Formulario Geometría Analítica

UAEM

Facultad de Ingeniería

Formulario: Geometría Analítica

Universidad Autónoma del Estado de México UAEM “Facultad de Ingeniería”

Formulario: “Geometría Analítica”

Elaborado por: David Isaías Jaimes Reyes Estudiante de Ingeniería en Electrónica

David Isaías Jaimes Reyes

UAEM



Formulario “Geometría Analítica” 1.

Vector Ortogonal ̂ ̂ Sean ̅

VECTORES EN EL PLANO

̂

̂

Coordenadas del punto medio de un segmento

2. (

)

VECTORES EN EL ESPACIO

Vector Posición ⃗⃗⃗⃗⃗

Coordenadas del punto medio de un segmento ̂

̂

(

Magnitud de un segmento √

)

Vector Posición ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂

̂ ̂

Magnitud de un vector || ̅||

√

Magnitud de un segmento √

Ángulo (Dirección del Vector) (

)

Magnitud de un vector || ̅||

Dirección Opuesta de un Vector Si Si

Ángulos o cosenos directores ̅ ̅ ̅ ̅

Vector Unitario ̅ ̅̅ || ̅|| Producto Escalar de dos Vectores ̂ ̂ y ̅ ̂ ̂, entonces Sean ̅ ̅ ̅ Vectores Paralelos ̅ ̅ ̅ ̅ o ̅

√

Vector Unitario ̅ ̅̅ || ̅|| o también ̅̅

̅

Vectores Perpendiculares ̅ ̅ ̅ ̅ Ángulo entre dos Vectores ̅ ̅ ( ) | || ̅ ||| ̅||

̅ ̅

̂

̂ ̂

Producto Escalar de dos Vectores ̂ y ̅ ̂ ̂ ̂ Sean ̅ ̅ ̅ ̂

̂ , entonces

Producto Vectorial ̂ y ̅ ̂ ̂ Sean ̅

̂

̂ entonces

̂

Proyección Ortogonal de dos Vectores ̅

̅

(

̅ ̅ || ̅ ||

̅

)̅

Componente (Magnitud del Vector ̅ ̅ ̅̅ || ̅||

̅ ̅)

̅

[

]

Producto Triple Mixto ̂, ̅ ̂ ̂ Sean ̅ ̂ entonces ̂ ̂


̅

̅

̂

[

̂

̂y ̅

]

̂

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Ángulo entre dos Vectores (Espacio) ̅ ̅ ( ) || ̅ |||| ̅||


Componente (Magnitud del Vector ̅ ̅ ̅̅ || ̅||

̅ ̅)

(Espacio)

Proyección Ortogonal de dos Vectores (Espacio) ̅̅

3.

(

̅ ̅ || ̅||

)̅

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA La recta en el plano

Ecuación General o Forma Cartesiana Distancia de una Recta a un Punto dado | |

Ecuación Vectorial ̅

√

Ecuaciones Paramétricas

,

Distancia dirigida de una Recta a un Punto dado

𝑡

Pendiente “ ”

√ Ecuaciones de las bisectrices de dos rectas que se cortan √

√

Y Forma punto- pendiente √ Forma pendiente- intersección

Forma Intersección de una Recta

Rectas Paralelas

Si Si Si

√ es de signo contrario a y B tienen en mismo signo tienen el mismo signo

√ Vector Paralelo a una Recta ̅ ( ) Vector Normal a una Recta ̅ ̅

Rectas Perpendiculares Ángulo entre dos Rectas

Forma Normal de la Ecuación de una Recta

√

√

Distancia entre Rectas Paralelas |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅| || ̅||


UAEM 4.



SECCIONES CÓNICAS

*En la parábola y la hipérbola

̂

y en la circunferencia y la elipse [

]

̂

CÓNICA

CARACTERÍSTICAS

Circunferencia

Constantes Primera ecuación ordinaria Centro en el origen

radio

Segunda ecuación ordinaria Centro en el punto Longitud del lado recto Excentricidad Ecuación Vectorial

Con centro en el origen Centro en

Algunas ecuaciones paramétricas

Con centro en el origen Centro en


-------

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Facultad de Ingeniería Constantes

distancia del vértice al foco distancia del vértice a la directriz Foco sobre el eje

Parábola Primera ecuación ordinaria Vértice en el origen

Segunda ecuación ordinaria Vértice en el punto


Eje focal coincide con el eje

Directriz:

foco

Eje focal coincide con el eje

Directriz:

foco

Eje focal coincide con el eje Eje focal coincide con el eje

Longitud del lado recto Excentricidad Ecuación generan de la cónica careciendo del termino

Casos excepcionales

Ecuación Vectorial

Con centro en el origen

Centro en

Rotada y con centro en


Rotada y con centro en el origen

Centro en



ó

Dos rectas coincidentes; dos rectas paralelas (Ningún lugar geométrico)



Ya sea

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Formulario: Geometría Analítica longitud del eje mayor longitud del eje menor distancia entre los focos

Elipse

Focos sobre el eje mayor Primera ecuación ordinaria Centro en el origen


Segunda ecuación ordinaria Vértice en el punto

Focos

,

Focos

,


Longitud del lado recto

Excentricidad

(Para la circunferencia, Ecuación generan de la cónica careciendo del termino

Casos excepcionales

Ecuación Vectorial

Punto (Ningún lugar geométrico) Con centro en el origen Rotada y con centro en el origen Centro en

Rotada y con centro en Algunas ecuaciones paramétricas

Con centro en el origen Rotada y con centro en el origen Centro en



y del mismo signo Para la circunferencia,

)

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Constantes

longitud del eje transverso longitud del eje conjugado distancia entre los focos

Hipérbola

Focos sobre el eje transverso Primera ecuación ordinaria Centro en el origen


Segunda ecuación ordinaria Centro en el punto

Focos

,

Focos

,


Longitud del lado recto

Excentricidad

Ecuación generan de la cónica careciendo del termino

Casos excepcionales Ecuación Vectorial


Centro en Rotada y con centro en Con centro en el origen Rotada y con centro en el origen Centro en



de signo distinto

Dos rectas que se cortan



y

UAEM 



Opcional ROTACIÓN DE EJES (

)

ECUACIONES DE ROTACIÓN 



En términos de

En términos de

TEOREMA: Si la ecuación

es tal que

, y si se obtiene de un sistema de coordenadas

entonces, en coordenadas

, la ecuación

al tomar los ejes

un ángulo

que satisface

tendrá la forma

EL DISCRIMINANTE Considérese una ecuación de segundo grado

a) Si b) Si c) Si gráfica.


la ecuación representa una elipse, una circunferencia, un punto o bien no tiene gráfica. la ecuación representa una hipérbola o una pareja de rectas que se intersectan. la ecuación representa una parábola, una recta, una pareja de rectas paralelas o bien no tiene

UAEM 5.



COORDENADAS POLARES

CRITERIOS DE SIMETRÍA a)

Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su ecuación se produce una ecuación equivalente. b) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su ecuación se produce una ecuación equivalente. c) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al origen si al sustituirse por en su ecuación se produce una ecuación equivalente.

GRÁFICAS COMÚNES Cardiodes y Limacos

Limaco

Cardiode Lemniscatas


Limaco

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Rosas



UAEM 6.


GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO 

La recta en el espacio Ecuación Vectorial Sean

y ̅

, entonces:

̅ Ecuaciones Paramétricas

,

𝑡

Ecuación Simétrica o Forma Cartesiana



El plano Ecuación Vectorial Sean ̅

,̅

y

̅

̅


,

𝑠

𝑡

Forma Punto – Normal y̅

Sean

, entonces:

Distancia entre un Punto y el Plano |

|

√


, entonces:


UAEM 7.



SUPERFICIES CUADRICAS

Superficie

Ecuación


Esfera Traza

Plano

e

Circunferencia Circunferencia Circunferencia

Paralelo al plano Paralelo al plano Paralelo al plano

[ [

] ]

[ [

] ]

〈 [

]

Elipsoide

Traza

Plano

e

Elipse Elipse Elipse


La superficie es una esfera si

Hiperboloide de un hoja

Traza

Plano

e

Elipse Hipérbola Hipérbola


El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. David Isaías Jaimes Reyes

〉,

UAEM Superficie



Ecuación


Hiperboloide de dos hojas

Traza Elipse Hipérbola Hipérbola

Plano

e


〈 [

]

〉

〈 [

]

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje

Cono elíptico

Traza Elipse Hipérbola Hipérbola

Plano

e


El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los planos coordenados paralelos a este eje son rectas que se cortan.


〉

UAEM Superficie



Ecuación


Paraboloide Elíptico √ √ Traza

Plano

e

Elipse Parábola Parábola


[ [

]

El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia.

Paraboloide hiperbólica

Traza

Plano

e

Hipérbola Parábola Parábola


El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia.


〈 〈

〉 〉

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ANEXO 1 “TRIGONOMETRÍA” Resolución de un Triángulo - Rectángulo 

Identidades fundamentales

Razones Trigonométricas

Fórmulas de Adición

Resolución de un Triángulo – Oblicuángulo 

Ley de Senos

Fórmulas de Resta 

Ley de Cosenos

Fórmulas para Ángulos Negativos


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Fórmulas de Doble Ángulo


Fórmulas de Confusión (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Potencias

Fórmulas de Producto a Suma [

]

[

]

[

]

[

]

Fórmulas de Suma a Producto

Fórmulas de Semiángulos √

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

√


( )

(

) )

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ANEXO 2

“Funciones Hiperbólicas”

Razones Hiperbólicas


Identidades fundamentales

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ANEXO 3 “PLANO POLAR”



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Referencias    

Arcos, Ismael. Geometría Analítica para Estudiantes de Ingeniería. 2 a Edición. Editorial Kali. Lehman, Charles H. Geometría Analítica. Editorial Limusa. 2004. Anton, Howard. Cálculo y Geometría Analítica: Volumen II. Editorial Limusa. 1986. Larson, Hostetle, Edward. Cálculo II de varias variables. 8a edición. Mc. Graw Hill. 2006.


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