Guia Colas 2012

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Ingeniería Industrial

INVESTIGACION DE OPERACIONES II

F. Ibarra

TEORÍA DE COLAS

Todas las las empresas de manufactura y servicios presentan sistemas de espera, donde los productos o usuarios llegan a una o más estaciones, esperan en cola, reciben alguna atención, y luego, continúan hasta salir del sistema. Considere los siguientes procesos: 







Las partes de un proceso de producción llegan a una estación de trabajo desde diferentes estaciones, esperan en un área para ser procesadas por una máquina, y luego siguen a otra estación de procesamiento. Los clientes llegan a un banco, esperan en una cola para obtener un servicio de uno de los cajeros, y después abandonan el banco. Luego de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las cajas, esperan a que el cajero les atienda, y luego salen de la tienda. Las llamadas telefónicas llegan al centro de reservaciones de una aerolínea, esperan al empleado de ventas disponible, son atendidas por el empleado, y dejan el sistema al finalizar la llamada.

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Origen La teoría de colas se origina en el esfuerzo de Agner Krarup Erlang, (1878 - 1929) ingeniero ingeniero danés, quien trabajaba para la compañía danesa de comunicaciones durante 1909. Erlang analizaba la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de planificar la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Deseaba conocer la cantidad de conmutadores o líneas a disponer para lograr un nivel de aceptación satisfactorio, es decir, se preocupaba por atención eficiente a los clientes. Sus investigaciones dieron lugar a una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es una herramienta de valor en las organizaciones de manufactura o de servicios, debido a que muchos procesos de producción pueden formularse como problemas de congestión llegada – – procesamiento-salida. Una Cola es una línea de espera de atención, y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera. Los modelos sirven para determinar las características más relevantes del funcionamiento de un sistema, además de equilibrar costos del sistema y los tiempos promedio de espera para un sistema dado. El problema p roblema consiste en determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que los clientes no llegan en horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento los clientes llegarán al servicio. Tampoco el tiempo de servicio tiene una duración fija. Cada solicitud de atención consume tiempo variable y diferente. Los Los problemas de “Colas” se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio estudio en EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 6 años de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en semáforos.

Espacios para Aplicación de los modelos de Colas:

Sistema Manufactura

Servidores

Máquinas, Obreros, Estaciones, Equipos de Transporte y Manejo de Materiales Hospital Médicos, Enfermeras, Camas Banco Cajeros, Gerentes, Asesores Computadores CPU, Dispositivos Entrada/Salida Aeropuerto Pistas de D/A, Estaciones de Chequeo de seguridad Comunicaciones Líneas, Operarios, Circuitos Dpto. de Bomberos Camiones Panadería Vendedores, Cajas de Pago Judicial Jueces, Secretarios, Empleados Vialidad Carreteras, Semáforos Oficina Pública Funcionarios WEB WEB Server

Usuarios Partes, Productos fabricados Pacientes Clientes Trabajos Aviones, Pasajeros Llamadas, Mensajes Incendios Clientes Procesados, Usuarios Automotores Ciudadanos Requerimientos

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Origen La teoría de colas se origina en el esfuerzo de Agner Krarup Erlang, (1878 - 1929) ingeniero ingeniero danés, quien trabajaba para la compañía danesa de comunicaciones durante 1909. Erlang analizaba la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de planificar la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Deseaba conocer la cantidad de conmutadores o líneas a disponer para lograr un nivel de aceptación satisfactorio, es decir, se preocupaba por atención eficiente a los clientes. Sus investigaciones dieron lugar a una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es una herramienta de valor en las organizaciones de manufactura o de servicios, debido a que muchos procesos de producción pueden formularse como problemas de congestión llegada – – procesamiento-salida. Una Cola es una línea de espera de atención, y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera. Los modelos sirven para determinar las características más relevantes del funcionamiento de un sistema, además de equilibrar costos del sistema y los tiempos promedio de espera para un sistema dado. El problema p roblema consiste en determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que los clientes no llegan en horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento los clientes llegarán al servicio. Tampoco el tiempo de servicio tiene una duración fija. Cada solicitud de atención consume tiempo variable y diferente. Los Los problemas de “Colas” se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio estudio en EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 6 años de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en semáforos.

Espacios para Aplicación de los modelos de Colas:

Sistema Manufactura

Servidores

Máquinas, Obreros, Estaciones, Equipos de Transporte y Manejo de Materiales Hospital Médicos, Enfermeras, Camas Banco Cajeros, Gerentes, Asesores Computadores CPU, Dispositivos Entrada/Salida Aeropuerto Pistas de D/A, Estaciones de Chequeo de seguridad Comunicaciones Líneas, Operarios, Circuitos Dpto. de Bomberos Camiones Panadería Vendedores, Cajas de Pago Judicial Jueces, Secretarios, Empleados Vialidad Carreteras, Semáforos Oficina Pública Funcionarios WEB WEB Server

Usuarios Partes, Productos fabricados Pacientes Clientes Trabajos Aviones, Pasajeros Llamadas, Mensajes Incendios Clientes Procesados, Usuarios Automotores Ciudadanos Requerimientos

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Introducción a la Teoría de Colas Los problemas administrativos relacionados con esos sistemas de colas se clasifican en dos grupos básicos: 1. Problemas de análisis . Usted podría estar interesado en saber si un sistema dado está funcionado satisfactoriamente. Necesita responder una o más de las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la cola antes de ser atendido? b. ¿Qué fracción de tiempo ocupan los servidores en atender a un cliente o en procesar un producto? c. ¿Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la cola Basándose en estas preguntas, los gerentes tomarán decisiones como emplear o no, más gente; agregar una estación de trabajo adicional para mejorar el nivel de servicio; o si es necesario, aumentar el tamaño del área de espera. 2. Problemas de diseño . Usted desea diseñar las características de un sistema que logre un objetivo general. Esto puede implicar el planteamiento de preguntas como las siguientes: a. ¿Cuántos servidores deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable? b. ¿Deberán los clientes esperar en una sola fila (como se hace en muchos bancos) o en diferentes filas (como en el caso de los supermercados)? c. ¿Deberá haber un servidor separado que atienda entidades especiales? (como clientes de alto volumen de transacciones en un banco o los pasajeros de primera clase en el mostrador de una aerolínea) d. ¿Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o los productos puedan esperar? Por ejemplo, en un sistema de reservaciones por teléfono, ¿qué tan grande debe ser la capacidad de atención? Esto es, ¿cuántas llamadas telefónicas se deben mantener en espera antes de que las siguientes obtenga la señal de ocupado? Estas decisiones de diseño se toman mediante la evaluación de los méritos de las diferentes alternativas, respondiendo a las preguntas de análisis del grupo 1 y luego seleccionando la alternativa que cumpla con los objetivos administrativos.

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

Una población fuente de clientes: define la totalidad de clientes potenciales.



Un proceso de llegada: la forma en que llegan los clientes desde la la población origén







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Un proceso de colas: constituido por la forma que los clientes esperan para ser atendidos y la disciplina de la cola, cola, que corresponde al orden de selección de las entidades para recibir atención. Un proceso de servicios: determinado por el proceso de atención y la rapidez con la que es servido el cliente Un proceso de salida: el cual puede ser uno de los siguientes dos tipos: 1. Las entidades, una vez atendidas, abandonan el sistema 2. Las entidades, una vez procesados por un servidor, son trasladadas para ser procesadas en el siguiente servidor, formando una red de colas. colas. Por ejemplo, los productos son primero procesados en una estación de trabajo A y después son enviados a otra estación de trabajo B o C. Los productos terminados en ambas estaciones, B y C, luego son procesados en la estación D, antes de d e abandonar el sistema.

DEFINICIONES Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando servicio a un "servidor" el cual tiene cierta cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se acomoda en la línea de cola y esperara iniciar su atención de acuerdo a alguna disciplina de servicio.

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Clientes: Entidades que requieren servicio:     

. Expedientes esperando decisión del Juez. · Usuarios esperando en un cajero peatonal. · Máquinas que esperan reparación. · Aviones esperando autorización para despegar o para aterrizar. . Mensajes de texto enviados desde su celular

Servidores: Entidades que proporcionan el servicio: · Jueces.  · Cajeros  . Mecánicos.  · Pistas de aeropuerto.  .procesadores, satélite  

Tasa de Llegadas 





: Cantidad de clientes que arriban a las instalaciones de servicio.

10autos / hora

Tasa de Servicio:



85000 mensajes/min

: La capacidad de servicio, por ejemplo:



· Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar diez mil llamadas por minuto. · Una instalación de reparación puede reparar máquinas a razón una cada 5 horas.



· Una pista de aeropuerto en la que aterrizan tres aviones por minuto.   3



aviones

min uto

Número de servidores S : cantidad de servidores que ofrece el sistema para dar atención:    

· Número de jueces. . Cantidad de cajeros · Cantidad de mecánicos. · Número de pistas de un aeropuerto.

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El número de servidores no tiene porqué estar dispuesto siempre en paralelo, es decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases en serie.

Tamañ o de la población de clientes

Al definir las entidades clientes, se requiere definir el tamaño de la población. Para problemas como los de un banco o un supermercado, en donde el número de clientes potenciales es bastante grande (miles), el tamaño de la población se considera, para fines prácticos, como si fuese infinita. Por el contrario, una fábrica que tiene seis máquinas, que a menudo se descomponen y requieren servicio de reparación en un taller especializado, tiene población finita. En este caso, el tamaño de la población es de solamente seis. El análisis de poblaciones finitas (es decir de tamaño limitado) es más complicado que el análisis en donde la población se considera infinita.

El proceso de llegada El proceso de llegada es la forma en que los clientes llegan a solicitar un servicio. La característica más importante del proceso es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas. Este lapso es importante porque mientras menor sea el intervalo de tiempo, con más frecuencia llegan los clientes, lo que aumenta la demanda de servidores disponibles.

Existen dos tipos básicos de tiempo entre llegadas : Determinístico: en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo) Probabilístico: en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.

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En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad, para una distribución exponencial depende de un parámetro,  y está dada por :

f (t )



 e 

 t

en donde  (lambda) es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo. Si se trata del tiempo de servicio, y este es exponencial, el parámetro se denomina  ; y la función de densidad seria:

f (t )



 e



 t

Para una cantidad de tiempo T, se puede usar la función de densidad de probabilidad, para calcular la probabilidad de que el próximo cliente llegue dentro de las siguientes T unidades, a partir de la última llegada, de la manera siguiente:

Prob ( tiempo entre llegadas



T ) = f (t )



1



e



 t

El proceso de colas Parte del proceso de colas tiene que ver con la forma en que los clientes esperan para ser atendidos. Los clientes pueden esperar en una sola fila, como en un banco. Ese es un sistema de colas de una sola línea. Al contrario, los clientes pueden elegir una de varias filas en las que deben esperar para ser atendidos, como en las cajas cobradoras de un supermercado, ese es un sistema de colas de líneas múltiples Otra característica del proceso de colas es el número de espacios de espera en cada fila, es decir, el número de clientes que pueden esperar para ser atendidos en cada línea. En algunos casos, como en un banco, ese número es bastante grande y no significa ningún problema práctico, pues para cuestiones de análisis la cantidad de espacio de espera se considera infinita. En contraste, un sistema telefónico puede mantener un número finito de llamadas (es decir limitado), después del cual, las llamadas subsecuentes no tienen acceso al sistema. Las condiciones de espacio de espera infinito y finito requieren análisis matemáticos diferentes.

Disciplina La disciplina de la cola, se refiere a la forma en que los clientes que esperan son seleccionados para ser atendidos. A continuación algunas de las formas más comunes: FIFO: Primero en entrar, primero en salir (PEPS). Los clientes son atendidos en el orden en que van llegando a la fila. Los clientes de un banco y de un supermercado son atendidos de esa manera.

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LIFO: Último en entrar, primero en salir (UEPS). El cliente que ha llegado más recientemente es el primero en ser atendido. Un ejemplo de esta disciplina se da en un proceso de producción en el que los productos llegan a una estación de trabajo y son apilados uno encima del otro. El trabajador elige, para su procesamiento, el producto que esta encima de la pila, que fue el último que llegó para ser procesado o para brindarle un servicio. Selección de prioridad: A cada cliente que llega se le da una prioridad y se le elige según ésta para brindarle el servicio. Un ejemplo de esta disciplina son los pacientes que llegan a la sala de emergencias de un hospital. Mientras más urgente sea el caso, mayor será la prioridad del cliente. Selección aleatoria. Asignación de visas para viajar a USA.

El proceso de servicio El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o pueden no ser idénticos. Por ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos. En este curso, se tomarán en cuenta servidores idénticos. A diferencia de un sistema de canal múltiple, considere un proceso de producción con una estación de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben pasar por esa estación de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de automóviles, que es una sola estación, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera simultánea. Otra característica del proceso de servicio es el número de clientes atendidos al mismo tiempo en una estación. En los bancos y en los supermercados (sistema de canal sencillo), solamente un cliente es atendido a la vez. Por el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de autobús son atendidos en grupo, según la capacidad del autobús que llegue. En este curso se verá el servicio de uno a la vez.

Un siguiente aspecto de un proceso de servicio es, si se permite o no prioridades de atención; esto es, ¿puede un servidor detener el proceso sobre el cliente que está atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de llegar? Por ejemplo, en una sala de emergencia, la prioridad se presenta cuando un médico, que está atendiendo un caso que no es crítico es llamado a atender un caso más crítico.

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Cualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cuánto tiempo se requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto más dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo puede ser determinístico o probabilístico. Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante distribuciones de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real del servicio. Sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial. En este caso, su función de densidad depende de un parámetro,  y esta dada por

f (t )



 e



 t

donde  =número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo, de modo que

1



= tiempo

promedio invertido en atender a un cliente. Por ejemplo,  =5 clientes/hora (promedio Poisson), es equivalente a 1/  = 12 minutos/cliente (promedio exponencial) En general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes de analizar el sistema, se necesita identificar la distribución.

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLAS Los objetivos de la Teoría de Colas pueden ser: 





· Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global del mismo. · Evaluar el impacto que las posibles alternativas de capacidad del sistema tendrían en el costo total del mismo. · Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costos y

las cualitativas de servicio. Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el

sistema.

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TIPOS DE COLAS Según las características del sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales pueden ser:

a) Una línea, un servidor. El primer sistema que se muestra en el grafico anterior, es un sistema de un servidor y una cola; lo puede describir una consulta de un médico. b) Una línea, múltiples servidores: El segundo sistema, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno. c) Varias líneas, múltiples servidores. El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separación no sería válida.

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DISTRIBUCIÓN DE POISSON Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación de operaciones, sobre todo en el área de teoría de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de autos a un peaje, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.

La variable aleatoria de la distribución Poisson mide la cantidad de veces que ocurre un evento por unidad de tiempo. Su media se denota por  y representa el valor promedio de ocurrencias del evento por unidad de tiempo. Por ejemplo, llegan 10 vehículos por hora. Lo cual equivale a una media exponencial de tiempo entre llegadas de 6 minutos por vehículo.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, y la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de esas llegadas. Si las llegadas por unidad de tiempo son Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero. Esta distribución se usa para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para atender a la entidad que llega. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica atendiendo un paciente o el tiempo que transcurre entre una llegada y la siguiente.

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Clasificación de los modelos de espera Como se mencionó al inicio, para aplicar las técnicas matemáticas apropiadas, se debe identificar las características de un sistema de colas, basado en la población de clientes y en los procesos de llegada, de colas y de servicio. El método de clasificación presentado aquí, pertenece a un sistema de colas en el que el tamaño de la población de clientes es infinito, los clientes que llegan esperan en una sola fila y el espacio de espera en cada línea es infinito.

Notación Kendall del modelo de colas. llegadas / servicio / servidores s / capacidad k / disciplina / Tamaño población n En este modelo, los símbolos describen las características del sistema 

El proceso de llegada: Este símbolo describe la distribución de tiempo entre llegadas, que es uno de los siguientes:

a. D para denotar que el tiempo entre llegadas es determinístico. b. M para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución exponencial. c. G para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen cualquier distribución diferente a la exponencial. 

El proceso de servicio: Este símbolo describe la distribución de tiempos de servicio, que es uno de los siguientes:

a. D para describir un tiempo de servicio determinístico. b. M para denotar que los tiempos de servicio son probabilísticos y siguen una distribución exponencial c. G para denotar que los tiempos de servicio son probabilísticos y siguen una distribución diferente a la exponencial. 

El proceso de colas: El número, s, representa cuántas estaciones o canales paralelos existen en el sistema. (Recuerde que se supone servidores idénticos en cuanto a su rapidez de servicio.)

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Cuando se limita la espera y el tamaño de la población de clientes es finito, los dos siguientes símbolos adicionales se incluyen para indicar estas limitaciones: 



Un número K que representa el número máximo de clientes que pueda estar en el sistema en cualquier momento(es decir, en servicio o en espera en la fila). Este número es igual al de estaciones paralelas más el número total de clientes para ser atendidos. Un número N que representa tamaño, el número total de clientes de la población

Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colas El objetivo de la teoría de colas consiste en responder cuestiones administrativas correspondientes al diseño y a la operación de un sistema de espera. El gerente de un banco puede decidir si programa tres o cuatro cajeros durante la hora de almuerzo. En una estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva máquina que pueda procesar los productos con más rapidez. Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas. Por ejemplo, considere un día de servicio bancario. Cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de forma inmediata. Al inicio, y a medida que van llegando más clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar se empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado niveles bastante estables. La fase inicial, que conserva los efectos de las condiciones iniciales, se conoce como fase transitoria. Después de que los efectos de las condiciones son eliminados, el sistema entra en un estado estable. A pesar de que las preguntas pertenecientes a ambas fases son importantes, este curso trata solamente el comportamiento del estado estable.

Algunas medidas de rendimiento comunes Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable. Para diseñar y poner en operación un sistema de colas. En general, los administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento, surgen de hacerse las siguientes preguntas:

Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como: a. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que esperar en cola antes de ser atendido? La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio de espera, representado con Wq

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b. ¿Cuál es el tiempo que un cliente invierte en el sistema, incluyendo el tiempo de espera y el de servicio? La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio en el sistema, denotado con W

Preguntas cuantitativas relacionadas al número de clientes, como: a. En promedio ¿cuántos clientes están esperando en la cola para ser atendidos? La medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola, representada con Lq b. ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada es el número medio en el sistema, representado con L c.

Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores, por ejemplo: a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a ser atendido? La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se representa por, pw b. En cualquier tiempo particular, ¿cuál es la probabilidad de que un servidor esté ocupado? La medida de rendimiento asociada es la utilización, denotada con . Esta medida indica también la fracción de tiempo que un servidor esta ocupado. c. ¿Cuál es la probabilidad de hallar n clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad Po de que no haya clientes en el sistema, la probabilidad P1 de que haya un cliente en el sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado, representada por Pn, n = 0,1, 2, 3 , ... d. Si el espacio de espera es finito, ¿Cuál es la probabilidad de que la cola esté llena y que un cliente que llega no sea atendido? La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de negación del servicio, representada por Pk

Preguntas relacionadas con los costos, como: a. ¿Cuál es el costo por unidad de tiempo por operar el sistema? b. ¿Cuántas estaciones de trabajo se necesitan para lograr mayor efectividad en los costos? El cálculo específico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de sistema de colas. Algunas de estas medidas están relacionadas entre sí. Conocer el valor de una medida permite encontrar el valor de una medida relacionada.

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Relaciones entre medidas de rendimiento El cálculo de muchas de las medidas de rendimiento depende de los procesos de llegadas y de servicio del sistema de colas en específico. En el caso probabilístico, estos procesos son descritos matemáticamente mediante distribuciones de llegada y de servicio. Incluso sin conocer la distribución especifica, las relaciones entre algunas de las medidas de rendimiento pueden obtenerse para ciertos sistemas de colas, únicamente mediante el uso de los siguientes parámetros de los procesos de llegada y de servicio. 

=número promedio de llegadas por unidad de tiempo; Ej.: 20 máquinas/hora

= número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo por un servidor; Ej.: 25 botellas/minuto 

Suponga una población de clientes infinita y una cantidad limitada de espacio de espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad de tiempo invertido en la fila más el tiempo durante el cual es atendido:

Tiempo promedio en el sistema = tiempo promedio de espera + tiempo promedio de servicio El tiempo promedio en el sistema y el tiempo promedio de espera están representados por las cantidades W y Wq, respectivamente. El tiempo promedio de servicio puede expresarse en términos de parámetros de  . Por ejemplo, si  es cuatro clientes por hora, entonces, en promedio, cada cliente requiere un cuarto de hora para ser atendido. En general, el tiempo de servicio es 1/  , lo cual nos conduce a la siguiente relación : W = Wq + 1/  Considere ahora la relación entre el número promedio de clientes en el sistema y el tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema. Imagine que un cliente acaba de llegar y se espera que permanezca en el sistema un promedio de media de hora. Durante esta media hora, otros clientes siguen llegando a una tasa  , por ejemplo, doce por hora. Cuando el cliente en cuestión abandona el sistema, después de media hora, deja tras de sí un promedio de (1/2)*12 = 6 clientes nuevos. Es decir, en promedio, existen seis clientes en el sistema en cualquier tiempo dado. En términos de  y de las medidas de rendimiento, entonces: Número promedio de clientes en el sistema = número promedio de llegadas por * tiempo promedio en el sistema, de modo que: L =  *W

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Utilizando una lógica similar se obtiene la relación entre el número promedio de clientes que esperan en la cola y el tiempo promedio de espera en la fila: Número promedio de clientes en la cola = número promedio de llegadas * tiempo promedio en la cola: Lq =  * Wq

ANÁLISIS ECONÓMICO DE LOS SISTEMAS DE COLAS Se ha visto la ventaja de tener más de un servidor, lo cual reduce el tiempo de espera y el número de clientes que esperan para ser atendidos. Claramente, mientras más servidores se tengan, mejor será el servicio a los clientes. Sin embargo, cada servidor implica costos de operación. ¿De que manera evaluar el equilibrio entre el nivel de servicio y el costo? Generalmente en los sistemas de espera surgen dos tipos de costos a) y b): a) Los costos asociados a la espera de los clientes. Por ejemplo, el valor del tiempo perdido o la gasolina malgastada en los embotellamientos o en los semáforos. Lo normal es pensar que estos costos de espera decrecen a medida que aumenta la capacidad de servicio del sistema. b) Los costos asociados a la expansión de la capacidad de servicio. Contra la reducción anterior de costos de espera, es también normal que el costo asociado de servicio se incremente al aumentar la capacidad de servicio en alguna proporción relacionada a esta capacidad. c) Los costos totales del sistema de servicio. La suma de los dos costos anteriores da una función de costos totales del sistema en función de la capacidad, que tendrá una forma similar a la siguiente:

Costos en un sistema de colas.

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EJEMPLO 1: Problema de colas de American Weavers, Inc. (Hillier – Lieberman) American Weavers, Inc, tiene una fábrica de manufactura en Georgia. La planta tiene un gran número de máquinas tejedoras que con frecuencia se atascan. Estas máquinas son reparadas según, primera en entrar, primera en ser revisada, por uno de los 7 miembros del personal de reparación. Durante varios recorridos, la gerente de producción ha observado que, en promedio, de 10 a 12 máquinas están fuera de operación en cualquier momento debido a que están atascadas. Ella sabe que contratar personal de reparaciones adicional bajaría el número de máquinas sin funcionar, lo cual traería como consecuencia un aumento en la producción, pero no sabe a cuantas personas más debería contratar. Se desea estimar esa cantidad.

MODELO Y ANALISIS DEL SISTEMA DE COLA ACTUAL. El primer paso que se debe dar consiste en analizar las condiciones de operación actuales. Se debe reconocer que las maquinas tejedoras conforman un modelo de colas. Los clientes están constituidos por las maquinas que se atascan de vez en cuando. Existe un gran numero de tales maquinas, de modo que se podría suponer razonablemente, que la población de clientes es infinita. Se tienen 7 servidores independientes e idénticos que reparan las maquinas basándose en una estrategia de primera en entrar, primera en darle servicio. Se puede pensar en estas maquinas formando una sola fila en espera de pasar con el siguiente servidor que este disponible. Para modelar esta operación, el siguiente paso consiste en reunir y analizar los datos correspondientes a los procesos de llegada y de servicio. Se supone lo siguiente: 1. La aparición de maquinas atascadas puede ser aproximada por un proceso de llegada de Poisson con una tasa promedio de 25 por hora. 2. Cada máquina atascada requiere una cantidad aleatoria de tiempo para su reparación, que puede ser aproximada por una distribución exponencial con un tiempo promedio de servicio de 15 minutos, lo cual, para cada servidor, significa una tasa promedio de cuatro maquinas por hora. Con estas observaciones, el sistema actual puede modelarse como un sistema de colas M / M / 7, con   25 maquinas por hora,  = 4 maquinas por hora y una población y un área de espera infinita.

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TABLA 1: Medidas de rendimiento obtenidas con ‘Queuing Analysis‘ en el WinQSB .

Performance Measure

Result

1

System: M/M/7

From Formula

2

Customer arrival rate (lambda) per hour =

25.0000

3

Service rate per server (mu) per hour =

4.0000

4

Overall system effective arrival rate per hour =

25.0000

5

Overall system effective service rate per hour =

25.0000

6

Overall system utilization =

89.2857 %

7

Average number of customers in the system (L) =

12.0973

8

Average number of customers in the queue (Lq) =

5.8473

9

Average number of customers in the queue for a busy system (Lb) =

8.3333

10

Average time customer spends in the system (W) =

0.4839 hours

11

Average time customer spends in the queue (Wq) =

0.2339 hours

12

Average time customer spends in the queue for a busy system (Wb) = 0.3333 hours

13

The probability that all servers are idle (Po) =

0.1017 %

14

The probability an arriving customer waits (Pw or Pb) =

70.1674 %

15

Average number of customers being balked per hour =

0

Se observa que el gerente de producción había estimado que en promedio, entre 10 y 12 maquinas están atascadas en cualquier momento. En el informe es 12.09. La línea 10 del reporte indica que las maquinas atascadas están fuera de operación durante un tiempo promedio de 0.4839 horas, aproximadamente 29 minutos. Es necesario determinar el numero de reparadores adicionales que se necesitaría contratar. Se conocen las medidas de rendimiento de un total de 7 trabajadores. ¿De que manera cambian las medidas de rendimiento si se aumenta el personal de reparación? Las medidas de rendimiento asociadas para un número entre 7 y 11 reparadores se muestran en la tabla siguiente. A medida que aumenta el tamaño del personal de 7 a 11, el número promedio de máquinas fuera de operación disminuye, de aproximadamente 12 a 6.333. Similarmente, la cantidad promedio de tiempo que una máquina esta fuera de operación disminuye de 0.4839 horas ( aproximadamente 29 minutos ) a 0.2533 horas ( aproximadamente 15 minutos ).

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Ahora se necesita información sobre los costos para determinar cuantos reparadores adicionales debe contratarse.

TABLA 2: Medidas de rendimiento con diferentes tamaños de personal de reparación.

Numero de 7

8

reparadores 9

10

11

Utilización (%)

89.2857

78.1250 69.4444

62.5000

56.8182

Numero esperado en la cola

5.8473

1.4936

0.5363

0.2094

0.0830

Numero esperado en el sistema

12.0973

7.7436

6.7863

6.4594

6.3330

Probabilidad de que un cliente tenga que esperar

0.7017

0.4182

0.2360

0.1257

0.0630

Tiempo esperado en cola

0.2339

0.0597

0.0215

0.0084

0.0033

Tiempo esperado en el sistema

0.4839

0.3097

0.2715

0.2584

0.2533

ANALISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS. Al analizar los méritos de contratar personal de reparación adicional en American Weavers, Inc., se debe identificar dos componentes importantes: 1. Un costo por hora basado en el tamaño del personal. 2. Costo total de personal por hora = Costo por hora para cada reparador * Numero de reparadores 3. Un costo por hora basado en el numero de maquinas fuera de operación. Costo total por maquinas fuera de operación = Costo por hora para cada máquina fuera de operación * Numero promedio máquinas en el sistema de colas Para seguir adelante, se necesita ahora conocer el costo por hora de cada miembro del personal de reparación ( denotado con Cs ) y el costo por hora de una maquina fuera de operación ( denotado Ce ), que es el costo de una hora de producción perdida. Suponga que el departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la compañía $ 50 por hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc.

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El costo de una hora de producción perdida deberá incluir costos explícitos, como la cantidad de ganancias no obtenidas, y costos implícitos, como la pérdida de voluntad del cliente, si no se cumple con la fecha limite de entrega. Sin embargo, suponga que el departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $ 100 por cada hora que una maquina este fuera de operación. Ahora se puede calcular un costo total para cada uno de los tamaños de personal. Para un personal de 7 reparadores, el numero esperado de maquinas en el sistema es 12. 0973. Costo total = Costo del personal + Costo de la espera Costo por hora * Numero de reparadores + Costo por hora * número esperado de máquinas fuera de operación = ( 50 * 7 ) + ( 100 * 12.0973 ) = $ 1559.73 por hora. Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restantes se tiene como resultado los costos por hora de cada alternativa presentada en la siguiente tabla. De los resultados, se puede ver que la alternativa que tiene el menor costo por hora, $ 1128.63, es tener un total de 9 reparadores. En consecuencia, la recomendación a la gerencia de producción, es contratar a dos reparadores adicionales. Estos dos nuevos empleados tendrán un costo de $ 100 por hora, pero este costo adicional esta más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos máquinas fuera de operación. La recomendación reducirá el costo por hora de $1559.73 a $ 1128.63, un ahorro de aproximadamente $ 430 por hora, mayor que la cantidad que cubre sus honorarios.

Costo por hora para diferentes tamaños de personal de reparación. Tamaño Numero de esperado en el personal sistema

Costo por hora ($)

7

12.0973

( 50 * 7 ) + ( 100 * 12.0973 ) = 1559.73

8

7.7436

( 50 * 8 ) + ( 100 * 7.7436 ) = 1174.36

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EJEMPLO 2 Considere el caso de un gran laboratorio farmacéutico que tiene en su almacén un único estacionamiento de carga, que sirve a todas las farmacias de una región, y existe un único trabajador para buscar los medicamentos del pedido de cada furgoneta y cargarlos en ella. Se observa que de vez en cuando, las furgonetas de transporte se acumulan en el estacionamiento formando cola, y de vez en cuando el trabajador está ocioso. Después de examinar las llegadas de las camionetas durante varias semanas, se determina que la tasa media de llegada es de 4 camionetas por hora, y que la tasa de servicio es de 6 camionetas por hora. Los gestores del almacén están considerando el añadir un trabajador adicional, o incluso dos de ellos, para aumentar la tasa de servicio. El problema consiste en evaluar estas opciones diferentes. Si se añade un trabajador, el sistema seguirá siendo de cola simple, porque sólo una única camioneta puede cargarse a la vez. Si usamos dos trabajadores, la tasa de servicio será igual a 12. Si utilizamos tres trabajadores, la tasa de servicio será igual a 18. En el cuadro siguiente se han utilizado las ecuaciones adecuadas al tipo de sistema de colas para obtener las medidas de eficiencia del sistema. Suponga que la capacidad de trabajo es proporcional al número de trabajadores.

Suponga que los costos de operación de cada camioneta por hora son de 2.000 Bs. y los trabajadores cobran 1.800 Bs. por hora de trabajo y que estos trabajan 8 horas al día. En el cuadro siguiente se presentan los costos Asociados.

Los gestores tendrían que añadir un nuevo trabajador al sistema ya que esto representará una reducción de los costos totales operacionales, aunque el factor de utilización pasará a ser de un 33%. Es decir, que los dos trabajadores tendrán 5 horas y 20 minutos para dedicarse a otras tareas dentro del laboratorio farmacéutico.

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1ª Ley de Harper: No importa en qué cola se sitúe: La otra siempre avanzará más rápido. 2ª Ley de Harper: Y si se cambia de cola, aquélla en que estaba antes empezará a ir más deprisa.

FORMULAS PARA LOS MODELOS BÁSICOS DE COLAS 1. M/M/1 Cantidad de unidades en el sistema: Probabilidad de encontrar n unidades en el sistema: Número promedio de unidades en el sistema: Número promedio de unidades en cola (longitud): Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: Tiempo promedio que una unidad pasa en cola: Factor de ocupación:

n n P n  (1   ) ,

L 

   

Lq 

 (    ) L

W 



W q 



 2

Lq

 







1

  

n = 0, 1, 2, …,

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2. M/M/S Probabilidad de que el sistema este vacío:

 n s1 ( /  ) n  ( /  ) s ) P 0  (   n! s!(1  ( / s ))   n0

Probabilidad de encontrar n unidades en el sistema:

( /  ) n

P n 

n!

( /  ) n

P n 

si n  s P 0 , n  s s! s  1 L  Lq    (W q  )  

Número promedio de unidades en el sistema: Factor de ocupación:

 

Número promedio de unidades en cola (longitud): Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: Tiempo promedio que una unidad pasa en cola:

3. Capacidad finita K :

M/M/1/K

 s

P 0  /    s

Lq 

s!(1   ) 2 L

W 



W q 

 W q 

1 

Lq



K corresponde a la capacidad del sistema

Tasa promedio efectiva de llegadas: Probabilidad de encontrar n unidades en el sistema: Número promedio de unidades en el sistema: Factor de utilización: Número promedio de unidades en cola (longitud): Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: Tiempo promedio que una unidad pasa en cola:

si n  s

P 0 ,

   (1  P K ) 1  

P n  L 

K 1

1  

 1  

 



n  0,1,2,... K

 n ,

( K  1) K 1 1   K 1

 

Lq  L  (1  P 0 ) W  W q 

L

 Lq



 W q 

1



1

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4. M/M/S/K Tasa promedio efectiva de llegadas: Probabilidad de sistema vacío:

Probabilidad de encontrar n unidades en el sistema:

   (1  P K )

 n s ( /  ) n  ( /  ) s P 0     s! ! n  n0  ( /  ) n

P n 

n!

( /  ) n

P n 

Número promedio de unidades en el sistema: Factor de utilización: Número promedio de unidades en cola (longitud): Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: Tiempo promedio que una unidad pasa en cola:

s! s

n  s

n K

  

  s 

n s 1

P 0 ,

si n  1,2,..., s

P 0

si n  s  1,..., K

   

n s

1

 n s1  L   nP n  Lq  s1   P n  n0  n0  n s 1

 

 s

Lq  W  W q 

P 0 ( /  ) s  s!(1   )

L



 W q 

Lq



2

 

1  

K  s

 ( K  s) K  s (1   )

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5. Población Finita:

M/M/1//N

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N corresponde al tamaño de la población

Tasa promedio efectiva de llegadas: Probabilidad de sistema vacío:

   ( N  L)

n N  N !   /  n  P 0       n0  ( N  n)!

Probabilidad de encontrar n unidades en el sistema: Número promedio de unidades en el sistema: Factor de utilización:

Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: Tiempo promedio que una unidad pasa en cola:

( N  n)!

L  N 

 

Número promedio de unidades en cola (longitud):

N !

P n 

 

( /  ) n P 0 ,

1

si n  1,2,..., N

(1  P 0 )

 s

Lq  N  W  W q 

L

   

(1  P 0 )



 Lq 

6. M/M/S//N Tasa promedio efectiva de llegadas: Probabilidad de sistema vacío: Probabilidad de encontrar n unidades en el sistema:

   ( N  L)

 s1  n N   N ! N ! n   ( /  ) n     (  /  ) P 0   n s   ( )! ! ( )! ! N n n N n s s    n0    n s  N !

P n 

( N  n)!n! N !

P n 

Número promedio de unidades en el sistema: Factor de utilización: Número promedio de unidades en cola (longitud): Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

( /  ) n P 0 ,

( N  n)! s! s

n s

( /  ) n P 0

 n s1  L   nP n  Lq  s1   P n  n0  n0  n s1

 

 s

Lq 

n  N

 (n  s) P n

n  s

W 

L



si n  1,2,..., s

si n  s  1,..., N

1

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Tiempo promedio que una unidad pasa en cola:

W q 

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Lq



PROBLEMAS 1. Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos por cliente siguiendo una distribución exponencial. Los clientes llegan a este almacén siguiendo una distribución Poisson a razón de 30 por hora. Con esta información calcular: A) La probabilidad de que el sistema esté lleno, B) La intensidad de trafico. 2. Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que llega a este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descargan llegan en forma aleatoria siguiendo una Poisson a razón de dos camiones por hora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo una distribución exponencial. Si el número de trabajadores del equipo es incrementado, la razón de servicio se incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$ por hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando ser servido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamaño del equipo que minimiza el costo total. 3. Cierta computadora tarda exactamente 1.5 horas en atender un servicio requerido. Si los trabajos llegan según una Poisson a razón de un trabajo cada 120 minutos, se desea saber: A) ¿Qué tanto debe esperar en promedio un trabajo para recibir atención? B) ¿Será necesario la compra de otra computadora? 4. Se tiene un puesto de gasolina con dos bombas, localizado en un punto privilegiado de la ciudad con un servicio excelente. Cada 5 minutos (siguiendo una exponencial) llega un cliente. Suponiendo que el puesto está abierto desde las 6 horas hasta las 21 horas y que la tasa de servicio es de 15 clientes por hora (siguiendo una Poisson) a) ¿Cuál es la tasa de ocupación del sistema?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema este lleno?, c) Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tarde menos de cuatro minutos en ser atendido? e) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran mas de 5 minutos entre la llegada de un cliente y el siguiente?

.

5 Una estación de servicio maneja cuatro bombas de gasolina. El tiempo necesario para servir a un cliente

tiene una distribución exponencial con un índice medio de 5 minutos. Los automóviles llegan a la gasolinera con una distribución de Poisson a un índice medio de 30 por hora. Si llega un automóvil y no hay bombas disponibles, la venta se pierde. La venta promedio de gasolina es de 4 $ por automóvil. A) ¿Cuánto puede esperar perder diariamente el dueño de la gasolinera, debido a la impaciencia de los automovilistas? B) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente se vaya? C) Sí esta probabilidad debe ser del 10 % o menos, ¿Cuál sería el número óptimo de bombas de gasolina? 6. Las secretarias de cinco oficinas sacan copias en una copiadora en forma periódica. La razón de llegadas a la copiadora es Poisson con una media de 4 por hora; el tiempo de servicio es exponencial con una tasa promedio de 6 por hora. A) ¿Cuál es la probabilidad de que la copiadora esté ociosa? B) ¿Cuál es el número promedio de secretarias usando la copiadora? C) ¿Cuál es el número promedio de secretarias esperando usar la copiadora?

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7. En una carretera municipal hay un surtidor de gasolina. Las llegadas de vehículos al surtidor se producen según un proceso de Poisson de media 10 por hora; mientras que el tiempo medio de servicio es de 4 minutos por cliente, siendo éste exponencial. a) Calcular la probabilidad de que cuando un vehículo llega, el surtidor esté vacío. b) Calcular la probabilidad de que cuando llega un vehículo a la gasolinera, haya más de dos esperando en la cola. c) Cuando llega un vehículo al sistema ¿cual es el número esperado de vehículos que encontrará en la cola? d) Calcular el tiempo medio de un coche en la estación de servicio. 8. A una impresora llegan trabajos a tasa Poisson de 8 por minuto. El tiempo de impresión es exponencial de media 5 segundos. La impresora almacena los trabajos que le llegan en un buffer con capacidad para 3. Suponer que la memoria de la impresora es suficiente como para almacenar en ella todo el trabajo que está siendo impreso. Calcular: a) Probabilidad de que un trabajo llegue directamente a la impresora sin tener que esperar cola. b) Probabilidad de que en este sistema de impresión haya menos de tres trabajos esperando a ser impresos. c) Número medio de trabajos en el sistema de impresión. d) Tiempo medio de espera en el buffer de un trabajo hasta que pasa a la impresora. e) Probabilidad de que se pierda un trabajo que llega al sistema para ser impreso.

.

9 En un sistema de producción un determinado producto tiene que ser empaquetado y etiquetado para su posterior almacenamiento. Las tareas de empaquetado y etiquetado las realizan dos máquinas diferentes. El producto llega a la máquina que empaqueta según un proceso de Poisson siendo el tiempo medio entre dos llegadas consecutivas 1 minuto, siendo el tiempo de empaquetado exponencial de media 40 segundos. La máquina que etiqueta tarda un tiempo exponencial en realizar cada trabajo de media 1 minuto. Además, esta segunda máquina tienen una limitación de espacio físico por lo que cuando ya hay esperando para ser etiquetados 4 paquetes, un operario se encarga de retirar las cajas que van sobrando para ser etiquetadas posteriormente en forma manual. a) Calcular la probabilidad de que un producto sea etiquetado manualmente. b) Calcular el número medio de productos en el sistema de etiquetado automático. c) Calcular el tiempo medio que cada producto pasa siendo empaquetado y etiquetado. d) Calcular el número medio de productos que esperan para ser empaquetados o etiquetados e) Calcular la probabilidad de que a un mismo tiempo haya menos de dos productos en el sistema de empaquetado y uno o ninguno en el sistema que etiqueta. f) Por cada producto etiquetado manualmente, se incurre en un costo de Bs. 2. Determine el costo esperado por etiquetado manual durante 5 horas de jornada. g) Si se desea reducir la cantidad de productos etiquetados manualmente, en por lo menos 4 %, indique a cuantos espacios debería ampliarse el área de espera de etiquetado.

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10. Una compañía siderúrgica, que opera su flota de barcos para importar mineral de hierro, considera construir facilidades portuarias para sostener una nueva planta. Se debe decidir tanto el número de lugares de descarga como el tipo de instalación en cada uno, con el objetivo de optimizar los costos totales de descarga. Se puede construir un máximo de tres lugares de descarga; y se requiere que cada uno de los lugares que se construya tenga el mismo tipo de instalación ya sea A, B o C. Se dispone de la siguiente información: Tipo de Costo fijo por Costo de Capacidad: tonelaje instalación día operación por medio descargado por día día de operación A $ 820 $ 840 5.400 tons B 1.300 1.350 5.800 C 1.500 1.600 6.700 Los costos fijos incluyen amortización de la inversión, mantenimiento, etc. Cada barco a descargar trae 8.000 toneladas de mineral, y llegan en promedio Poisson de 5 barcos por semana de siete días. Los tiempos de servicio para cada tipo de instalación son exponenciales, con tasa media de servicio correspondiente a la capacidad media de descarga. Si el tiempo invertido en el sistema de descarga cuesta a la compañía $ 2.000 por barco por día, ¿qué tipo de instalación de descarga debe seleccionarse, y que tantos lugares de descarga deben construirse? 11. Al mostrador de entrega y recepción de herramientas de una fábrica atendida por dos empleados, llegan obreros a la tasa exponencial negativa con promedio de 35 segundos. El tiempo de atención se estima exponencial con promedio de 50 segundos. a) ¿durante que fracción de tiempo están ambos empleados ociosos?. (0.167), b) ¿durante qué proporción de tiempo ambos están ocupados?(0.595) c) ¿Cuál es el número esperado de empleados ocupados? (1.43) d) ¿Cuánto se espera que un obrero espere?. (52 seg.) e) En una jornada de 7 horas y media, ¿cuál es el tiempo total de obreros en el sistema? En cola?. (11.1 h/día). f) ¿Cuál es el tiempo total de ambos empleados en servicio? (10.7 Hs/día). g) ¿y el tiempo total ocioso? (4.3 hs.). h) Asumiendo el costo de $8/Hora por empleado y $16/Hora por obrero, estime el costo promedio diario total para 2, 3 y 4 empleados. (Cola $298, 203, 244). Sistema? 12. Dos departamentos en un hospital tienen cada uno asignado un laboratorio de diagnóstico. A cada lab llegan solicitudes de análisis a la tasa Poisson de 5 solicitudes por hora. El tiempo que toma efectuar un análisis es exponencial con media de 10 minutos. El administrador del hospital plantea combinar el servicio de ambos laboratorios en uno. ¿Conviene mantenerlos independientes o integrar el servicio? 13. Un operador está a cargo de 4 máquinas idénticas. El ingeniero de producción estima que, en promedio cada máquina se detiene y requiere atención del operador aproximadamente 6 veces por hora y que el operador tarda, en promedio, 2 minutos en dar servicio a una máquina. Determinar: a) Fracción de tiempo que el operador está ocioso (0.398). b) Número promedio de máquinas que están recibiendo servicio o esperándolo (0.99). c) Número de máquinas que durante una hora de operación requieren atención del operador (18.06). d) Tiempo total de paro por hora para todas las máquinas (23.3 minutos o 0.388 Hs.) e) En promedio, fracción de capacidad productiva de todas las máquinas que se pierde como tiempo de paro en espera del operador. (0.097).

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14. Un fabricante de cemento distribuye su producto en camiones, aunque también carga otros camiones de distribuidores independientes. Todos los camiones son cargados en un mismo punto de carga. Los camioneros independientes se quejan por la espera de sus camiones debido al tiempo ocioso. Por ello, reclaman al fabricante que coloque otro punto de carga o, que les compense, rebajando el precio del cemento en un monto equivalente al tiempo perdido en espera. El 20 % de todos los camiones son de los distribuidores independientes. La tasa de llegada de camiones al punto de carga es Poisson con promedio de 3 por hora. Un camión es cargado en un tiempo exponencial de 15 minutos. Determine. a) Porcentaje de camiones independientes que tienen que esperar b) tiempo total que los camiones independientes esperan por día de 12 horas. c) Si el valor de una hora por camión ocioso es de Bs. 35 mil, ¿A cuánto asciende el descuento que debería hacerse? 15. Una compañía aseguradora tiene tres analistas para atender los clientes quienes reclaman sus indemnizaciones. Los reclamantes llegan a la tasa Poisson de 20 por día de 8 horas. El tiempo que un analista pasa con un reclamante es exponencial con promedio de 40 minutos. a) ¿Cuánto tiempo diario puede esperar un analista pasar atendiendo reclamantes? b) Se decidió colocar una silla para cada cliente que espera, ¿cuántas sillas deben colocarse en la sala de espera? 16. ¿Qué promedio de tiempo de atención debería tener una estación de servicio de gasolina con un servidor a la que llegan clientes a la tasa de uno cada 4 minutos, si se desea que el 85 % de los clientes no esperen más de 12 minutos por el servicio? 17. Un taller de maquinaria tiene un total de 22 máquinas. En promedio, una máquina se descompone cada

dos horas. Toma 12 minutos en promedio repararla. El propietario tiene interés en determinar el número de técnicos en reparación necesarios para mantener el taller funcionando en forma "razonablemente” fluida. Defina la productividad del taller como el número promedio de máquinas en funcionamiento contra el total de máquinas y recomiende al dueño. 18. Dos mecánicos están atendiendo cinco máquinas en un taller. Cada máquina se descompone según una Poisson con media de 3 por hora. El tiempo de reparación por máquina es exponencial con media de 15 minutos. a) Encuentre la probabilidad de que los dos mecánicos estén ociosos b) que uno de ellos este desocupado. c) ¿Cuál es el número esperado de máquinas inactivas que no se les está dando servicio? 19. Diez máquinas son atendidas por una sola grúa. Cuando una máquina termina su carga se pide a la grúa que descargue la máquina y la provea de una nueva carga tomada de un área de almacenamiento adyacente. El tiempo de maquinado por carga se supone exponencial con media de 30 minutos. El tiempo desde el momento en que la grúa pone a trabajar una máquina hasta que le trae una nueva carga, también es exponencial con media de 10 minutos. a) Encuentre el porcentaje de tiempo que la grúa permanece ociosa b) ¿Cuál es el número esperado de máquinas que esperan servicio de la grúa? 20. Se dispone de una fotocopiadora asignada al departamento de una compañía. Los usuarios llegan según una distribución exponencial a razón de 0.05 Personas/minuto. Los usuarios sacan sus copias y tardan 10 minutos en promedio. Calcular: Lq, L, W, Wq, Po.

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21. El número de usuarios que concurren a una oficina pública, durante las horas de mayor actividad se distribuye según Poisson, con tiempo medio entre llegadas igual a 2 minutos La persona que atiende dicha oficina, tiene capacidad para atender un cliente por min. de acuerdo a una distribución exponencial. a) A que modelo de espera corresponde el enunciado. ¿Tiene distribución de equilibrio? b) ¿Número esperado de personas que permanecen en la cola? c) ¿Probabilidad de que una persona que requiere atención tenga que esperar? d) ¿Durante qué fracción de tiempo hay más de 2 personas esperando ser atendidas? e) ¿Qué debería ocurrir para que la persona que atiende la oficina, sea incapaz de atender la oficina? f) ¿Durante qué fracción de tiempo, la oficina puede dedicarse a labores distintas a las de atención del público? g) ¿Cuál es la probabilidad que en el lapso de tiempo de dos minutos lleguen más de 2 personas? h) ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario no tenga que esperar para ser atendido? i) ¿Cuál es la probabilidad de que en el lapso de 3 minutos sean atendidas menos de 2 personas? j) ¿Cuál es el tiempo esperado que un usuario permanece en la oficina, desde que llega hasta que comienza a ser atendido? k) ¿Cuál es el tiempo esperado que un cliente permanece en la oficina? 22. Los usuarios de una cabina de CANTV llegan de acuerdo a una Poisson con tiempo medio de 3.2

minutos entre llegadas. El tiempo de uso del teléfono se distribuye exponencialmente con media de 3 minutos/usuario. a) ¿A qué modelo corresponde el enunciado? ¿Tiene distribución de equilibrio? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario tenga que esperar? c) ¿Cuál es el número medio de usuarios esperando en la cola? d) ¿Durante que fracción de tiempo hay más de 3 personas esperando en la cola? e) La CANTV está dispuesta a instalar una segunda cabina, para que un cliente no deba esperar en promedio más 10 minutos antes de iniciar su llamada. ¿Qué tanto debe incrementarme el flujo de llegadas de usuarios para que se justifique esta medida? f) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere más de 4 minutos antes de iniciar una llamada? g) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona permanezca a lo más 5 minutos desde que llega a la cabina hasta que realiza la llamada? h) ¿Cuál es el tiempo medio que una persona dedica a realizar su llamada? 1) ¿Qué fracción de tiempo el teléfono permanece desocupado? 23. Un aeropuerto está diseñado para atender un promedio de 2 aviones cada 10 minutos (aterrizaje.

despegue). ¿Cuál debe ser el tiempo medio entre llegadas, para que la probabilidad de que un avión no espere para usar la pista sea inferior a 66 %? 24. A un cajero automático llegan clientes a una tasa media de 15 por hora. Suponiendo que la capacidad media de atención del cajero automático es de 2 clientes cada 6 minutos a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 3 clientes a solicitar servicio durante un período de una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad que ningún cliente solicite servicio durante un período de 1 hora? c) ¿Cuál es la probabilidad que lleguen exactamente 8 clientes en 1 hora? d) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente espere más de 7 minutos antes de ser atendido? e) ¿Qué proporción de clientes son atendidos a lo más en 5 minutos? 25. Una planta de procesamiento puede manejar un promedio de 25 toneladas/hora, aunque los tiempos varían debido a la condición del material que llega. Tanto el proceso de mezclado como el de servicio pueden considerarse poissonianos. ¿Cuántas unidades por hora deben asignarse a fin de que el tiempo medio en el sistema no sea mayor a 4 minutos?

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26. Una secretaria mecanógrafa transcribe una carta en un tiempo medio de 8 minutos Si necesita el 30 % de su tiempo para realizar otras actividades, ¿Cuántas cartas diarias se espera que transcriba? Bajo esta circunstancia, ¿Cuál es la probabilidad que una carta permanezca a los más 30 minutos antes de ser copiada? 27. Durante las horas de mayor movimiento, un automercado opera con 2 cajas de pago. Cada cajera atiende a una tasa de 4 minutos por cliente. Los clientes llegan a las cajas a un promedio de 10 clientes cada 1/2 hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de no esperar para ser atendido? b) En general, ¿Cuál es el número de clientes que esperan para cancelar su cuenta? c) A largo plazo ¿Cuál es el número esperado de cajeras ociosas? d) ¿Cuál es la fracción de ocio de cada cajera? e) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente espere más 3 minutos antes de pagar su cuenta? f) ¿Cuántos clientes se espera sean atendidos en el lapso de 1 hora? g) ¿Qué sucede si lambda se incrementa a 16 clientes cada media hora? Analizar el efecto de ese cambio y las alternativas de solución. 28. Una empresa de seguros dispone de 3 ajustadores de reclamos. Las reclamaciones contra la compañía llegan según una distribución de Poisson, a una tasa de 20 reclamos diarios. (Días de 8 horas). El tiempo que un ajustador utiliza por persona se distribuye exponencialmente con tiempo medio de servicio de 40 minutos Determine: a) ¿Cuántas horas a la semana (5 días) se puede esperar que un ajustador pase con personas en reclamo? b) ¿Cuál es el tiempo medio que una persona pasa en la oficina? c) ¿Qué fracción de tiempo permanecen desocupados simultáneamente los 3 ajustadores? d) Si un reclamante abandona la oficina cuando debe esperar más de una hora, antes de ser atendido, o cuando hay más de 4 clientes esperando reclamar. ¿Cuál es la probabilidad de abandono? e) ¿Probabilidad de entre 2 y 4 clientes esperando hacer reclamación? 29. Un banco tiene 2 cajeros trabajando en cuentas de ahorro. El primer cajero maneja solamente retiro de fondos. El segundo cajero maneja solo depósitos. Se ha encontrado que las distribuciones del tiempo de servicio, tanto para retiros como para depósitos son exponenciales con tiempo medio de servicio de 3 minutos/cliente. Se determinó que los depositantes llegan de acuerdo a una Poisson a lo largo del día, con una media de 16 por hora. Las personas que retiran llegan de acuerdo a una Poisson con tasa media de 14 clientes por hora. a) ¿Cuál sería el efecto sobre el tiempo medio de espera para quienes depositan y retiran, sí cada cajero atiende indistintamente retiros y depósitos? b) ¿Cuál seria el efecto si esto solamente pudiera llevarse a cabo incrementando el tiempo medio de servicio a 3.5 minutos? c) En las dos situaciones planteadas. ¿Cuál es la fracción de tiempo de ocio de los cajeros? 30. La oficina de venta de boletos de una línea aérea, tiene 2 agentes respondiendo las llamadas telefónicas para hacer reservaciones. Además puede dejarse hasta dos clientes en espera, hasta que se desocupe uno de los dos agentes y pueda atenderle. Si las 4 líneas telefónicas (las de los agentes y las de espera) están ocupadas, un cliente potencial recibe una señal de ocupado y se supone que llama a otra oficina, de modo que se pierde el negocio. Las llamadas y los intentos de llamadas ocurren según una Poisson con tasa media de 20 por hora. La duración de una conversación telefónica se distribuye exponencialmente con media de 5 minutos. De registros históricos se sabe que el 50 % de las llamadas atendidas, compran boletos, que dejan a la oficina un ingreso promedio de Bs. 25. El costo de oportunidad por una llamada perdida se estima en Bs. 7. El costo de atención de un cliente se estima en Bs. 0.5 por minuto. Determinar: a) Probabilidad de que una persona que llame logre hablar de inmediato con un agente.

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b) Durante una jornada de 8 horas, cuantas personas en promedio quedan en espera. c) utilidad esperada por hora de servicio. d) Hay una impaciente secretaria de una gran corporación que llama 50 veces en una semana. ¿Cuantas de esas llamadas se espera tarden menos de 5 minutos? e) Calcule la probabilidad que una persona que llame reciba la señal de ocupado. f) ¿Qué fracción de tiempo pueden dedicarse a otras actividades? 31. Los autos llegan a un peaje según una distribución de Poisson con media de 90 por hora. El tiempo promedio para pasar por el peaje es de 38 segs. Los conductores se quejan de esperas prolongadas. Las autoridades del MTC están dispuestas a disminuir el tiempo de paso por el peaje introduciendo nuevos mecanismos automáticos, llevándolo a 30 segundos. Esto puede justificarse únicamente sí con el sistema anterior el número de autos que esperan excede a 5. Además el % de tiempo ocioso del peaje con el nuevo sistema no deberá exceder al 10%. a) ¿Puede justificarse la nueva disposición? b) ¿Con qué probabilidad (nueva estrategia) un auto espera, dado que hay 2 puestos en el peaje? c) ¿Durante qué fracción de tiempo no llegan autos al peaje? 32. Una empresa de autobuses tiene 8 unidades de transporte y dispone de 2 puestos de mantenimiento (revisión y limpieza general). Por experiencia cada unidad de transporte debe someterme a mantenimiento cada 2 días. Se estima que una unidad tarda en promedio medio día en el proceso de mantenimiento y limpieza. Se supone que las distribuciones de los intervalos entre requerimientos y mantenimiento son exponenciales. a) ¿Durante cuantos días, en un máximo de 30 días están ambos puestos de mantenimiento ocupados? b)¿Cuánto tiempo en promedio espera una unidad de transporte antes de someterse a mantenimiento? c) ¿Qué proporción del tiempo hay un sólo puesto de mantenimiento ocupado? d) ¿Durante qué fracción de tiempo las unidades de transporte no prestan servicio? e) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 5 unidades esperando servicio de mantenimiento? f) ¿Cada autobús debe cancelar Bs. 0.50 por cada minuto que pase en el sistema de mantenimiento, ¿Cuánto se espera ingrese por ese concepto durante una jornada de 10 horas? g) ¿Si se quiere reducir el tiempo de espera en por lo menos el 20 % de tiempo, cuantos puestos de mantenimiento deben ser dispuestos? 33. En el Dpto. de producción de una fábrica se debe determinar cuántas máquinas asignar a cada operario, para carga, descarga, ajuste, preparación, etc. El tiempo de operación (lapso entre la terminación del trabajo del operario y el momento en que la máquina vuelve a requerir atención) de cada máquina es exponencial con promedio de 150 minutos. El tiempo que un operario tarda en atender una máquina es exponencial con media de 15 minutos. Cada operador atiende sus propias máquinas; no da ni recibe ayuda de otros. Para que el Dpto. logre la meta de producción asignada, las máquinas deben operar en promedio por lo menos el 80 % del tiempo. Hallar el máximo número de máquinas que pueden asignarse a un operario para lograr la tasa fijada. b) Si cada maquina en operación procesa 20 productos por minuto, determine la cantidad de productos que se espera sean procesadas por las maquinas a cargo del operario durante una hora. c) ¿Durante cuanto tiempo en una jornada de 8 horas, el operario estará desocupado? 34. En una empresa existe una máquina que se utiliza en cierto proceso. La capacidad promedio de producción de la máquina puede ajustarse a uno de entre dos regímenes de producción. El primero a la tasa Poisson de 10 unidades por hora. En el segundo a una tasa de 15 unidades por hora. El porcentaje esperado de unidades defectuosas producidas por la máquina es 3 % de la tasa de producción. Las unidades a ser procesadas llegan a la tasa Poisson de 8 por hora.

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Cada unidad producida sin defectos se vende en Bs. 150. El costo del material utilizado es de Bs. 30 por unidad. Los costos variables de la máquina son de Bs. 15 /Hora-Máquina. ¿Bajo cuál régimen debe ser operada la máquina? 35. El almacén de herramientas de una fábrica es una sala donde se guardan herramientas especiales, guías y otros equipos usados por los mecánicos de la planta. La tarea de un almacenista es registrar la entrada y la salida de esos bienes cuando le son solicitados o devueltos por los mecánicos. Suponga que los mecánicos llegan al almacén a tasa Poisson de 60 por hora. Un almacenista requiere un tiempo exponencial de 2.5 minutos para localizar y registrar la salida o llegada de los equipos, manuales o herramientas. A los mecánicos se les paga 16 $ por hora cada uno, y un almacenista recibe $ 10 por hora ¿Cuántos almacenistas deben disponerse? 36. La gerencia tiene que decidir a quien contrata entre dos mecánicos A y B para atender un turno de 8 horas diarias. La frecuencia de daños de las máquinas en la planta es Poisson con tasa de una máquina por hora. La compañía pierde ingresos por máquina dañada a razón de $ 25 por hora. El mecánico A repara a la tasa Poisson de 1,8 máquinas por hora y cobra $ 20 por hora. El B repara a la tasa Poisson de 1.2 máquinas por hora y cobra $ 12 la hora. ¿Cuál mecánico debe contratarse? 37. Los pacientes llegan a una clínica según una distribución de Poisson a una tasa de 30 por hora. El cupo de la sala de espera es de 14 pacientes. El tiempo de examen por persona es exponencial con tasa media de 15 por hora. En las horas de mayor actividad se dispone de 2 consultorios prestando atención. a) ¿Cuál es la tasa efectiva media de llegadas a la clínica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega encuentre un asiento desocupado? c) ¿Cuál es el tiempo medio que un paciente permanece en la sala de espera? d) ¿Cuál es el número esperado de consultorios desocupados? e) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente que solicita ser atendido no tenga cupo? 38. Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de autoservicio, según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos El espacio enfrente de la ventanilla incluyendo el auto al que se le está dando servicio, puede acomodar un máximo de 3 autos. Otros vehículos pueden esperar fuera del espacio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega pueda manejar hasta la ventanilla? b) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que aguardar fuera del espacio indicado? e) ¿Cuánto tendrá que esperar un cliente que llega antes de que comience a recibir servicio? 39. El tiempo entre llegadas de vehículos a un Autolavado, es una variable aleatoria exponencial con promedio de 12 minutos. El tiempo de servicio se distribuye exponencialmente con media de 10 minutos por auto. La instalación solo puede atender un auto a la vez. Determine: a) Número adecuado de espacios requeridos para atender los vehículos. b) Si hay seis puestos de estacionamiento en la instalación, determine la probabilidad de que un auto que llegue no encuentre espacio para estacionar. c) determinar el número de espacios que debería haber, para que los autos que lleguen tengan una probabilidad de estacionar de al menos el 75 por ciento del tiempo. d) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente espere más del tiempo de espera promedio?

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40. Un centro de cómputo está equipado con tres computadoras, todas del mismo tipo y capacidad. El número de usuarios que tiene el centro es 10. Por cada usuario el tiempo para generar un programa se distribuye exponencialmente con tasa media de 0,5 por hora. Una vez que se termina un programa, se envía directamente al centro para su ejecución. El tiempo de cómputo por programa se distribuye exponencialmente con tasa media de 0.5 por hora. Suponiendo que el centro trabaja continuamente, determine: a) La probabilidad que un programa no sea procesado inmediatamente que es recibido en el centro. b) El tiempo medio que un programa permanece en el centro desde que llega hasta que culmina su procesamiento. c) El número medio de programas que esperan ser procesados. d) El número de computadoras inactivas, e) Porcentaje del tiempo que el centro está sin trabajo. f) La fracción promedio de tiempo que una computadora está ociosa. 41. Una compañía planifica disponer subestaciones de mantenimiento para atender sus camiones de reparto. Los camiones requieren servicio a la tasa de 4 camiones por lapso de 8 horas. De acuerdo a las pautas de mantenimiento, se requiere a cada subestación capacidad para atender 15 camiones por lapso de 10 horas. Los tiempos de servicio y entre llegadas son exponenciales, Se requiere que solo el 40 % de los camiones que lleguen tengan que esperar para recibir servicio. ¿Por cuantos camiones debe responder cada subestación? Determinar el tiempo total perdido por los camiones durante un lapso de 8 horas. 42. Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben recibir herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando herramientas. En la actualidad el almacén está a cargo de un almacenista, a quien se le paga $6 por hora y gasta un promedio de cinco minutos para entregar las herramientas requeridas por un mecánico. La empresa cancela diez dólares por hora a cada mecánico. El gerente debe decidir si contrata o no a un ayudante para el almacenista, cuyo salario sería de $ 4 por hora, lo cual reduciría en un minuto el tiempo de entrega de herramientas. Suponiendo tiempos de procesos exponenciales, a) desde un punto de vista financiero, ¿Contrataría Ud. al ayudante? Justifique. b) El gerente ofreció un bono de Bs. 500 al almacenista, sin ayudante, cada vez que entregue herramientas a un mecánico en menos de 5 minutos, sin incluir el tiempo de espera del mecánico, ¿Cuánto espera recibir por bono el almacenista en una jornada de 8 horas? c) ¿Cuánto en un día (de 8 horas) cuesta a la empresa el ocio del almacenista?

43. Un banco tiene 3 cajeros, quienes laboran 14 horas diarias. Los clientes llegan a realizar transacciones a la tasa Poisson de 65 clientes/hora. Un cajero puede atender 25 clientes/hora. El vicepresidente del banco sostiene que uno de los cajeros pasa mucho tiempo ocioso. El vicepresidente decidió apersonarse diariamente en el área de cajeros, durante los próximos 15 días a las 10 AM y a las 3 PM, a) ¿Cuántas veces se espera que el vicepresidente observe al cajero ocioso? b) Se decidió depositar Bs. 1.000 en la cuenta de cada cliente en caso de tener que esperar. ¿Cuánto se espera cueste esa decisión por día? c) ¿Cuántos cajeros se debe disponer para que el 95 % de los clientes no esperen? 44. Un proceso consta de cuatro etapas. A la primera etapa llegan clientes a la tasa Poisson promedio de 10 por hora, y son atendidos por una estación de servicio a la tasa Poisson de 12 por hora. Al abandonar la primera etapa, el 70 % de los clientes pasan a la II etapa, en donde son atendidos por dos estaciones de servicio a razón de 4 clientes/hora. El 30 % de los clientes restantes se dirigen a la etapa III, en donde son atendidos por una estación a la tasa promedio de 5 clientes/hora. Una vez que los clientes son atendidos en las fases II o III, se dirigen a la etapa IV del proceso, en la cual son servidos por una estación a la tasa de 15 clientes/hora. Se asume tiempos exponenciales.

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Determinar: a) Número esperado de clientes en el sistema. b) No. esperado de clientes en cola, c) tiempo esperado de permanencia de un cliente en el sistema 45. Se desea estimar el número de operarios a asignar a un grupo de 25 máquinas, las cuales requieren atención en forma aleatoria. Cada máquina funciona en promedio 30 minutos antes de requerir atención. El tiempo promedio de atención es de 12 minutos. Se asume tiempos exponenciales. El costo por operario es de Bs. 70/hora, el costo fijo por máquina parada es de Bs. 200/hora y el costo variable por máquina en operación es de Bs. 800/hora. Halle el valor del costo esperado por hora-máquina efectiva de funcionamiento E(ct)/(25-L). 46. En cierta cantera se encuentran trabajando palas mecánicas y camiones. Cada camión transporta material desde la cantera al lugar de descarga, y regresa de nuevo a la cantera. El tiempo de este viaje es exponencial, con promedio de 40 minutos. Hay 15 camiones, cada uno con capacidad de carga de 50 toneladas. Al regresar el camión a la cantera, pasa a hacer cola si encuentra todas las palas ocupadas. Al haber una pala desocupada, empieza a cargar el camión. El tiempo de esta operación es exponencial con media de 20 minutos. Determine el número mínimo de palas mecánicas que debe usarse, para asegurar que sean transportadas al menos 6.000 toneladas diarias durante 8 horas de jornada. 47. El administrador de una oficina de Bienes y Raíces desea determinar el número de líneas telefónicas que debe disponer para sus vendedores. La llamada promedio requiere 35 minutos. Hay 10 personas, quienes requieren servicio. Su tiempo medio de requerimiento es de 12 minutos. Tiempos exponenciales. Si la probabilidad de hallar todas las líneas ocupadas debe ser menor al 10%, ¿Cuántas líneas telefónicas se necesitan? 48. Un parque de recreación posee una rampa para botes. Se requiere aproximadamente 7 minutos (exponencial) para lanzar o retirar un bote del agua. Los botes llegan para ser lanzados o retirados a la tasa Poisson de 5 botes/hora. ¿Cuál es el tiempo esperado del sistema?. ¿Cuántas rampas son necesarias para hacer este tiempo igual o menor de 20 minutos? 49. Una grúa desplaza objetos de una máquina a otra que requiere carga o descarga. La demanda de servicio es aleatoria. El tiempo entre requerimientos es exponencial con media de 30 minutos. El tiempo de carga o descarga es exponencial con media de 10 minutos. Si el tiempo de máquina es Bs. 8.500/hora, ¿cuánto cuesta el tiempo perdido por día de 8 horas?. (34.000) 50. A cierta empresa acuden barcos para ser reparados. El número de barcos que acuden es Poisson con media de 0.5 barcos/semana. El tiempo de reparación es exponencial con media de 2 semanas. La empresa dispone de dos diques secos, que permiten reparar hasta 2 barcos simultáneamente. Además, existe espacio para que un tercer barco pueda esperar. Todo barco que llegue cuando este espacio esté ocupado, se dirige a otro sitio para ser reparado. a) ¿Qué porcentaje de clientes se pierde? (9.09 %) b) ¿Cuántos barcos son reparados en promedio por semana? (0.45) c) ¿Cuántos diques secos se espera ocupados? (0.909) d) ¿Qué porcentaje de tiempo están ocupados simultáneamente ambos diques secos? (0.2727) e) Si cada barco paga Bs. 4.000.000 por su reparación, ¿Cuál es la entrada semanal esperada de la empresa? (Bs. b * 4 mill).

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51. En un centro de copiado se han observado largas líneas de espera. Los trabajos llegan a la tasa Poisson de 9 trabajos/hora. Se dispone de 2 máquinas y de acuerdo al encargado, resultan insuficientes. El tiempo medio de copiado de un trabajo es exponencial con media de 10 minutos. Para solucionar, la Xerox ofrece dos alternativas: a) disponer una máquina para sustituir las dos existentes, cuya capacidad de procesamiento es de 14 trabajos/hora, al costo de Bs. 100.000. b) agregar una máquina similar a las existentes al costo de Bs. 50.000. Se estima el costo de espera de un usuario en Bs. 1.000/hora. Recomiende. 52. El gerente de una estación de TV, está planificando un teletón de 5 días para obtener fondos destinados a una labor filantrópica. Debe decidir el tipo de sistema telefónico por alquilar. La CANTV ofrece sistemas de 15 o 20 líneas. Cada sistema posee una opción de llamadas en espera de 0, 5 o 10 llamadas. Sus características son: Sistema 1 2 3 4 5 6

Número de Llamadas en teléfonos espera 15 0 20 0 15 5 20 5 15 10 20 10

Costo diario $ 150 220 180 264 225 330

Recomiende el sistema más conveniente que se debe alquilar. Llamadas: Poisson150/hora. Duración: Exponencial con media de 5 minutos Por experiencia, se conoce que la donación promedio de cada llamada es $ 50. Sin embargo, esta cantidad no siempre se pierde, por cuanto el 80 % de los contribuyentes intentará llamar de nuevo. 53. Una máquina A produce artículos a la tasa Poisson de 50/hora, al costo fijo de Bs. 5 mil/hora y variable de Bs. 15.000/hora. Los artículos producidos son luego procesados en una de tres máquinas tipo B, en tiempo exponencial de tres minutos/artículo. Debido a condiciones del proceso, los artículos que esperan, deben hacerlo en un horno a 900 ºC, el cual posee una capacidad de 20 artículos. El horno tiene costo fijo de Bs. 250/hora. El costo fijo por hora de una máquina tipo B es de Bs. 45 y variable de Bs. 30. Determinar el costo esperado del producto final. 54. Una compañía de copiado desea adquirir una copiadora de alta velocidad, para atender los trabajos de sus clientes A1. La tabla muestra las especificaciones de los modelos para escoger. Los trabajos llegan a la tasa Poisson de 4 cada 24 horas. La cantidad de copias por cada trabajo es aleatoria con media de 10 mil copias por pedido. Los contratos con los clientes estipulan una multa por entrega tardía de $80 por día y por pedido. ¿Cuál modelo recomendar?. (Copiadora 3, $756 /día)

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Modelo 1 2 3 4


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Costo de operación (por Rapidez (hojas por minuto) hora) $15 30 $20 36 $24 50 $27 66

55. Al depósito de herramientas de una fábrica, las solicitudes de herramientas ocurren según una Poisson con media de 17.5 solicitudes por hora. Cada empleado que atiende las solicitudes maneja un promedio Poisson de 10 solicitudes/hora. El costo de incluir un nuevo empleado a la instalación es de $6 por hora. El costo de la producción perdida por máquina en espera se estima en $ 30 por hora. a) ¿A cuántos empleados se debe contratar? b) ¿Y si el costo de un empleado sube a $10 /hora y por pérdida de producción baja a $ 20/hora? 56. En el ejercicio anterior, determine el número de empleados a contratar si exigimos que el tiempo para que un usuario reciba sus herramientas, debe ser inferior a 15 minutos, y además, la fracción de tiempo que los empleados de entrega estén inactivos u ociosos no pase del 20 %. 57. Un mecánico atiende cuatro máquinas. Para cada máquina, el tiempo medio entre requerimientos de servicio es exponencial con media de 10 horas. El tiempo de atención es exponencial con media de 2 horas. Cuando una máquina queda en reparación, el tiempo perdido tiene un valor de $20 por hora. El servicio del mecánico cuesta $ 50 diarios. a) ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación? (3) b) ¿Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día? (160) c) ¿Sería conveniente tener dos mecánicos para que cada uno atendiera independientemente dos máquinas? Se asume jornada de 8 horas. d) Compare el tiempo perdido por las máquinas diariamente asumiendo un sistema similar con 4 máquinas, dos mecánicos y solo una cola. 58. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en el terminal de carga. En el terminal son cargados tanto camiones de la compañía, como camiones independientes. Los camioneros independientes se quejan que en ocasiones deben esperar mucho y pierden dinero, por lo cual exigen otro terminal o se les cancele el valor de su espera, valorada en Bs. 50 mil por hora. La tasa de llegada de los camiones (todos) es de 2 por hora. La tasa de servicio es de 3 camiones por hora. El 30 % de los camiones son independientes. Asuma procesos Poisson. Determine a) la probabilidad que un camión independiente espere b) tiempo de espera de un camión c) tiempo estimado que los camiones independientes esperan por día d) el monto a ser cancelado por la refinería a los independientes. 59. En una empresa, una máquina duplicadora es utilizada y manejada por el personal de la oficina que necesita sacar copias. Las solicitudes de servicio llegan a la tasa Poisson de 5 por hora. La tasa de servicio es Poisson con media de 10 solicitudes por hora. La jornada es de 8 horas. El tiempo de un usuario del servicio esta valorado en $3,40 la hora, determine: a) utilización del equipo b) tiempo promedio que pasa cada usuario esperando y procesando su trabajo c) costo promedio diario en que incurren los usuarios por procesar y hacer funcionar la máquina ($28)

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60. Una empresa farmacéutica atiende los pedidos de las farmacias de la región en su único puesto de carga. Los pedidos son transportados en camionetas. El número de pedidos es Poisson con media de 4 por hora. Un empleado atiende un pedido en tiempo aleatorio exponencial con media de 10 minutos. La administración considera aumentar en uno o más empleados la atención de los pedidos, asumiendo que la tasa de servicio es proporcional al número de empleados que atienden un pedido. El costo de un empleado es de Bs. 1.800 por hora. El costo de operación de una camioneta es de Bs. 2.000 por hora. Analice y recomiende. 61. Un taller interno de una empresa de reparación de equipos electrónicos recibe solicitudes a la tasa Poisson de 17.5 por hora. Cada reparador puede manejar un promedio Poisson de 10 solicitudes por hora. El costo de un empleado es de 6 UM por hora. El costo de pérdida de producción por equipo dañado se estima en UM 30 por hora. ¿Cuántos reparadores debe disponer el taller? (4). ¿Si el costo de un reparador sube a 10 UM y el de los equipos se reduce a UM 20 por hora? (3). 62. Una compañía ferroviaria pintará sus propios vagones de ferrocarril, a medida que los vagones vayan necesitándolo. Una alternativa consiste en proporcionar dos talleres de pintura en los que se pinta a mano (un carro a la vez en cada taller), con un costo total anual de $300.000. El tiempo de pintado para cada vagón es de 6 horas. La otra alternativa consiste en disponer de un taller de pintura aerosol a un costo anual de $ 400.000. En este caso, el tiempo de pintado por vagón (uno a la vez) es de tres horas. Para ambas alternativas, los vagones llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de uno cada cinco horas. El costo del tiempo ocioso de un vagón es de $50 por hora. ¿Cuál alternativa debe elegir la compañía ferroviaria? Suponga que los talleres de pintura siempre están abiertos 365 días al año. 63. Cierto sistema de colas tiene entradas Poisson con tasa media de llegadas de 4 clientes por hora. La distribución del tiempo de servicio es exponencial con media de 0.2 horas. El costo marginal de proporcionar cada servidor es $20 por hora, y se estima que el costo que se tiene por cada cliente desocupado es de $120 por hora para el primer cliente y $180 por hora por cada cliente adicional. Determine a) el costo y b) el número de servidores que se debe asignar al sistema para minimizar el costo total esperado por hora. Respuesta: S*= 3, E[CT]= $174,50 por hora. 64. Una pequeña tienda tiene una sola caja de salida atendida por un cajero a tiempo completo. Los clientes llegan a la caja de pago a la tasa Poisson de 30 por hora. El tiempo de atención es exponencial con media de 1.5 minutos. Debido a la cola que se forma ocasionalmente, se ha recomendado incorporar un ayudante para que ayude al cajero empacando la mercancía. Esta ayuda, reduciría a un minuto (media exponencial) el tiempo esperado que se requiere para dar servicio a un cliente. El pago al ayudante sería de $ 8 por hora, justo la mitad de lo que recibe el cajero. Se estima que la tienda tiene pérdidas de $ 0.08 por cliente que tiene que esperar (incluyendo el tiempo de servicio). El dueño de la tienda desea saber si basado en el costo total esperado conviene contratar al ayudante.

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65. Un taller de máquinas tiene una afiladora de herramientas de corte, la cual es operada por un técnico. Se debe tomar una decisión en cuanto a la velocidad a la que debe funcionar. El tiempo que la afiladora requiere para afilar una herramienta es exponencial, en donde la media 1/u se puede establecer para cualquier valor entre 0.5 y 2 minutos, a incrementos de 0.05, según la velocidad de la afiladora. Los costos de operación y mantenimiento crecen rápidamente con la velocidad a la que se trabaje la afiladora, de manera que los costos estimados por minuto, por trabajar a una velocidad de 1/u, son de $ 0.10 u2. Los trabajadores llegan a afilar su herramienta a la tasa Poisson de uno cada 2 minutos. El costo estimado debido a que un operador se encuentre ausente de su puesto de producción es de $0.20 por minuto. ¿A que velocidad debe funcionar la afiladora y cuál es el costo esperado? 66. Se evalúa un sistema al que llegan camiones a una zona de descarga atendida por tres cuadrillas, en donde el espacio solo permite que tres camiones estén siendo descargados simultáneamente y cuatro esperando en el área de descarga, de modo que si llega otro camión, podrá estacionarse en la calle, mientras llega su turno. Sin embargo, en los alrededores, siempre hay un oficial de policía quien cada media hora pasa y multa a todo conductor que encuentre estacionado fuera del área de descarga, a razón de Bs. 5.000. Se asume que un camión es descargado en tiempo exponencial de 15 minutos y los camiones llegan a razón Poisson de 8 camiones por hora. a) ¿Cuánto espera recolectar el policía en multas durante una jornada de 10 horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un camión sea descargado en menos de 25 minutos? c) Si la asociación de camioneros desea reducir las multas en un 50 %, ¿Cuántos puestos deben ser ofrecidos para la espera? 67. Los pacientes llegan a una clínica según una distribución de Poisson a una tasa de 15 por hora. En la sala de espera hay 5 sillas. La sala de espera solo permite tener 10 pacientes a un mismo tiempo. El tiempo de examen por persona es exponencial con tasa media de 15 minutos. La clínica tiene 3 consultorios cada uno con un médico prestando atención. a) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente que llegue logre sentarse en una silla para realizar su espera? b) ¿Cuál es el tiempo medio que un paciente permanece en la sala de espera? c) ¿Cuál es el número esperado de consultorios desocupados? d) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente que solicita ser atendido no reciba atención? 68. Una compañía vende dos modelos de restaurante de primera con su respectiva franquicia. El modelo A tiene una capacidad de 80 comensales, mientras que el modelo B puede dar cabida a 100. El costo mensual de operación del modelo A es de $10.000 y el del B es de $ 12.000. Un inversionista potencial desea inaugurar un restaurante en su ciudad. El inversionista estima que sus clientes llegarán a la tasa Poisson de 45 por hora. El modelo A ofrece servicio a la tasa Poisson de 25 clientes por hora y el modelo B a la tasa de 30. Cuando el restaurante esté lleno a toda su capacidad, los nuevos clientes que lleguen se irán del lugar sin ser atendidos. La pérdida por cliente que es rechazado se estima en $5. Una demora en la atención a los clientes que esperan dentro del restaurante se calcula costará al dueño $ 0,50 por hora/comensal, debido a pérdida de buena voluntad del cliente. a) ¿Cuál es el costo diario esperado de cada modelo? b) ¿Cuál modelo debe elegir el inversionista? El restaurante estará abierto durante 12 horas diarias.

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69. Granos C.A. vende soya, maíz, caraotas y otras semillas, a propietarios de barcos cargueros. Debido a la inestabilidad del clima, precios, condiciones internacionales y otros imprevistos, no existe un programa fijo de llegada de barcos, observándose que las naves llegan al azar, a la tasa media Poisson de un carguero diario. Las características de capacidad y configuración de los cargueros son diversas, impidiendo a Granos C.A. conocer con antelación el tiempo requerido para ser cargados. Actualmente existe espacio para cargar un solo barco a la vez. Debido a convenios sindicales, toda la labor de descarga debe ser realizada solo por trabajadores de Granos C.A. Además, los dueños de los cargueros deben ser compensados con mil dólares por cada día que pierdan mientras sus cargueros esperen fuera del muelle antes de iniciar atención. Según registros de la compañía Granos C.A., un equipo compuesto por tres estibadores puede cargar los barcos a la tasa promedio Poisson de 0.25 barcos diarios. Se puede disponer varios equipos que realicen la carga, trabajando juntos, sin interferencia entre ellos, por lo que la tasa resultante de carga diaria es el producto del número de equipos multiplicado por la tasa de 0.25 barcos/ida. La jornada diaria es de 8 horas, y los trabajadores de cada equipo reciben cada uno 10 dólares por hora. Determine la cantidad de equipos de estibadores que debe ser dispuesta para cargar los barcos y minimizar el costo total del sistema. 70. Se evalúa dos técnicos para atender 10 equipos en una instalación. Al primero se le pagarán 6 UM por hora y puede reparar 5 equipos por hora. El segundo cobrará 10 UM/hora, y reparar 8 e/H. Un equipo parado cuesta 16 UM/H. Los equipos se descomponen a la tasa Poisson de 4 por hora, ¿Cuál técnico contratar? El tiempo de reparación es exponencial. (el 2, a un costo de 138 UM). 71. Un taller utiliza 10 máquinas idénticas. La ganancia por máquina es de 4 UM por hora de operación. Cada máquina se descompone en promedio una vez cada 7 horas. Una persona puede reparar una máquina en 4 horas en promedio de tiempo exponencial. El mecánico cuesta 6 UM / hora. Determine: a) Cantidad de mecánicos que minimice el costo total. b) Número de mecánicos necesarios para que el número esperado de máquinas descompuestas sea menor que 4. (5) c) Cantidad de mecánicos para lograr que la demora esperada para tener una máquina reparada sea inferior a 4 horas. 72. En una empresa existe una máquina que se utiliza para hacer determinada operación. La capacidad promedio de producción de la máquina puede ajustarse a dos regímenes de producción A o B, de 10 y 15 unidades por hora respectivamente. El porcentaje esperado de artículos defectuosos producidos por la máquina es igual al treinta por ciento de la tasa del régimen de producción A o B. Los artículos a ser procesados llegan a un promedio Poisson de 8 por hora. Cada artículo producido sin defectos se vende a Bs. 15.000, el costo del material utilizado es de Bs. 3.000 por unidad, y el costo variable de la máquina es de Bs. 1.500 por hora. Determine bajo que régimen de producción debe ser operada la máquina. Asuma que los artículos defectuosos se desechan. 73. Los usuarios de un centro de comunicaciones de CANTV, en donde hay 10 casillas telefónicas, llegan en forma aleatoria con tiempo exponencial de media 0.25 minutos. El tiempo de uso del teléfono se distribuye exponencialmente con media de 8 minutos/usuario. El área de espera de los usuarios solo permite 12 personas en espera. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario tenga que esperar? b) ¿durante que fracción de tiempo se espera encontrar más del 50 % de las casillas ocupadas? c) ¿durante que fracción de tiempo hay más de 4 personas esperando en la cola? d) ¿cuál es la probabilidad que un usuario realice su llamada en no más de 4 minutos? e) Juan acaba de llegar, ¿cuál es la probabilidad que en el siguiente minuto lleguen más de dos clientes?

Guia Colas 2012

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