Problemas Resolvidos DETERMINAÇÃO DOS VALORES DE PROBABILIDADE
Para cada uma das seguintes situações, indicar qual dos enfoques — clássico, frequêncial ou subjetivo seria o mais indicado para determinar o valor da probabilidade. (a)Probabilidade de que averá uma recess!o no pr"#imo ano. (b)Pro (b)Proba babi bili lida dade de de qu quee um dado dado de seis seis face faces, s, em um $n $nic icoo lançamento, mostrará mostrará a face %seis& ou %um&. (c)Probabilidade de que, de um embarque de ' peças que contm umaa peça um peça defe defeit ituo uosa sa,, seja seja reti retira rada da,, alea aleato tori riam amen ente te,, um umaa peça peça defeituosa. (d)Probabi (d)Probabilid lidade ade de que seja seja defeit defeituos uosaa uma peça peça aleato aleatori riame amente nte escolida de um grande embarque de peças. (e)Probabilidade de que uma pessoa, escolida ao acaso, ao entrar em uma loja de departamentos, de fato reali*e uma compra. (f) (f) Prob Probab abil ilid idad adee de qu quee o +ndi +ndice ce da ols olsaa de -alo -alore ress ten tenaa um aumento de no m+nimo pontos nos pr"#imos seis meses. (a) 0ubj 0ubjet etiv ivo1 o1 (b) (b) clás clássi sico co11 (c) (c) clás clássi sico co11 (d) (d) freq frequê uênc ncia ia /esp. (a) rela relati tiva va (uma (uma ve* ve* qu quee n!o n!o e#is e#iste te info inform rmaç aç!o !o acer acerca ca da proporç!o global de peças defeituosas, tal proporç!o em uma amostra seria usada para estimar o valor da probabilidade)1 (e) frequência relativa1 (f) subjetivo. 5.2 2eterminar o valor de probabilidade aplicável em cada uma das seguintes situações. (a)Probabilidade de acidentes de trabalo, por ano, em uma dada ind$stria. 3ma amostra aleat"ria de 4 5rmas, que empregam um total de 6. pessoas, mostrou que ocorreram 7 acidentes de trabalo durante os $ltimos do*e meses. (b)Probabilidade de apostar no n$mero ganador em uma roleta. 8s n$meros da roleta incluem %&, %& e de %4& a %9:&. (c); probabilidade de que uma 5lial de uma cadeia de restaurantes tena sucesso 5nanceiro. 8 investidor obtm informações sobre outra utrass 5li 5liais da cade cadeia ia,, estu estudda o dese esenv nvol olvi vime ment ntoo da áre área residencial onde se locali*ará o estabelecimento, e considera o volume de vendas necessário para o ê#ito 5nanceiro, baseado tanto no investimento necessário de capital como nos custos operacionais. 2e maneira global, o investidor acredita que á 6< de po poss ssib ibil ilid idad ades es de qu quee a 5lia 5liall ten tenaa ê#it ê#ito, o, cont contra ra '< '< de possibilidades de fracasso. (a) Pelo Pelo enfoq enfoque ue da freq frequê uênc ncia ia relat relativ iva, a, p = 7>6. = /esp.(a) ,. 3ma ve* que este valor está baseado em uma amostra, ele uma estimativa do verdadeiro valor desconecido. ;lm disso, feita implicitamente implicitamente a ip"tese ip"tese de que os padrões de segurança n!o tenam mudado desde o per+odo em que foi reali*ada a amostra. (b)Pelo (b)Pelo enfo enfoqu quee clás clássi sico co,, p = 4>96. ?ste valor está baseado na pressuposiç!o de que todos os n$meros s!o igualmente prováveis, sendo feita, por conseguinte, a suposiç!o de que a roleta está perfeitamente perfeitamente balanceada. 5.1
@om base no enfoque subjetivo, o valor a que se cega com base no ju+*o do investidor p = = ,6. Aote que tal ju+*o deveria basearBse no conecimento de toda a informaç!o dispon+vel dentro do tempo dispon+vel para coletar tal informaç!o. 2eterminar os equi equiva vale lent ntes es valo valore ress de prob probab abil ilid idad adee para para cada cada um umaa das das seguintes ra*ões a favor, bem como determinar as equivalentes ra*ões a favor para cada um dos seguintes valores de probabilidade. (a) 3m agente de compras estima uma ra*!o ra*!o a favor de 'C4 de que um dado carregamento cegará na data marcada. (b); (b) ; probabilidade de que um novo componente, quando montado, n!o vena a funcionar de forma adequada avaliada em P = 4>. (c) ; ra*!o a favor de qu que um um no novo produto vena a ter ê#ito no mercado estimada em 9C4. (d) ; probabilidade de que o time local vença o time visitante na primeira partida do campeonato avaliada em 4>9. /esp. (a) ; probabilidade de que o carregamento cegue na data marcada p = = '>(' D 4) = = '>9 = ,:E. (b); (b); ra*! ra*!oo a favo favorr de qu quee o comp compon onen ente te n!o n!o func funcio iona nará rá adequadamente de 4C7. (c); probabilidade de que o produto tena sucesso p = 9>(9 D 4) = F = ,E. (d); (d) ; ra*!o a favor favor da vit"ria do time local de 4C'. 5.3
APLICAÇÃO DAS REGRAS DE ADIÇÃO
2eter 2etermin minar ar a probab probabili ilidad dadee de se obter um ás (;), um rei (G) ou um dois (2) ao se retirar aleatoriamente uma carta de um baralo de ' cartas. Pela f"rmula (.),
5.4
8s eventos s!o mutuamente e#clusivos.) (AotaC 8s @om referência H Iabela .', qual a probabilidade de que 5.5
uma fam+lia aleatoriamente escolida tena uma renda familiar (a) entre J 6. e J 4'.KKK1 (b) menos do que J 49.1 (c) um dos dois e#tremosC menos de J 6. ou pelo menos J 9.L
Tabela 5.2 Renda familiar anual de 500 famílias Categori Níveis de renda 1 2
3 4 5
Menos do que !.000#12.$$$ 13.000#1$.$$$ 20.000#2$.$$$ 30.000 e mais
No de
"0
4
1"0 140 40 Total 500
2e 9 estudantes de administraç!o, 4 est!o matriculados em @ontabilidade e 6 em ?stat+stica. ?stes dados incluem 9 estudantes que est!o matriculados em ambas as disciplinas. Mual a probabilidade de que um estudante aleatoriamente escolido esteja matriculado em @ontabilidade (;) ou em ?stat+stica ()L Pela f"rmula (.:),
5."
(AotaC 8s eventos n!o s!o mutuamente e#clusivos.)
2e 4 pessoas que solicitaram emprego de programador de computadores, durante o ano passado, em uma grande empresa, 7 possu+am e#periência anterior ( N) e 9 possu+am um certi5cado pro5ssional (@ ). -inte dos candidatos possu+am tanto e#periência anterior como certi5cado pro5ssional e foram inclu+dos nas contagens dos dois grupos. (a) ?laborar um diagrama de -enn para descrever estes eventos gra5camente. Mual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolido tena e#periência ou certi5cado (ou ambos)L (b)Mual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolido tena e#periência ou certi5cado, mas n!o ambosL /esp. (a) -er Oig. BE. (b) P(N ou @) = P(N) D P (@) B P(N e @) = ,7 D ,9 B ,' = ,. (AotaC 8s eventos n!o s!o mutuamente e#clusivos.) (c) P(N ou @, mas n!o ambos) = P(N ou @) B P(N e @) = , B ,' = ,9. 5.%
EVENTOS INDEPENDENTES, CONDICIONAL
EVENTOS
DEPENDENTES
E
PROBABILIDADE
Para o Problema .E, (a) determinar a probabilidade condicional de que um candidato aleatoriamente escolido tena um certi5cado, dado que ele tena alguma e#periência anterior, (b) ;plicar um teste apropriado para determinar se a posse de certi5cado e e#periência anterior s!o eventos independentes.
5.!
(b) P(@) = P(@N). 2ado que ,9 QR ,, os eventos N e @ s!o dependentes. PoderB seBia, tambm, testar a independência aplicandoBse a regra de multiplicaç!o para eventos independentes Sver Problema .47(a)T. 5.$ 2ois diferentes departamentos de produç!o que fa*em parte de uma grande empresa s!oC Produtos Uar+timos (U ) e Produtos para 85cinas (8). ; probabilidade de que a divis!o de Produtos Uar+timos tena, no corrente ano 5scal, uma margem de lucros de no m+nimo 4< estimada em ,91 a probabilidade de que a divis!o de ?quipamentos para 85cinas tena uma margem de lucros de pelo menos 4< ,'1 e a probabilidade de que ambas as divisões tenam uma margem de lucro de no m+nimo 4< ,:. (a)2eterminar a probabilidade de que a divis!o de ?quipamentos para 85cinas tena uma margem de lucro no m+nimo de 4< dado que a divis!o de Produtos Uar+timos tena alcançado tal n+vel de lucro. (b);plicar um teste apropriado para determinar se a consecuç!o das metas de lucro nas duas divisões estatisticamente independente. (b) P (8) = P( V U). 3ma ve* que ,' = ,', os dois eventos s!o independentes. S; independência poderia tambm ser testada aplicandoBse a regra de multiplicaç!o para eventos independentes ver Problema .47(b).T 0uponamos que um aluno bastante otimista estime que a 5.10 probabilidade de receber um conceito 5nal %;& em ?stat+stica de ,: e a probabilidade de um %& de ,7. W claro que ele n!o pode receber os dois conceitos como conceitos 5nais, uma ve* que eles s!o mutuamente e#clusivos. (a)2eterminar a probabilidade condicional de que obtena um %&, dado que de fato tena recebido um %;&, utili*ando a f"rmula de cálculo apropriada. (b);plicar um teste apropriado para demonstrar que tais eventos mutuamente e#clusivos s!o eventos dependentes.
(b) P () = P( V ;). 3ma ve* que ,7 ≠ , os eventos s!o dependentes (ver 0eç!o .). APLICAÇÃO DAS REGRAS DE MLTIPLICAÇÃO ?m geral, a probabilidade de que um poss+vel cliente faça 5.11 uma compra quando procurado por um vendedor P = ,7. 0e um vendedor seleciona do arquivo, aleatoriamente, três clientes e fa* contato com os mesmos, qual a probabilidade de que os três façam comprasL /esp. 3ma ve* que se supõe que as atitudes dos clientes s!o independentes, aplicaBse a regra da multiplicaç!o para eventos independentes. P (os 9 comprarem) = P (o primeiro comprar) X P (o segundo comprar) X X P (o terceiro comprar) = = (,7) Y (,7) Y (,7) = ,:7 2e 4' contas de um arquivo, quatro contm um erro na 5.12 contabili*aç!o do saldo da conta. (a)0e um auditor seleciona aleatoriamente duas destas contas (sem reposiç!o), qual a probabilidade de que nenuma destas contas contena erroL ?laborar um diagrama de árvore para representar este processo de amostragem sequencial. (b)0e o auditor inspeciona três contas ao acaso, qual a probabilidade de que nenuma delas apresente p erro de contabili*aç!o do saldoL /esp. (a) Aeste caso os eventos s!o dependentes, porque o resultado da primeira conta amostrada afeta as probabilidades associadas com a amostragem da segunda conta. 0e ?Z 4 signi5ca ine#istência de erro na primeira conta amostrada e ?[ ' signi5ca ine#istência de erro na segunda conta amostrada. Aa Oig. B6, ? signi5ca a e#istência de um erro de contabili*aç!o, ?Z signi5ca a ine#istência de erro de contabili*aç!o e o subscrito indica a posiç!o sequencial no processo de amostragem.
?vento
Probabilidade
' com erros 4 com um erro 4 com um erro com erro
'()'*(
!i"# $%&
*()'*( *()'*(
$+)'*( '*()'*(
Muando se fa* uma amostragem sem reposiç!o de uma populaç!o 5nita, os valores das probabilidades associadas com os vários eventos dependem dos eventos (itens amostrados) já ocorridos. 2e outro lado, quando a amostragem feita com reposiç!o, os eventos s!o sempre independentes. (a) 0upona que três cartas s!o escolidas aleatoriamente e sem reposiç!o de um baralo de ' cartas. Mual a probabilidade de que todas as três cartas sejam asesL (b)0upona que três cartas s!o escolidas aleatoriamente de um baralo de ' cartas, mas que depois de cada tirada a carta seja recolocada no maço e todas as cartas sejam embaraladas novamente antes da seleç!o da pr"#ima carta. Mual a probabilidade de que todas as três cartas sejam asesL /esp. (a) ;plicaBse, neste caso, a regra de multiplicaç!o para eventos dependentesC
(b) Aeste caso, aplicaBse a regra de multiplicaç!o para eventos independentesC
Iestar a independência (a) dos dois eventos descritos nos Problemas .E e .6, e (b) dos dois eventos descritos no Problema .K, usando a regra de multiplicaç!o para eventos independentes.
5.14
/esp. (a) P(N e @) = P(N )P(@)
,' = (,7)(,9) ,' # ,4' Por conseguinte, os eventos N e @ s!o dependentes. \sto concorda com a resposta dada ao Problema .6(b). (b) P(U e 8) = P (U) P (8) ,: = (,9) (,') ,: = ,: Portanto, os eventos U e 8 s!o independentes. \sto concorda com a resposta dada ao Problema .K (b). 5.15 @om referência ao Problema .E, qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolido n!o tena nem certi5cado nem e#periênciaL ?stes eventos s!o independentesL 4 /esp. 0imbolicamente, o que se está pedindo P (N e @Z) para esses eventos, os quais n!o s!o mutuamente e#clusivos mas, possivelmente, eventos dependentes. @ontudo , neste caso n!o temos nem P ( N Z \ @Z) nem P ( @ Z V NZ) e, portanto, n!o podemos utili*ar a regra de multiplicaç!o para eventos dependentes. ?m lugar disso, porm, podemos obter a resposta por subtraç!oC P(NZ e @Z) = 4 B P(N e @) = 4 B , = , Iambm podemos demonstrar que os eventos, em lugar de serem independentes, s!o de fato dependentesC P( NZ e @Z) = P(NZ)P(@Z)
, = S4 BP(N)TS4 BP(@)T , = (,:)(,E) , ] ,7' ; conclus!o de que os eventos s!o dependentes coincide com a resposta ao Problema .47(a), a qual está direcionada ao complemento de cada um destes dois eventos. -amos nos referir ao Problema .44. (a) @onstruir um 5.1" diagrama de árvore para retratar a sequência de três contatos, usando 0 para venda e 0Z para ine#istência de venda, (b) Mual a probabilidade de o vendedor reali*ar no m+nimo duas vendasL (c) Mual a probabilidade de o vendedor reali*ar no m+nimo uma vendaL /esp. (a) -er Oig. BK. (b)%Ao m+nimo& duas vendas inclui tanto duas como três vendas. ;lm disso, com referência H Oig. BK, notamos que as duas
vendas podem ocorrer por qualquer de três diferentes sequências. Portanto, usamos a regra de multiplicaç!o para eventos independentes para determinar a probabilidade de cada sequência e utili*amos a regra da adiç!o para indicar que cada uma destas sequências constitui um %sucesso&C
P/8;\^\ 2;2?
?ventos conjuntos
Probabili dade 9 ,: vendas 7 ' ,K : venda ,K s: ' venda ,47 7 s ,K : 4 venda ,47 ' vendas 7
&ig. 5#$.
P
(no
m+nimo '
4 ,47 7 venda ,'4 4: venda
vendas) = P (0 e 0 e 0) D P
venda s
(0
e 0 e 0Z) D D P(0 e 0Z e 0) D D P(0Z e 0 e 0) =
= (,:7) D (,K:) D (,K:) D D (,K:) = ,9'
P/8;\^\ 2;2?
(b)?m lugar de seguir o camino percorri do na parte (b), mais fácil obter a resposta a esta quest!o por subtraç! oC P (no
m+nimo 4 venda) = 4 — P (nenuma venda) = = 4 B P(0Z e 0Z e 0Z) = = 4 B ,'4: = ,E67 5.14 Ao
Problema foi
.4'
estabelecido que quatro das 4' contas têm um erro de contabili*aç!o. (a)0eum audit or toma uma amos tra aleat
P/8;\^\ 2;2?
"ria de uma conta , qual a proba bilida de de a conta ter erroL (b)0e um auditor toma uma amostra aleat"ria de duas contas, qual a probabil idade de que ao menos uma das contas tena erroL (c)0e um auditor toma uma amostra aleat"ria de três contas, qual a probabil idade de que ao menos uma das contas tena erroL /esp de contas com erro 7
P/8;\^\ 2;2?
/esp.
(a)P(?)= A_ total de contas com erro > Ao total de contas = 7>4'
(c)
P
(ao menos um ?) —
= 4 P (nenum
ou P (ao menos um ?) = 4 — P (nenum ?) = = 4 B P(?Z4 e ?Z ) ' = #304513045 2 6 451 =
?)=
=
= 4 B P(?Z4e ?Z ' e ? Z9) = =4 B P(?Z4)P (?Z ' V ?Z4)P (?Z 9 V ?Z4 e ?Z ) ' =
TABELAS DE PROBABILIDADE CONNTA
; Iabela .9 uma tabela de contingência que apresenta a reaç!o de eleitores a um novo plano de impostos sobre propriedade, de acordo com a 5liaç!o partidária, (a) Preparar, para tais dados, uma tabela de probabilidade conjunta, (b) 2eterminar as probabilidades marginais e indicar o que as mesmas signi5cam.
5.1!
Tabela 5.3 Tabela de 'onting(n'ia )ara rea*+es de eleitores a um novo )lano de im)ostos sobre )ro)riedade &ilia*,o )artid-ria
Rea*,o . favor
Contra
20
20
'+-
50
*-
+-
'.-
$-
10
.-
100
220
+-
120
.--
/emo'rata /
'(-
Re)ubli'ano nde)endente Total
Neutro
Total
/esp. (a) -er a Iabela .7.
Tabela 5.4 Tabela de )robabilidade 'on7unta )ara a rea*,o de eleitores a um novo )lano de im)ostos dobre )ro)riedade &ilia*,o
Rea*,o
3robabilidade
)artid-ria
. favor &
Neutro 0N
Contra 08
/emo'rata /
0930
0905
0905
0940
Re)ubli'ano R
09125
090%5
0915
0935
nde)endente 0
09125
09025
0,10
0925
robabilidade marginal
0955
0915
0930
marginal
1,00
(b)@ada valor de probabilidade marginal indica a probabilidade n!oB condicional do evento identi5cado pelo cabeçalo da coluna ou da 3na. Por e#emplo, se uma pessoa aleatoriamente escolida deste grupo de 7 eleitores, a probabilidade de que tal pessoa será favorável ao plano proposto P(O) = ,. 0e um eleitor escolido aleatoriamente, a probabilidade de que seja /epublicano P(/) = ,9. @om referência H Iabela .7, determinar as seguintes 5.1$ probabilidadesC (a) P()`, (b) P(/ e 8)1 (c) P (\)1 (d) P (\ e O)1 (e) P (8 V /)1 (f )P (/ V )1 (g) P (/ ou 2)1 () P (2 ou O). /esp. (a) P (8 ) = ,9 (a probabilidade marginal) (b) P(/ e 8) = ,4 (probabilidade conjunta, na tabela) (c)P (\) = ,' (a probabilidade marginal) (d) P(\ e O) = ,4' (probabilidade conjunta, na tabela)
(g) P (/ ou 2) = P (/) D P (2 ) = ,9 D ,7 = ,E (probabilidade de que o eleitor seja ou um 2emocrata ou um /epublicano, os quais s!o eventos mutuamente e#clusivos) () P (2 ou O) = P (2) D P (O) B P (2 e O) = ,7 D , B ,9 = ,: (a probabilidade de que o eleitor seja ou um 2emocrata ou a favor do plano, eventos que n!o s!o mutuamente e#clusivos). PERMTAÇ/ES E COMBINAÇ/ES
@inco pessoas que constituem a junta diretora de uma pequena empresa manufatureira sentar!o juntos em um banquete, (a) 2eterminar o n$mero de diferentes arranjos de lugares poss+veis para as cinco pessoas, (b) 0upona que somente três dos cinco diretores ser!o convidados a representar a empresa no banquete. Muantos arranjos diferentes seriam poss+veisL
5.20
Para o Problema .'(b) supona que n!o estejamos interessados no n$mero poss+vel de arranjos de lugares, mas, isto sim, no n$mero de diferentes grupos de três diretores (dentre cinco) que poderiam ir ao banquete. Muantos diferentes grupos s!o poss+veisL 3sandoaf"rmula(.4:), /esp.
5.21
3m representante de vendas deve visitar seis cidades durante uma viagem. (a)0e á de* cidades na área geográ5ca que vai visitar, quantos grupos diferentes de seis cidades pode ele visitarL (b)0uponamos que e#istam 4 cidades na regi!o que ele visitará e suponamos, tambm, que a sequência das visitas programadas Hs cidades selecionadas seja importante. Muantas diferentes sequências e#istem de seis cidades escolidas de um grupo de de*L (c)0uponamos que as seis cidades a visitar já tenam sido escolidas, mas ainda n!o se tena determinado a sequência na qual ser!o feitas as visitas. Muantas sequências e#istem para as seis cidades escolidasL 5.22
2as de* cidades descritas no Problema .'', suponamos que seis sejam de fato mercados %primários& para o produto em quest!o, enquanto as outras quatro s!o mercados %secundários&. 0e o vendedor escole aleatoriamente as seis cidades para visitar, qual a probabilidade de (a) que quatro das cidades sejam mercados primários e dois secundários, (b) que todas as seis cidades sejam mercados primáriosL
5.23
Para este problema, a resposta pode tambm ser obtida pela aplicaç!o da regra de multiplicaç!o para eventos dependentes. ; probabilidade de selecionar uma cidade de mercado primário na primeira escola :>4. 0eguindo este
resultado, a probabilidade da pr"#ima escola >K. ;ssim,
Aeste caso, o valor da probabilidade simplesmente equivalente a observar que ser!o escolidos 9> dos diretores e, desta maneira, a probabilidade de escoler qualquer diretor dado 9> ou ,:.
a probabilidade de que todas as seis sejam cidades de mercados primários C
@om referência ao banquete descrito no Problema .', determinar a probabilidade de que o grupo de três diretores escolidos entre cinco inclua (a) um diretor em particular, (b) dois diretores em particular, (c) três diretores em particular.
Problemas S01leme23ares DETERMINAÇÃO DOS VALORES DE PROBABILIDADE
2eterminar o valor da probabilidade de cada um dos seguintes eventos. (a); probabilidade de selecionar aleatoriamente uma conta a cobrar que está em atraso, dado que < das contas est!o em atraso. (b); probabilidade de que tena ê#ito um investimento em terras. Aa área considerada, geralmente s" a metade de tais investimentos s!o rentáveis, mas os mtodos de decis!o deste investidor em particular têm gerado resultados 9< superiores aos do investidor mdio da regi!o. 5.25
(c)Probabilidade de que a soma dos pontos no lançamento de dois dados seja sete. /esp. (a) ,1 (b) ,:1 (c) 4>:. Para cada uma das seguintes ra*ões a favor determinar o 5.2" equivalente valor de probabilidade e para cada um dos seguintes valores de probabilidade determinar a equivalente ra*!o a favor. (a) Probabilidade de p = '>9 de que seja cumprida uma data prevista para uma entrega. (b) Probabilidade de p = K>4 de que um novo produto ultrapasse o n+vel de vendas de equil+brio. (c)/a*!o a favor de 4C' de que um concorrente consiga ter acesso a uma inovaç!o tecnol"gica. (d)/a*!o a favor de C4 de que um novo produto seja lucrativo. /esp. (a) 'C41 (b) KC41 (c)P=4>91 ( d ) P = > : . APLICAÇÃO DAS REGRAS DE ADIÇÃO
2urante uma dada semana, as probabilidades de que uma certa aç!o ordinária aumente sua cotaç!o (\), ou permaneça constante (3), ou diminua (2), foram estimadas, respectivamente, em ,91 ,' e ,. (a) Mual a probabilidade de que a cotaç!o desta aç!o aumente ou permaneça constanteL (b)Mual a probabilidade de que a cotaç!o da aç!o se altere durante a semanaL /esp. (a) ,1 (b) ,6. 2e um total de empregados, ' participam de um plano 5.2! de participaç!o de lucros (P) da empresa, 7 contam com cobertura de seguro mdico ( U ) e ' empregados participam de ambos os programas. @onstruir um diagrama de -enn para ilustrar os eventos designados por P e U. 5.2$ @om referência ao diagrama de -enn elaborado no Problema .'6, qual a probabilidade de que um empregado aleatoriamente escolido (a) seja participante de pelo menos um dos dois programas, (b)n!o seja participante de nenum programaL /esp. (a) ,61 (b) ,'. 5.30 ; probabilidade de que uma nova pol+tica de mercado tena sucesso (0) foi estimada em ,:. ; probabilidade de que a despesa para o desenvolvimento da estratgia seja mantida dentro dos limites do orçamento previsto () de ,. ; probabilidade de que ambos os objetivos sejam alcançados ,9. Mual a probabilidade de que pelo menos um dos objetivos seja atingidoL /esp. ,6. 5.2%
EVENTOS INDEPENDENTES, EVENTOS DEPENDENTES E PROBABILIDADE CONDICIONAL
Para a situaç!o descrita no Problema .'6, (a) determinar a probabilidade de que um empregado participe do plano de participaç!o dos lucros (P), dado que conta com seguro mdico (U)
5.31
(b) determinar se os dois eventos s!o dependentes ou independentes referindoBse ao valor da probabilidade condicional. /esp. (a) ,1 (b) dependentes. Para o Problema .9, determinar (a) a probabilidade de que a 5.32 nova estratgia de mercado tena sucesso (), dado que o custo de sua implantaç!o tena sido mantido nos limites orçamentários () (b)determinar se os eventos s!o dependentes ou independentes com referência ao valor da probabilidade condicional. /esp. (a) ,:1 (b) independentes. 5.33 ; probabilidade de que as vendas de autom"veis aumentem no pr"#imo mês (;) estimada em ,7. ; probabilidade de que aumentem as vendas de peças de reposiç!o (/) estimada em ,. ; probabilidade de que ambas as vendas aumentem estimada em ,4. Mual a probabilidade de que (a) aumentem as vendas de autom"veis durante o mês, dado que foi informado que as vendas de reposiç!o aumentaram, (b) aumentem as vendas de reposiç!o, dado que se sabe que aumentaram as vendas de autom"veisL /esp. (a) ,'1 (b) ,'. Para o Problema .99, determinar se os dois eventos s!o 5.34 dependentes ou independentes com referência a um dos valores da probabilidade condicional. /esp. 2ependentes. APLICAÇÃO DAS REGRAS DE MLTIPLICAÇÃO
2urante um per+odo particular, tiveram elevadas suas cotações de mercado 6< das ações emitidas por uma ind$stria que inclui e#atamente 4 empresas. 0e um investidor escole aleatoriamente duas ações, qual a probabilidade de que ambas as ações tivessem suas cotações aumentadas durante o per+odoL /esp. :>K ≃ ,:'. 5.3" ; proporç!o global de itens defeituosos em um processo de produç!o cont+nuo de ,4. Mual a probabilidade de que (a) dois itens aleatoriamente escolidos n!o apresentem, ambos, nenum defeito (2Z)1 (b) dois itens aleatoriamente escolidos sejam, ambos, defeituosos (2)1 (c) pelo menos um de dois itens aleatoriamente escolidos n!o apresentem defeito ( 2Z)L /esp. (a) ,641 (b),41 (c) ,KK. 5.35
Iestar a independência dos dois eventos descritos no Problema .'6 usando a regra da multiplicaç!o para eventos independentes. @omparar a resposta com o resultado do teste do Problema .94 (b). /esp. 2ependentes. Iestar a independência dos dois eventos descritos no Problema 5.3! .9 usando a regra da multiplicaç!o para eventos independentes. @omparar a resposta com o resultado do teste do Problema .9' (b). /esp. \ndependentes. 5.3%
@om referência ao Problema .9, supor que o investidor escola aleatoriamente três daquelas ações. @onstruir um diagrama de árvore para retratar os vários resultados poss+veis das sequências das três ações. /eferindoBse ao diagrama de árvore elaborado no Problema 5.40 .9K, determinar a probabilidade de que (a) somente uma das três ações tivesse sua cotaç!o aumentada, (b) duas ações tivessem suas cotações aumentadas, (c) no m+nimo duas ações tivessem suas cotações aumentadas. /esp. (a) 76>E' = ,E1(b) 99:>E' = ,7E1 (c) :E'>E' = ,K9. /eferindoBse ao Problema .9:, supor que seja escolida 5.41 aleatoriamente uma amostra de quatro itens. @onstruir um diagrama de árvore para retratar os vários resultados poss+veis em termos de serem os itens defeituosos (2) ou n!oBdefeituosos (2Z). /eferindoBse ao diagrama de árvore elaborado no Problema 5.42 .74, determinar a probabilidade de que (a) nenum dos quatro itens seja defeituoso, (b) e#atamente um item seja defeituoso, (c) um item ou menos sejam defeituosos. /esp. (a) ,::4 = ,::1(b) ,'K4: = ,'K1 (c) ,K7EE = ,K. 5.3$
TABELAS DE PROBABILIDADE CONNTA
; Iabela . uma tabela de contingência que apresenta a classi5caç!o de uma amostra de 4 empresas de acordo com quatro grupos industriais e de acordo com se o retorno sobre o capital pr"prio maior ou menor do que o retorno mdio na amostra. Preparar a tabela de probabilidade conjunta com base nos dados desta amostra. 5.44 /eferindoBse H tabela de probabilidade conjunta elaborada no Problema .79, indicar as seguintes probabilidadesC (a) P (\)1 (b) P (\\)1 (c) P (\\\)1 (d) P (\-). (c) ,'1 (d) ,'E. /esp. (a) ,71 (b) ,491 /eferindoBse H tabela de probabilidade conjunta elaborada no 5.45 Problema .79, determinar as seguintes 5.43
Tabela 5.5 Tabela de 'onting(n'ia )ara o retorno sobre o 'a)ital )r:)rio de a'ordo 'om gru)os industriais ;ru)o industrial
\ \\ \\\ \Iotal
Retomo sobre 'a)ital r: rio .' ma . a =o a a m
Iotal
20
40
"0
10
10
20
20
10
30
25
15
40
%5
%5
150
ProbabilidadesC (a) P (\ e ;)1 (b) P (\\ ou )1 (c) P (;)1 (d) P(\ ou \\)1 (e) P (\ e \\)1 (f) P (; ou )1 (g) P(; V \)1 () P (\\\ V ; ). /esp. (a) ,491 (b) ,E1 (c) ,1 (d) ,91 (e) 1 (f) 4,1
(g) ,991 () ,'E. PERMTAÇ/ES E COMBINAÇ/ES 5.4" 0upona que á oito postos de e#ecutivos para serem preencidos por oito empregados no programa de capacitaç!o administrativa de uma empresa. 2e quantas maneiras diferentes podem os oito postos ser distribu+dos aos oito indiv+duosL /esp. 7.9'. @om referência H situaç!o descrita no Problema .7:, 5.4% suponamos que e#istam somente seis postos dispon+veis para os oito indiv+duos. 2e quantas maneiras diferentes podem os seis postos dispon+veis ser distribu+dos a seis dos oito indiv+duosL /esp. '.4:. @om referência H situaç!o do Problema .7E, supona que as 5.4! seis posições dispon+veis possam ser consideradas equivalentes, e n!o propriamente diferentes para 5ns práticos. 2e quantas maneiras podem ser escolidos os seis indiv+duos, dos oito quali5cados, para preencer as posições dispon+veisL /esp. '6.
2e um departamento que inclui cinco engeneiros e nove tcnicos, deve ser formado um grupo de dois engeneiros e três tcnicos. Muantos diferentes grupos podem ser formados a partir das quator*e pessoas dispon+veisL /esp. 67. 5.50 2e acordo com a situaç!o descrita no Problema .7K, supona que os cinco indiv+duos s!o designados aleatoriamente das quator*e pessoas do departamento, sem se levar em conta se a pessoa um 5.4$
tcnico ou um engeneiro. Mual a probabilidade de o grupo vir a incluir (a) e#atamente dois engeneiros, (b) nenum engeneiro, (c) nenum tcnicoL /esp. (a) P= ,7'1 (b) P= ,:1 (c) P = ,
