Universidade Federal do Pará Faculdade de Engenharia Química Mecânica dos Fluidos Titularr - Pro Titula Professor fessor João Nazar Nazareno eno Assistentes – Cl Clau aude deri rino no Ba Bati tist staa Edilson Magalhães
Capítulo 2 Equações Básicas na Forma Integral para um Volume Volume de Controle Tópicos
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle.
Conservação da Massa.
Conservação da Quantidade de Movimento Linear.
Técnicas Básicas de Análise de Escoamento Há três modos básicos de atacar um problema de escoamento de um fluido: 1 – VOLUME DE CONTROLE ou ANÁLISE INTEGRAL 2 – SISTEMA INFINITESIMAL ou ANÁLISE DIFERENCIAL 3 – ESTUDO EXPERIMENTAL ou ANÁLISE DIMENSIONAL
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
Conservação da Massa O Princípio da Quantidade de Movimento Angular
dm
0 dt Sistema
T
A 1 ° Lei da Termodinâmica Q W
dQ dt
dW dt
dE
ds
1
dE F
dt
T
Q
.
dS
dt Sistema
A Segunda Lei de Newton
A 2 ° Lei da Termodinâmica .
d H
Q
dt Sistema T
dP
dt Sistema
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos. Em cada ponto Análise do Movimento: Região finita (Volume de Controle) Importância de se fazer uma análise de Volume de Controle: Falta de ferramentas matemáticas e a incapacidade dos computadores(Análise Diferencial) Falta de tempo, dinheiro, e generalidades fazem da experimentação também limitada.
Na análise integral e diferencial, essas cinco relações são modeladas matematicamente e solucionadas por métodos computacionais. Em um estudo experimental, o próprio fluido desempenha essa tarefa sem uso de qualquer matemática. Em outras palavras, acredita-se que essas leis sejam fundamentais para a Física e não se conhece escoamento de fluido que as infrinja.
SISTEMA: é uma quantidade fixa e identificável. VOLUME DE CONTROLE: é uma região finita, cuidadosamente escolhida por um analista, com contornos abertos pelos quais se permite que massa, quantidade de movimento e energia se cruzem. O analista faz um balanço ou equilíbrio entre o fluido.
SISTEMA INFINITESIMAL: Quando as leis de conservação são escritas para um sistema infinitesimal de um fluido em movimento, elas se tornam as equações diferenciais básicas do escoamento do fluido. Para aplicá-las a um problema específico, deve-se ‘integrar’ essas equações matematicamente sujeitas às condições de contorno do problema particular.
Exemplos de Volumes de Controles
Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
Fluxo de saída (Vetor positivo) Vetor unitário nornal
V. n Fluxo de entrada (Vetor negativo)
Vazão mássica
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Propriedades Extensiva : são as propriedades de um sistema que dependem de seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Podem ser divididas. Ex: massa, volume, entropia, energia, resistência elétrica, textura, calor. Propriedades Intensiva: são as propriedades de um sistema que não dependem de seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Ex: pressão, temperatura, viscosidade, densidade, resistividade elétrica, ponto de fusão, ponto de ebulição, cor (em solução),
Elemento de massa Quantidade total de B no volume de controle
Grandeza intensiva correpondente Extensiva
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Unidimensional
Objetivo: Relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária, B, do sistema com quantidade associadas com o volume de controle
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle d V . AV dt d dt
Bsist
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle d V . AV dt d dt
Bsist
Taxa de variação de B dentro do V.C
Fluxo de B para fora, através da superfície de controle
Fluxo de B para dentro, através da superfície de controle
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Arbitrário:
- Em cada elemento de área haverá uma velocidade diferente, formando um ângulo diferente com a normal local a dA. - Haverá fluxo de volume de entrada e saída.
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Arbitrário:
Em termos de fluxo (1): V.Cos θ = Vn e dm/dt = ρ Vn.dA
Em termos de fluxo (2): n→ vetor normal para fora
Vn = V . n e V . n = -V.n
Forma compacta do Teorema de Transporte de Reynolds
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle movendo-se a velocidade constante: Velocidade relativa
Vr = V - Vs
velocidade do V.C observado
Velocidade do fluido com relação ao mesmo referencial no qual o movimento Vs
Volume de Controle de forma constante mas movendo-se a velocidade variavél: Vr = V (r , t) - Vs ( t )
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle com movimento e deformação arbitrários Vr (r , t) = V (r , t) - Vs (r , t)
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds Aproximações Unidimensionais para termos de fluxo:
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Exemplo 1
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Exemplo 1
Conservação da Massa
Para a conservação da massa: B = m e β = dm/dm = 1 V.C deformável
V.C fixo
Para um certo número de entradas Escoamento permanente Fluxos de saída = Fluxos de entrada
Conservação da Massa
Escoamento Incompressível.
Todos os líquidos são praticamente incompressíveis, e escoamentos de gases podem se comportar como se fossem incompressíveis, em particular se a velocidade do gás for menor que 30% da velocidade do som no gás. Se V.C for fixo,entrada e saídas são unidimensionais : 0
V.C fixo
Se não são unidimensionais :
velocidade média baseada no volume
Conservação da Massa Escoamento Incompressível.
Se a densidade varia através da seção:
Conservação da Massa Exemplo 3
Conservação da Massa Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 5
A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Para a Quantidade de Movimento Linear: B = mV e β = dB/dm = V V.C deformavél
V→ é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial (não-alterado). ∑ → é a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de controle
material, considerando com um corpo livre; ou seja, ele inclui as forças de superfície sobre todos os fluidos e sólidos cortados pela superfície de controle,mais todas as forças de campo(gravitacional e eletromagnética) atuando sobre as massas no interior do volume de controle. A equação como um todo é uma relação vetorial;
V.C fixo É interessante observar que a equação acima é uma relação vetorial e que V deve ser uma velocidade em relação a um referencial inercial.
A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Fluxo de quantidade de movimento unidimensional.
Por analogia com a expressão do fluxo de massa, a equação abaixo é chamado de Fluxo de Quantidade de Movimento:
Negativo → fluxo de quantidade de movimento é para dentro. Positivo → fluxo de quantidade de movimento é para fora.
Se seção transversal é unidimensional,V e ρ são uniformes sobre a área; Se o V.C possui apenas entradas e saídas unidimensionais;
O vetor da força resultante sobre um volume de fixo é igual à a taxa de variação da quantidade de movimento dentro do volume de controle mais a soma vetorial dos fluxos de quantidade de movimento de saída menos a soma vetorial dos fluxo de entrada.
A Equação da Quantidade de Movimento Linear Força de Pressão resultante sobre uma superfície de controle fechada. As forças de superfície sobre um volume de controle devem-se a (1): forças expostas pelos cortes através dos corpos sólidos que se prolongam pela superfície e (2): forças devidas às pressões e tensões viscosas do fluido circundante.
A Equação da Quantidade de Movimento Linear Fator de correção do fluxo de quantidade de movimento. Para um duto, geralmente a velocidade axial não é uniforme.O calculo simplificado do fluxo da quantidade de movimento:
É relativamente impreciso e precisa ser corrigido por de correção de fluxo de quantidade de movimento, β 1.
onde β é um fator adimensional
