UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA FASE 2-UNIDAD 2
APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS
Presentado a: OSCAR IVAN VALDERRAMA
Presentado por:
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA SEÑALES Y SISTEMAS OCTUBRE 2017
INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se da a conocer el desarrollo de la fase 2 del curso Señales y Sistemas, denominada: “Aprendizaje basado en problemas aplicado a la unidad 2”, en donde, se ponen en práctica los conocimientos adquiridos durante la re visión
del material bibliográfico propuesto, relacionado con c on convolución en tiempo continuo y discreto, de manera analítica como gráfica y series y transformadas de Fourier usando herramientas analíticas. En este documento se encontrará de manera detallada la solución individual y colaborativa a los tres ejercicios propuestos en la guía de actividades. En el primero de ellos se presenta la solución analítica y su respectiva validación grafica a la convolución en tiempo continuo para las dos señales propuestas, en el segundo ejercicio se realiza el mismo procedimiento anterior pero aplicado señales en tiempo discreto asociadas a la respuesta de un filtro FIR y en el tercer ejercicio se determinan analíticamente los coeficientes de Fourier para las dos señales propuestas en tiempo continuo. Finalmente se exponen las conclusiones, recomendaciones y dificultades encontradas durante el desarrollo de la actividad previamente mencionada.
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL
Elaborar un informe en donde se exponga el desarrollo de diferentes temas planteados en la unidad dos, relacionados con convolución en tiempo discreto y continuo y series de Fourier.
ESPECÍFICOS
Realizar la convolución analítica de una señal continua. Realizar la convolución de una señal discreta mediante el método de tabulación.
Contextualizar los aspectos nocionales propuestos en la unidad 2 del curso. Aplicar los conocimientos adquiridos durante la revisión bibliográfica sugerida mediante la solución a los ejercicios propuestos.
Reconocer y comprender la importancia de los procesos de convolución en tiempo continuo y discreto como respuesta a diferentes señales y sistemas típicos en el ámbito de la ingeniería.
Reconocer la importancia de las series de Fourier para la representación de cualquier tipo de señal mediante el uso únicamente senos y cosenos.
Actividades para desarrollar (Aportes Individuales) 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica ), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
=10− ℎ =3/
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=3. R/=
= 0 = ∶ = = ℎ =ℎ =10− ℎ =3/− 3 ∞ = ⊗ℎ = ∫−∞.ℎ. La constante que utilizaremos es:
∞ − ∫−∞10 . 3/− 3. ∞ − ∫−∞10 . 3.−− 3. ∞ −−+ 30∫−∞ . 3. ∞ − 30∫−∞ . 3.
∞ − 30 ∫−∞ . 3.
: ∗ : =0 ∗ : 3=0 =3 : − − 30 ∫ . 3. − − = 30 ∫ =30− | 3 = 303−
0 = 303 ∗ − ó í : 3 ≥ 0
2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]
=[1,2,4,] ℎ =[ 2,1,,3] Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último
dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso. Nota: Tenga en cuenta la notación para ubicar correctamente la señal en la escala horizontal (número de muestra) R/= dónde: a = 3 y b = 4
=[1,2̂,4,3] ℎ = [ 2,1̂,4,3] Resolvemos
ℎ = 2 1 4 3 = 1 2 4 3 ___________________________ -2
-1 -4
-4 -2 8
_______________________
= = ℎ
-2
-5
2
-3 -8 4 6
-6 16 3
12 12
9
-1
13
24
9
3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8):
a)
para
=2∗
R/= a) Cuando b = 4
con T=10
para
=2∗4
con T=10
= 1 = 101 =0.1 = 2 ∫2 = 102 ∫22101 2 = 10 ∫ 2.20.2 94 10sensen = 94 10sensen 2 = 10 . 95 2sensen =
1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), determine analíticamente la convolución entre y descritas a continuación:
ℎ
=10− ℎ = 3− Dónde este digito es cero, utilice = 3.
: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si
Solución
Teniendo en cuenta que el número de grupo colaborativo es 30, el valor a utilizar para la constante será 3, con ello se procede a resolver el ejercicio propuesto.
y ℎ a las cuales se les determinara de
De acuerdo a lo anterior las funciones manera analítica su convolución serán:
=10− ℎ = 3−3 De esta manera y teniendo en cuenta que la convolución entre analíticamente como:
y ℎ se define
∞ = ∗ℎ = ∫−∞ℎ Entonces tenemos que:
→ ℎ→ℎ
Reemplazando lo anterior en las ecuaciones que describen ha
=10− ℎ= 3−−3
y ℎ se tiene:
: ∞ − = ∗ℎ = ∫−∞10 3−−3
Aplicando a la ecuación de convolución
Organizando la ecuación tenemos:
∞ − −− = 30∫−∞ 3
∞ −−+ = 30∫−∞ 3 ∞ − = 30∫−∞ 3 ∞ − =30 ∫−∞3 Ahora, para obtener los límites de la integral se emplean los impulsos unitarios contenidos en ella, así:
= 0 → < 0 3 = 0 → = 3 → > 3
Ya definidos los límites que acotaran la integral de convolución tenemos que:
− − − =30 ∫ =30− 3 =303 0 Así tenemos que el resultado de la convolución analítica para
=303 − ; 3≥ 0
y ℎ será:
La anterior respuesta se puede expresar también en función del escalón unitario como se indica a continuación:
=−
Usando la herramienta científica MatLab se validan los resultados analíticos de manera gráfica, como se puede observar en la figura 1, de izquierda a derecha, y respectivamente.
,ℎ ,
Figura 1. De izquierda a derecha, graficas de MatLab.
,ℎ y generadas en
2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR ,a la entrada .
ℎ
=[1,2,4,] ℎ =[2,1,,3]
"" "" ""
Dónde: la constante corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si es cero, o es cero utilice ,o según sea el caso.
""
=3 =3
Solución Teniendo en cuenta que el número de grupo colaborativo es 30 y que mi documento de identidad termina en 0, el valor a utilizar para las constantes a y b será 3, con ello se procede a resolver el ejercicio propuesto.
y ℎ con las cuales se determinara la =[1,2,4,3] ℎ =[2,1,3,3] Expresando la señal de entrada en función de impulsos unitarios tenemos que: = 124132 De acuerdo a lo anterior las funciones respuesta al filtro FIR propuesto serán:
Ahora, tabulando la respuesta a cada impulso tenemos que:
ℎ Entrada
Respuesta
1 2 41 32 =
ℎ1 2ℎ 4ℎ1 3ℎ2 =
= 2 = 1
1 3 3 2 4 3
=2 1 = 4 = = = 2 5
3 3 2 6 6 8 4 12 12 6 3 9 9 3 1 9 21 9
Finalmente tenemos que la respuesta al filtro FIR propues to será:
=[,,,,,,] Usando la herramienta científica MatLab se validan los resultados analíticos de manera gráfica, como se puede observar en la figura 2, de izquierda a derecha, y respectivamente.
,ℎ ,
Figura 2. De izquierda a derecha, graficas de MatLab.
,ℎ y generadas en
3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8):
=,0≤≤1 =2∗ =3=10 Dónde: la constante “” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “” es cero, o “” es cero utilice = 3, o = 3 según sea el caso. Para el ítem “”, se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, en el caso del ítem “” se deben recopilar las soluciones de todos los integrantes que hayan participado en el trabajo. a) b)
Solución Teniendo en cuenta que el número de grupo colaborativo es 30 y que mi documento de identidad termina en 0, el valor a utilizar para las constantes a y b será 3, con ello se procede a resolver el ejercicio propuesto.
=2∗3 =10 De acuerdo a lo anterior la función será: =2∗3 a)
Con la información suministrada tenemos que:
= 1 = 101 =0.1 Antes de ilustrar la gráfica de es necesario comprender la función , por lo tanto con la ayuda de la herramienta científica MatLab se procede a realizar su gráfica, basada en sus parámetros fundamentales como periodo y amplitud, para los cuales ella se define de manera continua no nula, en un rango de tiempo determinado, acotado por su periodo, como se indica en la siguiente figura.
Figura 3. Gráfica de la función
generada en MatLab.
Teniendo en cuenta la gráfica expuesta en la figura 3 se puede argumentar que la imagen correspondiente para la señal propuesta, estará desplazada 3 unidades hacia la izquierda (eje del tiempo) y será escalada en dos unidades negativas (eje de la amplitud), por lo tanto, su representación gráfica de manera continua no nula se puede consultar en la siguiente figura:
=2∗3
Figura 4. Gráfica de la función
=2∗ 3 generada en MatLab.
De esta manera se procede a determinar analíticamente el coeficiente para la señal dada, como se indica a continuación:
de Fourier
= 2 ∫ cos2 Reemplazando los valores de , , y obteniendo los límites entre los que estará acotada la integral de la gráfica expuesta en la figura 4, tenemos que: −. 2 = 10 ∫−. 2 cos20.1 −. = 0.4 ∫−. cos0.2 −. 0. 2 =0.4 0.2 −. = 2 0.2−.−. = 2 0.50.7 Teniendo en cuenta que la función seno es impar se puede reescribir de la siguiente manera:
= 2 0.7 0.5 para la señal estarán dados por: = . .
Finalmente tenemos que los coeficientes
Haciendo uso de la herramienta web disponible en línea “c alculadora de integral es”
se valida que el resutlado analítico es correcto, como se puede evidenciar en la figura 5.
Figura 5. Comprobación de la veracidad de los resultados obtenidos de manera analítica.
.
1) Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
= 10− ℎ = 3/ 3
Re expresamos las ecuaciones como:
= 10−, ℎ = 3−−3
Hacemos la convolución,
−∞ − −− = ∗ℎ = ∫∞ 10 ⋅3 3 − =30 ∫ 1 =30⋅ −
2) Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta ), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n].
=[1,2̂,4,3] ℎ = [ 2,1̂,3,3] x[n] h[n]
y[n]
-1 -2 4 3 2 1 3 3 -2 -4 8 6 -1 -2 4 -3 -6 -3 -2 -5 3 1
3 12 9 -6 12 9 9 21 9
↓
y[n]={ -2, -5, 3, 1, 9, 21, 9 }
3) Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8): a)
= 2 ∗ 3 = 10 -1.5
-0.5
0.5
1.5
-2
= 2 ∫cos2 = 1 ∴ = 101 =0.1 . =0.2 ∫. 2∙ cos0.2
1 =0.63660.94250. 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica ), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
=10− ℎ =3/ =3 =10− ℎ =3/ 3 ℎ = = ℎ =ℎ =10− − 3 ℎ =3/ ∞ = ⊗ℎ = ∫−∞.ℎ. ∞ − ∫−∞10 . 3/− 3. ∞ − ∫−∞10 . 3.−− 3. ∞ −−+ 30∫−∞ . 3. ∞ − 30∫−∞ . 3. ∞ − 30 ∫−∞ . 3.
=0 3=0 =3 − − 30 ∫ . 3. − − = 30 ∫ =30− | 3 0 = 303− ó = 303 ∗ − 3≥0 2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía
(Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta ), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n].
-1
2
2 1
=[1,2,4,] ℎ =[ 2,1,,3] =3;=5 =[1,2,4,3] ℎ =[ 2,1,5,3] 4
5
3
3
-2
-4
8
6
-1
-2
4
3
-5
-10
20
15 9
-2
-5
1
-3
-6
12
-3
17
27
9
∶ = 3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8) :
b)
=2∗5 con T=10 = 1 = 101 =0.1 = 2 ∫2 = 102 ∫22101 2 = 10 ∫ 2.20.2 95 10sensen = 95 10sensen 2 = 10 . 95 2sensen = para
Grafico realizado en Scilab.
WILLIAM
1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
= 10− ℎ = 3/ Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo,
si este digito es cero, utilice a=3. Reemplazamos a por el Número de grupo:
= 10−
ℎ = 3 3
La fórmula para la convolución es:
∞ = ∗ℎ = ∫−∞ ℎ
Haciendo los reemplazos correspondientes, las nuevas señales serán:
= 10− ℎ = 3−− 3 Reemplazamos los valores en la formula y queda así:
∞ − = ∫−∞10 3−− 3 − − −− = ∫ 10 3 =303−
Para todos los elementos
3 > 0.
2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar), determine la respuesta de un filtro FIR comienzan en n=0;
ℎ a la entrada , ambas señales
=[1,2,4,] ℎ= 2,1̌, ,3 Teniendo en cuenta que el número de grupo colaborativo es 30 y que mi documento de identidad termina en 6, el valor a utilizar para la constantes a será 3 y para b 6, con ello se procede a resolver el ejercicio propuesto
=[1,2,4,3] ℎ= 2,1̌,6,3
Expresando la señal de entrada x[n] en función de impulsos unitarios tenemos que:
xn = δn1 2δn 4δn13δn2
Ahora tabulamos la información:
ℎ
= =
Entrada
Respuesta
δn1 2δn 4δn1 3δn2 Suma=xn
hn1 2hn 4hn1 3hn2 =
=
-2
=
-1
-6
-3
-4
-2
-12
-6
6
4
24
12
6
3
18
9
-5
21
30
9
= = -2
-5
-
Con el cuadro anterior se tiene que:
=2,5,2,5,21,30,9 3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8) :
a)
Solución a= 3 b=6
para
=2∗
con T=10
a)
=2∗6 = 10
Se tiene
= 1 = 101 =0.1 Teniendo en cuenta la gráfica expuesta en la figura 1 se puede argumentar que la imagen correspondiente para la señal
2∗6 propuesta,
estará
desplazada 6 unidades hacia la izquierda (eje del tiempo) y será escalada en dos unidades negativas (eje de la amplitud), por lo tanto, su representación gráfica de manera continua no nula se puede consultar en la siguiente figura:
Se determina el coeficiente a k
Reemplazando valores
= 2 ∫ cos2 −. 2 = 10 ∫−. 2cos20.1 −. =0.4 ∫−. cos0.2
−. sin0. 2 =0.4 0.2 −.
= 2 sin0.2−.−. = 2 sin0.5sin0.7
ÍTEM GRUPAL
3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8) :
Solución
para = , 0 ≤ ≤ 1
con T=3
Teniendo en cuenta que el número de grupo colaborativo es 30, el valor a utilizar para la constante será 3, con ello se procede a resolver el ejercicio propuesto.
De acuerdo a lo anterior la función
será: = 3
Con la información suministrada tenemos que:
= 1 = 13 =0.33
En la siguiente figura se relaciona la gráfica que representa la función propuesta, a la cual se le determina analíticamente su coeficiente como se indica a continuación.
Gráfica de la función
generada en MatLab.
= 2 ∫ sen2 Reemplazando los valores de , , y obteniendo los límites entre los que estará acotada la integral de la gráfica expuesta anteriormente, tenemos que: 2 = 3 ∫ 3 sen2(1⁄3)
= ∫ 2 sen 9 sen( )6 cos = 2 )6cos()9 sen60 cos 9 sen( = 2 )6cos() 9 sen( = 2 ) 3cos() 9 sen( = 2 Finalmente tenemos que los coeficientes para la señal estarán dados por: ) () ( =
Haciendo uso de la herramienta web disponible en línea “c alculadora de integrales”
se valida que el resutlado analítico es correcto, como se puede evidenciar en la siguiente figura.
Comprobación de la veracidad de los resultados obtenidos de manera analítica.
CONCLUSIONES
Con el desarrollo de la actividad se logró comprender los conceptos relacionados con los procesos de convolución analítica y grafica tanto en tiempo continuo como discreto para dos señales dadas.
Los coeficientes de Fourier son muy importantes para la representación de una función dada empleando una suma infinita de senos y cosenos.
El uso de la herramienta científica MatLab para la verificación gráfica de las soluciones analíticas permite mejorar la comprensión de algunos conceptos que al visualizarse son más fáciles de entender.
Se desarrolló la respuesta referente a la importancia de las señales y sistemas dentro de la rama de la ingeniería.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Series de Fourier. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). México City: Cengage Le arning. Recuperado de: http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300081&v=2.1&u=unad&i t=r&p=GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258be694 Convolución Continua. (2008). señales analógicas y Cengage Learning.
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