1bTeoría de Colas

Marzo2013 Prof.RománLaraC.

TeoríadeColas 



EsunaramadelasMatemáticasqueseocupadel estudiodelas«colasdeespera», estudiodelas«colasdeespera»,conunalcancemás conunalcancemás generalquelossistemasdecomun generalquelossistemasdecomunicaciones icaciones.. Suobjetivoeselestudiodesistemas Suobjetivoeselestudiodesistemascompuestos,po compuestos,por r unaomásunidadesllamadasprocesadoreso unaomásunidadesllamadas procesadoreso servidores,encargadosderealizarlastareas servidores,encargadosderealizarlastareas encomendadasporotrasunidades,llamadasclientes encomendadasporotrasunidades,llamadas clientes,, conlaparticularidaddequesiduran conlaparticularidaddequesidurantealgúninterva tealgúnintervalo lo detiempolallegadadeclientessuperalacapacidad deprocesamientodelsistema,dichosclientes permanecenencola permanecenencolahastaqueseanservidos. hastaqueseanservidos.

TeoríadeColas 



EsunaramadelasMatemáticasqueseocupadel estudiodelas«colasdeespera», estudiodelas«colasdeespera»,conunalcancemás conunalcancemás generalquelossistemasdecomun generalquelossistemasdecomunicaciones icaciones.. Suobjetivoeselestudiodesistemas Suobjetivoeselestudiodesistemascompuestos,po compuestos,por r unaomásunidadesllamadasprocesadoreso unaomásunidadesllamadas procesadoreso servidores,encargadosderealizarlastareas servidores,encargadosderealizarlastareas encomendadasporotrasunidades,llamadasclientes encomendadasporotrasunidades,llamadas clientes,, conlaparticularidaddequesiduran conlaparticularidaddequesidurantealgúninterva tealgúnintervalo lo detiempolallegadadeclientessuperalacapacidad deprocesamientodelsistema,dichosclientes permanecenencola permanecenencolahastaqueseanservidos. hastaqueseanservidos.

TeoríadeColas Recursos

Clientes

Fuentesdetráfico

f T r á i c

o

de

lared

Servidores

Aplicacióndelateoríadecolas 

Loscamposdeaplicacióndelateoríadecolasenla IngenieríadeTelecomunicaciónsonnumerosos, pudiendoagruparseenlassiguientesgrandesáreas:  





Análisisydiseñodeprotocolosdecomunicación. Controlygestiónderecursosenredesde telecomunicaciones. Dimensionadoderedesdecomunicación. Modeladodeltráficoquecirculaporlasredes:voz, videoydatos.

Lascolas… Lascolassonfrecuentesennuestra vidacotidiana: Enunbanco Enunrestaurantedecomidas rápidas Almatricularenlauniversidad Losautosenunlavacar











Lascolas…  





Engeneral,anadielegustaesperar Cuandolapacienciallegaasulímite, lagentesevaaotrolugar Sinembargo,unserviciomuyrápido tendríauncostomuyelevado Esnecesarioencontrarunbalance adecuado

Modelobásico 

Unsistemadecolaspuededividirseen doscomponentesprincipales: Lacola Lainstalacióndelservicio Losclientesollegadasvienenenforma individualpararecibirelservicio 






Losclientesollegadaspuedenser: Personas Automóviles Máquinasquerequierenreparación Documentos Entremuchosotrostiposde artículos     


 

Sicuandoelclientelleganohaynadie enlacola,pasadeunavezarecibirel servicio Sino,seunealacola Esimportanteseñalarquelacolano incluyeaquienestárecibiendoel servicio

Modelobásico Lasllegadasvanalainstalacióndel serviciodeacuerdoconladisciplinade lacola Generalmenteéstaes primeroenllegar, primeroenserservido(FIFO) Peropuedenhaberotrasreglasocolas conprioridades







Modelobásico Sistema de colas

Llegadas

Cola

Disciplina de la cola

Instalación Salidas delservicio

Estructuras:picasdesistemasde colasunalínea,unservidor Sistema de colas

Llegadas

Cola

Servidor

Salidas

Estructuras:picasdesistemasdecolasuna línea,múl@plesservidores Sistema de colas

Servidor Llegadas

Cola

Servidor Servidor

Salidas Salidas Salidas

Estructuras:picasdecolasvarias líneas,múl@plesservidores Sistema de colas

Cola Llegadas

Cola Cola

Servidor Servidor Servidor

Salidas Salidas Salidas

Estructuras:picasdecolasunalínea, servidoressecuenciales Sistema de colas Llegadas

Cola Servidor Cola Servidor

Salidas

Costosdeunsistemadecolas 1. Costodeespera:Eselcostoparael

clientealesperar 



Representaelcostodeoportunidad deltiempoperdido Unsistemaconunbajocostode esperaesunafuenteimportantede competitividad

Costosdeunsistemadecolas 2. Costodeservicio:Eselcostode

operacióndelserviciobrindado 



Esmásfácildeestimar Elobjetivodeunsistemadecolases encontrarelsistemadelcostototal mínimo

Costosdeunsistemadecolas 





Eltiempoquetranscurreentredos llegadassucesivasenelsistemade colassellamatiempoentrellegadas Eltiempoentrellegadastiendeaser muyvariable Elnúmeroesperadodellegadaspor unidaddetiemposellamatasamedia dellegadas(λ)

SistemasdecolasLasllegadas 

Eltiempoesperadoentrellegadases1/ λ





Porejemplo,silatasamediade llegadasesλ=20clientesporhora Entonceseltiempoesperadoentre llegadases1/λ=1/20=0.05horaso3 minutos

SistemasdecolasLasllegadas Ademásesnecesarioestimarla distribucióndeprobabilidaddelos tiemposentrellegadas Generalmentesesuponeuna distribuciónexponencial Estodependedelcomportamientode lasllegadas







SistemasdecolasLasllegadas– Distribuciónexponencial 

Laformaalgebraicadeladistribución exponenciales:

P (tiempo de servicio ≤ t ) 1 − e =



t

− µ

Dondet representaunacantidad expresadaendetiempounidadesde tiempo(horas,minutos,etc.)

SistemasdecolasLasllegadas– Distribuciónexponencial P(t)

0

Media

Tiempo

SistemasdecolasLasllegadas– Distribuciónexponencial 





Ladistribuciónexponencialsupone unamayorprobabilidadparatiempos entrellegadaspequeños Engeneral,seconsideraquelas llegadassonaleatorias Laúltimallegadanoinfluyeenla probabilidaddellegadadelasiguiente

SistemasdecolasLasllegadas-Distribuciónde Poisson 



Esunadistribucióndiscretaempleada conmuchafrecuenciaparadescribirel patróndelasllegadasaunsistemade colas Paratasasmediasdellegadas pequeñasesasimétricaysehacemás simétricayseaproximaalabinomial paratasasdellegadasaltas

SistemasdecolasLasllegadas- DistribucióndePoisson 

Suformaalgebraicaes: k

P (k )



λ e =

− λ

k ! Donde: P(k):probabilidaddekllegadaspor unidaddetiempo λ:tasamediadellegadas e=2,7182818… 

 

SistemasdecolasLasllegadas- DistribucióndePoisson P

0

Llegadas por unidad de tiempo

SistemasdecolasLacola 



Elnúmerodeclientesenlacolaesel númerodeclientesqueesperanel servicio Elnúmerodeclientesenelsistemaes elnúmerodeclientesqueesperanen lacolamáselnúmerodeclientesque actualmenterecibenelservicio

SistemasdecolasLacola Lacapacidaddelacolaeselnúmero máximodeclientesquepuedenestar enlacola Generalmentesesuponequelacolaes infinita Aunquetambiénlacolapuedeser finita







SistemasdecolasLacola 





Ladisciplinadelacolaserefiereal ordenenqueseseleccionanlos miembrosdelacolaparacomenzarel servicio LamáscomúnesFIFO:primeroen llegar,primeroensalir Puededarse:selecciónaleatoria, prioridades,LIFO,entreotras.

SistemasdecolasElservicio 





Elserviciopuedeserbrindadoporun servidoroporservidoresmúltiples Eltiempodeserviciovaríadeclientea cliente Eltiempoesperadodeservicio dependedelatasamediadeservicio (µ)






Eltiempoesperadodeservicio equivalea1/µ Porejemplo,silatasamediade servicioesde25clientesporhora Entonceseltiempoesperadode servicioes1/µ=1/25=0.04horas,o2.4 minutos




Esnecesarioseleccionaruna distribucióndeprobabilidadparalos tiemposdeservicio Haydosdistribucionesque representaríanpuntosextremos: Ladistribuciónexponencial (σ=media) Tiemposdeservicioconstantes(σ=0) 






Unadistribuciónintermediaesla distribuciónErlang Estadistribuciónposeeunparámetro deformak quedeterminasu desviaciónestándar: σ

1 =

k

media


Sik =1,entoncesladistribuciónErlang esigualalaexponencial

Sik =∞,entoncesladistribución Erlangesigualaladistribución degeneradacontiemposconstantes LaformadeladistribuciónErlang varíadeacuerdoconk





SistemasdecolasElservicio P(t)

k=∞

k=8

k=2

k=1

0

Media

Tiempo

Sistemasdecolas DistribuciónErlang Distribución

Desviación estándar

Constante

0

Erlang, k = 1 Erlang, k = 2 Erlang, k = 4 Erlang, k = 8 Erlang, k = 16 Erlang, cualquier k

media 1/

2 media

1/2 media 1/

8 media

1/4 media 1/

k media

NotacióndeKendall 

Utilizadaparaclasificarlossistemasespecificandolas característicasdeloselementosquelocomponen. A/ B/C/K/m/z

A:Distribucióndetiemposentrellegadas(τ)  B:Distribucióndetiemposdeservicio(s) D(determinista),M(memory-less;exponencial),Ek(Erlang-k),Hk (hiperexponencialdekestados)oG(general;seaproximaráaunadelas anterioressegún↓↑ 2 (0,1,1/ko≥1)). :Númerodeservidores(canales)  C 





K =capacidadtotalmáximadelsistema(usuariosencola+ servidores).  



m=tamañodelapoblación. 



SiK=C=>noexistecola. Pordefecto,infinito. Pordefecto,infinito.

z=disciplinadelacola.

Estadodelsistemadecolas 







Enprincipioelsistemaestáenun estadoinicial Sesuponequeelsistemadecolasllega aunacondicióndeestadoestable (nivelnormaldeoperación) Existenotrascondicionesanormales (horaspico,etc.) Loqueinteresaeselestadoestable

Desempeñodelsistemadecolas 

Paraevaluareldesempeñosebusca conocerdosfactoresprincipales: 1. Elnúmerodeclientesqueesperan enlacola 2. Eltiempoquelosclientesesperan enlacolayenelsistema

ProcesosdePoisson 

Tambiénllamadosprocesostotalmentealeatorios,modelande formaadecuadalallegadadeusuariosasistemasreales. 



Otraopción=>Procesosautosimilares:característicassimilares endistintosinstantesdetiempo. 



Másajustadosalarealidadperodepeormanejomatemático.

Características: 







P(llegadadeusuarioent)≠funcióndellegadasanteriores.

Probabilidaddellegadaenunintervalodirectamenteproporcional alalongituddeéste. Probabilidaddemásdeunallegadaenunintervalolo suficientementepequeñoesdespreciable. Lallegadaenunintervaloesindependientedellegadaspasadaso futuras.

CasoparticulardeprocesodeMarkov: 

Probabilidaddesiguienteestadosólodependedelestadoactualy nodelahistoria.

Medidasdeldesempeñodelsistemade colas 

Deinterésparalaexplotacióndelsistemaconelmáximo beneficioylamenorinversión.  



IntensidaddeTráfico= A(=I )[Erlangs] 

  



Demandaderecursosrealizadaporlosusuarios. Utilizacióndelosrecursosdesplegados. InterpretaciónErlang=númerodecanalespermanentemente ocupadosnecesariosparacursartodoeltráfico. AO =tráficoofrecido A perdido =tráficonocursado AC =tráficocursado  =   /  

Factordeutilización= ρ 



Probabilidaddequeunservidorestéocupadooporcentajede tiempoenqueelservidorestáocupado. λ’=tasaefectiva(cursada)dellegada.

Parámetrosorientadosalsistema 

Throughput(caudal)=Th[usuarios/segundo]  

Medidadelaproductividaddelsistema. Númeromediodeusuariosservidosporunidaddetiempo. 





Sinpérdidas=>Th=λ Thmax=μC

Th=  µ

Volumendetráficocursadoporunservidor=V 

Tiempototaldeocupacióndeeseservidorenunintervalodetiempode

referencia(T ).=>V≤T 





Tambiénsepuededefinir A=V/T . Varíaalolargodeldía=>franjashorariasypromedioenvariosdías. HC=HoraCargada=horadeldíaconmayortráfico. 



Apartirdeltráficoenestahoraserealizalaplanificación.

Unidades: 

Devolumen:[LLR](llamadade120seg)y[CCS](llamadade100seg).

Parámetrosorientadosalsistema  

MedidadelaQoSpercibidaporelusuario. Tiempomediodeesperaencola=W 



Tiempomedioenelsistema=T  



Esunav.a.yvaríaconeltiempo.

Númeromediodeusuariosencola=N  =λW 



Esunav.a.yvaríaparacadausuario.Ti= W i+Si Régimenpermanente=>procesosestocásticosestacionarios.

Númeromediodeusuariosenelsistema=N =λT 



Esunav.a.yvaríaparacadausuario.

Esunav.a.yvaríaconeltiempo.

Otros:   

Probabilidaddequeexistaunservidorlibre. Probabilidaddequelacolasupereciertovalor. Tiempomediodeesperaparalosqueentranencola.

Medidasdeldesempeñodelsistemadecolas fórmulasgenerales

T = W + E [ S ] = W +

1 µ

N = λ T N q

=

λ W

N = N q

λ +

µ

Medidasdeldesempeñodelsistemade colasejemplo 







Supongaunaestacióndegasolinaalacual lleganenpromedio45clientesporhora Setienecapacidadparaatenderen promedioa60clientesporhora Sesabequelosclientesesperanen promedio3minutosenlacola Determinarlosparámetrostotalesdel sistema

Medidasdeldesempeñodelsistemade colasejercicio 







Supongaunrestaurantdecomidas rápidasalcuallleganenpromedio100 clientesporhora Setienecapacidadparaatenderen promedioa150clientesporhora Sesabequelosclientesesperanen promedio2minutosenlacola Calculelasmedidasdedesempeñodel sistema

Probabilidadescomomedidasdel desempeño 

Beneficios: Permitenevaluarescenarios Permiteestablecermetas Notación: P n:probabilidaddetenernclientes enelsistema P (T s ≤ t ) : probabilidad de que un  







cliente no espere en el sistema más de t horas

ac or e u sistema 

 

zac n e

Dadalatasamediadellegadasλyla tasamediadeservicioµ,sedefineel factordeutilizacióndelsistemaρ. Generalmenteserequierequeρ<1 Sufórmula,conunservidoryconC servidores,respectivamente,es:

ρ

λ =

µ

ρ

λ

`

=

C µ

Factordeu@lizacióndelsistema-ejemplo







Conbaseenlosdatosdelejemplo anterior,λ=0.75,µ=1 Elfactordeutilizacióndelsistemasise mantuvieraunservidores ρ=λ/µ=0.75/1=0.75=75% Condosservidores(C =2): ρ=λ/C µ=0.75/(2*1)=0.75/2=37,5%

Ejemplo 

Unaparatoregistradordetráficotomamedidascada3minutos, durantelaHC,delnúmerodecircuitosocupadosenungrupo. Lasmedidasobtenidasserepresentanenelsiguientegráfico: 

Ejemplo 

Enunhazdecuatrocircuitos,cadaunoestá ocupadouncuartodehoradiferentedelaHora Cargada. a)¿Cuáleseltráficocursadoporcadacircuito? ¿Yporelhaz? b)¿Ysicoincidenloscuatrocuartosdehora?

Análisiseconómicodelíneasdeespera Costos

Costo total

Costo del servicio

Costo de espera Tasa óptima

Tasa de servicio

Procesosde NacimientoyMuerte 





Resultaninteresantesporquelamayorpartedelossistemasde esperacontiemposdellegadaydeservicioexponencialesse puedenmodelarcomoprocesosdenacimientoymuerte. SonuncasoespecialdelosprocesosdeMarkovdondesólose realizan transicionesaestadosadyacentes. Estadodelsistema:númerodeelementosdelsistema. Laevoluciónentreestadosdelsistemasólodependedelestado actual. Transiciones Gráficamente:  





Estado“n”delsisteman Eventos 



n

n

Nacimiento:llegadadeunelementoalsistema Muerte:salidadeunelementodelsistema

Consideraremosquelasllegadasysalidassonindependientesentresí

Procesosde NacimientoyMuerte 

Latransiciónentreestadostienelugarconunadeterminadaprobabilidad Probabilidad de que suceda un nacimiento es la probabilidad de que, estando el sistema λ n-1 en el estado n-1,pasealestadon n-1

μn 

n

Probabilidad de que suceda una muerte es la probabilidad de que, estando el sistema en el estado n,pasealestadon-1

Ecuacióndeconservacióndelflujo(n>0) 

Enrégimenpermanente,elflujodeentradaysalidadecadaestadocoinciden

λn-1 pn-1= μn pnè  pn=λn−1 pn−1/µn

Procesosde NacimientoyMuerte λ0

λ1

λ2

 pn=λn−1 pn−1/µn 0

1

2

μ 1μ 2μ 3 Paraobtener pn enfunciónde p0:

 yp ?Sielsistemaesestable

p 1=λ0 /µ1 p0

∑ ≥0↑▒pn =1 p 2=λ1 /µ2 p1 =λ1λ0/µ1µ2 p0

0

SistemasconPérdidas SinReintento 

SistemasconPérdidasySinReintento: Sistemasincola. Silademandasuperalacapacidaddeservicio,laspeticiones serechazanypierden. èLaspeticionesquelleganalsistemaynoencuentranun servidorlibre,serechazan.  





Lasllamadasquenosepuedencursarinmediatamente,se rechazan.Sesuponequenohayreintento(¿otro sistema?). Estructuradeunsistemaconpérdidas El modelo de tráfico que estudia esta situación es el modelo de Erlang B (ErB)




HipótesisdelmodeloErlang-B: 1.Tamañodelapoblaciónesinfinito. Característica: latasadepeticionesdeservicionoseve afectada por el estado del sistema. 2.RégimendellegadasdePoisson. 3.Lav.a.tiempodeservicio(s)sigueunadistribución exponencial. 4.Númerodeservidores:c. 5.Nohayespera(Q=0). Notación Kendall: M/M/c/c/∞

 Sesuponequelasunidades,una vezservidas,regresanala población

SistemasconPérdidas SinReintento







Paraconectarcuatrogruposdeterminalesdedatosaunordenadorcentralseproponen dosconfiguraciones,representadasenlasfiguras(a)y(b).

Sabiendoquecadagrupotiene22terminalesyque,portérminomedio,estánactivosel 10%deltiempo,determineelnúmerodecircuitosquesenecesitanencadacasosi probabilidaddebloqueomáximaesdel5%. (Nota:Modeleelsistemadeformaquelasllamadasbloqueadassepierden.)


SistemasconPérdidas ConReintento 

SistemasconPérdidasyConReintento: 



Elanálisissimplificadodeestossistemassebasaentres hipótesis: 







Silapeticióndeconexiónnosecursa,lallamadavuelvealsistema comounreintento. H1)Todaslasllamadasqueelsistemarechazacuandoestá bloqueadosecursanenposterioresreintentos. H2)Eltiempoquetranscurreentreelinstanteenqueunapetición encuentrabloqueoyelreintentoesaleatorioyestadísticamente independiente. H3)Eltiempomedioentrereintentosesmayorqueeltiempo mediodeservicio.

Desdeelp.d.v.analítico,distinguiremosentrellamadade primerintentoyllamadadereintento.

SistemasconPérdidas ConReintento



SistemasconPérdidas ConReintento Determinelaprobabilidaddebloqueodeunenlacede10circuitosentreuna centralitayunacentrallocalsabiendoqueeltráficoofrecido,sisepudieracursar ensutotalidad,esde7Erlangs. Nota:Apliqueelmodelodereintentosconllamadasperdidasysuponga poblacióninfinita.



Sistemasconespera






Sistemasconespera Unacentralitasirvedepuenteentre100 Unacentralitasirvedepuenteentre100extensionesy20 extensionesy20 líneasde salidaconlassiguientescaracterísticas: Encasodesaturación,lasextensionesesperaneltiempo queseanecesarioa queunadelaslíneasdesalidaquedelibre. Cadaextensióngenera3llamadasdurantelaHC. Lamediadeduracióndelasllamadasesde2 minutos. Calcule: PD. PD. Tiempomediodeespera.


Sistemasconespera Unacentralitasirvedepuenteentre100extensionesy20 líneasde salidaconlassiguientescaracterísticas: Encasodesaturación,lasextensionesesperaneltiempo queseanecesarioa queunadelaslíneasdesalidaquedelibre. Cadaextensióngenera3llamadasdurantelaHC. Lamediadeduracióndelasllamadasesde2 minutos. Calcule: PD. Tiempomediodeespera.

1bTeoría de Colas

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