Segunda Guia Adicional de Colas

Problemas de d e Teorí Teoría de Colas INFINI TA 1 CANAL  COLA INFINIT

1)Un retratista "al minuto" ejerce su arte en el entorno de la Plaza Mayor y tarda en  promedio 10 minutos en finalizar un retrato dependiendo d ependiendo de lo más o menos "accidentado" que sea el rostro a reproducir. Los portadores de dichos rostros acuden al  pintor a interalos de 1! minutos por trmino medio. medio . #e desea$ a)  ') c) d) e)

%alcula %alcularr el n&mero n&mero medio medio de client clientes es en la cola cola de espera. espera. %alcular el n&mero medio de clientes c lientes en el sistema. %alcula %alcularr el tiemp tiempo o medio medio en la la cola cola de espera espera.. %alcula %alcularr el tiempo tiempo medio medio de permanen permanencia cia en el siste sistema ma #i el retratista retratista pudiera reducir reducir el tiempo tiempo requerido requerido para realizar realizar un retrato( retrato(  cual de'er*a ser este para que el tiempo medio en la cola de espera fuera de ! minutos+.

,) %omo %omo e-pert e-perto o en inest inestia iaci ci/n /n operat operati ia( a( se le ha encar encarad ado o el diseo diseo de la capa capaci cida dad d de un ser seric icio io de foto fotoco copi piad ador oras as para para un 'ufe 'ufete te de a'o a'oad ados os(( que que actualmente actualmente cuenta con una fotocopiadora. fotocopiadora. espus de un intenso tra'ajo de campo( ha o'tenido los siuientes datos$ El tempo de servicio de la foocopiadora sigue una ley exponencial de media 3 minuos. Las llegadas a la foocopiadora foocopiadora siguen una ley poisson de 16 llegadas por  hora de promedio El coso de una persona haciendo foocopias es de 80 um por hora   La jornada laoral en el ufee ufee es de !0 horas semanales El coso de posesi"n de una foocopiadora foocopiadora esa estmado en 100 um por  hora laorale. #uponiendo que el n&mero de personas es lo 'astante rande para considerar unierso infinito( infinito( 2 que no hay limitaciones limitaciones para el n&mero de personas que pueden esperar para hacer fotocopias( encontrar$ 

a# El tempo tempo medio de espera espera hasa hasa $ue se pueda utli%a utli%arr la foocopi foocopiador adora a # &roa &roail ilida idad d de $ue no haya haya nadie nadie en la ma$uina ma$uina y de $ue no haya haya nadie nadie esperando para hacer foocopias c# 'oso 'ososs oale oaless asocia asociados dos al sis sisema ema..

3) Manolo 4imnez( reconocido entre los profesionales de la reparaci/n de eh*culos( esta preocupado por la marcha de si neocio$ las e-pectatias son demasiado 'uenas y el taller parece en demasiado pequeo. Para er que puede hacer para resoler el  pro'lema( le pide ayuda a un e-perto en teor*a de colas. espus de una primera entreista con el seor manolo acerca de las e-pectatias del neocio( se o'tienen la siuiente informaci/n$ 

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Las llegadas al aller se producen de forma aleaoria ( seg)n la ley de poisson de media ! llegadas al dia *1 dia + 8 horas laorales# El tempo $ue se arda en reparar un auom"vil sigue una ley exponencial de media 1.,- horas El r. /anolo cuena con un solo e$uipo para reparar auom"viles. dems del coche $ue esa reparando solo caen res coches mas en el aller. i llegan mas( dee esacionarlos en la v2a pulica( con el consiguiene deerioro en la calidad del servicio. Los coches se retran del aller inmediaamene despus de ser reparados

%on estos datos el #r. Manolo demanda al e-perto un análisis inicial de la situaci/n( mas concretamente le preunta$ a# 45u fracci"n del tempo esar el aller en funcionamieno # 4'ul es el numero promedio de clienes en espera de reparaci"n de su veh2culo *suponiendo un coche en reparaci"n por cliene# c# 4'ul es el n)mero promedio de coches esperando a ser reparados d# 4'ul es la proailidad de $ue dean esacionarse coches en la calle e# 4'uno tempo ranscurrir( por ermino medio( desde $ue el coche llega al aller hasa $ue se acaa la reparaci"n f# 4'uno tempo ranscurrir( por ermino medio( desde $ue el coche llega al aller hasa $ue comien%a la reparaci"n  COLA INFINITA MULTIPLES CANALES

1# 7ados los resulados oenidos en una primera estmaci"n( el sr. /anolo planea al expero la posiilidad de conar con dos e$uipos para reali%ar las reparaciones( denro del mismo aller *en el $ue siguen caiendo ! coches dos en reparaci"n y dos esperando#. e raa de oener a# 45u fracci"n del tempo esar el aller en funcionamieno # 4'ul es el numero promedio de clienes en espera de reparaci"n de su veh2culo *suponiendo un coche en reparaci"n por cliene# c# 4'ul es el n)mero promedio de coches esperando a ser reparados d# 4'ul es la proailidad de $ue dean esacionarse coches en la calle e# 4'uno tempo ranscurrir( por ermino medio( desde $ue el coche llega al aller hasa $ue se acaa la reparaci"n

f# 4'uno tempo ranscurrir( por ermino medio( desde $ue el coche llega al aller hasa $ue comien%a la reparaci"n

9# En las :esas de ;o del erreno lo sede de uen guso para el fesejo( pero desde hace algunos a>os se viene $uejando de $ue los suproducos resulanes de la apreciale ingesa alcoh"lica de los vecinos dejan el erreno de un esado lamenale. &or ese motvo( el concejal de fesejos del puelo ha decidido insalar en el erreno ! lavados portles. El prolemas $ue se le planea es el de asignar el numero de lavados a homres y mujeres $ue minimice los cosos medios por hora de espera oales. &ara resolver el prolema reali%a las siguienes suposiciones 

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Los homres y las mujeres irn solo a los lavados $ue engan asignados *suposici"n acepale si el sisema esa ien dimensionado#  efecos del calculo( el numero de asisenes es su:cienemene grande como para considerar universo in:nio 7e experiencias reali%adas en discoecas locales( ha podido deerminar $ue el tempo de esancia en el lavado sigue una ley exponencial de media 3 minuos para los homres y de 6 minuos para las mujeres e espera $ue las visias al servicio sigan una ley poisson de media 1- por hora para los homres( y 18 por hora para las mujeres. El coso de espera por persona y hora *producos $ue dejan de consumir( por lo $ue el tempo incluye ano la espera como la esancia en el servicio# es de 6 euros?hora para los homres y de ! euros?hora para las mujeres

%on estos datos se preunta$ a# 4'ul es el n)mero m2nimo de lavados de homres y de mujeres h( m # 4'ul es el n)mero de lavados a asignar a homres y mujeres $ue minimice los cosos de espera por hora c# &roailidad de $ue el lavado*o lavados# de homres es*n# vacio*s#. d# @iempo medio de espera de homres y mujeres anes de enrar al servicio. 3# 'omo expero en investgaci"n operatva( se le ha encargado el dise>o de la capacidad de un servicio de foocopiadoras para un ufee de aogados( $ue acualmene cuena con una foocopiadora. 7espus de un inenso raajo de campo( ha oenido los siguienes daos 

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El tempo de servicio de la foocopiadora sigue una ley exponencial de media 3 minuos. Las llegadas a la foocopiadora siguen una ley poisson de 16 llegadas por hora de promedio El coso de una persona haciendo foocopias es de 80 um por hora La jornada laoral en el ufee es de !0 horas semanales El coso de posesi"n de una foocopiadora esa estmado en 100 um por hora laorale.

#e propone instalar una fotocopiadora adicional 5de las mismas caracter*sticas) sin que haya restricci/n en el n&mero de personas esperando en cola para sacar fotocopias( responder$ a# 4La insalaci"n de una nueva foocopiadora supone un ahorro en cosos respeco de la siuaci"n inicial # 4'ul de las dos alernatvas *una o dos foocopiadoras# se ha de escoger si aumena la frecuencia de uso del servicio de foocopias hasa 9- llegadas por hora Aust:car cuantatvamene la respuesa.

 COLA FINITA 1 CANAL

1) %omo e-perto en inestiaci/n operatia( se le ha encarado el diseo de la capacidad de un sericio de fotocopiadoras para un 'ufete de a'oados( que actualmente cuenta con una fotocopiadora. espus de un intenso tra'ajo de campo( ha o'tenido los siuientes datos$ 

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El tempo de servicio de la foocopiadora sigue una ley exponencial de media 3 minuos. Las llegadas a la foocopiadora siguen una ley poisson de 16 llegadas por hora de promedio El coso de una persona haciendo foocopias es de 80 um por hora La jornada laoral en el ufee es de !0 horas semanales El coso de posesi"n de una foocopiadora esa estmado en 100 um por hora laorale.

i se dan insrucciones para $ue( si se encuenran res personas haciendo cola para hacer foocopias *adems de la $ue esa foocopiando#( los raajadores no se pongan en la cola y dejen las copias para mas adelane( enconrar  a# Bumero promedio de personas esperando para hacer foocopias # Bumero promedio de veces $ue se utli%a la foocopiadora en una hora c# @iempo medio de espera hasa $ue se pueda utli%ar la foocopiadora

,) Un pequeo autosericio de laado en el que el coche que entra no puede hacerlo hasta que el otro haya salido completamente( tiene una capacidad de aparcamiento de ! coches( incluyendo el que está siendo laado. La empresa ha estimado que los coches llean siuiendo una distri'uci/n de Poisson con una media de 10 coches6hora( el tiempo de sericio siue una distri'uci/n e-ponencial de 1! autos por hora. 

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4'ul es la proailidad de $ue un coche $ue re$uiera el servicio( llegue y no encuenre espacio y dea de retrarse 4'uno tempo ranscurrir( por ermino medio( desde $ue el coche llega al auoservicio hasa $ue sale de ese

3# La BeCcoa &aintng 'ompany( durane largo tempo( ha enido una ala demanda de su servicio de pinura de auom"viles. e calcula $ue la demanda acual es de 91 auom"viles por d2a con tempos exponenciales enre llegadas( y el aller puede dar servicio a 9! coches por d2a *exponencial#. "lo se puede pinar un coche a la ve%( uponiendo $ue hay un espacio limiado para D auos esponder 

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4'ul es la proailidad de $ue al llegar( un cliene ese lleno y enga $ue irse 4'uno es el porcenaje de ocupaci"n del aller

 COLA FINITA MULTIPLES CANALES

1# El propieario del resaurane El @)nel de Aosep desea evaluar la calidad de su servicio en lo relatvo a esperas de los clienes. cualmene el resaurane cuena con 6 mesas( $ue se llenan en cuano llegan los clienes *no hay reserva previa#. e estma llega un promedio de 3.- grupos cada hora y $ue cada grupo permanece en el resaurane 1.- horas

La pol*tica actual es la de dejar esperar solamente a dos rupos cuando las mesas están llenas. %uando hay dos rupos esperando( las pol*tica del restaurante 5pol*tica 7) es la de indicar a los clientes que puedan llear que no pueden ser seridos( por lo que estos a'andonan el sistema. #e desea sa'er$ a# 4'ual es el n)mero medio de grupos esperando # 4'ul es el numero medio de grupos en el resaurane *ano los $ue esperan como los $ue son servidos# c# 4'ul es el tempo medio de espera( anes de enrar a comer d# 45u proailidad exise de denegar el servicio a un grupo

8am'in se desea sa'er cual seria el efecto de cam'iar la pol*tica de espera a los clientes. Más concretamente( como se er*an afectados los alores anteriores si$  

e deja esperar a - grupos de clienes( en ves de 9*pol2tca# e deja esperar a odos los grupos de clienes $ue lleguen. 7ada la calidad del resaurane( se supone $ue ninguno de ellos aandonara( por larga $ue sea la cola *pol2tca '#

9# Fn pe$ue>o cenro de c"mpuo es e$uipado con res compuadoras digiales( odas del mismo tpo y capacidad. El n)mero de usuarios en el cenro en cual$uier en cual$uier tempo es igual a die%. &ara cada usuario( el tempo para escriir un programa es exponencial con asa media de 0.-0 por hora. Fna ve% $ue se ermina un programa( se env2a direcamene al cenro para su ejecuci"n. El tempo de c"mpuo por programa es exponencialmene disriuido con asa media de dos por hora. uponiendo $ue el cenro es en operaci"n sore una ase de tempo compleo y

despreciando el efeco del tempo en $ue la compuadora es parada( encuenre

a) La pro'a'ilidad de que un prorama no se pase inmediatamente que se reci'e en el centro.  ') 9l tiempo promedio hasta que un prorama sale del centro. c) 9l n&mero de proramas que esperan su proceso.

3# Fn anco emplea res cajeros para servir a sus clienes. Los clienes llegan seg)n un proceso de poisson a una asa media de uno por minuo. i un cliene encuenra odos los cajeros ocupados( se una a una cola $ue es servida por odos los cajerosG es decir $ue no hay cola enfrene de cada cajero sino $ue hay una cola $ue espera al primer cajero $ue se desocupe( el tempo de ransacci"n enre el cajero y el cliene tene una disriuci"n exponencial con una media de 9 minuos. aiendo $ue el espacio de cola es limiado con /+1- Enconrar a# El tempo promedio de espera para reciir el servicio # El tempo promedio $ue un cliene ardara en salir del sisema ancario  FALLO DE MAQUINAS 1 CANAL

1) Una empresa de reproducci/n ráfica tiene cuatro unidades de equipo automáticas(  pero que en ocasiones están fuera de sericio porque requieren suministros( mantenimiento o reparaci/n. %ada unidad llea con una tasa de apro-imadamente : por  hora. Los tiempos de reparaci/n tienen un promedio de sericio de , horas. 9l tiempo de inactiidad del equipo ocasiona una prdida de ,0 d/lares por hora. 9l &nico mecánico reci'e ; <6hora. Utilice el análisis de colas con po'laci/n finita para calcular$   

El n)mero promedio de unidades en cola. El n)mero promedio de unidades en operaci"n. El n)mero promedio de unidades en el sisema de manenimieno.

,) Un mecánico atiende ! maquinas( por cada maquina el tiempo medio entre requerimientos de sericio es de 10 horas( y se supone una distri'uci/n poisson. 9l tiempo de reparaci/n tiende se&n una distri'uci/n e-ponencial neatia y tiene un tiempo medio de 1.! horas. %uando una maquina queda en reparaci/n el tiempo perdido tiene un alor de <,0 por hora. 4'ual es el numero esperado de ma$uinas en operaci"n 4'ul es el coso esperado del tempo perdido  

3# En una empresa la reparaci"n de un ciero tpo de ma$uinaria exisene en el mercado se reali%a en - operaciones sicas $ue se efec)an de una manera secuencialG si le

tempo $ue se lleva en reali%ar cada uno de los - pasos tene una disriuci"n exponencial con media de 3 ma$uinas por hora. Esas m$uinas se descomponen seg)n una disriuci"n &oisson con una ra%"n media de 9 m$uinas ? hora y en la frica solo hay un mecnico $ue las repara. 'alcular las caracer2stcas de operaci"n de la empresa. uponiendo $ue la pol2tca de la empresa es no aender mas reparaciones cuando ya se tenen - ma$uinas incluyendo la $ue esa en reparaci"n  FALLO DE MAQUINAS MULTIPLES CANALES

1# e le ha encargado de organi%ar una secci"n de manenimieno en una farica de ejidos. La farica consa de 10 ma$uinas idntcas. 'ada una de ellas se aver2a como promedio cada !8 horas de funcionamieno *cada 6 dias( en una  jornada laoral de 8 horas#. rreglar una ma$uina oma un tempo de 9 horas de raajo de un e$uipo de operatvos. 9n un primer momento decide contar con un &nico equipo determine$ 4'unas ma$uinas har averiadas en el aller por ermino medio 4'uano ardara como promedio( en volver a enrar en servicio( una  ma$uina( una ve% se ha averiado  i en ve% de un E$uipo( cuena con dos( 4'"mo se vern modi:cados los resulados  i cuena con un e$uipo para el manenimieno de -0 ma$uinas( 4'unas ma$uinas averiadas har como promedio y cuano tempo permanecern averiadas como promedio 9# 7os mecnicos esn aendiendo cinco m$uinas en un aller. 'ada m$uina se descompone seg)n una disriuci"n de &oisson con media de res por hora. El tempo de reparaci"n por m$uina es exponencial con media de $uince minuos. 

a) 9ncuentre la pro'a'ilidad de que los dos mecánicos estn ociosos y la de que uno de ellos est desocupado.  ') %uál es el n&mero esperado de máquinas inactias a las que no se les está dando sericio+ 3# @res mecnicos atenden veine m$uinas de producci"n de una compa>2a. Las descomposuras y la asa de servicio tenen disriuciones &oisson y Exponencial( respectvamene. La asa promedio de descomposuras es de 9 ma$uinas por hora y el promedio de tempo de reparaci"n es de dos horas. 7eermine

a) 9l promedio de tiempo de espera de cada máquina.  ') 9l promedio de máquinas que funcionan por hora.