo con el tamaño tamaño y B, que relaciona a cada tamaño con el tiempo en cada sector, tal que el producto B.A permita obtener una matriz C que exprese las horas de taller y de embalado para cada uno de los modelos. Indique C. b) ¿Por cuál matriz y en cuál orden hay que multiplicar a B para obtener B’ si los celulares de 5,5” precisaran un 20% más de horas de taller y de embalaje y los de 4,5” no sufrieran cambio

alguno?





C=B. A =11.55 220 . 510500 310000 15000 = 110055000 6655000 2277550 10 10.2 B = 11.55 220 10 10.2 = 11.55 22.44

Así resulta que , , donde cada columna corresponde a un modelo y la primer fila a las hs dedicadas de taller, y la segunda a las de embalaje según el modelo. b) b) Por como definimos B es la segunda columna la que debería verse modificada por la multiplicación. Luego multiplicamos a B por derecha por la matriz . El coeficiente de la posición 11 es un 1 para no modificar la primera columna, el coeficiente 22 es 1,2 para que los valores de la segunda columna se vean incrementados en un 20%. Luego ´ . Notar que si efectuábamos el producto al revés, o sea si multiplicamos por izquierda a B por la matriz dada los datos que cambian en la matriz resultante son los de la segunda fila.

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