Unidad 2: Fase 2 – Conceptualización Conceptualización teórica
Joh n Sebastián Baron a Vélez Vélez Códi go: go : 1.144.0 1.144.078.4 78.484 84 Alexan Al exander der de Jesú J esús s Urib Ur ib e Código: 94.939.417 Mildred Stefanie Quinayas Còdigo: Grup o: 203042 203042_6 _6
Tutor: James Hernán Hernán Betancourt Romo
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD CEAD Palmira Escuela de Ciencias Básic as, Tecno Tecno logía log ía e Ingeni Ingeni ería - ECBTI ECBTI Ingeniería Electrónica Flori da (Valle (Valle d el Cauca)
Introducción.
En el siguiente informe se tratan temas como la serie de Fourier, que es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).
Objetivos.
Comprender, aplicar y analizar la operación de convolución en tiempo discreto.
Usar la serie de Fourier como herramienta para definir el comportamiento en frecuencia de un sistema dinámico.
Calcular los coeficientes de Fourier.
Desarrollo.
Ejercicio 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica ), determine analíticamente la convolución entre
x(t) y h(t) descritas a continuación:
= − ℎ = 2− Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=2. Se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, pero todos deben presentar su aporte original a la solución este ejercicio. Solución : Grupo No. 6, entonces a = 6 Reemplazamos:
λ = −uλ ℎλ = 2−−ut λ 6 ∞ − ∫−∞ uλ 2−−ut λ 6 dλ ∞ − −− ∫−∞ 2 uλ ut λ 6 dλ Con los exponentes
2−a− ∞ − − ∫−∞ 2 uλ ut λ 6 dλ
se hace la operación separando la ecuación.
Se restan los exponentes:
∞ − − 2 ∫−∞ uλ ut λ 6dλ + − 2 ∫ dλ + − 2 ∫ dλ Se integra:
2− |+ 2−(− ) = 2− + 6 ≥ 0 2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta ), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]
= [2̌,4,] ℎ = [ 3,1̌,,2]
Dónde: la constante “a” corresponde con el ú ltimo digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=2, o b=2 según sea el caso. Se deben recopilar las soluciones de todos los integrantes que hayan participado en el trabajo grupal. Nota: Tenga en cuenta la notación para ubicar correctamente la señal en la escala horizontal (número de muestra) Numero d e grupo: 6 Numero d e cód igo : 1144078484
= =
= [2̌,4,6]
ℎ = [ 3,1̌,4,2] ℎ
3 -2 -6
-6
1 4 -2 12 10
4 6 -8 4 18 14
2 -4 16 6 18
8 24 32
12 12
= 6,10,14,18,32,12 = 6 10 1 14 2 18 3 32 4 12 5 Comprobamos en Matlab
3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8) : a) b)
para para
= = 0 ≤ ≤ 1 ,
con T=10 con T=2
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=2, o b=2 según sea
el caso. Para el ítems “b”, se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, en el caso del ítem “a” se deben recopilar las soluciones de todos los
integrantes que hayan participado en el trabajo. a)
1 1 = ∫ = 10 ∫−1 ∙ = 101 ∙ 44 = 101 (4 4) = 45 = 45 2 2 = ∫cos2 = ∫−1 ∙ cos2 4 = ∫−cos2 = 2 2 4 4) 24 = (2 2 2 = = 1 ∴ = 1 = 101 b)
1 1 = ∫ = 2 ∫ 2 ∙ = ∫ 2∙ ∫ ∙ 1 = 2 2 0 = 2 12 = 32 = 1.5 = 1.5 2 2 = ∫sen2 = 2 ∫ 1 sen 2 = 1∫ 1 ∙sen2 1∫ ∙sen2 2 1 sen2 ∙ cos21 = cos 0 0 2 = 21 21 = 1 = 1 ∴ = 1 = 11 = 1 = 1
Conclusiones
Mediante la lectura y el análisis de la guía y de las unidades, fue posible comprender e interpretar señales mediante la serie de Fourier y el hallazgo de sus coeficientes, asi como también el análisis de la convolución de las funciones planteadas como problemas en la guía.
Bibliografía.
Series de Fourier. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300081&v=2.1&u=un ad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258be694
Convolución Continua. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 130). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300056&v=2.1&u=un ad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=77455168e5e332d949cbb0cb8aaa2e07
Convolución Discreta. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 169). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300069&v=2.1&u=un ad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=9216176bfe3118887d3ff0ec6f6606e8
Transformada de Fourier. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 248). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300096&v=2.1&u=un ad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=9216176bfe3118887d3ff0ec6f6606e8
Ovi_Unidad_2_Señales y Sistemas. (2016). Valderrama F, Curso de Señales y Sistemas. Duitama: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/9572
