APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES AL FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE DESARROLLADOS
En esta parte del corso trataremos de obtener información detallado relativa al campo de velocidades, en un flujo laminar completamente desarrollado. Su conocimiento nos ayudar a calcular los esfuerzos cortantes, la caída de presión y el gasto volumétrico. 1. Flujo laminar completamente desarrollado entre dos placas planas paralelas. 1.1.
Ambas placas sin movimiento. - Cuando el espacio entre las placas es
bastante pequeño (menor 0.005 mm), el campo de velocidades resultante se puede suponer como si fuera el que se da entre dos placas paralelas infinitas. Consideraciones.
①
En la dirección Z las placas
son completamente infinitas. Se considera constante las propiedades del fluido en tal dirección Z.
②
El flujo es estacionario e
incompresible (μ no varía y ρ = cte.).
③
No existe componente dela
velocidad en las direcciones “ y” o “z”.
④
La velocidad solo es función de “ y” mas no de “ x”, porque el flujo es
completamente desarrollado.
⑤
Las fuerzas volumétricas se desprecian, es decir:
=
Por consideración 2 las ecuaciones de Navier- Stokes sintetizados es:
0, flu flu o desarrolla desarrollado. do.
∗ = ∗ − + 0, por
.
⇒ −+ =
Por ③ y ⑤ la ecuación se reduce
a:
− + + + ∗ = 0, por ③
0, por ①
Entonces:
= = ∗ = = = ∗
⇒
⇒
⇒
Integrando consecutivamente:
= + ……………………. = + + ……………… Por condición de contorno:
Reemplazando en (I) : En (II) :
Si
y=0
Vx = 0
Si
y=h
Vx = 0
C2 = 0
= + ∗ ⇒ = −
Por lo tanto:
∗∗ = − = − .
Calculo de la distribución de esfuerzos cortantes.
= = ( − )
⇒ = − Ó Ó . Calculo de Caudal (Q).
= ∫ ∗ ∗ = ∫ −
⇒ = − ∗}
Calculo de la velocidad media (Vm).
⇒
∗ = = ∗ = − ¿Dónde ocurre la velocidad máxima? Par responder derivamos:
⇒
⇒
= − = = Esto quiere decir que, la velocidad máxima se da en la línea central del flujo.
Calculo de la velocidad máxima (V max).
⇒
= − = − Ahora, Ud. Puede comprobar que: Vmax = (3/2) *Vm
Calculo de la caída de presión:
⇒
⇒
= = − = = − Integrando:
∆ = −
Todo lo calculado lo podemos expresar en función de la línea central, transformando coordenadas. Pasamos xy a xy´:
= ý+ = (ý − ) 1.2.
Placa superior moviéndose con velocidad V0 y placa inferior
estacionarla. Bajo las mismas condiciones, las ecuaciones que describen este caso son las ecuaciones (I) y (II) del caso A.1: es decir .
= ∗ + …….
= ý + ∗ + ………. Condiciones de contorno:
si
y=0
Vx = 0
si
y=h
Vx = V0
Reemplazando y resolviendo (I) y (II).
= + ∗ − Ahora, siguiendo un procedimiento análogo al caso anterior A.1, se va a encontrar los parámetros determinados en dicho caso.
= ∗ +( − )} = − } = = − } La velocidad máxima ocurre en:
= − // ∗ ∆ = ∗( −)∗} 1.3.
Ambas Placas Moviéndose Con Velocidad V0 En Sentidos
Opuestos.
condiciones de contorno.
1.4.
Si
y=0
Vx = -V0
Si
y=h
Vx = +V0
Ambas placas moviéndose con velocidad V0 en sentido
iguales.
condiciones
de
contorno.
V0
Si y = 0
Vx = +V0
Si y = h
Vx = +V0
2. FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE DESARROLLADO EN DUCTOS DE SECCION CIRCULAR. Condiciones.
❶ El flujo es estacionario incompresible (μ y no varía y ρ = cte.).
❷ No existe componentes de la velocidad en las direcciones r y θ.
❸
La velocidad solo es función de r mas no de z, porque el flujo completamente desarrollado.
❹
Las fuerzas volumétricas se desprecian.
Por consideración
❶ las ecuaciones de Navier-Stokes sintetizadas es:
0, flujo desarrollado
̅ = − +
−+ =
0, por ❷
Como el flujo tiene simetria, expresamos la ultima ecuacion en coordenadas cilindricas.
− + ∙ ( )+ ∙ + = 0, por ❸
0, por ❸
− + [ ∙ ( )] = = + ∙ =
⇒ (
) }
Calculo de la distribucion de velocidades puntuales De la ultima ecuacion escrita:
= + ∙ = ()+ ∙ Haciendo un cambio de variable :
⇒
= + = Efectuando:
⇒
∙+∙ = ∙ = ∙ ∙ Integrando:
∙ = ∙ + ……………….…… Luego:
⇒
= ∙ + ∙+ Integrando:
= ∙ + + ……………….…… Por condiciones de contorno: Si
r=0:
Vz = 0 + C1 ln(0) + C2
∞
∞
Si
C1 ≠ 0
Vz = 0 + C1* + C2 =
Si
C1 ≠ 0
Vz = 0 + 0* + C2 = C2 ACEPTABLE
∞
∴ =
ABSURDO
Si r = R0 :
V = 0 = Velocidad de las particulas fluidas adyacentes a la pared del tubo .
Reemplazando en (IV):
⇒
= ∙ + + = − ∙ Finalmente:
∙ = − = − −() Para responder derivamos:
=
⇒ =
Esto quiere decir que, la velocidad máxima se da en la línea central del flujo.
Calculo de la velocidad máxima (Vmax.)
⇒
∙ = . = − Calculo del caudal (Q).
∙ = ∙ = − −() ∙∙∙
⇒
∙ = − ∙
Calculo de la velocidad media (Vm).
⇒
∙ = = ∙ = − Ahora, Ud. Puede comprobar que: Vmax = 2Vm Calculo de la distribución de esfuerzos cortantes.
= ∙ ⇒ = ∙ Calculo de la caída de presión (Δρ).
∙ = ⇒ = − ∙ = = − ∙ ∙
OBSERVACIONES:
− = − ∙ − ⇒ ∆ = − ∙ ∙
Debido a que el perfil de velocidades no cambia a través del tiempo, ni con respecto a las coordenadas, se deduce que en un flujo completamente desarrollado la aceleración total en cero.
En un flujo completamente desarrollado, el gradiente de presión es constante. Por lo tanto.
= +
Solo en el caso en que un flujo se encuentre dentro de un tubo: Si Re < 2300 El flujo es laminar. Si Re > 2300 El flujo es turbulento.
Al valor de Re = 2300, se le conoce con el nombre de numero de Reynold crítico.
