FLUIDOS (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO INGENIERIA CIVIL

Contenido I.

INTRODUCCION........................................... ..................... ............................................ ......................................... ................... 2

II. DEFINICIONES PREVIAS .......................................... .................... ............................................ .............................. ........ 3 2.1. SISTEMA......................................... .................... ........................................... ........................................... .......................... ..... 3 2.2. VOLUMEN DE CONTROL.......................................... .................... ............................................ ........................ 3 a) Volumen de control no deformable ......................................... .................... ........................... ...... 3 b) Volumen de control deformable ............................................ ...................... .............................. ........ 3 III.

GASTO O CAUDAL ........................................... ..................... ........................................... .................................. ............. 3

IV.

PRINCIPIO DE LA CONSERVACION DE LA MASA................................. ..................... ............ 5

V. ECUACION DE LA CONTINUIDAD .......................................... ..................... ..................................... ................ 7 a. Forma Integral ......................................... ................... ............................................ ......................................... ................... 7 VI.

PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.................................. ...................... ............ 8

VII.

EJERCICIOS APLICATIVOS............................................ ...................... ........................................... ..................... 10

a. GASTO O CAUDAL ........................................... ..................... ........................................... ................................ ........... 10 b. ECUACION DE CONTINUIDAD......................................... ................... ....................................... ................. 11 c. PRINCIPIO DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO................................ ...................... .......... 16

1

MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO GAS TO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO


I.

INTRODUCCION

La Mecánica de Fluidos estudia las leyes del movimiento de los fluidos y sus procesos de interacción con los cuerpos sólidos. La Mecánica de Fluidos como hoy la conocemos es una mezcla de teoría y experimento que proviene por un lado de los trabajos iniciales de los ingenieros hidráulicos, de carácter fundamentalmente empírico, y por el otro del trabajo de básicamente matemáticos, que abordaban el problema desde un enfoque analítico. En este informe presentaremos las definiciones y formulaciones, así mismo algunos ejercicios aplicativos de los temas: a) Gasto o Caudal. b) Ecuación de la continuidad, Principio de la conservación de la masa. c) Ecuación de la cantidad de movimiento. Y para poder entender los anteriores temas, tendremos algunas definiciones básicas o previas como lo es el Sistema y Volumen de Control. El gasto o caudal es la cantidad de fluido que circula a través de una sección del ducto por unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. La ecuación de continuidad; la conservación de la masa de fluido a través de dos secciones (sean éstas A1 y A2) de un conducto (tubería) o tubo de corriente establece que la masa que entra es igual a la masa que sale. La ecuación de la cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado(o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. 2

MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO


II.

DEFINICIONES PREVIAS

2.1.

SISTEMA

El sistema se define como una porción fija de materia. Aunque su forma y su tamaño pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definición es que la masa del material que comprende el sistema no se altere con el tiempo. Por ejemplo, un sistema puede constar de cierta masa de agua encerrada en un recipiente flexible. El agua puede pasar al estado de vapor por medio del calentamiento, con un aumento considerable del volumen en cuestión. Mientras no se produzca una transferencia de masa a través de las paredes del recipiente, no se viola el concepto de sistema. Se escoge una porción de masa fluida de modo que en un instante dado coincida con el volumen de control. Esta porción de masa se llama sistema y su delimitación contorno.

2.2.

VOLUMEN DE CONTROL

Para determinar las características del flujo (gasto o caudal), se debe tener en cuenta dos definiciones de volumen: a) Volumen de control no deformable

Este tipo es un volumen fijo en el espacio, relacionado a un sistema de ejes coordenados, que puede estar en movimiento, r especto a un sistema absoluto. Se adopta una porción fija del espacio dentro del seno fluido de forma y tamaño constantes. Esta porción de espacio se llama volumen de control y su delimitación superficie de control b) Volumen de control deformable

Se dice que un volumen de control es deformable, cuando parte de su superficie, o toda ella, está en movimiento en un instante dado

III.

GASTO O CAUDAL

En la Mecánica de fluidos, caudal es la cantidad de fluido que circula a través de una sección del ducto (tubería, cañería, oleoducto, río, canal,...) por unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. 3


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO INGENIERIA CIVIL Definición matemática.-

Considérese el tubo de flujo elemental, definido en las curvas cerradas Cl, C2 muy próximas entre sí.

Figura n° 1 : Tubo de flujo elemental

 ̅ =. ̅



En el punto P se pueden considerar dos vectores: y . El vector es un vector unitario normal a la superficie y cuyo sentido positivo se establece por convenio.





En un intervalo el volumen de líquido que atraviesa, el elemento de superficiees igual al producto escalar:

∀ =  . ̅  =̅  ∀=  . ̅ 

Pero

Se define caudal o gasto a la relación;



Si

 = ∀ =̅ .  ̅ es un el emento de una superficie finita A, entonces:

 = ∫  = ∫  . ̅

…(1)

Y si, como es costumbre, se escoge la superficie A de modo que las líneas de corriente sean normales a ella: 4

 = ∫  .

…(2)



Se llama velocidad media del flujo a través de la superficie A al cociente:

 =  = ∫ . Por lo tanto tenemos que el caudal es:

=. IV.

PRINCIPIO DE LA CONSERVACION DE LA MASA

La masa no se crea ni se destruye, sino que se conserva. Este principio es uno de los básicos en el estudio del movimiento de los fluidos. Se desarrollará este concepto en forma de ecuaciones diferenciales e integrales. Considérese un volumen de control de forma arbitraria en el flujo. Por el principio de conservación de masa, la suma de la rapidez de variación de la masa dentro del volumen y la salida neta de masa a través de la superficie del volumen es cero. Esto quiere decir que: “La masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado dentro del flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen”. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido. El principio de conservación de la materia o principio de conservación de la masa, también se expresa como: “El aumento de masa, en un tiempo t, del fluido contenido en un volumen dado, será igual a la suma de las masas del fluido que entran a este volumen, disminuida de las que salen”.

 = 

Figura n° 2 :

5

 =       ,  =      +∆, Es decir la masa en el sistema permanece invariable: MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO


 =  +   

 =  =         "".  =+∆ =         "+∆"  =           "∆"  =           "∆"  = +∆ +∆ ∆ +∆ =∆ ∆ Dividiendo entre ∆t ordenando y tomando límites cuando ∆t→0:

+∆ = lim (∆ ∆) lim  → → ∆ ∆

 =      =  

 =  =   ó         ,

    =  =              Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra, sumadas algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa de la forma siguiente: La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo ( ), más la rapidez de variación de la masa contenida “

en el volumen (

6



 ), es igual a cero”, matemáticamente se expresa así: 

 +  = 0

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial, que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.



V.

ECUACION DE LA CONTINUIDAD

Para explicar la ecuación de continuidad se tienen los siguientes ideales: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

El fluido es incompresible La temperatura del fluido no cambia El flujo es continuo, la velocidad y presión no dependen del tiempo Flujo Laminar Flujo irrotacional No hay pérdidas por rozamientos

a. Forma Integral

Consideremos un tubo de corriente estrecho, de forma que se pueda considerar uniforme la velocidad en cualquier sección del tubo perpendicular al flujo. En el interior del tubo la velocidad del flujo es paralela a la línea de corriente en cada punto, pudiendo ser estas velocidades distintas en cada punto.





Sea la velocidad de la partícula en el punto 1, y la velocidad de la partícula en el punto 2, con y las secciones transversales de los tubos, perpendiculares a las líneas de corriente. Si el tubo es estrecho y son uniformes en y respectivamente.

 

 



 

En un intervalo de tiempo , un elemento del fluido recorrerá una distancia por lo que en el tiempo pasará por la masa de fluido.





  = ..



,

Donde es la densidad del fluido al pasar por la sección 1. El flujo de masa o caudal másico se define como la masa que atraviesa una sección en la unidad de tiempo, y viene dado por:

 =  = .. 7

Donde se considera implícitamente que en ese intervalo infinitesimal de tiempo ni ni varían apreciablemente en el recorrido del fluido . El caudal másico a través de la sección es y a través de la sección es .

 

 ..

  ..



Figura n° 3 : Vena líquida Como las partículas del flujo no pueden atravesar las paredes del tubo de flujo debe cumplirse que, si el régimen es permanente (o estacionario) y no hay fuentes ni sumideros de partículas, ambos caudales másicos han de ser iguales.

 = .. = .. ⇒  == Y análogamente para cualquier otra sección A perpendicular al tubo de flujo, por lo que esta ley de conservación de la masa o ecuación de continuidad se puede escribir simplemente como:

= A través de cualquier sección del tubo de flujo perpendicular al mismo en régimen estacionario.

Para el caso particular de flujo incompresible ρ no depende del punto y esta ecuación de continuidad puede escribirse como:



. = . ⇒ ==

Donde es el caudal o volumen que atraviesa la sección en la unidad de tiempo .

VI.

8

PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

El punto de partida es la segunda ley de Newton o ley de conservación de cantidad de movimiento, que para un cuerpo o partícula sólida con masa constante es escrita con el formato más usual como:

= MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO




  =   =   ==   

 

Donde es la cantidad de movimiento, m es la masa del cuerpo y son la velocidad y aceleración de la partícula en su trayectoria, respectivamente, y F es la sumatoria de fuerzas exteriores actuando sobre la partícula. Calculemos la fuerza total que actúa sobre un elemento del fluido que circula por un tubo de flujo estrecho en régimen estacionario. Para ello, calcularemos la variación de la cantidad de movimiento de dicho elemento por unidad de tiempo, lo que nos dará la fuerza neta que actúa sobre el mismo.

Figura n°4: Variación de la cantidad de movimiento Consideremos ahora el elemento de fluido que se muestra en la Figura n° 4 y que inicialmente se encuentra entre las secciones 1 y 2. Un intervalo de tiempo después, el fluido habrá avanzado hasta las secciones 1’ y 2’. La cantidad de movimiento inicial del elemento será la suma de las cantidades de movimiento de los subelementos 1 – 1’ y 1’ − 2,



̅ = ̅ +̅′− Mientras que la cantidad de movimiento del elemento pasado un intervalo de tiempo será la suma de las cantidades de movimiento de los subelementos 1’ − 2 y 2 – 2’ ,



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̅ =̅ ′− +̅ MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO


Siendo la cantidad de movimiento de la parte 1’−2 la misma en ambos casos al ser el régimen permanente. La variación de la cantidad de movimiento en dicho intervalo es entonces;

̅ = ̅   ̅ = ̅ ̅. La ecuación de continuidad

 

 =  ==

nos dice que las masas

y deben ser iguales, por lo que la variación de cantidad de movimiento por unidad de tiempo puede escribirse como;

  =  =  2 1 = 2 1   

Donde es el caudal másico, y esta variación de cantidad de movimiento por unidad de tiempo debe ser igual a la fuerza neta que actúa sobre el elemento O:

 = ̅ ̅ VII.

EJERCICIOS APLICATIVOS a. GASTO O CAUDAL

Si la velocidad del aceite que fluye entre dos placas convergentes varía en una sección normal según la ecuación:

Y si ;

 = .     = 15   =2

Determinar: a) El caudal, si el contorno tiene un ancho constante de 23 cm. b) La velocidad media. SOLUCION

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 =    MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO


(a) Dónde: 



=   = .   

=15. 44 2 =3015

Reemplazando:

=

  =  3015      = 233015    2   2315 5  ⇒  = 460



0



(b) La velocidad media( ) está dada por

 =    460  = 10   = 23  2 

b. ECUACION DE CONTINUIDAD 11

1. En la Figura se muestra la bifurcación de un tubo circular que tiene los diámetros indicados. El agua que escurre dentro del tubo, entra en A y sale en C y D. Si la velocidad media B es de 0.6 , y en C es de 2.7 ,

/

/



calcular las velocidades medias de A y D; y el gasto t otal y de cada rama de la tubería

Solución:

=0.15 =0.60/ =0.30 =2.7/ =0.10 =? =0.05 =?

.=.   0. 1 5 0. 3    4 = 0.60  4 =2.4   0. 3  = 0.6  4   =0.0424  += .+.=0.0424   0. 1 0. 0 5 2.7  4 +  4 =0.0424 =10.8 

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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO INGENIERIA CIVIL 2. La figura muestra un tanque cilíndrico el cual es llenado mediante las válvulas A y B con velocidad constante, y se descarga a través de las válvulas C y D. Si el llenado total del tanque:

-

Solo A igual a 4 horas Solo B igual a 5 horas

El vaciado total del tanque:

-

Solo C igual a 3 horas Solo D igual a 6 horas

Para un instante t=0 se tiene que h=H/2. Si se abren simultáneamente A, B, C y D determinar el tiempo en que demora en alcanzar la octava parte de la altura del tanque.

Solucion: Tomaremos una variable para identificar la sección transversal del tanque cilíndrico, en este caso llamaremos la cual sera área transversal. Esto nos f acilitará los cálculos.



Encontraremos el volumen del cilindro:

∀=  

Ahora trabajaremos con los caudales que entran como los que salen y diremos:

 +  +   =    = ∀ =    +  +   =  

Pero como sabemos que el gasto o caudal es igual a la siguiente expresión:

Entonces reemplazaremos en nuestra ecuación y diremos:

13

+ 4  + 5   3   6  =  ℎ MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO


   =   20 

 20 = ℎ  20ℎ  =  / 20 (  )   ℎ =   /   )  = (20 )(  8 2  = (20  ) 3/8 = , 

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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO INGENIERIA CIVIL 3. En la figura mostrada determinar lo siguiente:

¿El tanque se está llenando o se está vaciando? ¿A qué razón aumenta o disminuye el nivel del tanque?

Solución: Vamos a utilizar la siguiente expresión que tenemos de gasto o caudal la cual nos dice:

=. Ahora trabajaremos con los caudales que entran como los que salen y diremos:

+   =   +   =  

   72 ℎ 4 3 6 +120 4  48  4  60  4  =  4   672=5184 ℎ  =, ⁄  Por lo tanto podemos decir que el tanque se está vaciando y a una razón de

15

0

, ⁄



c. PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La fuerza que se necesita para que el álabe permanezca en su sitio, cuando el flujo permanente de un chorro de agua golpea sobre el.

Nota: Para este tipo de problemas se supone que no hay cambios en la velocidad y en el área trasversal del chorro.

 =  =   =  = 

DCL:

Para el eje X: 16

 = ̅ ̅  =    =..  ⇒  =..1 MECANICA DE FLUIDOS I | GASTO O CAUDAL, ECUACION DE LA CONTINUIDAD, ECUACION DE CONSERVACIÓN DEL MOVIMIENTO


Para el eje Y:

 = ̅ ̅  = 0  =.. ⇒  =.. VIII. BIBLIOGRAFIA   

MECANICA DE FLUIDOS I, ING. CARLOS LOAYZA RIVAS, 2005. MECANICA DE FLUIDOS I, ING. WENDOR CHEREQUE MORAN. APUNTES DE MECANICA DE FLUIDOS, AGUSTIN MARTIN DOMINGO.

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