SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA
Versión: 01
GUÍA DE APRENDIZAJE
SISTEMA INTEGRADO DE GESTIÓN Proceso Gestión de la Formación Profesional Integral Procedimiento Ejecución de la Formación Profesional Integral
Fecha: 09/10/2014 Código: F004-P006-GFPI
GUÍA DE APRENDIZAJE Nº
2
1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE Programa de Formación: Diseño de acciones de formación Código: 03000063 complementaria. Versión: 1 Nombre del Proyecto: Fortalecimiento en razonamiento cuantitativo para la articulación con la media.
Código: 280301022
Fase del proyecto: Ejecución Actividad (es) de Aprendizaje: Identificar diferentes modelos matemáticos para la resolución De problemas en un contexto real. Analiza r la información o verificar el dominio de los procesos a partir de Actividad (es) del Proyecto: información cuantificable. Concluir sobre situaciones cuantitativas asociadas a problemas en contexto teniendo en cuenta la información suministrada y conocimiento matemático asociado. Resultados de Aprendizaje: Resolver problemas cotidianos y de Competencia: efectuar mediciones de contexto real cuantificable usando operaciones y superficies y contornos de acuerdo con procedimientos que apliquen las matemáticas básicas. planos y especificaciones especificaciones técnicas. Duración de la guía ( en horas): 15
2. INTRODUCCIÓN Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la0circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo. Expresiones algebraicas comunes:
Guía de Aprendizaje El doble o duplo de un número: 2x, El triple de un número: 3x, El cuádruplo de un número: 4x, La mitad de un número: x/2., Un tercio de un número: x/3, Un cuarto de un número: x/4, Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.., Un número al cuadrado: x2, Un número al cubo: x3, Dos números consecutivos: x y x + 1, etc…
Las ecuaciones ocupan un lugar importante en el estudio de las matemáticas, pues proporcionan una herramienta útil y cómoda para resolver r esolver múltiples problemas que, sin ellas, se resuelven de forma más complicada. Los problemas pueden resolverse por métodos aritméticos y algebraicos. En muchos casos la resolución aritmética es más sencilla, pero en muchos otros es mucho más fácil plantear una ecuación para resolverlo. 3. ESTRUCTURACION DIDACTICA DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
3.1 Actividades de Reflexión inicial. Analizar la aplicabilidad del algebra en la vida cotidiana. Analice y discuta con sus compañeros de grupo, la importancia de las ecuaciones algebraicas en el contexto real y como se aplicarían en su vida profesional. En grupos de tres responde la pregunta: ¿Para que se utiliza el álgebra en la vida cotidiana? 3.2 Actividades de contextualización e identificación de conocimientos necesarios para el a prendizaje. Utilizar los conocimientos previos de matemáticas para iniciar una etapa de exploración del del pensamiento variacional. 3.2.1 Resuelve el juego propuesto por el instructor. (Anexo 1 sesión 1) 3.2.2 Después de la instrucción del instructor resuelve en tríos el taller de paso de lenguaje natural al algebraico y viceversa. (Anexo 2 sesión 1 ) 3.3
Actividades de apropiación del conocimiento (Conceptualización y Teorización).
Identificar las características de las expresiones, clasificación, operación con polinomios algebraicas y resolución de problemas aplicando ecuaciones de primer y segundo grado . 3.3.1 Leer el anexo 3 y resolver los ejercicios propuestos para afianzar tus conocimientos de las enseñanzas de algebra trabajadas hasta el día de hoy. (Anexo 3 sesion1). 3.3.2 Resuelve el crucinúmero crucinúmero de operaciones operaciones con polinomios (Anexo (Anexo 4 sesión 2) 3.3.3 Recordar los conceptos previos para desarrollar ecuaciones de primer y segundo grado. Criptonumero. (Anexo 5 sesion2) 3.3.4 Desarrollar guía de ecuaciones ecuaciones lineales y gráficas. (Anexo (Anexo 5 sesión 3) 3.3.5 Leer la guía de resolución de problemas de ecuaciones de primer grado y resolver los problemas de aplicación. (Anexo 6 sesión 3 ) 3.3.6 Resolver los los problemas de de aplicación aplicación de segundo segundo grado. (Anexo (Anexo 7 sesión 4 ) 3.3.7 Con el fin de reforzar sus conocimientos conocimientos resuelve 5 de los puntos la actividad de forma individual individual a manera de informe para entregar el próximo lunes. (Anexo 8 ) Página 2 de 5
Guía de Aprendizaje El doble o duplo de un número: 2x, El triple de un número: 3x, El cuádruplo de un número: 4x, La mitad de un número: x/2., Un tercio de un número: x/3, Un cuarto de un número: x/4, Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.., Un número al cuadrado: x2, Un número al cubo: x3, Dos números consecutivos: x y x + 1, etc…
Las ecuaciones ocupan un lugar importante en el estudio de las matemáticas, pues proporcionan una herramienta útil y cómoda para resolver r esolver múltiples problemas que, sin ellas, se resuelven de forma más complicada. Los problemas pueden resolverse por métodos aritméticos y algebraicos. En muchos casos la resolución aritmética es más sencilla, pero en muchos otros es mucho más fácil plantear una ecuación para resolverlo. 3. ESTRUCTURACION DIDACTICA DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
3.1 Actividades de Reflexión inicial. Analizar la aplicabilidad del algebra en la vida cotidiana. Analice y discuta con sus compañeros de grupo, la importancia de las ecuaciones algebraicas en el contexto real y como se aplicarían en su vida profesional. En grupos de tres responde la pregunta: ¿Para que se utiliza el álgebra en la vida cotidiana? 3.2 Actividades de contextualización e identificación de conocimientos necesarios para el a prendizaje. Utilizar los conocimientos previos de matemáticas para iniciar una etapa de exploración del del pensamiento variacional. 3.2.1 Resuelve el juego propuesto por el instructor. (Anexo 1 sesión 1) 3.2.2 Después de la instrucción del instructor resuelve en tríos el taller de paso de lenguaje natural al algebraico y viceversa. (Anexo 2 sesión 1 ) 3.3
Actividades de apropiación del conocimiento (Conceptualización y Teorización).
Identificar las características de las expresiones, clasificación, operación con polinomios algebraicas y resolución de problemas aplicando ecuaciones de primer y segundo grado . 3.3.1 Leer el anexo 3 y resolver los ejercicios propuestos para afianzar tus conocimientos de las enseñanzas de algebra trabajadas hasta el día de hoy. (Anexo 3 sesion1). 3.3.2 Resuelve el crucinúmero crucinúmero de operaciones operaciones con polinomios (Anexo (Anexo 4 sesión 2) 3.3.3 Recordar los conceptos previos para desarrollar ecuaciones de primer y segundo grado. Criptonumero. (Anexo 5 sesion2) 3.3.4 Desarrollar guía de ecuaciones ecuaciones lineales y gráficas. (Anexo (Anexo 5 sesión 3) 3.3.5 Leer la guía de resolución de problemas de ecuaciones de primer grado y resolver los problemas de aplicación. (Anexo 6 sesión 3 ) 3.3.6 Resolver los los problemas de de aplicación aplicación de segundo segundo grado. (Anexo (Anexo 7 sesión 4 ) 3.3.7 Con el fin de reforzar sus conocimientos conocimientos resuelve 5 de los puntos la actividad de forma individual individual a manera de informe para entregar el próximo lunes. (Anexo 8 ) Página 2 de 5
Guía de Aprendizaje 3.4
Actividades de transferencia del conocimiento.
3.4.1 Aplicar el teorema de Pitágoras y de Thales T hales en la solución de situaciones de la vida cotidiana. Realice la lectura del anexo 9. (Sesión 5) Resuelva los ejemplos de forma grupal con la asesoría del instructor aclarando las dudas que hayan surgido al momento de la lectura. Identifique y escriba la aplicabilidad que tienen esta clase de teoremas en la vida cotidiana. Resuelva el “taller” prueba saber que se presenta en la última página del anexo 9. El instructor propondrá una situación problema para cada grupo con el fin de que sea resuelta y expuesta en un tiempo no mayor a 5 minutos por los pequeños grupos.
3.5
Actividades de evaluación. Evidencias de Aprendizaje
Evidencias de Producto:
Resolución de juego de lógica Taller de lenguaje natural. Guía de características. Crucinúmero. Criptonúmeros. Talle de resolución de problemas ecuaciones de primer grado. Problemas de ecuaciones de segundo grado. Actividad de refuerzo.
Criterios de Evaluación
Analiza la información matemática de un contexto real teniendo en cuenta los conocimientos asociados a los datos cuantitativos.
Técnicas e Instrumentos de Evaluación
Listas de chequeo
Resuelve problemas de contexto real mediante el uso de diferentes métodos matemáticos de solución .
4. RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE
Juego de lógica aplicando expresiones algebraicas. Taller de traducción de lenguaje natural al algebraico y viceversa. Guía de características y operaciones algebraicos. Crucinúmero de aplicación con operaciones algebraicas. Decodificador para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Guía de resolución con ecuaciones de primer grado. Guía de resolución con ecuaciones de segundo grado. Actividad de refuerzo de resolución de problemas.
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Guía de Aprendizaje
5. GLOSARIO DE TERMINOS Expresión algebraica: es una combinación de números y letras asociados mediante operaciones aritméticas. Clasificación de expresiones algebraicas: pueden ser monomios de un término, binomios de dos términos, trinomios de tres términos y polinomios de más de tres términos. Términos semejantes: son aquellos que tienen la misma parte literal. Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos polinomios, donde el divisor es diferente de 0. Factorizar: Transformar un polinomio en un conjunto de polinomios. Ecuación lineal: su mayor exponente es uno. Ecuación cuadrática: significa encontrar el valor o los valores de las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Variable: es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Incógnita: En una expresión o ecuación matemática, cantidad que no se conoce y se debe averiguar, que, generalmente, se representa por una de las letras iniciales o finales del alfabeto. Coeficientes: Es un factor multiplicativo vinculado a un monomio. Dado un divisor del monomio, el coeficiente es el cociente del monomio por el divisor. Así el monomio es el producto del coeficiente y el divisor. Lógica: Es la disciplina que estudia métodos de análisis y razonamiento; utilizando el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico Teorema: Proposición matemática demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas. Triangulo rectángulo: En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados. Rectas paralelas: Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano. Segmentos: Un segmento de recta es una porción o parte de una línea que esta acotada por dos puntos. Pitágoras: Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética.
6. BIBLIOGRAFÍA/ WEBGRAFÍA
Bibliografía: Hipertexto grado noven editorial Santillana. Precalculo editorial Thomson. Algebra intermedia editorial Pearson. Webgrafía: • • •
www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4contenidos.html htpp//descartes.cnice.mec.es/Descarte1/4a eso/Ecuación de segundo grado/Ecua seg.html#probl. Anagarciaazcarate.wordpress.com http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras https://www.google.com.co/search?newwindow=1&q=TEOREMA%20DE%20PItagoras&rct=j http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html
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Guía de Aprendizaje
7. CONTROL DEL DOCUMENTO (ELABORADA POR) Nombre Autores
Cargo
Dependencia
Firma
Andrea Carolina Tejero Ruiz. Cristofer Bolaños Scalante
Instructor Carlos Andrés Varela García. Orlando Morales Muñoz.
-
CENIGRAF
-
Cafam Naranjos
Fecha Octubre 09 del 2014
los
Asesoría Pedagógica Revisión
Aprobación
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Anexo1 JUEGO PIRAMIDE
m*m*m=27
11=m+m-1
8/4x=2
3+x=4x
z=-8+5
2x+x=6
Y*Y=9
5x-2x=3
(x+x)/2=3
2x+1=x+2
2x-3=7
x+x=8
x/3=1
x*4=8
3x/2=6
x+3=9
1 3 jugadores: dos jugaron y el tercero será el juez. Objetivo: llegar a la sima de la pirámide resolviendo las ecuaciones. Inicio: uno de los jugadores lanza un dado hasta obtener uno, luego resuelve la ecuación y vuelve a lanzar el dado, el número obtenido debe ser la respuesta de la ecuación dada, sino logra el número adecuado continua el siguiente jugador, el juez verifica los resultados.
Anexo 3 Características de los polinomios. Polinomios Un polinomio es así:
Están conformados por: Literales o variables: son las letras del alfabeto que se utilizan para representar números que se desconocen inicialmente. Coeficientes: son los números que acompañan a las letras. Constantes: son números que aparecen solos dentro del polinomio. Exponentes: son los números que se encuentran en la parte superior de una letra.
Los polinomios se pueden combinar por medio de las operaciones. Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
4x
2
2
+2 x + 2x + 2= 6 x
2
+2x+2
La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
2x
2
− 2 x – 2 − 2 x + 2 x =2 x
2
− 2x − 2
Multiplicación de polinomios Producto de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el m ismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. Producto de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Producto de polinomios 1 Se m ultiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. 2 Se suman los monomios del mismo grado. 2
2
4
2
2
4
(4x + 1)*(2x + 1) =8x + 4x + 2x +1=8x + 6 x
2
+1
División de polinomios P(x) / Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado a nterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo. Estos son polinomios:
3x x-2 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Grado El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable. Ejemplo: El grado es 3 (el mayor exponente de x )
Ejercicios:
Escribe 5 polinomios ordenados. Identifica cada parte de los polinomios que escribió. Suma el primer polinomio con el segundo. Resta el tercer polinomio con el cuarto. Multiplica el primer polinomio con el quinto.
Anexo 4 CRUCINÚMERO Resuelve el crucinúmero:
A
B
C
1 2 3
Horizontales: x
4
− 3 x
5
+ 2x 1.
2
+ 5
Encuentra el grado del polinomio.// Encuentra el coeficiente principal.// escribe la constante.//
2.
Resuelve 4x + 1=5// Reemplazar x por 3 en el polinomio 2x 2
//R em pla za r x po r 1 en el polino mi o 4x 3.
2
–
2
−
2x
–
2
1.
2
Multiplicar el polinomio (4x – 1) * x Encontrar el grado del polinomio// el coeficiente principal del polinomio// la constante del polinomio.
Verticales:
A. Solucionar la ecuación: 2x+4=14// Solucionar la ecuación 3z2z=1//Resuelve la ecuación 1/2x + 4=12. 3
2
2
B. x − 6x + 4 encuentra el grado del polinomio.// x + 1 reemplazar por 3 // so lucio na r la ecu ac ión 2x +2x =1 6. C. Indicar el grado del polinomio x polinomiox
3
+ x
5
+ x
2
3
+ x
5
2
+ x // 8x -5 x= 9// con st ant e del
ANEXO 2 NOMBRE_____________________________________________________________________ Traducción del lenguaje cotidiano al algebraico 1.
Coloree la expresión algebraica y su correspondiente expresión verbal de un mismo color. Como se muestra en el ejemplo.
Expresión verbal El triple de un número Un número cualquiera El producto de dos La suma de dos números números diferentes diferentes El cubo de un número La quinta parte de un cualquiera número. La mitad de la diferencia ¿Cuál es el número que de dos números agregado a 3 suma 8? cualesquiera ¿Cuál es el número que Cuatro veces la suma de disminuido de 20 da por dos números diferencia 7? cualesquiera
Expresión algebraica
Traducción de un lenguaje algebraico a un lenguaje cotidiano
2. Escriba en frente de cada expresión algebraica el enunciado, como se muestra en el ejemplo.
La suma de dos números cualquiera dividida entre su diferencia
3. Escriba la expresión algebraica que corresponda. 3.1 El doble de un número cualquiera._________________________________________ 3.2 El triple de un número cualquiera disminuido en 2.____________________________ 3.3 El doble de un número cualquiera aumentado en 5. ___________________________ 3.4 La quinta parte de un número aumentado en 8._______________________________ 3.5 La diferencia entre un número y 8._________________________________________ 3.6 La diferencia de dos números cualquiera es 6.________________________________ 3.7 La suma de dos números diferentes es 15.___________________________________
3.8 El doble de un número dividido en otro._____________________________________ 3.9 El producto de 3 números aumentados en 2._________________________________ 3.10
La tercera parte de un número aumentado en 5 ____________________________
4. Halle la ecuación y diga cuánto dinero tiene cada uno.
5. Halle la ecuación y diga cuales son las edades.
Anexo 5 Actividad uno: resuelve mental mente. X + 8 = 18
x - 2= 8
6 + 3 – x = 12
12 – 4 + x = 22
¿Qué valor tiene x en cada caso? Esta etapa sería un aprestamiento mental, el cual podría durar algunos minutos, la intención es que entiendan que x es un número que tengo que encontrar, que es un buen juego de lógica. Actividad dos: Aplica la teoría Despeja la siguiente ecuación a través de la t abla. Una vez desarrollada esta primera par te utiliza el valor final de la incógnita y remplázalo por uno de los símbolos que lo representa. A es 1 B es 2 C es 3 De esta manera sucesivamente. Ejemplo 4x - 6 = 6 + x
-x+4x - 6 3x-6 3x 3x x x
=6 =6 =6+6 =12 =12/3 =4
4 es la letra D
D A
Desarrolla: A) .
9x− 8 = 37
F) .
− 9 = 0
B) . 3x-5=2(x+7)
G) .3(2x-3)=15
C) . 2x+9=41
H) .2x-2=x+3
6 = + 1
D) .
+ 4 = 54
I)
.2
J)
.x(x+2)2=117
E) . 5x+9=59
K) .x2-50=391
Ecuaciones de segundo grado
l)x2-5x+6=0
Ya tienes pistas suficientes cual es el título que tiene el tema de hoy.
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Estos casos se resuelven mediante la siguiente fórmula: Fórmula
Ejemplo: x2 + 1x -2=0 a=1 b=1 c=-2
−(1)± (1) − 4(1)(−2) = 2(1) = −(1)±2 1 +8 9 = −(1)± 2 = −1±2 3 1 = −1+2 3 = 1 2 = −1−2 3 = −2
Una de las respuestas es 1 el cual representa en nuestra actividad la letra A
Actividad dos Mira la teoria y repressenta las funciones
Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3 la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3. Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano cartesiano.
Funciones cuadráticas
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) =
ax2 + bx + c
a, b y c = números reales diferentes a cero.
Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola. La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al eye de las “y”. Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba. Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos: 1. Igualar la ecuación a cero. 2. Factorizar la ecuación. 3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces. Para graficar la función seguimos estos pasos: 1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo. 2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero. 3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la fórmula - b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función. 4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva. Desarrolla. 1 Para dibujar la gráfica de una función lineal basta hacer una tabla de valores con dos valores, pero podemos tomar tres para orientarnos mejor. Completa las siguientes tablas de valores correspondientes a las funciones lineales señaladas en cada caso.
Completa la tabla de valores de la función lineal y = 3x x 1 0 -1 -2
y
Completa la tabla de valores de la función lineal y = −5x x
y
1 0 -1 -2
Representa las funciones cuadráticas 1y = −x² + 4x − 3 2y = x² + 2x + 1 3y = x² + x + 1
ANEXO 6 RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 1° Ecuaciones de la forma ax + b = c. Recuerda que para despejar x: 1. Lo que está sumando pasa al otro miembro restando, y viceversa. 2. Lo que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo, y viceversa. Una ecuación de primer grado puede tener:
Una única solución: ej. x+2 = 5, sólo tiene como solución x=3 ; (3 + 2 = 5) Infinitas soluciones: (realmente es una identidad), ej. 2x + 4 = 2(x+2) Ninguna solución: ej. x + 1 = x + 3 Ecuaciones con paréntesis: Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Se pasan a un miembro los términos con x y a otro los términos sin x. Se simplifican ambos miembros y se despeja la incógnita x. Ecuaciones con denominadores: Se eliminan los denominadores reduciendo todos los términos a común denominador. Se eliminan los paréntesis. Se continúa igual que antes.
A la hora de resolver problemas mediante una ecuación de primer grado se deben tener en cuenta los siguientes pasos:
1.- Entender el problema: debemos leer detenidamente el enunciado del problema, para entender bien tanto lo que en él se describe como la pregunta que se nos plantea. ¿De qué datos disponemos? ¿Cómo podemos relacionarlos? ¿Hemos resuelto algún problema similar anteriormente? ¿Qué expresiones y cálculos matemáticos vamos a necesitar? 2.- Planificar: tenemos que buscar la incógnita adecuada y relacionarla con los datos conocidos. A continuación, planteamos la ecuación, para lo cual hay que expresar en lenguaje algebraico la información proporcionada (de la misma forma que lo has hecho al principio de la unidad). 3.- Realizar los cálculos: resolvemos la ecuación. 4.- Comprobar: comprobamos que la solución obtenida es correcta y conforme al enunciado y a la situación del problema planteado. Revisamos todo el proceso. Ejemplo: El peso de una paella es igual a 0,8 kg más el peso de su mitad.
Determinar mediante el planteamiento y resolución de una ecuación el peso de dicha paella. Resolución del problema:
Primero: Determinamos cuántas incógnitas (datos para determinar) tiene el problema. Observamos que es una sola incógnita, el peso de la paella. Por tanto: x = peso de la paella en kilogramos Segundo Traducimos la condición que nos dan a una ecuación: x = 0,8 + x/2 Tercero Ahora basta con resolver la ecuación: x = 0,8 + x/2 => 2x = 1,6 + x => 2x - x = 1,6 => x = 1,6 Por tanto la solución es: el peso de la paella es de 1,6 kg Finalmente Comprobamos que su cumple el enunciado: 0,8 + 1,6/2 = 0,8 + 0,8 = 1,6 (correcto) PROBLEMAS DE APLICACIÓN Problema 1.Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm el perímetro vale 52 cm. ¿cuánto mide el lado del primer cuadrado? Problema 2.La base de un rectángulo es el doble de su altura. ¿ cuales son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? ¿Cuánto mide el área del rectángulo? Problema 3. El perímetro de una finca rectangular es 480 m. ¿Cuánto miden el largo y el ancho?, el largo mide 5x y el ancho x. Problema 4. Si al triple de un número le restas dicho número, resulta 30. ¿Cuál es ese número? Problema 5. La suma de un número natural y el siguiente es 13. Averigua mentalmente cuáles son estos números. Después plantea una ecuación y resuelve con ella el problema planteado. Problema 6. La suma de un número con su mitad es igual a 45. ¿Cuál es ese número? Problema 7. Ana pregunta a Sergio la edad que tiene y Sergio contesta: la mitad de mis años, más la tercera parte, más la cuarta parte, más la sexta parte de mis años suman los años que tengo más 6. ¿Cuántos años tiene Sergio? Problema 8. El doble de un número menos siete es igual a 8. ¿Cuál es ese número? Problema 9. Un número más el doble del anterior es igual a 19. ¿Cuáles son los números? Problema 10. Calcula la cantidad de colesterol en mg recomendada por persona y día sabiendo que la suma de su quinta parte y su sexta parte es 40 mg menor que su mitad. Problema 11. La medida de los tres lados de un triángulo son tres números consecutivos. Si el Perímetro del triángulo es 12 cm, ¿cuánto mide cada lado?
ANEXO 7 RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 2° La ecuación cuadrática a una ecuación polinómica, que tiene como mayor exponente el número 2. La ecuación cuadrática tiene la forma: 2+ + =0
Ejemplos de ecuación cuadrática:
* 2 + 8=15 * 3 4=0 * 2 6+5=0 * 8 2+ 9
−10 =20
2 2
−
2
−
Es importante tener en cuenta para este último ejemplo que: a=2 (a es el coeficiente de la 2), que b=-6 (b es el coeficiente de la x) y c=5 (c es el valor constante).
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una: Disfrazadas
Qué hacer
En forma estándar
a, b y c
x2 = 3x -1
Mueve todos los términos a la izquierda
x2 - 3x + 1 = 0
a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5
Desarrolla paréntesis
2x2 - 4x - 5 = 0
a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3
Desarrolla paréntesis
x2 - x - 3 = 0
a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x 2 = 0
Multiplica por x2
5x2 + x - 1 = 0
a=5, b=1, c=-1
Forma de solucionar una ecuación cuadrática:
Caso primero: ecuación cuadrática de la forma donde pertenecen a los números reales. La pasa a dividir quedando , y para eliminar la raíz cuadrada y terminar de despejar la x hallo la raíz
. Caso segundo: ecuación cuadrática de la forma donde pertenecen a los números reales. cuadrada a ambos lado de la igualdad, final mente
Factorizo la x (factor común) quedando x(ax + b) = 0, luego la x pasa a dividir con 0 (cero) lo que indica que se cancela y queda una ecuación simple de primer grado ax + b =0.
Caso tercero: ecuación cuadrática completa de la forma donde a, b, y c son números que pertenecen a los números reales. Para solucionar este tipo de ecuaciones uso la una formula llamada la fórmula de la cuadrática que es:
√
Y reemplazo cada uno de los valores en la fórmula para así hallar los posibles valores de x, que puede presentarse de las siguientes maneras: un número real, dos reales, un imaginario o dos imaginarios. Podemos encontrarnos numerosas situaciones en las que aparecen ecuaciones con x 2 o x elevado a otro exponente, ecuaciones con x tanto en el numerador como en el denominador de una fracción, ecuaciones con x dentro de una raí z cuadrada o de otro índice, ...,Si nos metemos en temas más profundos, como en economía o en estudios de la dinámica de poblaciones, podemos encontrarnos con ecuaciones donde aparecen logaritmos, exponenciales, etc. A la hora de resolver problemas mediante una ecuación de primer segundo grado se deben tener en cuenta que:
Los distintos pasos que se indicaron para poder afrontar la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado son también válidos para aquellos que se necesiten resolver pero mediante ecuaciones de segundo grado. Muchos de estos problemas suelen estar basados en aspectos geométricos como el área, ya que, como sabes, las unidades de medidas son cuadráticas (m2, cm2, etc, es decir obtenidas por el producto de dos dimensiones). También se debe tener en cuenta que, como generalmente las ecuaciones de segundo grado dan generalmente dos soluciones, tendrán que comprobar si sólo vale como solución una de ellas o las dos. Ejemplo 1: Se quiere realizar un toldo estampado como el de la figura. Su superficie total es de 12m2 y una de sus partes es de forma cuadrada.
Conteste las siguientes cuestiones: a) Cuánto mide el lado de la parte cuadrada del toldo? b) Cuánto mide cada lado del toldo?
Tendrás que utilizar para resolver este problema tus conocimientos de geometría y lo que has aprendido sobre las operaciones con polinomios
Resolución del problema: Primero: Los lados del toldo miden x+2 y x+3, por tanto al ser el área total 12 m 2, tenemos que (x+2)(x+3)=12
Segundo: Realizamos el producto y simplificamos.(x+2)(x+3)=12 => x 2+5x+6=12 => x 2+5x+6-12 = 0=> x2+5x-6 = 0
Tercero: Resolvemos la ecuación x2+5x-6 = 0, y obtenemos como soluciones x=1, x=-6
Cuarto: Observamos las dos soluciones y determinamos cuál de ellas es la válida. Como vemos de ellas la solución válida es x=1 ya que la otra es negativa y no tiene sentido una longitud para los lados del toldo que sea negativa.
Por tanto el lado del cuadrado del toldo mide 1 m y las dimensiones del toldo serán por tanto 1+2= 3 m y 1+3=4 m. Quinto: Comprobamos que la solución es correcta, para ello vemos que efectivamente el área total del toldo es 3·4= 12 m2
Ejemplo 2. Si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar la longitud del lado y el área del cuadrado.
Representaciones: lado del cuadrado: x Área del cuadrado: x 2 Diagonal del cuadrado: 23cm Aplicamos el teorema de Pitágoras y la ecuación +x2 =232 sumamos términos semejantes.2x2= 529 dividimos entre dos la ecuación 2 =264,5 sacamos raíz a ambos términos. = 16,26 Por lo tanto
quedaría: Ecuación: x2
23
la magnitud del lado es
x = 16,26 cm y el área es x 2= 264,5 Estudiante de cafam si desea continuar con su estudio personal en casa, el siguiente es un link donde encontrara problemas resueltos y por resolver para que recuerde y refuerce sus conocimientos. http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4_Contenidos.html PROBLEMAS DE APLICACIÓN Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuación de primer grado en algún caso. Problema 1.- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos. Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1) 2 + x2.
Problema 2.- Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. (Sugerencia: Realiza un dibujo del problema). OJO. La solución de los dos problemas anteriores se encuentran en : http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/Ecua_seg.htm#probl Pero no vas a encontrar los procedimientos, verifica tus resultados. Problema 3. A mi hermana le dijo su amiga que el número de su casa era curioso: se había dado cuenta de que al cuadrado de dicho número era igual a nueve más ocho veces dicho número. Ayuda a mi hermana a calcular el número de la casa de su amiga. Problema 4. La base de un rectángulo es 7m más larga que la altura. Su área mide 494m 2. Calcular las dimensiones del rectángulo. Problema 5.En un triángulo rectángulo, el cateto más pequeño mide 8 cm menos que la hipotenusa y 7 cm menos que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados. Problema 6. El perímetro de un terreno rectangular es de 350m. Sabiendo que el largo del terreno es el triple de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?¿Cuál es el área del terreno?. Redondea a dos cifras decimales. Problema 7. Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm, el perímetro vale 52 cm. ¿Cuál es el lado del primer cuadrado?
Problema 8. La altura de un triángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm 2. Cuáles son las medidas de la base y de la altura de dicho triángulo? Problema 9. El área de un piso rectangular es de 209 m 2, el piso tiene 8m de largo que de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del piso? Problema 10. Calcula la medida del largo y el ancho de un terreno rectangular sabiendo que su área es de 2244,50 m2 y que su largo es el doble de su ancho.
ANEXO 8
ANEXO 9
TEMA
TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE THALES
PRESENTACIÓN
Son unas herramientas matemáticas que sirven para el desenvolvimiento de problemas cotidianos que influyen ángulos y triángulos rectángulos.
Teorema de Pitágoras Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, lo que conforman el ángulo recto). Por tanto como se muestra en las siguientes figuras:
CONTENIDO TEMÁTICO
Según las figuras anteriores el teorema de Pitágoras se puede definir como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triangulo rectángulo. Se tiene:
Donde las letras respectivas representan:
Ejemplo: 1. Utilizando el teorema de Pitágoras encontrar los lados correspondientes que hacen falta:
Utilizando la ecuación respectiva se deba hallar la hipotenusa que se denota por la letra c, por tanto se realiza el siguiente proceso reemplazando los valores respectivos se tiene:
Entonces se completa los valores del triangulo rectángulo con sus tres valores respectivos por tanto a=3, b=4 y c=5. 2. Utilizando el teorema de Pitágoras encontrar los lados correspondientes que hacen falta:
Ahora en el segundo ejemplo se tiene la hipotenusa y el cateto adyacente y me están pidiendo el cateto opuesto, se utiliza el proceso aritmético adecuado por tanto se tiene:
Por tanto se demuestra los valores de la parte superior, y se realiza el mismo proceso para hallar el cateto adyacente.
TEOREMA DE THALES Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Como se muestra en la figura
Teorema De Thales En Un Triángulo Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Ejemplos: 1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
Utilizando el teorema se encuentra el valor de x, por tanto se tiene:
2. Hallar las medidas de los segmentos a y b.
Utilizando el teorema se encuentra los valores a y de b, por tanto se tiene:
Ahora se encuentra el valor de b de la siguiente manera:
Según la explicación descrita en contenido temático responder las siguientes preguntas
EVALUACIÓN -Prueba Saber-
1. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triangulo rectángulo, lo anterior es la definición de: a. b. c. d.
Teorema Teorema Teorema Teorema
de Pitágoras de THALES de newton de Leibniz.
2. Una ciudad se encuentra 18km al oeste y 10 km al norte de otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades? a. b. c. d.
20,591 km 25 km 20km 21km
3. Según el siguiente triangulo rectángulo encontrar el lado que hace falta y escoger la respuesta correcta:
a. b. c. d.
11,18m 12m 11,90m 11,00 m
4. Utilizando el teorema de THALES encontrar el valor de x según corresponda:
a. b. c. d.
9cm 10cm 9,6cm 9,9cm
5. Utiliza el teorema de THALES para encontrar x.
a. b. c. d.
3,59cm 4,00cm 3,8 cm 3,1 cm
Aplicación Del Teorema De Pitágoras En La Cotidianidad
En la cotidianidad se aplica este teorema en diversos campos del conocimiento e incluso para resolver problemas de diario vivir, cuando un problema represente una figura geométrica es recomendable y necesario dibujarlo. A esta representación gráfica se le llama figura de análisis. Conviene en ella volcar los datos e incógnitas. A partir de este dibujo resulta más sencillo elaborar un plan para organizar la solución. Por tanto se tiene: 1.
La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m. se sabe que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., determinen el ancho reglamentario de una mesa de ping-pong.
Si observamos el dibujo, vemos dos triángulos rectángulos. Sólo nos detendremos en uno de ellos. De allí sacamos los datos:
un cateto (b)= 2,74 m hipotenusa (a)= 3,14 m otro cateto (c)= ancho de la mesa, que es nuestra incógnita. Por tanto aplicaremos el teorema de Pitágoras para encontrar el ancho de la mesa:
Por tanto de la ecuación anterior se despeja el cateto c.
