Universidade Estadual do Maranhão – UEMA Centro de Ciências Tecnológicas Tecnológicas – CCT Departamento Departament o de Hidráulica e Saneamento Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Sistemas e Volumes de Controle
Profº Fernando Oliveira
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Mecânica dos Fluidos Equação da Continuidade
Conceitos fundamentais da Mecânica dos Fluidos;
Principais leis básicas de um sistema;
Teorema do Transporte de Reynolds (TTT);
Conservação da massa (Equação da continuidade)
Sistema e Volume de controle
Sistema
Um sistema é constituído por uma porção de matéria (fluido) isolada do exterior e fechada por um contorno imaginário ou real.
Figura 1. Caracterização de um sistema (Van (Van Wylen, 2009) A
massa do sistema é fixa (se conserva). conserva). Suas fronteiras fronteiras (separação (separação com a vizinhança (exterior)) podem ser fixas ou móveis .
Sistema e Volume de controle
Na mecânica dos fluidos estamos interessado com escoamentos de fluidos através de dispositivos como compressores, turbinas, tubulações, bocais, etc,
Neste caso é difícil focalizar a atenção numa quantidade de massa fixa identificável,
Assim,
é conveniente fazê-lo num volume do espaço do qual o fluido escoa – método do volume de controle .
Figura 2 . Sistema e Volume de controle
Sistema e Volume de controle
Volume de controle
Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que permite a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle), da massa, da quantidade de movimento, da energia e demais quantidades associadas ao escoamento.
Figura 3 . Sistema e Volume de controle
Sistema e Volume de controle
Volume de controle
Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que permite a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle), da massa, da quantidade de movimento, da energia e demais quantidades associadas ao escoamento.
Figura 4. volume de controle (Van Wylen, 2009)
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE As
principais Leis Básicas são:
1. Conservação da Massa (Equação da continuidade)
2. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento)
3. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento Angular)
4. Primeira Lei da Termodinâmica 5. Segunda Lei da Termodinâmica
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE
Formulação Diferencial x Integral
Figura 5. Métodos Diferencial x Integral
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Equações na forma integral para um volume de controle
Observações: Encontrar uma relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle.
Esta relação pode ser aplicada para cada uma das leis básicas através do Teorema de Transporte de Reynolds, TTT .
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle. Aplicando e desenvolvendo as leis que modelam os movimentos dos fluidos considerando um dos sistemas e VC, chega-se à seguinte expressão geral:
A equação acima é a relação fundamental entre a taxa de variação de uma propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema, e as variações dessa propriedade associadas com um volume de controle. É conhecida como o Teorema de Transporte de Reynolds.
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Interpretação da formulação do Teorema de Transporte de Reynolds
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Campo de Velocidade Onde
pode ser qualquer propriedade do fluido, como:
( x, y, z, t )
V V ( x, y, z, t )
F F ( x, y, z, t )
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle. Para cada lei básica considere o símbolo propriedade extensiva do sistema. Onde:
N sistema
M ( sistema)
dm
N
para designar qualquer
( sistema)
d
Comparando com as equações das leis básicas, constatamos que: N
M
N
1
P
V
N
H
N
E
N
S
r x V e
s
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Observação:
No TTR o termo:
V d A,
SC
superfície de controle. O produto
a velocidade V é medida em relação à
V d A
é escalar.
VC finito
V 1()
V 2()
A 2
A 2
Figura 6. Vazão em massa num VC finito
Logo:
Positivo: quando o fluxo é para fora do SC;
Negativo:
quando o fluxo é para dentro do SC.
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Conservação da Massa – Equação da Continuidade Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e identificável de material. Assim o principio da conservação da massa que : A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada.
dM
0 dt sistema
Figura 7. volume de controle (Van Wylen, 2009)
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Conservação da Massa – Equação da Continuidade Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e identificável de material. Assim o princípio da conservação da massa que : A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada . Matematicamente pode ser representada da seguinte forma:
dM
0 dt sistema
Onde a massa do sistema, M, é dada por:
M sistema
dm
M ( sistema )
( sistema)
d
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Conservação da Massa – Equação da Continuidade As formulações de sistema e de volume de controle são relacionadas pelo Teorema de Transporte de Reynolds, ou seja:
Logo, substituindo a massa na equação no TTR obtemos que: dM
dt sistema
d V d A SC t VC
Substituindo:
dM
0 dt sistema
Logo, a formulação de volume de controle da conservação da massa é: 0 d V d A SC t VC
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
Interpretação da relação da Equação da Conservação da massa com o TTR. d V d A 0 SC t VC
Os termos tem a seguinte representação:
d Taxa de variação temporal da massa contida no VC. t VC
V d A
Taxa de fluxo de massa através da superfície de controle.
SC
Ou seja, a conservação da massa exige que a soma da taxa de variação temporal da massa contida no VC + Taxa de fluxo de massa através da superfície de controle seja nula .
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Casos especiais da Equação da Continuidade (Conservação da Massa) a) Escoamento incompressível e VC indeformável
Nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo no escoamento permanente. Isto significa que: 0 ( x, y, z , t ) t
No caso de incompressível: ρ = constante (na entrada e saída)
Para um volume de controle não deformável, isto é, um volume de
controle de forma e tamanho fixos, = constante Considerando as sentenças acima, temos: cte
0 d V d A t VC
S C
V d A 0 S C
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Casos especiais da Equação da Continuidade (Conservação da Massa) b) Escoamento permanente: Compressível Neste caso específico, implica dizer que no máximo:
( x, y, z )
No caso de compressível: ρ ≠ constante (mesmo que o escoamento seja permanente)
0
t
VC
0 d
S C
V
d A
V d A 0 SC
A equação da conservação da massa, pode resumidamente ser escrita na forma:
VA 0
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS c) Equação da Continuidade: Entrada e saída simples Pode ser escrita na forma:
m
VA
Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:
m1 m 2 m VA
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS c) Equação da Continuidade: Entrada e saída simples
A equação da continuidade estabelece que: o volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém constante a massa específica apesar das variações na pressão e na
temperatura) que
entra em um tubo será igual aquele que está
saindo do tubo; a vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS d) Equação da Continuidade: com várias entradas e saídas A vazão líquida de massa para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão para fora do volume de controle. Matematicamente pode ser escrita assim:
V d A
S C
.
.
me ms
A expressão geral para a conservação da massa num volume de controle é também conhecida como a
Equação da Continuidade.
Figura 9. Dispositivo com Múltipas Aberturas
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS d) Equação da Continuidade: com várias entradas e saídas
Em regime permanente, podemos expressar que: .
.
m m e
s
.
.
m m
0
e
s
Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:
me ms m
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS E)Vazão em volume (Q) Numa seção da superfície de controle que apresenta a área A temos:
m
SC
V d A
VA Q
Onde, a vazão em volume para escoamento permanente é dado por: Q
VA
VC finito
V 1( )
Q V 1 A1
V 2( )
1
A 2
A 2
Figura 10. Vazão em massa num VC finito
Q 2 V 2 A2
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS d)Vazão em volume (Q) Temos também que:
Q2 V 2 A2
Q V 1 A1 1
Q VA Q
S t
A Q
Volume t
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS d)Vazão em volume (Q) Temos também que:
Q VA Q
S t
A Q
Volume t
UEMA/CCT/DHS SELETIVO 2010
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
Aplicação Prática da Equação da Conservação da Massa (Equação da continuidade)
Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa (Equação da Energia) A utilização e as aplicações da conservação da massa são inúmeras. Pode ser aplicada para solução de problemas e realização de projetos de vários equipamentos na engenharia. Podemos citar alguns exemplos na engenharia: A
maioria dos dispositivos e aplicações envolve o escoamento de substâncias:
1. Dispositivos passivos, como: tubos, bocais, difusores, válvulas, etc.
a) Difusores
b) Bocais Figura 11. Dispositivos passivos.
c) Válvulas
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa (Equação da Energia) 2. Dispositivos ativos que envolvem trabalho, tais como: turbinas e bombas,
a) Turbinas hidráulica
b) Motor a Jato
Figura 12. Dispositivos que envolvem trabalho.
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade) 1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico Considere a situação em que água escoa em regime permanente num bocal cônico que é alimentado pelo escoamento proveniente de uma mangueira. Na seção de saída a velocidade é 20m/s e diâmetro de 40mm. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a velocidade da seção de descarga seja igual a 20m/s?
Figura 13. Dispositivos passivos - bocal
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade) 1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico Aplicando a Equação da Continuidade num VC, temos
t
VC
d
V d A
0
S C
Como o regime é permanente, a equação acima ficará:
.
.
V d A m m 2
1
0
S C
De modo que:
..
..
..
..
m m22 m m11 00 m m22 m m11 m
Como a vazão em massa é igual ao produto da massa específica do fluido pela vazão em volume, temos que: 2 Q 2
Q 1
1
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade) 1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico Vamos admitir que o escoamento é incompressível (escoamento de baixa velocidade). Assim: 2
1
Logo: Q 2 Q1
Assim, a vazão em volume da bomba (também conhecida como capacidade da bomba) é igual a vazão em volume na seção de descarga do bocal. Se, por simplicidade, admitirmos que o escoamento é unidimensional na seção de descarga do bocal, podemos chegar à seguinte combinação:
Q1 Q2 V 2 A2 V 2
4
D22
Logo, o vazão em volume no bocal de entrada será:
Q1 Q2 20 x
4
0,04
2
x
0,00251m³ / s
Exercícios de Estudos para Prova
1. Defina e dê exemplo de Sistema e Volumes de controle. 2. Escreva cada uma das 5 leis básicas para um sistema e nomeie cada um de seus termos. 3. Escreva o teorema de transporte de Reynolds e explique cada um de seus termos. 4. Escreva a equação da conservação de massa e explique-a. 5. Explique a diferença de um escoamento incompressível e escoamento compressível. 6. Qual o conceito de vazão em volume? Escreva a equação e explique cada termo.
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
CONCLUSÃO: A
equação da continuidade é uma poderosa ferramenta para resolução de
problemas na engenharia relacionado especialmente àqueles em que há fluxo de massa em sistemas que envolvem volume de controle;
Os problemas práticos que envolvem o uso da equação da continuidade
podem ser melhor entendidos adotando hipóteses simplificadoras durante a solução.