))
CAPITULO III
PRINCIPALES APLICACIONES EN LA MINERIA
3.1. 3.1. Optimi Optimiza zació ción n en el Uso de las Compta Comptado! do!as as "COMPA "COMPA#$A MINER MINERA A CAU%ALOSA S.A.& Según la página del Ministerio de Energía de Minas dice: “La Compañía Minera Caudalosa S. A., en la unidad Huacocolpa !ue se encuentra u"icado en la regi regi#n #n Huan Huanca ca$e $eli lica ca,, pro$ pro$in inci ciaa de Huanca$elica % en el distrito de Huacocolpa a una una alti altitu tud d de &'() '() m.s.n .s.n..m. e*pl e*plo ota minerales minerales polim polimetálico etálicos, s, como como +inc' plomo, (1* (1* plata ()* .
Al pro"lem pro"lemaa
plante planteado ado por -a -aaa % !ue ue result resulto o por /a /ao o Lecca Lecca
(+* (+*
acemos una modiicaci#n, en los siguientes t0rminos:
1(* 4
MEM. 2 Unidades de Producción Minera Metálica .34554 operaciones .3-omo 4. Solucionario de -aa, /A667 LECCA, E2 Investigación de operaciones -aa, Cap. 8, p.&44. (*
,
)
El centro de c#mputo de de la compañía Minera Caudalosa S. A., en la unidad Huaco Huacocol colpa pa está e!uipa e!uipado do con tres comput computado adoras ras moder modernas, nas, todas todas del mismo tipo % capacidad. El número de de usuarios en el centro en cual!uier mome moment nto o es igua iguall a 15. 15. 9ara 9ara cada cada usua usuari rio, o, el tiem tiempo po para para escri escri"i "irr un programa e introducir los datos, es e*ponencial con tasa media de ( por ora ora.. El tiem tiempo po de eec eecuc uci# i#n n por por prog progra rama ma está está e*po e*pone nenc ncia ialm lmen ente te distri"uido con tasa media de 4 por ora. Suponiendo !ue el centro está en operaci#n so"re una "ase de tiempo completo, % sin tomar en cuenta el eecto del tiempo !ue la computadora está parada, calcular:
a. 9ro"a"ilidad de !ue un programa no se eecute inmediatamente !ue se reci"e en el centro de c#mputo.
,. -iempo promedio asta !ue un programa sale del centro. c. ;úmero promedio de programas !ue esperan su proceso. d. ;úmero promedio esperado de computadoras computadoras inacti$as e. 9orcentae de tiempo !ue el centro está sin tra"ao. -. 9orcentae promedio de tiempo ocioso por computadora.
Solución:
9rim 9rimer ero o
de"em e"emo os
e*tr e*trae aerr
los los
dato datoss
e
inc# inc#gn gnit itas as,,
poste osteri rio ormen rmente te
iden identi tiic icam amos os el mode modelo lo,, en este este caso caso es un mode modelo lo de auto autoser ser$i $ici cio o
?: <@= > =>? % luego aplicamos las #rmulas correspondientes a este modelo (3*. 9ara un meor entendimiento de este modelo, acemos un pe!ueño resumen de esto. &(*
I,d.3 Cap. 8, p. &B
)
;úmero de canales de ser$icio: s
&
=
;úmero de ser$idores: n = 15 -asa -asa promedio de llegadas: λ = ( por ora -asa -asa promedio de ser$icio: µ = 4 por ora Según -aa, -aa, el modelo de autoser$icio está deinido de la siguiente manera: “En este modelo, el número de ser$idores es ilimitado por!ue el cliente mismo es tam"i0n ser$idor. Este es normalmente el caso en los esta"lecimientos de auto ser$icio (/*. Dna $e más en t0rminos generaliado se tiene:
del modelo
9ara todo: n ≥ 5 λ n
=
λ
µ n
= n µ
P 5
= e
P n
=
− ρ
e − ρ ρ n n0
'n
=
5'1'4'...
Además: L
= ρ
W
=
1
µ
L( q *
=
W ( q *
=
5
Cálculo de la intensidad del tráico: ρ =
λ µ
=
( 4
=
4.(
Se supone !ue F no es aectado por el número de clientes en el sistema.
a.
Cálc Cálcul ulo o de la pro" pro"a" a"il ilid idad ad de !ue !ue un prog program ramaa no se eecu eecute te inmediatamente !ue se reci"e en el centro. Hacemos uso de la pro"a"ilidad de una demora:
B
(*
A. -AHA, Hamd%2. Inesti2ación de Ope!aciones .3(ta Edici#n .M0*ico Edit. Alaomega. 1''(, Cap. G8, 9.))'.
)'
p{ n
}
≥ s
= 1 − p5 − p1 −
p4 P 5
P 1
P 4
=
=
=
ρ n . P 5 n0
ρ n . P 5 n0
e − ρ
=
e −4.(
5.5H41
=
1
( 4.(* .( 5.5H41*
=
10
=
5.45(
=
5.4(C
4
=
( 4.(* .(5.5H41*
40
Aora, reemplaando se tiene: p{ n p{ n
}
≥ s
= 1 − p5 − p1 −
p4
≥ s} = 1 − 5.5H41 − 5. 45( − 5.4(C = 5.B(('
Interpretación: Interpretación: E*iste una pro"a"ilidad de B)I de !ue un programa
no se eecute.
,.
Cálculo del tiempo promedio asta !ue un programa sale del centro. W =
1
µ
=
1 4
=
5.(
Interpretación: Interpretación: En promedio el programa demora en salir del centro
5.( oras
c.
Cálculo del número promedio de programas !ue esperan su proceso. L
= λ 3 W = λ 3 (W ( q * +
1
µ
* = ρ = 4.(
Interpretación: Apro* Apro*ima imadam damente ente & progra programas mas están están esperan esperando do su
proceso.
d.
Cálculo del número promedio promedio esperado de computadoras inacti$as: S − ρ
S − ρ = & − 4.( = 5.(
5
Interpretación: Interpretación: Apro*imadamente e*iste una computadora inacti$a.
e.
Cálculo del porcentae de tiempo !ue el centro está sin tra"ao. p 5
=
5.5H41
Interpretación: Interpretación: Apro* pro*im imad adam amen ente te I del del tiem tiempo po el cent centro ro de
c#mputo está sin tra"aar.
-.
Cálculo del porcentae promedio de tiempo ocioso por computadora. (1 −
Interpretación: Interpretación:
ρ s
* 3 1554 = (1 −
4.( &
Apro*imadament ente
* 3 1554 = 1).C4
el
1I
del
tiempo
cad cada
computadora no tra"aa.
3.+ Repa!ació Repa!ación n de M56in M56inas as en la "CIA. "CIA. MRA. MRA. SANT SANTA A LUISA LUISA S.A.& La unidad unidad minera “El /ecuerdo /ecuerdo de la CJA M/A SA;-A SA;-A LDJSA S.A. S.A. Se encuen encuentra tra u"icad u"icado o en la regi#n regi#n Ancas, Ancas, pro$inci pro$inciaa de Kologn Kolognesi esi % en el distrit distrito o de Hualla Huallanca nca a una altitud altitud de &(4) &(4) m.s.n. m.s.n.m. m. e*plot e*plotaa mineral minerales es (7* . polimetálicos, tales como +inc, plata, plomo, co"re (7*
Hamd% A. -aa (8* nos plantea el siguiente pro"lema: @os mecánicos mecánicos están atendiendo atendiendo cinco cinco má!uinas má!uinas en el taller en la mina El /ecuerdo. Cada má!uina se descompone según una distri"uci#n de 9oisson con con medi mediaa de & por por ora ora.. El tiemp tiempo o
de repar reparac aci# i#n n por por má!ui á!uina na es
e*ponencial con media de 1( minutos. Se pide determinar: ((*
MEM. 2 Op. Cit.
(* A. -AHA, Inesti2ación ión de Ope!acione Ope!acioness . -AHA, Hamd%2 Hamd%2.. Inesti2ac
)
AL6A7MEA. 1''(. Cap. G8, p.)'4.
M0*i M0*ico co.. uint uintaa edici# edici#n. n. Edit. Edit.
1
a. La pro"a pro"a"i "ili lida dad d !ue !ue los los dos dos mecá mecáni nico coss est0n est0n ocios ociosos os % !ue !ue uno uno de ellos est0 desocupado. ". El número esperado de má!uinas inacti$as !ue no se les está dando ser$icio. Solución:
Este pro"lema ue solucionado por E. /ao Lecca
(9*
.
9rim 9rimero ero de"em de"emos os e*tr e*traer aer todos todos los los dato datoss del del pro" pro"le lema ma
para para lueg luego o
seleccionar las #rmulas correspondientes. ;úmero de canales de ser$icio: s
=
4
9o"laci#n del uni$erso: M = ( /ango medio de llegadas: λ = & Dnidad=ora /ango medio de ser$icios: µ =
B Dnidad=
ora
Cálculo del actor de utiliaci#n del sistema λ ρ = µ
=
& B
= 5.C(
a. Cálculo Cálculo de la pro"a"ilidad pro"a"ilidad !ue los dos mecánicos est0n ociosos % !ue uno de ellos est0 desocupado, para ello usamos las siguientes #rmulas para acer los cálculos respecti$os
p 5
s n0 ρ n n ( M ( M = n ) ρ + n ) s0 s n + s n = s +1 n =5
∑
∑
/emplaando $alores se tiene: p5
=
p1
=
5.5B&5( M
1
ρ P 5
/eemplaando los datos, se tiene (*
/A667 LECCA, Eduardo )Op. Cit.: Cap. 8, pp.&(1, &(4
−1
4
p1 p1
=
( 1
3 5 .C( 3 5 .5B&5(
= ( 3 5.C( 3 5.5B&5( = 5.1)1BB
Interpretación: Interpretación: Apro*imadamente BI del tiempo los dos mecánicos
están perdiendo en otras acti$idades % 1)I del tiempo uno de los tra"aadores está perdiendo por algún moti$o.
,. Cálculo del número esperado de má!uinas inacti$as, para ello usamos la siguiente ecuaci#n: M
=
Lq
∑ ( n − s * p
n
n = s +1
Lq
= 5.'15'4
Interpretación: Interpretación: Apro* Apro*ima imadam damente ente una má!uin má!uinaa está está inacti inacti$a $a por
algún moti$o.
3.3. Minimización de accidentes CON%ESTA;LE S.A.&
en
la
Ca!!ete!a
"CIA
MRA
La unidad minera Condesta"le, de la CJA M/A C7;@ES-AKLE S.A. Se encuentra u"icado en la regi#n Lima, pro$incia de Cañete % en el distrito de Mala a una altitud apro*imada de&5 m.s.n.m. m.s.n.m. e*plota mineral de co"re. co"re. La$ado La$ado /amos /amos
(<*
Jndica lo siguiente . El departamento de seguridad, de la
CJA M/A C7;@ES-AKLE S.A., unidad minera Condesta"le cuenta con tres tres e!u e!uipo ipos
de in$ in$esti estiga gaci ci# #n de segu seguri rida dad d, a los los !ue !ue se llam llamaa
continuamente % cu%o tra"ao consiste en analiar las condiciones de la carr carret eter eraa en las las cerc cercan anía íass de cada cada acci accide dent ntee ata atall ocur ocurri rido do en las las inmediaciones de la mina. mina. Los e!uipos e!uipos son igualmente igualmente eicientes cada uno
(*
LA8A@7 /AM7S, Nos0 2 Teoría de Colas Monografía .: Huara. 455B, Cap. JJJ, 9p.), ) % )'.
&
destina destina un promedio promedio de 4 días días a in$esti in$estigar gar % realiar realiar el inorm inormee de un acci accide dent nte, e, con con el tiem tiempo po real real apar aparen ente teme ment ntee dist distri ri"u "uid ido o en orm ormaa e*perimental. e*perimental. Aparen Aparentement temente, e, el número de accidentes accidentes
atales, sigue sigue un
proceso poissoniano, con una tasa promedio 155 por año. 9ara ines ines de inorme inorme,, a las entidad entidades es respon responsa" sa"les, les, el departa departamen mento to de seguridad e*ige un inorme detallado, el cual se de"e determinar el número promedio de accidentes, el número esperado de casos, del tiempo estimado una $e ocurrido un accidente atal,
Solución:
La soluci#n de este pro"lema ue por el mismo autor
(=* (=*
. Este es un proceso
M=M=& (* % se tienen los siguientes datos:
-asa promedio de llegadas: λ = 155 accidentes anuales -asa -asa promedio de ser$icio: µ =
&)( 4
= 1H4.(
inormes anuales por e!uipo.
9o"laci#n del uni$erso: M = & ;úmero de ser$idores: n = 4 Cálculo de la intensidad del tráico. ρ =
λ µ
=
155 1H4.(
=
5.(BH
a. Cálculo de la pro"a"ilidad de !ue ningún cliente está en el sistema:
'(*
(*
Idem. M>M>3? M>M>3? La primera M signiica !ue el tiempo entre llegadas es pro"a"ilístico % sigue una
distri"uci#n e*ponencial la segunda M indica el tiempo de ser$icio !ue es pro"a"ilístico % sigue una distri"uci#n e*ponencial % el & signiica !ue el sistema tiene tres estaciones paralelas , cada una dando un ser$icio con la misma rapide.
B
P 5
=
1
M −1 1 λ n 1 λ M M µ + n0 µ M 0 µ ( M µ − λ * n = 5
∑
1
P 5
=
P 5
=
P 5
= 5.(CC
4 1 155 n 1 155 & &(1H4.(* + n0 1H4.( &0 1H4.( (& 3 1H4.( − 155* n = 5
∑
1
1 155
4
&
+ 1 155 (1.44&(* + 1+ 1H4.( 4 1H4.( ) 1H4.( 155
Interpretación: Interpretación: Apro*imadamente (I del tiempo, la carretera esta en
peligro.
,. Cálculo del número promedio de accidentes: Ls
=
Ls
=
Ls
=
λµ <λ = µ ? M P 5 < M − 1?O< M µ − λ ? 4
+
155<1H4.(?<155 = 1H4 .(? & <& − 1?O<&<1H4.(? − 155? 5.((
4
λ µ
<5.(CC ? +
155 1H4.(
accidentes
promedi edio o el depa depart rtam amen ento to tien tienee 5.(( 5.(( casos casos Interpretación: Interpretación: En prom
c. Cálculo número esperado de casos : λ µ
Lq
= Ls −
Lq
= 5.(( −
Lq
= 5.5545(
155 1H4.(
Interpretación: Interpretación: En prom promed edio io,, el depa depart rtam amen ento to tien tienee un tra trao o de
5.5545( accidentes, es decir e!ui$alente a cero.
d. Cálculo del tiempo estimado una $e ocurrido un accidente atal:
(
Ws
Ws
Ls =
=
λ
5 (( .
=
155
4 55 .
=
5 55(( .
año
día
Interpretación: Interpretación: Dn promedio, al departamento le lle$a 4 días % un
poco más al concluir su tra"ao, una $e !ue a ocurrido un accidente atal.
e. Cálc Cálcul ulo o del del tiem tiemp po entr entree un acci accid dente ente ata atall % el inic inicio io de la in$estigaci#n. Wq =
Lq
λ
=
5.5545( 155
Wq = 5.55C(
=
5.555545(
año
día
promed edio io,, tran transc scur urre re 5.55 5.55( ( días días entr entree un Interpretación: Interpretación: En prom accidente atal % el inicio de su in$estigaci#n.
3./. 3./. Opti Optimiz mizac ació ión n del del tiem tiempo po de ca!2 ca!2i ioo @ aca! aca!!e !eoo de mine mine!a !ale less "SOC "SOC.. MRA. EL ;ROCAL S.A.& A continuaci# continuaci#n, n, según el MEM damos una pe!ueña reerencia de la unidad unidad minera Col!uiirca: La unid unidad ad mine minera ra Col! Col!ui uiir irca ca nP 1, de la. la. S7C. M/A. EL K/7CAL S.A. Se encuentra u"icado en el departamento de 9asco, pro$incia de 9asco, en el distrito distrito de Simon Simon Kolí$ar Kolí$ar % a una altitud altitud de B455 m.s.n.m., m.s.n.m., e*plota e*plota %acimientos %acimientos polimetálico polimetálicoss <+inc, <+inc, plata, plomo, co"re? por m0todo de tao a"ierto (1*.
9ara lle$ar aca"o las operaciones unitarias de carguío % acarreo, se cuenta con las palas % sus de camiones respecti$os % la inormaci#n con !ue se cuenta, es la siguiente: “La longitud má*ima permitida de la línea de espera es de ;Q15 camiones esto de"ido a las 15
(*
MEM. 2 Op. Cit.
)
limitac limitacion iones es de espaci espacio o para para el par!ue par!ueo o de estos. El tiempo promedio de llegadas entre cami#n % cami#n es de B minutos. El tiempo promedio de carguio por cami#n cami#n es de tres minutos. En esta esta com compañ pañía se a esta esta" "leci lecid do las las siguientes restricciones: disci discipl plin inaa para para carg cargar ar los los camio camione nes: s: 6J67. Si los los cami camion ones es lleg llegan an % la líne líneaa de espera está repleta, estos se de"en dirigir a otra pala de acuerdo a las indicaciones dadas por una oic icina de control rol (11* (11* computariado . Se pide calcular: a. La longi longitud tud prom promedi edio o de la la línea línea de espera espera ". La pro"a"ilidad de !ue llegue un cami#n % encuentre la línea de espera repleta % tenga !ue dirigirse a otra pala para ser cargado.
Solución:
9or datos del pro"lema se tiene lo siguiente: ;Q15 λ n = λ Si: 5 R n R ; λ n = 5 Si: n ; /ango medio de llegadas:
/ango medio de ser$icio:
1
λ 1
µ
= B min utos > camión λ = =
& min utos > camión µ =
1 B
1 &
Cálculo del actor de utiliaci#n del sistema: ρ =
λ & = µ B
=
5.C(
a. La longitud promedio de la línea de espera puede ser calculado usando la siguiente #rmula: 11(*
La$ado /AM7S, Nos0 2 Op. Cit. : Cap. JJJ, 9. 5.
1 − ρ < N − ρ N +1 ? ρ n= T N +1 1 − ρ 1 − ρ n
n=
&= B 1− &= B
T
1 − <& = B?
15
[15 − <& = B?<15 + 1?]
1 − <& = B? 11
= 44.(
Interpretación: Interpretación: La longitud promedio de de la línea de espera es 44.(
minutos esto !uiere decir !ue se necesita tam"i0n un tiempo no mu% largo para el carguio de los camiones.
,. La pro"a"ilidad de !ue llegue un cami#n % encuentre la línea de espera repleta % tenga !ue ser cargado por otra pala está dado por:
λ p N = µ P N
n
P o
λ = µ
n
1 − ρ T N +1 1 − ρ
15 & 1 − & = B = = 5.51BC B 1 − <& = B?11
Interpretación: Interpretación: La pro"a"ilidad de !ue un cami#n sea cargado por otra
pala es 1.(I, esto es to !uiere decir !ue no necesita otra pala para el carguio de dico cami#n.
3.7. 3.7. Minimi Minimiza zació ción n de Costos Costos en la en la EBt!acc EBt!acción ión del Mine!a Mine!all "UNI%A "UNI%A% % MINERA ISCACRUD& La unidad unidad minera minera Jsca% Jsca%cru cru de la Compañí Compañíaa Minera Minera Jsca%cru Jsca%cru S.A., S.A., se encuentra u"icado en la regi#n Lima, pro$incia % distrito de 7%on a una altitud de &)45 m.s.n.m., e*plota e*plota %acimientos de inc. La compañía minera a iniciado sus operaciones de e*plotaci#n mediante tra"aos su"terráneos. El acceso a las la"ores la"ores se realia mediante una rampa de
)T )T pies pies4 con con una una pend pendie ient ntee de 14I. 14I. 9ara 9ara eect eectos os de agil agili iar ar sus sus
operaciones se cuenta con Scooptrams % camiones de "ao peril. Se an reci"ido reci"ido continuame continuamente nte !ueas por parte de los c#eres de los camiones de "ao peril por!ue ellos tienen !ue esperar para ser cargados en otras pala"ras de"en acer cola para ser cargados % por ello no se satisace satis ace con la producci#n diaria programada.
La compañía minera en su aán de eliminar dicos tiempos muertos, a recolectado las siguientes inormaciones:
rango promedio de carguio Q ) camiones por ora.
/ango promedio promedio de llegadas llegadas para todos los camiones es de B camiones por ora.
Se pide determinar: a. La pro"a" pro"a"ili ilidad dad de de !ue no a% a%aa clientes clientes en el sistem sistemaa ". ;úmero promedio de camiones en la ila. c. -iemp -iempo o promed promedio io de esper esperaa de los camio camiones nes en las las colas colas d. -iempo -iempo promedio promedio de de espera espera de los los camiones camiones en en el sistema sistema e. ;úmero ;úmero prom promedi edio o de cami camione oness en el sistem sistema. a.
Es importa importante nte conoce conocerr las princi principal pales es unidad unidades es mineras mineras !ue operan operan en nuestro medio, por esta ra#n indicamos en los cuadros &.1 % &.4 en los ane*os &.1. 9ro"a"ilidad de !ue un cami#n !ue llega tenga !ue esperar. Solución
Como es un pro"lema de colas M=M=1 de traico.
(
* .Se calcula primero la intensidad
'
λ : -asa -asa promedio de llegadas Q B Camiones por ora
µ : -asa -asa promedio de ser$icio se r$icio Q ) Camiones por ora λ ρ = µ
=
B )
=
5.))C
a. La pro"a"ilidad de !ue no a%a clientes en el sistema está dado por: P 5
Interpretación
=
1 − ρ = 1 − 5.))C
=
5.&&&
(1+?
: Apro*imadamente &&I del tiempo un cami#n !ue
llega no tiene !ue esperar, es decir )I del tiempo un cami#n !ue llega tiene !ue esperar.
,. El número promedio de camiones en la ila está dado por: L( q *
=
ρ 4 1 − ρ
=
( 5.))C * 4
1 − 5.))C
=
1.&&)
Interpretación: Interpretación: Apro*imadamente un cami#n de"e esperar en la ila
sin incluir el !ue está siendo cargado por la pala.
c. El tiempo promedio de espera de los camiones en las colas está dado por: W ( q *
=
L( q *
λ
=
1.&&) B
= 5.&&Bhoras
Interpretación: Interpretación: En 9romedio un cami#n tiene !ue esperar 5.&&B oras
d. El tiempo promedio de espera de los camiones en el sistema está dado por: W
14
(*
(*
=
W ( q *
+
1
µ
=
5.&&B +
1 )
=
5.(51horas
M>M>1? Signiica lo mismo !ue M=M=&, la única dierencia está entre el & % el 1, donde el 1signiica !ue el sistema tiene una sola estaci#n de ser$icio. La interpretaci#n es propia del autor.
5
promedio edio un cam cami#n i#n in$i in$ier erte te 5.(5 5.(51 1 ora orass Interpretación: Interpretación: En pro
e. El número promedio de camiones en el sistema esta dado por: L
=
λ 3 W = B 3 5.(51 = 4.55B
Interpretación: Interpretación: En promedio e*isten un total de dos camiones en la
estaci#n para ser cargados.
-. La pro"a"ilidad de !ue un cami#n !ue llega tenga !ue esperar esta dado por: P ( w *
= 1 − P 5 = 1 − 5.&&& = 5.))C
Interpretación: Interpretación: Apro* Apro*ima imadam damente ente )I del tiempo tiempo un cami#n cami#n !ue
llega tiene !ue esperar. IN