Curso Ing. Perforacion II

ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

1.- INTRODUCCION La ciencia de la mecánica de fluidos es muy importante para el Ing. De Perforación. Presiones de fluido extremadamente grandes son creadas en el pozo y en la sarta de la tubería de perforación por la presencia de lodo de perforación o cemento. La presencia de estas presiones bajo superficie debe ser considerada en casi cada problema de pozo encontrado, las relaciones necesarias para determinar las presiones de fluidos bajo superficie serán desarrolladas por tres condiciones de pozos comunes. Estas condiciones incluyen: 1) Una condición estática el cual ambos el fluido del pozo y el centro de la sarta de la tubería están en descanso. 2) Una operación circulante el cual los fluidos están siendo bombeados hacia abajo al centro de la sarta de perforación y hacia arriba al anular. 3) Una operación de viaje el cual el centro de la sarta de perforación está siendo movida hacia arriba y hacia abajo a través del fluido. La segunda y tercera condición nombrada son complicados por el comportamiento no newtoniano de los fluidos de perforación y cementos. También incluido son las relaciones gobernantes del transporte de los fragmentos de roca y fluidos inmiscibles de formación hacia la superficie por el fluido de perforación. Mientras no fue factible ilustrar enteramente todas las aplicaciones de los conceptos fundamentales desarrollados, varios de las más importantes aplicaciones son presentados en detalle. Estas aplicaciones incluyen: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Calculo de presiones hidrostáticas bajo superficie con tendencia a reventar o colapsar la pared de los tubulares o fracturar formaciones expuestas. Varios aspectos de prevención de blowout. Desplazamientos de lechadas de cemento. Selección de la dimensión del jet de la broca. Presiones de surgencia debido al movimiento vertical de la tubería. Capacidad de transporte de los fluidos de perforación.

La orden en el cual las aplicaciones son presentadas paralelas al desarrollo de los conceptos de la mecánica de fluidos fundamental.

1.1 Presión Hidrostática en columnas de fluido

Las presiones del pozo bajo superficie son determinadas más fácilmente para condiciones estáticas del pozo. La variación de la presión con la profundidad en una columna de fluido puede ser obtenido considerando un diagrama de cuerpo-libre para las fuerzas verticales actuando sobre un elemento de fluido a una profundidad “D” en un hoyo de sección transversal de área “A”.

Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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F1  pA


………………….. (1.1.1)

Igualmente hay una fuerza hacia arriba sobre el elemento ejercido por un fluido de abajo

dp   F2   p  D  dD  

………… (1.12)

En adición el peso del elemento de fluido está ejerciendo una fuerza hacia abajo

F3  Fw v A D

………….. (1.1.3)

Donde Fwv es el peso específico del fluido. Desde que el fluido esta estático, no existen fuerzas de corte y las tres fuerzas muestran estar en equilibrio.

dp   pA   p  D  A  Fw v AD  0 dD  

……………. (1.1.4)

Expansión del segundo término y dividido por elemento de volumen AΔD

dp  Fw v dD

…………………. (1.1.5)

Si estamos tratando con un fluido como el lodo de perforación ó agua salada, la compresibilidad del fluido es despreciable y el peso específico puede ser considerado constante con la profundidad la integración de la ecuación (1.1.5) para un fluido incompresible nos dará:

p  Fw v D  po

…………………. (1.1.6)

Donde po, la constante de integración es igual a la presión en superficie (D=0). Normalmente la presión estatica de superficie po es cero a menos que el BOP del pozo este cerrado y el pozo este tratando de fluir. El peso específico del líquido en unidades de campo está dado por:

Fw v  0.052 

…………………. (1.1.7)

Donde Fwv es el peso específico en psi /pie y ρ en libras masa por galón. Asi la ecuación (1.1.6) en unidades de campo está dado por:

p  0.052    D  po

………………….. (1.1.8)

Una importante aplicación de la presión hidrostática es la terminación de la densidad propia del fluido de perforación. La columna de fluido en el pozo debe ser de suficiente densidad para causar la presión en el pozo opuesta a cada estrato permeable a ser más grande que la presión de poro del fluido de la formación en el estrato permeable. Este problema es ilustrado en el esquema de la figura 4.2. Sin embargo la densidad en la columna del fluido no debe ser para causar que las formaciones expuestas al fluido de perforación se fracturen. Una Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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formación fracturada permitiría algo de fluido de perforación sobre la profundidad de fractura a liquear rápidamente del pozo hacia la formación fracturada.

Calcular la densidad de lodo requerida para prevenir flujo de un estrato permeable a 12,200 pies si la presión del poro del fluido de la formación es 8,500 psig.



p 8500   13.4 ppg 0.052 D 0.052  12,200

Asi, la densidad del lodo debe ser al menos 13.4 ppg para prevenir el flujo del fluido de la formación en el pozo cuando el pozo está abierto a la atmosfera y no hay circulación.

1.2 Presión Hidrostática en Columnas de Gas En muchas operaciones de perforación y completación, gas está presente en al menos una sección del pozo. En algunos casos gas es inyectado en el pozo desde la superficie mientras en otros casos gas puede ingresar al pozo desde la formación bajo superficie. La variación de Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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presión con la profundidad en una columna de gas estática es más complicado que una columna de líquido estática debido a que la densidad del gas cambia con la presión. El comportamiento del gas puede ser descrito utilizando la ecuación para gases reales definido por:

pV  z n RT  z

m RT M

………. (1.2.1)

El factor de desviación “z” de los gases es una medida de cuan mucho el comportamiento del gas real se desvía del gas ideal. Un gas ideal es aquel en el cual no hay fuerzas atractivas entre las moléculas de gas. El factor de desviación del gas para gases naturales ha sido determinado experimentalmente como una función dela presión y la temperatura y están disponible en la literatura petrolera. En este capítulo la simplificante suposición del comportamiento de un gas ideal generalmente será hecho para apoyar en el enfoque más fácilmente en los conceptos de hidráulica de perforación que están siendo desarrollados.

La densidad del gas puede ser expresado como una función de la presión rearreglando la ecuación (1.9)



m pM  V zRT

……. (1.2.2)

En unidades de campo



pM m  V 80.3 zT

…… (1.2.3)

Donde:

 : ppg p : psi T : R Cuando la longitud de la columna de gas no es muy grande y la presión del gas esta sobre los 1,000 psia, la ecuación hidrostática para fluidos incompresibles dado por la ecuación (1.1.8) puede ser usada junta a la ec (1.2.3)sin mucha perdida de exactitud. Sin embargo cuando la columna de gas no es corto ó altamente presurizada, la variación de la densidad del gas con la profundidad en la columna de gas debería ser tomado en cuenta. Realizando una combinación de las ecuaciones (1.1.5), (1.1.7) y (1.2.2) obtendremos:

dp 

0.052 pM dD 80.3 zT

….……………. (1.2.4)

Si la variación de “z” en la columna de gas no es muy grande podemos tratar a “z” como una constante, z avg. Separando variables en (1.2.4) Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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p


D

1 M p p dp  1544 zT D dD O O

……………… (1.2.5)

La integración de esta ecuación dará:

M ( D  DO )

p  po e

1544zT

………….. (1.2.6)

1.3 Presión Hidrostática en Columnas Complejas de Fluido Durante muchas operaciones de perforación, la columna de fluido en el pozo contiene varias secciones de diferentes densidades de fluidos. La variación de la presión con la profundidad en este tipo de columnas complejas de fluidos debe ser determinada por separado el efecto de cada sección del fluid. Por ejemplo considerándola columna compleja de fluido en la fig. 4.3, si la presión en el tope de la sección “1” es conocido como “po”, luego la presión en el fondo de la sección “1” puede ser calculado de la siguiente ecuación:


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p1  0.0521 ( D1  Do )  po

………. (1.3.1)

La presión en el fondo de la sección “1” es esencialmente igual a la presión en el tope de la sección “2”. Aún si una interface está presente la presión capilar seria despreciable por cualquier geometría del pozo razonable. Así la presión en el fondo de la sección “2” puede ser expresado en términos de la presión en el tope de la sección “2”.

p 2  0.052 2 ( D2  D1 )  0.0521 ( D1  Do )  po

……………. (1.3.2)

En general la presión “p” a cualquier profundidad vertical “D” puede ser expresado como:

n

p  p o  0.052  i ( Di  Di 1 )

………………. (1.3.3)

i 1

Es frecuentemente deseable ver el sistema del fluido en el pozo mostrado en la figura 4.3 como un manómetro cuando se resuelve para la presión en un punto determinado en el pozo. El interior de la tubería de perforación es usualmente representado por el lado izquierdo del manómetro, y el anular es usualmente representado por el lado derecho del manómetro. El balance de la presión hidrostática puede luego ser escrito en términos de una presión conocida y la presión desconocida utilizando la ecuación (1.3.3). 1.4 El Concepto de la Densidad Equivalente Experiencia en el campo en áreas determinadas permiten guías a ser desarrolladas para una densidad de lodo máxima que formaciones a una profundidad dada resistirán sin fracturarse durante operaciones de perforación normales. Es algunas veces útil comparar una columna compleja de fluido con una columna equivalente de fluido que está abierto a la atmosfera. Este es de la densidad de lodo equivalente “ρe” que es definido por:

 e

p 0.052 D

La densidad equivalente del lodo siempre debería ser referenciada a específica.


………. (1.4.1)

una profundidad

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2. Modelos Reológicos Reología es la ciencia que trata de la deformación y del flujo de la materia. Se trata de una disciplina que analiza principalmente la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad de corte, y el impacto que éstos tienen sobre las características de flujo dentro de los materiales tubulares y los espacios anulares. Al tomar ciertas medidas en un fluido, es posible determinar la manera en que dicho fluido fluirá bajo diversas condiciones, incluyendo la temperatura, la presión y la velocidad de corte. La hidráulica describe la manera en que el flujo de fluido crea y utiliza las presiones. En los fluidos de perforación, el comportamiento de flujo del fluido debe ser descrito usando modelos reológicos y ecuaciones, antes de poder aplicar las ecuaciones de hidráulica. El término de la pérdida de presión friccional en la ecuación de balance de la presión es la más difícil de calcular. Sin embargo este término puede ser bastante importante desde que fuerzas extremadamente viscosas deben ser vencidos para mover el fluido de perforación a través de largos conductos estrechos usados en el proceso de la perforación rotaria. Una descripción matemática de las fuerzas viscosas presentes en el fluido es requerido para el desarrollo de las ecuaciones de perdida de fricción. Los modelos reológicos generalmente usados por los ingenieros de perforación para aproximar el comportamiento del fluido son : 1.- El Modelo newtoniano. 2.- El modelo plástico de bingham y 3.- El modelo de la ley de potencias. 2.1 Modelo Newtoniano Las fuerzas viscosas presentes en un fluido simple Newtoniano son caracterizadas por la viscosidad del fluido. Viscosidad es el término reológico más conocido. En su sentido más amplio, la viscosidad se puede describir como la resistencia al flujo de una sustancia. Ejemplos de fluidos newtonianos son el agua, gases y los petróleos altamente pesados. Para comprender la naturaleza de la viscosidad, considerar un fluido contenido entre placas largos paralelos de área “A” cuales son separados por una distancia pequeña “L” fig. 4.19. La placa superior, cual esta inicialmente en reposo, es ubicado en movimiento en la dirección “x” a una velocidad constante “v”. Después de suficiente tiempo ha pasado para que un movimiento estable sea alcanzado, una fuerza constante “F” es requerida para mantener la placa superior moviéndose a velocidad constante. La magnitud de la fuerza “F” fue experimentalmente encontrada para ser:

F v  A L

…………… (2.1.1)

El término “F/A” es llamado “el esfuerzo de corte” ejercido sobre el fluido. Así el esfuerzo de corte es definido como:



F A


…………. (2.1.2)

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Notar que el área de la placa “A” es el área en contacto con el fluido. La gradiente de velocidad “v/L” es una expresión de la “velocidad de corte”



v dv  L dL

…………. (2.1.3)

Así el modelo newtoniano establece que el “esfuerzo de corte Ƭ” es directamente proporcional a la “velocidad de corte ɤ”

 

(2.1.4)

Donde “µ” la constante de proporcionalidad, es conocida como la “viscosidad del fluido” fig 4.2. En términos del movimiento de las placas esto significa que si la fuerza “F” es duplicada, la velocidad de la p laca “v” también duplicará.


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Viscosidad es expresada en poises. Un poise es 1dina/cm² ó gr/cm x sg. En la industria de la perforación la viscosidad generalmente es expresada en centipoises, donde 1cp= 0.01 poise. Ocasionalmente la viscosidad es expresada en unidades de lbf x sg / pies². La unidad de viscosidad puede ser relacionada por:

lbf (454 gr / lbf )(980 cm / sg 2 )   479 dina  sg / cm 2 2 2 ft (30.48 cm / ft )

2.2 Modelo No Newtoniano La mayor parte de los fluidos de perforación son demasiado complejos para ser caracterizados por un simple valor de viscosidad. La viscosidad aparente medida depende de la velocidad de corte al cual la medición es hecha y el historial de la velocidad de corte del fluido. Fluidos que no exhiben una directa proporcionalidad entre el esfuerzo de corte y a velocidad de corte son clasificados como no newtonianos, estos fluidos que son dependientes de la velocidad de corte fig 4.21 son “seudoplásticos” si la viscosidad aparente disminuye con el incremento de la velocidad de corte y son “dilatantes” si la viscosidad aparente incrementa con el incremento de la velocidad de corte. Los fluidos de perforación y las lechadas de cemento son generalmente seudoplásticos en naturaleza.

Los fluidos no newtonianos que son dependientes del tiempo y esfuerzo de corte son “tixotrópicos” si la viscosidad aparente disminuye con el tiempo después que la velocidad de corte es incrementado a un nuevo valor contante ( su estructura interna desarrolla un esfuerzo de gel mientras el fluido está en reposo), y son ”reopecticos” si la viscosidad aparente incrementa con el tiempo después que la velocidad de corte es incrementado a un nuevo valor constante. Los fluidos de perforación y las lechadas de cemento son generalmente “tixotrópicos”.


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Los modelos reológicos plástico de Bingham y ley de potencias son usados para aproximar el comportamiento seudoplásticos de los fluidos de perforación y lechada de cemento. Al presente el comportamiento tixotrópico de los fluidos de perforación y lechadas de cemento no son modelados matemáticamente. Sin embargo los fluidos de perforación y lechadas de cemento generalmente se agitan antes de la medición de las viscosidades aparentes a varias velocidades de corte de tal forma que las condiciones de estado estable son obtenidas. Sin contar para la tixotropía es satisfactorio para la mayoría de los casos, pero significantes errores pueden resultar cuando una gran numero de cambios de dirección y diámetros están presentes en el sistema de flujo. 2.3 Modelo Plástico de Bingham El modelo plástico de Bingham está definido por:

  p   y ;    y

............... (2.3.1 a)

  0 ;   y     y

.............. (2.3.1 b)

y

  p   y ;    y

................ (2.3.1 c)

Una representación gráfica de este comportamiento es mostrado en la figura 4.23


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Un fluido plástico de Bingham no fluirá hasta que el esfuerzo de corte aplicado “Ƭ” exceda un cierto valor mínimo “Ƭy “conocido como “Punto de cedencia”. Después que el punto de cedencia haya sido excedido, cambios en el esfuerzo de corte son proporcionales a cambios en la velocidad de corte y a constante de proporcionalidad es llamada viscosidad plástica “µp“ las ecuaciones (2.3.1) son válidas solo para flujo laminar. Notar que las unidades de la viscosidad plastia son las misma del newtoniano o “viscosidad aparente”, para ser consistente, las unidades del punto de cedencia “Ƭy” deben ser los mismos a las unidades para el esfuerzo de corte “Ƭ”, así el punto de cedencia tiene unidades consistente de dinas/cm², sin embargo el punto de cedencia usualmente es expresado en unidades de libras/100 pies². Las dos unidades pueden ser relacionadas por:

1 lbf (454 g / lbf )(980 cm / sg 2 )   4.79 dinas / cm 2 2 2 100 pie 100(30.48 cm / pie ) Viscosidad plástica: La VP es generalmente descrita como parte de la resistencia al flujo causada por fricción mecánica. El punto cedente: Segundo componente de la resistencia al flujo en un fluido de perforación, es una medida de las fuerzas electroquímicas o de atracción en un fluido. Estas fuerzas son el resultado de las cargas negativas y positivas ubicadas en o cerca de las superficies de las partículas. El punto cedente es una medida de estas fuerzas bajo las condiciones de flujo, y depende de: (1) las propiedades superficiales de los sólidos del fluido, (2) la concentración volumétrica de los sólidos, y (3) el ambiente eléctrico de estos sólidos (concentración y tipos de iones en la fase fluida del fluido).


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2.4 Modelo de la Ley de Potencias El modelo de la ley de potencias está definido por:

  k (  )n

…………………………………………….. (2.4.1)

Una representación gráfica del modelo es mostrado en la figura 4.24. Así como el modelo plástico de Bingham, el modelo de la ley de potencias requiere dos parámetros para la caracterización del fluido. Sin embargo el modelo de la ley de potencia puede ser usado para representar un fluido seudoplástico (n<1), un fluido Newtoniano (n=1), o un fluido dilatante (n>1), la ec. 2.4.1 es solo válida para flujo laminar. El parámetro “K” usualmente es llamado “Índice de Consistencia del fluido”. Es la viscosidad a una velocidad de corte de un segundo recíproco (seg-1). Este índice está relacionado con la viscosidad de un fluido a bajas velocidades de corte. La eficacia con la cual un fluido limpia el pozo y suspende los materiales densificantes y los recortes puede ser mejorada aumentando el valor de “K”. El índice de consistencia “K” está generalmente expresado en lb-seg-n/100 pies², pero también se puede expresar en otras unidades, y el parámetro “n” es llamado ó “el exponente de la ley de potencias”ó “El índice del comportamiento del flujo”. El índice “n” de Ley Exponencial indica el grado de comportamiento no newtoniano de un fluido sobre un rango determinado de velocidades de corte .Cuanto más bajo sea el valor de “n”, más el fluido disminuye su viscosidad con el esfuerzo de corte sobre dicho rango de velocidades de corte, y más curvada será la relación de esfuerzo de corte/velocidad de corte, La desviación de los índices del comportamiento de flujo de la unidad caracteriza el grado al cual el comportamiento del fluido es no newtoniano. Las Unidades del índice de consistencia “K” depende de los valores de “n” . “K” tiene unidades de “dinas-sgⁿ /cm²“ó “gr/(cm-sg²¯ⁿ ” . En este texto, una unidad llamada el equivalente centipoise (eq cp) será utilizado para reemplazar 0.01 dinas-sgⁿ /cm². Ocasionalmente el índice de consistencia es expresado en unidades de lbf-sgⁿ /pies². Las dos unidades de índice de consistencia puede ser relacionadas por:

1lbf (454 gr 7lbf )(980 cm / sg 2 ) dinas  sg n   479  47,900 cp  eq pie 2 (30.48 cm / pie)2 cm 2


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2.5 Viscosímetro Rotacional Los ejemplos anteriores ilustran el significado físico de los parámetros Newtonianos, plásticos de Bingham y ley de Potencias. Desafortunadamente seria extremamente difícil construir un viscosímetro basado sobre el movimiento relativo de dos placas planas paralelas. Sin embargo como se indica en la figura (4.5) la rotación de una camisa exterior sobre un cilindro concéntrico es algo similar al movimiento relativo de placas paralelas. El viscosímetro descrito en el estándar: “pruebas diagnósticos API para fluidos de perforación” es un viscosímetro rotacional La rotación de la camisa exterior en lugar que la bobina interior ha sido encontrado para extender la transición de un flujo laminar a un turbulento a altas velocidades de corte. Desde que solo el régimen de flujo laminar puede ser descrito analíticamente todas las mediciones para la caracterización del fluido deben ser realizadas en flujo laminar. En práctica, el torque ejercido por el fluido sobre la bobina estacionaria usualmente es medido por un resorte de torsión adjuntado a la bobina. Las dimensiones del rotor y la bobina disponibles sobre el viscosímetro rotacional son mostradas en la tabla (4.2). la combinación (r1)1/(r2)2 ; rotor/bobina es la combinación estándar usada para pruebas de campo del fluido de perforación. La velocidad de corte entre las placas paralelas estacionaria y en movimiento ha sido asumida constante en los ejemplos anteriores. Sin embargo la velocidad de corte en un viscosímetro rotacional es una función del radio “r”. La velocidad del fluido “v” a un radio determinado es relacionada a la velocidad angular “ω”

  r 

……………….. (2.5.1)

Así el cambio en velocidad “v” con el radio está dado por:

d d r  dr dr Si las capas de fluido no se deslizan una sobre otra pero se mueven juntos como un tapón sólido, el cambio en velocidad con el radio seria dado por:

d  dr

(sin deslizamiento)


………………… (2.5.2)

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Así la velocidad de corte debido al deslizamiento entre las capas de fluido están dadas por:

 r

d dr

…………………… (2.5.3)

Cuando el rotor está rotando a una velocidad angular constante “ω2” y la bobina es mantenida sin movimiento “ω1=0”, el torque aplicado por la torsión del resorte a la bobina debe ser igual pero opuesto en dirección al torque aplicado hacia el rotor por el motor. El torque es transmitido entre el rotor y la bobina por el arrastre viscoso entre las sucesivas capas de fluido. Si no hay resbalamiento en la pared del rotor, la capa de fluido inmediatamente adyacente al rotor también está moviéndose a una velocidad angular “ω2”. Sucesivas capas de fluido entre r2 y r1 están moviéndose sucesivamente a bajas velocidades. Si no hay resbalamiento en la pared de la bobina la capa del fluido inmediatamente adyacente a la bobina esta sin movimiento. Si un efecto final pequeño en el fondo de la bobina es despreciado, entonces el torque “T” puede ser relacionado al esfuerzo de torque en el fluido a varios radios “r” entre el radio de la bobina “r1” y el radio del rotor “r2” utilizando las siguientes ecuaciones:

T   (2 rh) r La constante del resorte del resorte de torsión generalmente usado en pruebas de fluidos de perforación es seleccionada de tal forma que se cumpla:

T  360.5  

………………….. (2.5.4)

Donde “θ” es la lectura del dial de Fann medido en grados de desplazamiento angular. Igualando las dos expresiones para el torque y resolviendo para encontrar el esfuerzo de corte



360.5   2 h r 2

……………….. (2.5.5)

En la ecuación (2.5.5) indica que el esfuerzo de corte presente en el fluido varia inversamente con el cuadrado del radio. Esta relación es una consecuencia de la geometría del viscosímetro y no depende de la naturaleza del fluido. La velocidad de corte puede ser relacionado al esfuerzo de corte utilizando la ecuación para la definición para los modelos Newtoniano, plástico de Bingham ó la ley de Potencias. 2.5.1 Modelo Newtoniano Si el fluido puede ser descrito por un modelo de fluido newtoniano, entonces el esfuerzo de corte en cualquier punto en el fluido está dado por:

      r

d dr


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Combinando esta ecuación con la ecuación (2.5.5)

360.5 d  dr 2  h r 3 

…………………… (2.5.6)

Asumiendo que no ocurra resbalamiento en las paredes del viscosímetro, la “velocidad angular es cero” a “r1” y “ω2” a “r2”. Así separando variables en la ec. (2.5.6) 2

360.5  0 d  2  h 

r2

dr

r

…………………… (2.5.7)

3

r1

Integrando y resolviendo para la viscosidad



360.5   4 h 2

 1 1   2  2 r r2   1

………………….. (2.5.8a)

Sustituyendo el valor de (2πN/60) por “ω2”, los valores de “r1”, “r2” y “h” mostrados en la tabla (4.2) y cambiando las unidades de la viscosidad a centipoise simplifica esta ecuación a la siguiente:

  300

N

………………….. (2.5.8b)

N

Donde:

  Vis cos idad del fluido cp  N  Lectura del dial en el vis cos imetro rotacional N  Velocidad de rotacion del cilindro exterior rpm Notar que si el viscosímetro rotacional es operado a 300 rpm la lectura del dial del viscosímetro es numéricamente igual a la viscosidad en centipoise. La mayoría de los viscosímetros usados en el campo operaran a 300 ó 600 rpm. Sin embargo en algunos casos, un viscosímetro multivelocidad que operara a 3,6, 100, 200, 300 y 600 rpm es utilizado. Es frecuentemente deseable conocer las velocidades de corte presentes en un viscosímetro rotacional para una velocidad de rotación dada, la ec. (2.5.8b) puede ser arreglada para dar:

4 2 360.5     h  1 1  2  2 r r2  1

   

Sustituyendo esta expresión con la ecuación (2.5.6) resulta


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d  dr

4 N  3 60  1 1  r  0.04137 2 r 3  2  2  r2   r1

 r

d N  5.066 2 dr r

42

……………………….. (2.59)

2.5.2 Modelos No-Newtonianos El viscosímetro rotacional también puede ser usado para determinar los parámetros de flujo del fluido de Bingham y Ley de Potencias. Las ecuaciones necesarias para los cálculos de esos parámetros de flujo puede ser derivado por los mismos pasos siguientes utilizados en la derivación de las ecuaciones para el modelo Newtoniano. Estas derivaciones son presentadas y resumidas en la tabla 4.3. Desde que dos parámetros de flujo deben ser calculados por ambos el plástico de Bingham y el modelo de la ley de potencias, dos lecturas deben ser hechas con un viscosímetro rotacional a diferentes velocidades de rotor. Normalmente lecturas a 300 y 600 rpm son utilizadas en el cálculo. Sin embargo es deseable caracterizar el fluido a velocidades de cortes bajas, los parámetros del fluido pueden ser calculados utilizando lecturas tomadas a velocidades de rotor más bajas.

3.- Flujo Laminar en Tuberías y Anular Los ingenieros de perforación tratan primeramente con el flujo de los fluidos de perforación y cementos en su recorrido hacia abajo a través del hueco circular de la tubería de perforación y hacia arriba a través del espacio circular anular entre la tubería de perforación y el casing ó el hueco abierto. Si la velocidad de la bomba es bastante baja para el flujo sea laminar, los modelo newtonianos, el plástico de Bingham ó el ley de potencias puede ser empleado para desarrollar la relación matemática entre la velocidad de flujo (Caudal) y la caída de presión friccional. En este desarrollo esas suposiciones simplificantes son hechas: 1- La tubería de perforación es concéntrica con el casing ó el hueco abierto 2.-La tubería de perforación no está siendo rotada. 3.-Secciones del hueco abierto son circulares en forma y diámetro conocido. 4.- El fluido de perforación es incompresible. 5.-El flujo e isotérmico. En realidad ninguna de esas suposiciones son completamente válidas y el sistema resultante de ecuaciones no describirán perfectamente el flujo laminar de los fluidos de perforación en el pozo. En adición el estudiante debería mantener en mente que los modelos reológicos newtonianos, plástico de Bingham y ley de potencias no toman en cuenta la naturaleza tixotrópica de los fluidos de perforación y solo aproxima al comportamiento del fluido en flujo Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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laminar real. Alguna investigación ha sido conducida sobre el efecto de la excentricidad de la tubería, rotación de la tubería y variaciones de presión y temperatura sobre los gradientes de presión fluyentes. Sin embargo la complejidad computacional requerida para remover las suposiciones mencionadas raras veces es justificada en la práctica. El fluido fluyendo en una tubería ó un anular concéntrico no tiene una velocidad uniforme. Si el patrón de flujo es laminar, la velocidad del fluido inmediatamente adyacente a las pared de la tubería será cero y la velocidad del fluido en la región más distante dela pared de la tubería será un máximo. Típicos perfiles de velocidad de flujo para un patrón de flujo laminar son mostrados en la figura 4.26. Como indica esta figura anillos concéntricos de fluido laminar están desplazándose a diferentes velocidades. El flujo de la tubería puede ser considerado como un caso limitante de flujo anular en el cual el radio interior de la tubería “r 1” tiene un valor de cero. Una relación entre el radio “r”, esfuerzo de corte “τ” y gradiente de presión friccional “dp f/dL” puede ser obtenido de una consideración de la “ley de Newton” del movimiento de una capa de fluido a un radio “r”. Mostrado en la figura 4.27 es un diagrama de cuerpo libre de una capa de fluido de longitud “ΔL” y de espesor “Δr”. La convención del signo usado en la figura 4.27 es de tal forma que la dirección del flujo es de izquierda a derecha y que la velocidad de flujo está disminuyendo con el aumento del radio. Así la próxima capa de fluido incluido por el elemento del fluido de interés está moviéndose más rápido que el elemento de fluido de interés. Además la próxima capa de fluido incluyendo el elemento de interés está moviéndose más lento que el elemento de interés. La fuerza “F 1” aplicado por la presión de fluido en el punto “1” está dado por:

F1  p (2 r r ) De igual manera la fuerza “F2” aplicado por la presión del fluido en el punto “2” está dado por:

dp f   F2  p 2 (2 r r )   p  L (2 r r ) dL   El signo negativo para término “dpf/dL” es requerido debido a que el cambio de presión friccional “Δpf” es utilizado para representar (p1-p2) más que (p2-p1). La fuerza friccional ejercida por la capa adyacente de fluido incluido por el elemento de fluido de interés está dado por:

F3   (2 r L) Similarmente la fuerza friccional ejercida por la capa de fluido adyacente que incluye al elemento de fluido de interés está dado por:


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F4   r  r 2 (r  r )L d   F4    r  2 (r  r )L dr   Si el elemento de fluido está moviéndose a velocidad constante, la suma de las fuerzas actuantes sobre los elementos debe ser igual a cero. Sumando fuerzas obtenemos

dp f   d   (2 r r ) p  (2 r L)  (2 r r ) p  L   2 (r  r ) L  r  dL dr    


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Extendiendo esta ecuación dividiendo por (2πrΔrΔL) y tomando limites cuando Δr→0 resulta:

dp f dL



1 d ( r ) 0 r dr

…………………………………….. (3.1)

Desde que “dp/dL” no es una función de “r” la ec. (3.1) puede ser integrada con respecto a “r”. Separando variables resulta:

 d ( r ) 

dp f dL

 r dr

En la integración obtenemos:



r dp f C1  2 dL r

……………………………………. (3.2)

Donde “C1” es la constante de integración. Notar que para el caso especial de flujo en tubería, la constante “C1” debe ser cero si el esfuerzo de corte no es infinito para “r=0” La ec (3.2) que relaciona el esfuerzo de corte y la gradiente de presión friccional a un radio dado, es una consecuencia de la geometría del sistema y no requiere la suposición de un modelo reológico de fluido. La velocidad de corte “ɣ” para la convención de signo usada en la derivación está dado por: Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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 

d dr


…………………………………. (3.3)

La velocidad de corte puede ser relacionado al esfuerzo de corte utilizando la definición en la ecuación para los modelo newtoniano, plástico de bingham y ley de potencias. 3.1 Modelo Newtoniano Si el fluido puede ser descrito con el modelo del fluido newtoniano, el esfuerzo de corte en cualquier punto en el fluido está dado por:

     

d dr

Combinando esta ecuación con la ecuación (3.2)



d r dp f C1   dr 2 dL r

Después de separar variables e integrando obtenemos:

 

r 2 dp f C1  Ln r  C 2 4 dL 

………………………………………….. (3.1.1a)

Donde “C2” es la segunda constante de integración. Desde que el fluido de perforación humedece las paredes de la tubería, las capas de fluido inmediatamente adyacentes a la pared de la tubería ( a r=1 y a r=2) tiene una velocidad de cero. Utilizando estas condiciones limites en la ec. (3.4a) resulta:

0

r12 dp f C1  Ln r1  C 2 4 dL 

Y

0

r22 dp f C1  Ln r2  C 2 4 dL 

Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente para “C1” y “C2”


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1 dp f (r22  r12 ) C1   4 dL r  Ln 2   r1  Y

C2  

1 dp f (r22 Ln r1  r12 Ln r2 ) 4 dL r  Ln 2   r1 

Sustituyendo estas expresiones para C1 y C2 en la ec.(3.1.1a) resulta:

 r2  Ln   1 dp f  2 2 2 2 r   r2  r  r2  r1 r2  4 dL  Ln   r1  



 



…………………………….. (3.1.1b)

Notar que en el límite cuando r1→0, el segundo término en los corchetes de la ec (3.1.1b) también se aproxima a cero. Asi para el flujo en la tubería.



1 dp f 2  r2  r 2  4 dL

…………………………… (3.1.1c)

Si la gradiente de presión y la viscosidad son conocidas las ec. (3.1.1b) y (3.1.1.c) pueden ser usados para determinar la distribución de velocidades en el anular ó la tubería respectivamente. Sin embargo una relación entre la gradiente de presión y el rate de flujo total es necesario para la mayoría de aplicaciones de ingeniería. El rate de flujo total puede ser obtenido sumando el flujo contenido en cada capa concéntrica de fluido así:

q   (2 r ) dr  r Ln 2  dp 2 f r (r22 r  r 3 )  (r22 r  r12 r )   r 4 dL r1  Ln 2  r1  r2

  dr   

En la Integración

  2 2 2   (r  r1 )  dp f  4  q r2  r14  2 r2  8 dL  Ln  r1   Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

…………………………. (3.1.2a)

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Esta relación ha sido desarrollada primero por Lamb. Para flujo anular, el rate de flujo “q” es el significado de velocidad “v” multiplicado por el área de sección anular.

q   (r22  r12 )

Sustituyendo esta expresión por “q” en la ecuación (3.1.2a) y resolviendo para la gradiente de presión friccional “dpf/dL”

dp f dL



8 v

…………………….. (3.1.2b)

   2 2   r 2  r 2  r2  r1   2 1 r  Ln 2   r1  

Convirtiendo desde las unidades consistentes a unidades de campo más convenientes la ecuación de Lamb llega a ser:

dp f



dL

   d 2  d 12 1500 d 22  d 12  2 d Ln 2  d1 

     

………………….. (3.1.2c)

Donde: v μ dpf/dL d1 d2

: Velocidad de flujo, pies/seg : viscosidad cp : gradiente de presión friccional psi/pie : diámetro interior de la tubería pulgadas : diámetro exterior de la tubería pulgadas

Notar que en el límite cuando d1→0 la ec (3.1.2c) llega a ser

dp f dL



 1,500 d 2

………………………... (3.1.2d)

Esta ecuación es la familiar ley de Hagen-Poiseulle para tubería circular en unidades de campo.


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3.2.1 Representando el anular como una ranura El flujo anular también puede ser aproximado utilizando ecuaciones desarrolladas para flujo a través de ranuras rectangulares. Las ecuaciones de flujo en la ranura son mucho más simples para utilizar y son razonablemente exacta siempre y cuando la relación “d1/d2>0.3”. Esta mínima relación casi siempre es excedido en aplicaciones de la perforación rotaria, Como indica la figura 4.28, un espacio anular puede ser representado como una ranura estrecha teniendo un área “A” y altura “h” dado por:

A  W  h    (r22  r12 )

………………………………… (3.1.3.a)

Y

h  r2  r1

…………………………………. (3.1.3.b)

La relación entre el esfuerzo de corte y la gradiente friccional de presión para una ranura puede ser obtenido de una consideración de la presión y las fuerzas viscosas actuando sobre un elemento de fluido en la ranura fig (4.29), si consideramos un elemento de fluido teniendo un ancho de “W” y espesor Δy ,la fuerza “F1” aplicada por la presión del fluido en el punto “1” está dado por:

F1  p  W  y Igualmente la fuerza “F2” aplicada por la presión del fluido en el punto “2” está dado por:

dp   F2  p2  W  y   p  f L W  y dL   La fuerza friccional ejercida por la capa adyacente del fluido debajo del elemento de fluido de interés está dado por: Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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F3    W  L Similarmente la fuerza friccional ejercida por la capa adyacente del fluido sobre el elemento de fluido de interés está dado por:

 dr  F4   y  y  W  L    y   W  L dy   Si el flujo es estable, la suma de las fuerzas actuando sobre el elemento de fluido debe ser igual a cero. Sumando fuerzas obtenemos:

F1  F2  F3  F4  0

Y

dp f     d p  W  y   p  L  W  y    W  L    y  W  L  0 dL dy     Extendiendo la ec. Y dividiendo por (WΔLΔy) resulta:

dp f dL



d 0 dy

……………………. (3.1.4)

Desde que dpf/dL no es una función de “y” la ecuación (3.1.4) puede ser integrada con respecto a “y”, separando variable e integrado

y

dp f dL

 o


……………………….(3.1.5) Pag. 27



Donde “τo” es la constante de la integración que corresponde que corresponde al esfuerzo de corte a un esfuerzo de corte a “y=0”. Por la convención de signo usado, la velocidad de corte “ɣ” está dado por

 

d dy

…………………………………(3.1.6)

Así para el modelo newtoniano obtenemos:

    

dp d  y f o dy dL

Separando variables e integrando

y 2 dp f  o y     o 2 dL 

………………………………….(3.1.7a)

Donde “vo “es la segunda constante de integración que corresponde a velocidad del fluido a un y=0. Desde que el fluido humedece las paredes de la tubería, la velocidad “v o “es cero para y=0 y para y=h. Aplicando las condiciones de frontera a la ec. (3.1.7a) resulta:

0  0  0  o y 0

h 2 dp f  o h   o 2  dL 

Así los constantes de integración “τo” y “vo” están dados por:

o  

h dp f 2 dL

y

o  0 Sustituyendo estos valores en la ecuación (3.1.7a)



1 dp f (h y  y 2 ) 2  dL

………………………………… (3.1.7b)

El régimen de flujo”q” es dado por:

q    dA   W dy 

W dp f 2  dL


h

 (h y  y )dy 2

0

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Integrando esta ecuación resulta:

q

W h3 dp f 12  dL

………………………………….. (3.1.8a)

Sustituyendo las expresiones por (Wh) y “h” dados en las ecuaciones (3.1.3a) y 3.1.3b) en la ecuación (3.1.8a) resulta:

q

 dp f 2 2 (r2  r1 )(r2  r1 )2 12  dL

…………………………………. (3.1.8b)

Expresando el régimen de flujo en términos de la velocidad media “v” y resolviendo para la gradiente de presión friccional “dpf/dL”

dp f



dL

12   (r2  r1 )2

………………………………… (3.1.8c)

Convirtiendo de unidades consistentes a unidades de campo más convenientes de libras por pulgada cuadrado, centipoise, pies por segundo y pulgadas obtenemos:

dp f



dL

 1000 (d 2  d1 )2

………………………………….. (3.1.8d)

3.2.2 Determinación de la Velocidad de Corte Un conocimiento de la velocidad de corte presente en el pozo algunas veces puede llevar a mejorar la exactitud en la determinación de la perdida de presión. Atención puede ser tomado para medir la viscosidad aparente del fluido a valores de velocidad de corte cercanos a aquellos presentes en el pozo. Si esto es hecho, buena aproximación algunas veces pueden ser alcanzados utilizando las ecuaciones de flujo para fluidos Newtonianos aun si el fluido del pozo no sigue cercanamente el modelo newtoniano sobre un amplio rango de velocidades de corte. El máximo valor de la velocidad de corte ocurrirá en las paredes de la tubería. Para tuberías circulares el esfuerzo de corte está dado por la ecuación (3.2) con “C1=0”. Asi el esfuerzo de corte en la pared donde “r=rw” está dado por:



r dp f C1  2 dL r

w 

rw dp f 2 dL

(Circular pipe )


………………………………………………... (3.2.2.1)

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Sustituyendo la expresión por la gradiente de presión friccional “dpf/dL” para una tubería circular en la ecuación (3.1.9)

w 

rw 2

 8   2  rw

    4 rw 

La velocidad de corte en la pared de la tubería puede ser obtenida del esfuerzo de corte en la pared de la tubería utilizando las ecuaciones definidas del modelo newtoniano.

w 

 w 4   rw

………………..

(3.2.2.2a) Cambiando de unidades consistentes a unidades de campo obtenemos:

w 

96 d

(tuberia circular )

……………….. (3.2.2.2b)

Donde “v” velocidad media tiene unidades de “pies/sg”, el diámetro interno de la tubería tiene unidades de “pulgadas” y la velocidad de corte en “segundos¯¹. El esfuerzo de corte para un anular (aproximación de flujo en ranura) está dada por la ecuación (3.1.5)

y

dp f dL

 o

Así el esfuerzo de corte en la pared donde y=h está dado por:

w 

h dp f (r2  r1 ) dp f  2 dL 2 dL

……………………………….. (3.2.2.3)

Sustituyendo la expresión por la gradiente de presión friccional dada en la ecuación (3.1.8c)

w 

(r2  r1 )  12      2  (r2  r1 )2 

Así para un flujo laminar de fluidos newtonianos el esfuerzo de corte en la pared de la tubería está dado por:

w 

w 6   (r2  r1 )


………………………………… (3.2.2.4a)

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En unidades de campo esta ecuación llega a ser:

w 

144 (d 2  d1 )

( Anular )

……………………………… (3.2.2.4b)

3.2.3 Modelos No Newtonianos Expresiones analíticas para flujo laminar isotérmico de fluidos no newtonianos pueden ser derivadas siguiendo esencialmente los mismos pasos usados para fluidos newtonianos. Sin embargo como en el caso de los fluidos newtonianos el flujo anular puede ser modelado exactamente para la usual geometría de interés para los ingenieros de perforación a través del uso ecuaciones de flujo menos complejas para ranuras estrechas. Las ecuaciones del flujo laminar para los fluidos plásticos de Bingham y ley de potencias se mostraran en el siguiente cuadro.


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4.- Flujo Turbulento en Tuberías y Anular En muchas operaciones de Perforación, el fluido de perforación es bombeado a altos rates para que un flujo laminar sea mantenido. El fluido laminar llega a ser inestable y entra a un patrón de flujo difuso caótico. La transferencia de momentum causado por el movimiento caótico del fluido causa que la velocidad de distribución llegue a ser más uniforme a través de la sección central del conducto que para un flujo laminar. Sin embargo una capa delgada en el límite del fluido cerca a la pared de la tubería generalmente permanece en flujo laminar. Una representación esquemática del flujo laminar y turbulento es mostrado en la figura 4.30

Un desarrollo matemático de las ecuaciones de flujo para flujo turbulento no ha sido posible a la fecha. Sin embargo un gran cantidad de trabajo experimental ha sido hecho en secciones rectas de tubería circular y los factores que influyen el principio de turbulencia y la perdida de presión friccional debido al flujo turbulento ha sido identificado. Aplicando el método del análisis dimensional, estos factores han sido agrupados para que la data empírica pueda ser expresada en términos de números adimensionales. 4.1 Fluidos Newtonianos El trabajo experimental de Osborne Reynolds ha mostrado que el principio de la turbulencia en el flujo de fluidos newtonianos a través de tuberías dependen de: 1.- Diámetro interior de la tubería “d” 2.- Densidad del fluido “ρ” 3.- Viscosidad del fluido “μ” 4.- Velocidad promedia del flujo “v” En términos de unidades de primer orden ”M”, longitud “L” y tiempo “T, estas variables tienen las siguientes dimensiones:

Parametros : d







Unidades

m L3

m Lt

L t

: L


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El Teorema π de Buckinghan de análisis dimensional establece que el número de grupos adimensionales independientes “N” que puede ser obtenido de “n” parámetros está dado por:

N  nm Donde “m” es el número de unidades de primer orden involucrados. Desde que las 3 unidades de primer orden (m,L,t) son usadas en al menos uno de los cuatro parámetros mostrados anteriormente

N  43 1 Y solo un grupo adimensional independiente es posible. El agrupamiento dimensional comúnmente utilizado es expresado en unidades consistentes por:

N Re 

   d 

Donde NRe es el “Número de Reynolds”. En unidades de campo esta ecuación llega a ser:

N Re 

928      d



Donde:

 : Densidad del fluido lbm / gal v : Velocidad media del fluido pies / seg d : Diámetro de la tuberia pu lg adas

 : Vis cos idad del fluido cp Para los propósitos de ingeniería el flujo de un fluido newtoniano en tuberías usualmente es considerado laminar si el número de Reynolds es menor que 2,100 y turbulento si el número de Reynolds es mayor que 2,100. Sin embargo para números de Reynolds entre “2,000-4,000” el flujo es realmente en una región de transición entre el flujo laminar y flujo turbulento plenamente desarrollado. También, experimentación cuidadosa ha mostrado que la región laminar puede ser hecho para terminar a un número de Reynolds tan bajo como “1,200” por energía introducida artificialmente en el sistema por ejemplo golpeando la tubería con un martillo. Al mismo tiempo la región de flujo laminar puede ser extendida a números de Reynolds tan altos como 40,000 utilizando tuberías extremadamente suaves y rectas que son aislados de las vibraciones. Sin embargo estas condiciones generalmente no son realizadas en situaciones de perforación rotaria.


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Una vez que ha sido establecido que el patrón de flujo es turbulento, la determinación de la pérdida de presión friccional debe estar basada en correlaciones empíricas, las más ampliamente utilizadas están basadas en cantidades adimensionales conocidas como el “factor de fricción” El factor de fricción está definido por:

Fk A Ek

f 

………………………….. (4.1.1)

Donde:

Fk  Fuerza ejercida sobre las paredes del conducto debido al movimiento del fluido A  Caracteris tica del área del conducto Ek  Energía Cinética por unidad de volumen del fluido Para flujo en tuberías, el esfuerzo de corte en las paredes del conducto está dado por la ec.(3.2.2.1)

rw dp f d dp f  2 dL 4 dL

w 

(Circular pipe)

La fuerza Fk ejercida en la pared de la tubería debido al movimiento del fluido está dado por:

Fk  (2 rw L)  w 

 d 2 dp f 4

dL

L

La energía cinética Ek por unidad de volumen del fluido está dado por:

Ek 

1 2 v 2

Substituyendo estas expresiones por Fk y Ek en la ecuación (4.1.1)

F f  k  A Ek

 d2

dp f

L dL 2 v 2 A

…………………………………. (4.1.1b)

Si la característica del área A es escogida a ser “2πrwΔL” la ecuación (4.1.1b) se reduce a:

f 

d dp f 2   2 dL


…………………………………. (4.1.1c)

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Esta ecuación es conocida como la Ecuación de Fanning y el factor de fricción definido por esta ecuación es llamado el “Factor de fricción de Fanning” . El factor de fricción “f” es una función del “Número de Reynolds NRe” y un término llamado la “Rugosidad relativa ɛ/d”. La rugosidad relativa es definida como la relación de la rugosidad absoluta “ɛ” y el diámetro de la tubería, donde la rugosidad absoluta representa las profundidades promedio de las irregularidades en la pared de la tuberia. Una correlación empírica para la determinación de los factores de fricción ha sido presentada por Colebrook. La función Colebrook está dado por:

 1  1.255  4 log 0.269  d N Re f f 

   

……………………………. (4.1.2a)

El factor de fricción “f” aparece en ambos adentro y afuera del término logarítmico de la ecuación de Colebrook, requiriendo una técnica de solución iterativa. Esta dificultad puede ser evitada por una representación gráfica de la función Colebrook. Un ploteo del factor de fricción frente al número de Reynolds son papel logarítmico es llamada la “Carta de Stanton”. Una carta de Stanton para la función Colebrook es mostrada en la figura 4.31. Sin embargo la solución de la ecuación (4.1.2a) utilizando una calculadora electrónica no es difícil y resulta más precisa que utilizar una solución gráfica.


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La selección de una apropiada rugosidad absoluta “ɛ” para una aplicación dada es frecuentemente difícil. Se muestra en la tabla 4.5 las rugosidades promedio determinados empíricamente para varios tipos de conductos. Tambien Cullender y Smith en un estudio de datos publicados obtenidos en tuberías de acero limpias en pozos de gas y tuberías de servicio encontraron una rugosidad promedio de 0.00065 pulgadas que aplica a la mayoría de los datos, Afortunadamente, en aplicaciones de la perforación rotaria involucrados en el uso de la fluidos de perforación relativamente viscosas, el número de Reynolds raras veces excede los 100,000. También para las mayoría de las geometrías del pozo, la rugosidad relativa es usualmente menor que 0.0004 en todas las secciones.

Para estas condiciones, los factores de fricción para tuberías pulidas (cero rugosidad) puede ser aplicada para la mayoría de cálculos de ingeniería. Para tuberías pulidas la ecuación (4.1.2a) se reduce a:



1  4 log N Re f



f  0.395

………………………………. (4.1.2b)

En adición para tuberías lisas y un número de Reynolds entre 2,100 a 100,000 una aproximada línea recta (sobre papel log-log) de la función de Colebrook es posible. Esta aproximación primera presentada por Blasius está dada por:

f 

0.0791 0.25 N Re

………………………………… (4.1.2c)

Donde: “2,100 ≤ NRe ≤ 100,000” y “ɛ/d=0”. La ecuación de Blasius permite la construcción de un monograma hidráulico simplificado y reglas de cálculo hidráulicas ampliamente utilizadas en el pasado por personal de campo en la industria de la perforación. La ecuación de Fanning puede ser arreglada para el cálculo de la caída de presión friccional debido al flujo turbulento en tuberías circulares. Arreglando la ecuación (4.1.1c) y convirtiendo a unidades de campo


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dp f dL

 v2 25.8 d

f


…………………… (4.1.1d)

En adición la ecuación de Fanning puede ser extendida a la región de flujo laminar si el factor de fricción para la región laminar está definida por:

f 

16 N Re

………………………. (4.1.2d)

Una simplificada ecuación para flujo turbulento puede ser desarrollada para tuberías lisas y moderados números de Reynolds sustituyendo la ec. (4.1.2c) en la ecuación (4.1.1d)

dp f dL

0.0791 

 v2 25.8 d

 928  v d      

0.25

Simplificando esta expresión resulta

dp f dL



 0.75v 1.75 0.25 1800 d 1.25 ………………………………… (4.1.2e)

dp f dL





q  8.62 d 4.75 0.75 1.75

0.25

Para tubería circular donde “ɛ/d=0” y NRe está entre 2,100 y 100,000 la ecuación (4.1.2e) está en una forma que fácilmente identifica la relativa importancia de los varios parámetros hidráulicos sobre la perdida de presión friccional turbulento. Por ejemplo esto puede ser mostrado que cambiando el diámetro de la tubería de 4.5 pulgadas a 5 pulgadas reduciría la pérdida de presión en la tubería de perforación por un factor cercano de dos.

4.2 Criterios Alternos de Turbulencia En algunos problemas de diseño, es deseable determinar las pérdidas de presión friccional asociados con un amplio rango de velocidades de flujo. Como se discutió en la sección precedente, la perdida de presión friccional asociado con el flujo de la tubería de un fluido newtoniano debe ser determinado utilizando diferentes ecuaciones cuando el patrón de flujo es turbulento que cuando el patrón de flujo es laminar. Sin embargo ninguna ecuación puede predecir exactamente la perdida de presión en la región de transición entre el flujo laminar y el flujo turbulento. Además el uso del número de Reynolds 2,100 como criterio para cambiar de la ecuación de flujo laminar a ecuación de flujo turbulento frecuentemente causa una discontinuidad artificial en la relación entre la perdida de presión y la velocidad media de flujo Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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que generalmente no es observada experimentalmente. Este problema puede ser ilustrado utilizando la geometría de la tubería y las propiedades del fluido dados en el ejemplo 4.26. Considere la data del ejemplo 4.26 a velocidades bajas de fluido el patrón de flujo es laminar y las ecuaciones para perdidas de presión friccional mostradas en la tabla 4.4

p f 

 v L 1500 d

2



20  v  10,000  9.11 v 1500  3.8262

Esta ecuación ha sido ploteada en la figura 4.32 para un amplio rango de velocidades de fluidos medias. A altas velocidades de flujo, el patrón de flujo es plenamente turbulento y las pérdidas de presión friccional pueden ser aproximadas utilizando la ec. (4.1.2e)

p f  p f 

 0.75v 1.75 0.25 1800 d 1.25

L

9 0.75v 1.75200.25 10,000 1800 3.826 1.25

p f  11.41 v 1.75 Esta ecuación también ha sido ploteada en la figura 4.32. El número de Reynolds para la data del ejemplo 4.26 está dado por: Si asumimos que el patrón de flujo cambia de laminar a turbulento a un número de Reynolds de 2,100, la velocidad critica al cual el cambio en el patrón de flujo ocurre está dado por:

vc 

2,100  1.314 pies / seg 1,598

Puede ser visto de la figura 4.32 que habría una discontinuidad en la caída de presión friccional calculada si la transición de laminar a turbulento es asumida a ocurrir a esta velocidad de fluido. Esta discontinuidad ficticia es causada por la suposición que el patrón de flujo de repente cambia de laminar a plenamente desarrollado flujo turbulento a un número discreto de Reynolds de 2,100 más que sobre un rango de números de Reynolds entre 2,000 y 4,000. Para evitar la discontinuidad en la relación entre la perdida de presión friccional y la velocidad media del fluido, algunas veces es asumida que el cambio de patrón de flujo de laminar a flujo turbulento donde las ecuaciones de flujo del laminar y turbulento resultan el mismo valor de la perdida de presión friccional por ejemplo donde la dos ecuaciones se cruzan en la figura 4.32. Cuando este procedimiento es utilizado, es necesario calcular la perdida de presión friccional utilizando ambos las ecuaciones de flujo laminar y turbulento y luego seleccionar el resultado que es numéricamente el más alto. Este método es bien adecuado para técnicas de solución numérica desarrollados utilizando una computadora. Esto es especialmente verdadero para técnicas de encontrar raíz que requieren el uso de una continua relación entre el rate de flujo y la presión. Ing. De Perforación de Pozos II Ing. Carlos Ramírez Castañeda

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4.3 Extensión de las ecuaciones de flujo en tuberías a la geometría anular. Una gran cantidad de trabajo experimental ha sido hecho en tubería circular. Desafortunadamente esto no es verdad para flujo en conductos de otras formas. Cuando conductos de flujo no circular son encontrados, una práctica común es calcular un diámetro efectivo del conducto de tal forma que el comportamiento del flujo en tubería circular de ese diámetro seria casi equivalente al comportamiento del flujo en conductos no circulares. Un criterio a menudo usado en determinar un diámetro circular equivalente para conductos no circulares es la relación del área de sección del perímetro mojado del canal de flujo. Esta relación es llamada el radio hidráulico. Para el caso de un anular el radio hidráulico esta dado

rH 

 (r22  r12 ) r2  r1 d 2  d1   2 (r1  r2 ) 2 2

El diámetro circular equivalente es igual a 4 veces el radio hidráulico

de  4 rH  d 2  d1

………………………………… (4.3.1a)

Un segundo criterio utilizado para obtener un radio circular equivalente es el termino geometría en la ecuación de perdida de presión para la región de flujo laminar. Considera las ecuaciones de pérdida de presión para flujo en tuberías y flujo anular concéntrico de fluidos newtonianos dados en la ecuación (3.1.2c) y (3.1.2d) comparando los términos de geometría en estas dos ecuaciones resulta.


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d 2  d 22  d 12 

d 22  d 12 d  ln  2   d1 


……………………………….. (4.3.1b)

Una tercera expresión para el diámetro equivalente de un anular puede ser obtenido comparando las ecuaciones (3.1.2c) y (3.1.8d), la aproximación de flujo en ranura para un anular. Comparando el denominador de esas dos ecuaciones resulta:

1,500 d 2  1,000 (d 2  d1 ) 2 Así el diámetro equivalente circular de una representación de ranura de un anular está dado por

de  0.816 (d 2  d1 )

………………………………. (4.3.1c)

Para la mayoría de geometrías anulares encontrados en las operaciones de perforación d1/d2>0.3 y las ecuaciones (4.3.1b) y (4.3.1c) dan casi idénticos resultados. Una cuarta expresión para el diámetro equivalente de un anular fue desarrollado empíricamente por Crittendon de un estudio de cerca de 100 tratamientos de fractura hidráulica de pozos produciendo en el cual el crudo fue utilizado como fluido fracturante. Expresado en términos de d1 y d2, el diámetro equivalente de Crittendon está dado por

(d 22  d 12) 2 d d   d 22  d 12 ln (d 2 / d1 ) de  2 4

4 2

4 1

…………………………….. (4.3.1d)

Cuando utilizamos la correlación empírica de Crittendon una velocidad ficticia promedio también debe ser utilizada en describir el sistema de flujo. La velocidad ficticia promedio es calculada utilizando el área de sección de la tubería circular equivalente más que el área de sección transversal verdadera. Esto no es verdad cuando se utilizan las ecuaciones (4.3.1a), (4.3.1b) y (4.3.1c). La velocidad verdadera promedio es utilizada cuando se emplean estas ecuaciones. Todas las cuatro expresiones para el diámetro equivalente mostradas han sido utilizadas en práctica para representar el flujo anular. La ecuación (4.3.1a) es probablemente la más utilizada en la industria del petróleo. Sin embargo es probable debido a la simplicidad del método más que una mejor exactitud.


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4.4 Modelo Plástico de Bingham La pérdida de fricción friccional asociado con el flujo turbulento de un fluido plástico de Bingham está afectado principalmente por la densidad y la viscosidad plástica. Mientras el punto de cedencia del fluido afecta a ambos, la perdida de presión friccional en flujo laminar y la velocidad del fluido al cual la turbulencia comienza, a altas velocidades de corte correspondientes a un pleno patrón de flujo turbulento, el punto de cedencia ya no es un parámetro altamente significante. Ha sido encontrado empíricamente que la perdida de presión friccional asociado con el flujo turbulento de un fluido plástico de Bingham puede ser predecido utilizando las ecuaciones desarrollados para fluidos newtonianos si la viscosidad plástica es sustituido por la viscosidad newtoniana. Esta sustitución puede ser hecha en el número de Reynolds utilizado en la función de Colebrook definido por la ecuación (4.1.2b) ó en la ecuación de flujo turbulento simplificado dado por la ecuación (4.1.2e). Predecir exactamente el principio de flujo turbulento es aún más difícil para fluidos que siguen el modelo plástico de Bingham que para fluidos que siguen el modelo newtoniano. Cuando solo la perdida de presión friccional es deseada, este problema puede ser evitado calculando la perdida de presión friccional utilizando ambas ecuaciones para flujo laminar y turbulento y luego seleccionar el resultado que es numéricamente el más alto. La pérdida de presión calculada en esta manera será razonablemente exacta aun cuando el patrón incorrecto de flujo puede ser asumido en algunos casos. Sin embargo en algunos problemas de diseño, puede ser necesario establecer el rate de flujo real al cual la turbulencia comienza. Por ejemplo muchos ingenieros sienten que la lechada de cemento y los fluidos lavadores deberían ser bombeados en flujo turbulento para mayor eficiencia de la remoción de lodo durante las operaciones de cementación. En este tipo de problema, el uso de un criterio más exacto de turbulencia es requerido. El más comúnmente utilizado criterio de turbulencia involucra el calculo de una viscosidad aparente representativa que puede ser usado en el criterio del numero de Reynolds desarrollado para fluidos newtonianos. La viscosidad aparente mas a menudo usada es obtenido comparándolas ecuaciones de flujo laminar para fluidos newtonianos y fluidos plásticos de Bingham. Por ejemplo combinando las ecuaciones para flujo en tuberías para el modelo newtoniano y plástico de Bingham dado en la tabla 4.4 resulta

a v 1500 d

2



p v 1500 d

2



y 225 d

Resolviendo para μa la viscosidad aparente newtoniana resulta

a   p 

6.66 y d v

j


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Curso Ing. Perforacion II

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