Polit´ ecnico Grancolombiano ecnico ´ sicas Departamento de Ciencias B asicas a ´ lculo III Calculo a Proyecto de Aula - Fase 2 Ejercicios Sugeridos
Para maqueta. Construir, a escala, las superficies correspondientes al ejercicio.
S´olido olido acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 4 y los planos z = 0, y + z = 3 S´ olido olido que est´a dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 por encima del plano xy y por abajo del cono z = Tetraedro acotado por x = 2, y = 2, z = 0, x + y este volumen.
x + y 2
2
− 2z = 2. Plantear seis formas distintas de la integral triple para hallar 1
S´olido olido cuyo volumen est´a dado por la integral iterada
0
0
1
(2
− x2 − y2) dy dx
Otros
Trazar la gr´afica afica de la curva con ecuaciones param´ etricas etricas x = (1 + cos cos 16t)cos t, y = (1 + cos cos 16t)sen t, z = 1 + cos16t. Comentar el aspecto de la gr´afica afica y enmarcarlo dentro de una superficie conocida. Trazar la curva descrita por las ecuaciones param´ etricas etricas x = cos t, y = sen3t, z = sen t. Hallar la longitud total de su curva, aproximada con cuatro decimales. Trazar tanto la superficie z como las curvas de nivel, en una misma pantalla. a) f (x, y ) =
−3y
b) g (x, y ) =
x2 + y 2 + 1
2
−xye−x −y
2
2
Hallar y simplificar las primeras y segundas derivadas parciales de la funci´on f (x, y) = xe −x f x y f y con dominios que permitan observar las relaciones entre ellas. Comentar.
−y2
x
Verificar que se cumple el teorema de Clairaut, es decir, uxy = uyx en las funciones: z =
x + y
z = sen2 x cos y .
Demostrar Demostrar que la funci´ funci´on on z = xe y + ye x es soluci´ soluci´ on on de la ecuaci´on on
. Trazar la gr´afica afica de f , , z = ln
x + y 2
2
y
∂ 3 z ∂ 3 z ∂ 3 z ∂ 3 z x y + = + . ∂x 3 ∂y 3 ∂x∂y2 ∂x 2 ∂y
El paraboloide paraboloide z = 6 x x2 2y2 interseca al plano x = 1 en un par´abola. abola. Encontrar las ecuaciones param´ etricas etricas para la recta tangene a esta par´abola abola en el punto (1 , 2, 4). Trazar la gr´afica afica del paraboloide, la par´abola abola y la recta tangente en la misma pantalla.
− − −
−
Trazar la gr´afica afica de f y su plano tangente en el punto dado. Identifique dominios que permitan una clara visualizaci´on. a) f (x, y ) = e (−x
2
−y 2 )/15
(sen2 x +cos2 y ), (2, 3, f (2 (2, 3))
1 + 4x + 4y 2
b) g (x, y ) =
1 + x4 + y 4
2
, (1, 1, 1)
Trazar la gr´afica afica de la superficie, el plano tangente y la recta normal en la misma pantalla. a) xy + yz + zx = 3, (1, 1, 1))
b) xyz = 6, (1, 2, 3)
Dos superficies se llaman ortogonales en un punto de intersecci´on on si sus rectas normales son perpendiculares en ese punto. F x , y , z G x , y , z As´ As´ı, las l as superfic su perficies ies con c on ecuaciones ec uaciones ( )=0y ( ) = 0 son ortogonales en un punto P donde F = 0 y G = 0 si, y s´olo olo si, Fx Gx + Fy Gy + Fz Gz = 0 en P . Dadas las superficies z 2 = x 2 + y 2 y x2 + y 2 + z 2 = r 2 , demostrar que son ortogonales en todos sus puntos de intersecci´on.
∇
∇
Trazar la gr´afica del c´ırculo x2 + y 2 = 1 y enla misma pantalla trazar la gr´afica de varias curvas de la forma x2 + y = c hasta encontrar dos que apenas toquen el c´ırculo. ¿Qu´ e significan los valores de c para estas dos curvas? Ahora, emplear multiplicadores de Lagrange para hallar los valores extremos de f (x, y) = x2 + y sujetos a la restricci´on x2 + y 2 = 1. Comparar las respuestas entre el m´etodo gr´afico y el de Lagrange. Trazar las curvas de nivel para estimar los valores m´aximo y m´ınimo locales y los puntos de ensilladura de f (x, y) = x3 3x + y 4 2y 2 . Luego utilizar c´ alculo para hallar estos valores en forma precisa.
−
−
Dadas las funciones f (x, y) = 16 − x − y 2
2
+ 2x
− 4y y g (x, y) =
√ 2 2
1
− 3x2 + y 2 + 6x + 4y:
a) Trazar en una misma gr´afica la regi´on del primer octante en la que se destaquen las dos superficies y su intersecci´on. b) Hallar un punto en el primer octante sobre la curva intersecci´on de las dos superficies y determinar si la curvas son ortogonales en ese punto.
