Área departamental de Matemática – ISEL Secção de Álgebra
S.I. 2014/2015
Parte I Exercícios sobre matrizes, sistemas de equações lineares e determinantes.
1. Matrizes. Conceitos básicos sobre matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operações elementares, condensação e característica. . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz inversa e equações matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 5 7
2. Sistemas de equações lineares. 9 Resolução e classificação de sistemas de equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . 9 Sistemas de equações lineares dependentes de parâmetros. . . . . . . . . . . . . . . 11 Aplicação dos sistemas à geometria analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Determinantes. Cálculo de determinantes . . . Propriedades dos determinantes Matriz adjunta, matriz inversa. Regra de Cramer. . . . . . . .
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Exercícios de revisão
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16 16 17 20 21 23
1
1. MATRIZES Conceitos básicos sobre matrizes. 1.1 Escreva as matrizes A, B e C do tipo 4×2 tais que aij = i+j, bij = (−1)i+j e cij = j −i. Calcule ainda AT , B T e C T . 1.2 Determine a matriz quadrada A = [aij ] de ordem 4 que satisfaz 1 se |i − j| > 1 aij = 0 se |i − j| ≤ 1 Calcule AT e 3A − AT . 1.3 Considere as matrizes A=
1 2 3 0 −1 2
,
√ 2 −1 √ B = √2 −3 , − 2 1
1 2 3 C = 1 4 −1 3 2 −1
0 −2 0 e D= 0 0 5 0 0 0
Calcule AT + B, AB, BA − 3C e D3 . Faz sentido a expressão AB + C? 1.4 Considere as seguintes matrizes: 1 0 2 A= 0 1 3
1 1 C = 0 1 0 2
2 1 3 B= 0 1 0
1 D = 4 7
−8 E= 3 1
Verifique quais das seguintes operações são possíveis de calcular e em caso afirmativo calcule-as: B+A, A+C, C T B, AC, CA, 5A.4C, BC T , (AC)2 , (AC)B, A(CB), BD, DT D, DDT , EDT . 1.5 Dadas as matrizes
1 −1 2 3 , A= 0 1 2 1 −2
−1 3 B = 1 2 , 1 0
C=
4 1 0 −2 1 −1
(a) Calcule, caso tenham significado, as expressões: T ii. (CB)T A i. A2 − (BC)T A (b) As matrizes B e C são permutáveis, isto é, BC = CB? Justifique. 1 2 −1 2 2 1 −4 2 2 e C = 1 −1. 1.6 Sejam A = , B = −1 3 −1 4 −2 5 −2 0 1 −3 Calcule as matrizes AT + C, (A + C T )T , (ABC)T , C T B T AT . T 1.7 Considere as matrizes A = 1 2 3 e B = −1 1 −1 . Calcule AB e BA. 2
1 1 1 1 1.8 Sejam A = eB= . Prove que AB 6= BA. 1 1 −1 −1 1.9 Considere as matrizes A= D=
1 1 1 1
2 5 3 4
, B= , E=
1 0 1 1
0 3 0 1
, C= , F =
1 1 3 4
,
−1 5 0 0
Verifique que AB 6= BA, EF = 0 (no entanto, E 6= 0 e F 6= 0) e que EC = ED (mas C 6= D). 0 3 −1 1 1 2 5 1.10 Sejam A = ,B= ,C= eD= . 0 1 0 3 4 3 4 (a) Prove que AB = 0. Nota: Mais uma vez, tem-se AB = 0 e A 6= 0 e B 6= 0 (B não é, neste caso, quadrada). (b) Prove que AC = AD. Nota: Nesta alínea tem-se AC = AD e C 6= D. 1.11 Obtenha uma 1 (a) A = 0 1 (b) A = 0
expressão para An , onde : 1 1 0 −1
1.12 Considere a matriz A =
1/2 1/2 (c) A = 1/2 1/2 cos(θ) sin(θ) (d) A = sin(θ) − cos(θ)
1 2 . Verifique se A é um zero do polinómio 4 −3 g(x) = x2 + 2x − 11,
isto é, verifique se g(A) = A2 + 2A − 11I2 é a matriz nula. 1.13 Determine os valores reais a e b de modo que a matriz A =
−1 2 2 −1
verifique a
equação: A2 + aA − bI = 0 1 −1 0 a 1.14 Sejam A = eB= , a, b ∈ R. Determine os parâmetros a e b de modo 2 0 1 b a que as matrizes A e B sejam permutáveis (AB = BA). 1 3 a 3c 1.15 Seja A = . Mostre que se AB = BA então B é da forma , onde a e c são 1 1 c a números reais arbitrários. 3
−1 −2 −1 1.16 Considere a matriz regular A = 1 −1 −1 . Verifique que a matriz dada satisfaz 3 0 2 a equação x3 + 2x − 9 = 0, isto é, verifique que A3 + 2A − 9I3 é a matriz nula. 1.17 Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n > 1. Diga se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: (a) A(B + C) = BA + CA
(d) (AB)2 = A2 B 2
(b) (A − B)2 = (B − A)2
(e) A2 + AB = A(A + B)
(c) AB + 2B = (A + 2)B
(f) BA + B = B(A + In )
1.18 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = BA. Prove que: (a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
(c) A2 − B 2 = (A + B)(A − B).
(b) (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 .
(d) (AB)2 = A2 B 2 .
1.19 Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que M é simétrica (resp.: anti-simétrica) se M T = M (resp.: M T = −M ). Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, qualquer, prove que: (a) A + AT é simétrica. (b) A − AT é anti-simétrica. 1 1 (c) A = (A + AT ) + (A − AT ). Conclua que qualquer matriz quadrada se pode 2 2 decompor na soma de uma matriz simétrica com outra anti-simétrica. Faça essa 2 3 decomposição, relativamente à matriz A = . 5 −4 1.20 Seja A uma matriz qualquer. Justifique que: (a) AAT e AT A são matrizes quadradas. (b) AAT e AT A são matrizes simétricas. 1.21 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A = [aij ], onde aij = i + j, ∀i, j. Mostre que A é simétrica. 1.22 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A = [aij ], onde aij = i − j, ∀i, j. Mostre que A é anti-simétrica.
4
Operações elementares, condensação e característica. 1.23 Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada e diga qual a característica de cada uma delas: 1 2 −1 1 0 0 1 0 −1 (a) A=0 2 0 (b) B=0 1 1 (c) C=0 0 1 0 0 −4 0 0 0 0 0 0
0 1 0 (d) D=1 0 0 0 0 0
1 0 0 2 (e) E=0 0 3 1 0 0 1 2
1 1 1 (f) F=0 0 0 0 1 0
0 0 2 3 0 3 0 (g) G=0 1 −1 −2 (h) H=0 1 0 5 1 0 0 0 0 0
0 1 2 8 0 (i) I=1 −2 1 3 0 −2 −3
2 −1 0 (j) J=0 0 −1 0 0 2
2 1 0 (l) L=0 −1 1 0 1 −2
1 0 2 3 (k) K=0 0 0 −2 0 0 0 0
1.24 Determine a característica das matrizes 3 1 1 0 2 −2 −1 1 3 , B = A = −1 4 −4 1 −2 1 2 −3 1.25 Determine a 2 (a) A= 2 2 3 6 (c) C= 0 0
2 1 2 1
0 3 , 1 1
2 1 C= 1 2
1 2 1 −1 4 3 2 −1
característica das seguintes matrizes: 0 1 2 3 2 2 2 2 0 3 3 2 2 3 (b) B= 0 3 1 2 2 2 4 2 −2 4 4 0 1 1 0
5 7 0 0 −1 1 4 0 (d) D=1 1 1 0 6 14 0 0 −1 2 0 3
1.26 Condense as matrizes indicadas, usando operações elementares em linhas 2 1 1 1 1 2 3 1 −3 −1 1 1 −1 (b) 2 1 3 −1 0 (a) −3 2 −1 −2 1 1 3 −2 0 5 −1 2 3 2 1 0 1.27 Condense a matriz A = −2 −1 0 usando dois processos diferentes. 4 1 1 5
1.28 Determine a característica das seguintes matrizes tros a, b: 0 0 2 2 4 (a) A= (b) B= 0 b 1 a b 3 0
1 2a + b a + b b (d) D= 1 a + b −1 a a
para todos os valores reais dos parâme a 1 2
a 1 1 (c) C=1 a 1 1 1 a
2 −a2 −4 (e) E=1 0 −1 1 a 1
1 2 1 a−1 3 a +2 1 (g) G=3 a − 3 9 6 − a (h) H= 1 1 −1 3 2 2
6
1 a 1 2
1 1 1 1 a 3−a 2 a
3 3b a (f) F=2 1 + 2b 3 1 b 2 4 4 6 6
Matriz inversa e equações matriciais 1.29 Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis calculando a sua característica e determine, nos casos em que for possível, a matriz inversa. 1 1 −1 0 −1 (a) A = ; 2 1 (f) F = −1 −1 0 0 −1 −1 3 2 (b) B = −2 3 1 −2 −1 √ (g) G = 1 1 −1 3/2 √ −1/2 (c) C = 2 2 1 3/2 1/2 √ √ 1 −2 −1 2 2 2 (d) D = 2 (h) H = 1 4 1 2 2 2 1 1 3 1 (i) M = (mij ), com M matriz 4 × 4 tal (e) E = 3 6 4 que mij = i + j. 1 4 2 1 2 3 1.30 Calcule A−1 , A2 , A−2 se A = 1 1 0 2 2 1 1 0 1 0 −2 3 2 1.31 Sejam A = −2 3 , B = eC= . Explicite e calcule a matriz −1 1 0 1 −4 1 −1 X tal que: (a) (BA − X T )T = C (b) CAT + X T + B = 0 1 0 −1 1 0 3 1.32 Sejam A = 0 3 0 , B = 2 1 0. Resolva as seguintes equações matriciais, −2 3 1 1 0 2 calculando a matriz X: (a) 6A + 3X = −3B (b) BA − X = AB (c) A2 + 2X = A2 B 1.33 Resolva a equação matricial AX = B − I2 , se A = 1.34 Considere a equação matricial (AX)T = B + I, com I a matriz identidade e A uma matriz invertível. (a) Explicite X. 7
1 2 3 4
eB=
3 1 . 1 0
(b) Calcule X quando A =
−1 −2 1 1
eB=
1 2 . 0 3
1.35 Considere a equação matricial (B T X)T − A[(B −1 A)−1 − B] = 0 onde A, B e X 1 1.36 Sejam A = 0 1 X verificando:
são matrizes invertíveis. 3 −1 2 0 1 0 , B = 1 −1 1 1 1 0
Explicite a matriz X. 1 0 2 0 3 e C = −2 3 5 . Explicite e calcule 2 2 −1 −4
(a) (b) (c) (d)
2A + 3X = 4B A−1 X = A B(XA − B)−1 = BA−1 (C −1 − X)C = X 0 1 −3 6 1.37 Sejam A = eB= . Determine a matriz X tal que: −1 1 −6 −3 (a) (b) (c) (d)
(3I2 + 2X)−1 = A (3B −1 X)−1 = A (3B −1 X −1 )−1 = A X = (A−1 − X)A
1.38 Suponha que A, B, C e D são matrizes quadradas invertíveis. Simplifique o mais possível: (a) (AB)−1 (AC −1 )(D−1 C −1 )−1 D−1 (b) (AC −1 )−1 (AC −1 )(AC −1 )−1 AD−1 1.39 Sejam A, B, e A + B matrizes quadradas invertíveis. Prove que A(A + B)−1 B = (A−1 + B −1 )−1 1.40 Prove que se A e B são matrizes quadradas invertíveis e permutáveis então A−1 e B −1 são também permutáveis. 1.41 Mostre que se uma matriz quadrada de ordem n, A, satisfaz a equação A3 +2A−In = On , então A tem inversa e A−1 = A2 + 2In . 1.42 Uma matriz P , quadrada de ordem n, diz-se ortogonal sse P T P = P P T = In . Sabendo que A e B são matrizes ortogonais de ordem n, mostre que X = B − In é solução da equação matricial AT X T B + A−1 B = AT . 1 − k −k 1.43 Para cada k ∈ Z, seja Ak = . Prove que: k 1+k (a) ∀k, m ∈ Z, Ak Am = Ak+m (b) ∀k ∈ Z Ak é invertível e A−1 k = A−k . 8
2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Resolução e classificação de sistemas de equações lineares 2.1 Escreva a matriz de coeficientes e a matriz ampliada dos seguintes sistemas. Encontre ainda um sistema em escada equivalente condensando a matriz ampliada. Classifique cada sistema e, se possível, resolva-o. x + 23 y − z = 0 x + 32 y − z = 0 x−z = 1 x−z = 0 (e) (a) y+z = −1 y+z = 0 x+y+z = 1 x+y+z = 0 x−y+z = 0 x −y+z = 0 (b) (f) y + 2z = 1 y + 2z = 0 2x + y + 4z = 2 2x + y + 4z = 0 x + y + 2z + t = 1 x + y + 2z + t = 0 y + 3z + 3t = 2 y + 3z + 3t = 0 (c) (g) −x + z + 2t = 1 −x + z + 2t = 0 2x + y + z − t = 0 2x + y + z − t = 0 2x + y + 3z − t = 1 2x + y + 3z − t = 0 4x − y + 7z − 7t = −5 (d) 4x − y + 7z − 7t = 0 (h) x + 2y + z + 2t = 3 x + 2y + z + 2t = 0 2.2 Classifique os seguintes sistemas de equações lineares e, caso sejam possíveis, resolva-os: x−y+z =0 x + 2y − z = 1 (a) −x − y + 2z = 0 y−z+w =2 (d) x + y + z + w = −1 x + y + 2z = 1 y+w =3 x+y−z+w =1 x − y + z − w = 0 (b) x + 2y − z = 1 x − y − 2z = 1
2x + 3y − z = 4 (e) x + y − 2z = 0 −x + y + z = 1
x + 2y − z + w = 1 2x + y + z − w = −2 (f) x+z+w =1 2x + 5y − 3z + 5w = 5
x + 2z = 0 (c) 2x − y + 3z = 1 4x + y + 8z = 0 9
y−z+w =4 −x + y + 2z + w = 1 (g) −x + z + 2w = −2 −2x + y + 7z − w = −3
(l)
x − y + z + 2w = 1 −x + 2y + z − w = 1 (h) y + 2z + w = 2 2x − 3y + 3w = 0
(m)
(n)
x + y − 2z = 0 (i) 3x − 2y + 4z = −5 −2x + y − 3z = 4
(o) 5x − 4y + 3z = 6 (j) −10x + 7y − 6z = −14 −8x + 6y − 5z = −11
(p)
x + 2z = 1 (k) 2x − y + 3z = 0 4x + y + 8z = 0
(q)
3x + 5y + z = −1 x + y + 2z + w = 1 2x + z − w = 4 2x + 3z + 3w = −2 3x + y + 3w = 5 2x + 3y − z = 4 x + y − 2z = 0 4x + 6y − 2z = 8 x + y − 2z = 0 3x − 2y + 4z = −5 2x + 2y − 4z = 1 x + y − 2z = 0 3x + 3y = 6z −2y + 4z = 2x 2x − y + w = 2 z − 2w = −8 −2x + y + 2z − 3w = −1 x + 2z = 0 2x − y + 3z = 0 4x + y + 8z = 1
2.3 Seja A uma matriz invertível. (a) Classifique o sistema AX 1 (b) Sabendo que A−1 = 1 2 AX = B.
= B. Justifique. 0 1 1 1 e B T = 2 1 0 , calcule a solução do sistema 2 1
2.4 Classifique os sistemas de equações lineares AX = B e, caso 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 −1 1 (b) A = (a) A = −1 0 0 1 2 B = 1 2 1 2 2 1 4 2 1 3 −1 1 (c) A = 4 −1 7 −7 B = −5 1 2 1 2 3
10
sejam possíveis, resolva-os: 2 1 1 2 3 3 B= 1 1 2 1 −1 0
2.5 Escreva os sistemas abaixo na forma matricial. Caso possível, resolva-os com base na matriz ampliada do sistema. Classifique-os quanto ao tipo do conjunto de soluções. = 1 − 2x3 x1 x1 + x3 = 1 + 2x2 x2 + x3 = 2(1 + x1 ) x2 = 2 + x3 (a) (c) x1 = x2 + 3 x1 = 3 + x2 x1 + x3 = 1 − 2x2 x1 + x3 = 1 + 2x2 x2 = 2 + x3 x2 = 2 + x3 (b) (d) x1 = 3 + x2 x1 = x2 + 1 2.6 Classifique o sistema = 2 x + 2y 3x + y + 3z = 6 2x + y + 3z = 4 e, se possível, resolva-o.
Sistemas de equações lineares dependentes de parâmetros 2.7 Discuta (a) (b) (c) (d)
os sistemas em função do parâmetro real a: x + ay + 2z = 1 3x + ay + 4z = 1 (e) y + az = −1 x − ay + z = 1 2y − z = 2 (f) −3x + y + 2az = 3 2x + 5y + 2z − 3w = 0 3x + 6y + 5z + 2w = 0 4x + 5y + 4z + 2w = 0 (g) 3x + 2y + 4z + 3w = a 2x + 2y + 4z + 2w = 2 x + y + 2z + aw = 1 (h) 3x + y − z = 0
2.8 Considere o sistema:
x + y + 2z = 0 2x − y + 3z = 0 5x − y + az = 0 x − y + z − 2t −2x + 2y − z + 2t ax − 3y + 2z − 4t −2x + 2y − 3z − 3t
= −1 = 3 = 4 = −2
−x + ay + z = 1 ax + 5y + 3z = 1 x + y − z = −1 2x + y − 3z + t = −3 5x + 3y − 8z − t = −9 x + y + t = a2
2x + ay + z = 1 2ax + y + az = 2 2x + y − 2z = 2a
(a) Discuta-o em função do parâmetro a. (b) Ache a solução do sistema se a = 2. 2.9 Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente de um parâmetro real a: ax − y + z = 2 x + y + az = −1 −x − 2y − z = 1 x + 3y + z = 0 11
Determine todos os valores de a de tal modo que o sistema: (a) não tenha solução; (b) tenha uma e uma só solução, calculando neste caso a solução. 2.10 Considere o seguinte sistema homogéneo de equações lineares dependente de um parâmetro real b: x − by + z = 0 bx + y − z = 0 7x − 4y + z = 0 Existe algum b ∈ R tal que o sistema seja impossível? Determine b de modo que o sistema tenha uma solução não nula e, nesses casos, resolva-o. 2.11 Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente de um parâmetro real α: x + αy + αz = 0 αx + y + z = 0 x + y + αz = α2 (a) Discuta-o em função de α. (b) Faça α = −1 e resolva-o. 2.12 Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente de dois parâmetros reais a, b: 2x + ay + 6z = b + 2 x + 3z = 1 x + ay + (a + 3)z = 1 Classifique-o, justificando, para todos os valores dos parâmetros a e b. 2.13 Considere o sistema:
3x − ay = 5 2x − 2z = 6 + y ay + 2z = b − x
(a) Discuta-o em função dos parâmetros reais a e b. (b) Resolva-o para a = −1 e b = 2. 2.14 Considere o seguinte sistema AX = B 1 a 0 1 2 0
de equações lineares com parâmetros reais a, b: 2 x b 2a y = 1 3 z 0
T (a) Seja C = 3/2 1 −1 . Calcule AC e diga, justificando, os valores dos parâmetros a, b para os quais C é solução do sistema. (b) Classifique o sistema para todos os valores reais dos parâmetros a, b. 12
2.15 Considere os sistemas de equações lineares x + y + z = a + 1 (S1 ) x + ay + z = 1 ax + y = a + 2a2
2x + y = b (S2 ) 3x + 2y + z = 0 x + ay + z = 2
(a) Discuta-os em função dos parâmetros a, b. (b) Indique para que valores do parâmetro real a o sistema (S1 ) tem infinitas soluções. Calcule todas as soluções de (S1 ) para um desses valores de a. (c) Resolva o sistema (S2 ) num caso em que o sistema é possível determinado. 2.16 Determine b1 , b2 , b3 de modo que (2, −2, 1) seja uma solução do sistema x − z = b 1 2x + y + z = b2 y + 2z = b3 2.17 Discuta, em função dos parâmetros reais a, b, os seguintes sistemas de equações lineares: x + 2y + z = 2 x + y + z = 1 + b x + y + az = 1 (a) 2x − 2y + 3z = 1 (b) x + by + z = a (c) x + ay + z = b x + 2y + (a2 − 3)z = a bx + y = b(1 + 2b) ax + y + z = 0 2x + y + w = 2 (d) 3x + 3y + az + 5w = 3 3x − 3z − 2w = b
ax + y = z − aw (e) ay + y = 1 + z + w y + (a + 1)w = x + b
x+y+z =2 x − y + z = 2 (f) ax + z = 2 3x + y + 3z = 6
2.18 Um sistema de equações lineares diz-se homogéneo se é da forma AX = 0. (a) Prove que um 1 (b) Seja A = b 7
sistema homogéneo é sempre possível. −b 1 1 −1. −4 1
i. Determine b de modo que o sistema AX = 0 tenha uma solução não nula. ii. Para um dos valores de b encontrado na alínea anterior, determine uma solução não nula do sistema homogéneo. 2.19 Seja AX = B um sistema de equações lineares. Mostre que a sua solução geral, XG , é soma de uma sua solução particular, XP , com a solução geral do sistema homogéneo associado AX = 0, XGH : XG = XP + XGH . 13
2.20 Efectuando operações elementares sobre as linhas, a matriz A é transformada na matriz R, sua forma escalonada reduzida: 1 −1 0 2 R = 0 0 1 −2 . 0 0 0 0 (a) Resolva o sistema AX = 0. (b) Seja Ci a coluna i de A, i = {1, 2, 3, 4}. Suponha que B = C1 + C2 . Determine a solução geral de AX = B.
Aplicação dos sistemas à geometria analítica 2.21 Considere os planos α1 ≡ x + y + z = 1, α2 ≡ x + ay − z = 0 e α3 ≡ (1 − a)y + z = b, a, b ∈ R. (a) Prove que, para qualquer valor do parâmetro a, os planos α1 e α2 concorrem numa recta. (b) Calcule as equações da recta referida na alínea anterior. (c) Determine todos os valores dos parâmetros a, b para os quais os planos α1 , α2 e α3 concorrem: i. numa recta; ii. num ponto. (d) Determine as equações da recta e as coordenadas do ponto para um dos valores dos parâmetros a, b encontrados na alínea anterior. y−3 x−2 = =z e 2.22 Considere as rectas r1 ≡ (0, 6, −6) + k(1, −3, 1), k ∈ R, r2 ≡ −1 −2 ( y = 2x + 1 r3 ≡ e os planos α ≡ x+y +3z +10 = 0 e β = (−4, 1, 1)+k(−2, 1, 0)+ z = −x − 4 l(1, 0, 1), k, l ∈ R. Determine as posições relativas entre: (a) r1 e r2
(b) r1 e r3
(c) r2 e r3
(d) r3 e α
(e) r3 e β
2.23 Determine, em função do parâmetro real a a posição relativa entre: ( x = 32 z + 12 (a) a recta r ≡ e o plano α ≡ (a − 1)x − y + (2 − a)z = 0 y=0 ( ( y = ax − a y =x−1 (b) as rectas s1 ≡ e s2 ≡ z = −2x + 4 z = −2x + 2 + a x + y − z = 1 2.24 Considere o sistema (α + 1)y + z = 2 x + (α + 2)y + βz = 0 14
(f) α e β
(a) Usando a discussão de sistemas e supondo que as equações representam, respectivamente, os planos π1 , π2 e π3 , estude a posição relativa entre os três planos. (b) Faça α = β = 0 i. Escreva a equação vectorial da recta r ≡ π1 ∩ π2 . ii. Seja s a recta normal a π3 que passa na origem. Diga qual a posição relativa entre r e s.
15
3. DETERMINANTES Cálculo de determinantes 3.1 Calcule os seguintes determinantes: 1 2 (a) 3 2 (f) −5 2 (b) 1 2 √ 3/2 −1/2 (g) √ (c) 1/2 3/2 cos θ − sin θ (d) sin θ cos θ (h) 1 3 −1 (e) −1 −1 0 3 0 3
3 3 −1 −1 −1 0 2 1 0 1 32 −1 1 0 −1 0 1 1 0 1 2 −1 2 3 −1 0 1 1 1 −1 3 −3 −2 1
(i) (j)
a 0 0 0 1 0 −1 2
1 b 0 0
2 3 c 0 1 1 0 1
1 3 2 d
2 1 3 3 1 2 1 −1
3.2 Calcule o determinante das seguintes matrizes: 1 −1 0 2 2 1 (a) A = 2 −1 2 3 1 2 (i) I = √ √ 4 3 1 0 1 + √2 2 − √3 (b) B = 2 −1 2 5 2+ 3 1− 2 0 0 3 0 0 cos θ sin θ (c) C = −1 1 6 0 0 − sin θ cos θ 1 1 9 1 2 (j) J = −1 0 2 2 5 −6 −1 −3 (d) D = 2 0 0 0 1 −9 0 0 −1 3 0 3 0 2 1 2 0 1 2 5 0 −1 2 −1 (e) E = 2 1 0 0 1 3 0 0 (k) K = 0 3 −1 0 1 0 −1 2 1 0 2 0 0 2 0 1 −2 0 2 1 0 (f) F = 1 0 0 −1 −1 2 1 −1 1 2 1 −1 1 0 0 −1 2 −2 1 0 1 2 1 (l) L = 1 0 0 2 −1 1 0 0 1 0 −1 3 1 (g) G = 1 1 0 −1 1 0 2 0 −1 1 1 0 0 1 2 −1 1 0 −1 2 1 1 2 4 2 1 −1 1 1 0 1 2 −8 −4 −2 2 (m) M = (h) H = 0 1 −1 0 1 2 2 4 4 3 3 3 1 1 1 1 2 1 16
a 1 2 0 , com a ∈ R. Aplicando o Teorema de 3.3 Considere a matriz A = 1 −1 2a 0 a − 1 Laplace à segunda linha mostre que det A = −a2 + 4a + 1. 3.4 Calcule por um processo à sua escolha os seguintes determinantes: 0 2 1 1 3 5 7 2 1 3 4 (c) 2 0 3 (a) 1 2 0 1 1 3 2 5 0 4 3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 −2 1 3 2 1 −1 3 0 (d) 1 2 3 1 2 (b) 3 2 1 3 2 2 1 1 3 1 3 2 2 1 2 −2 4 2 a b 0 1 b a 0 0 3.5 Seja a matriz A = 0 0 b a2 , com a, b ∈ R. 0 0 1 b (a) Verifique que det A = (a2 − b2 )(b2 − a2 ). (b) Se a = 1 e b = −1 calcule A32 .
Propriedades dos determinantes 3.6 Determine, em cada caso dos exercícios 1 e 4, o valor de det A2 , det 2A e det(−AT ). 3.7 Sejam A=
a11 a12 a21 a22
B=
5a11 + a12 a12 5a21 + a22 a22
e C=
a11 + 5a12 a12 a21 + 5a22 a22
.
Sabendo que det A = 3, calcule det(−A), det A2 , det B, det B T , det(A−1 B) e det C. 3.8 Seja A uma matriz quadrada 3 × 3. Sabendo que det A = 2 calcule det(−A), det A3 , det(3A)T e det(AT A−1 ). 3.9 Sejam A e B duas matrizes reais de ordem 3, tais que det A = 2 e B é a matriz que se obtêm de A, trocando a 1a e 3a linhas. Determine, justificando, os determinantes das seguintes matrizes: (b) AT
(a) B
(c) 3B.
x y z 1 1 1 1 3 usando apenas 3.10 Sabendo que det 3 0 2 = 1 calcule det 4 1 1 1 x−1 y−1 z−1 as propriedades dos determinantes. 17
a b c 1 −1 −1 2 1 0 . 3.11 Sabendo que det 2 1 0 = 1 calcule det 1 2 1 3a + 1 3b + 2 3c + 1 3.12 Calcule, em função dos números reais a, b e c, o a b 2 a b2 V = a3 b 3
determinante da matriz: c c2 c3
Nota: Os determinantes cujas linhas ou colunas formam uma progressão geométrica são denominados “determinantes de Vandermonde”.
3 1 3.13 Considere as matrizes A = 0 −1 4
2 0 2 1 0
k 1 1 0 2
0 2 3 4 0 0 0 0 −1 e B = −1 2 0 0 3 1
4 0 4 2 0
0 2 1 0 1
0 2 0 3 0 −1 . 2 0 0 0
(a) Calcule o determinante da matriz A e conclua os valores reais de k para os quais A tem característica máxima. (b) Considere k = 0. Sem efectuar cálculos, indique, justificando, o determinante da matriz B. (c) Indique, justificando, 2 operações elementares que se podem efectuar na matriz A de modo a que o determinante da matriz que se obtém é o triplo do determinante de A. 3.14 Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 tais que det(A) = 2, det(B) = −5/3 e det(C) = 0. Calcule os seguintes determinantes: (a) det(A−1 )
(c) det(ABC)
(b) det(AB)
(d) det(AT B −1 )
(e) det(5A)
3.15 Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 4, regulares, tais que det(2A−1 ) = det(A3 (B T )−1 ) = 4. Calcule det(A) e det(B). 1 0 0 0 0 2 a a 3.16 Sejam A = 2 −1 1 1, B = 2A e C uma matriz regular de ordem 4. 0 0 2 0 (a) Calcule det(A) (b) Determine a de modo que det(C T (BC)−1 ) = 18
1 . 32
a b c 3.17 Seja A = d e f . Exprima o determinante das seguintes matrizes em função do g h i determinante de A: d e f −a −b −c a+d b+e c+f e f B = g h i C = 2d 2e 2f D= d a b c g h i g h i a b c d + a 5g − 4d −2a 7d − 3a 7e − 3b 7f − 3c E= F = e + b 5h − 4e −2b g h i f + c 5i − 4f −2c 1 0 −1 1 0 2 1 1 3.18 Considere a matriz real A = −1 0 1 2 e ainda uma matriz real B, quadrada de 2 0 −1 0 ordem n, regular. Calcule det(X), sabendo que 3A−1 BX = B T A. 3.19 Seja A a matriz quadrada de ordem n seguinte: a+x a a a a+x a a a a+x A= a a a .. .. .. . . . a a a Prove que det(A) = (na + x)xn−1 .
19
··· ··· ··· ··· ... ···
a a a a
. ... a+x
Matriz adjunta e matriz inversa . 3.20 Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis calculando o seu determinante e determine, nos casos em que for possível, a matriz inversa usando a matriz adjunta. 1 1 −1 0 −1 (a) A = ; 2 1 (f) F = −1 −1 0 0 −1 −1 3 2 (b) B = −2 3 1 −2 −1 √ (g) G = 1 1 −1 3/2 √ −1/2 (c) C = 2 2 1 1/2 3/2 √ √ 1 −2 −1 2 2 2 (d) D = 2 (h) H = 1 4 1 2 2 2 1 1 3 1 (i) M = (mij ), com M matriz 4 × 4 tal (e) E = 3 6 4 que mij = i + j. 1 4 2 3.21 Considere a matriz
1 1 1 A = 1 a 2 . 1 5 a
Calcule os valores reais a para os quais a matriz A é invertível. Determine a entrada (3, 2) da matriz adjunta e da matriz inversa de A no caso em que a = 1. 3.22 Seja
1 1 1 2 m 1 M = 1 0 m+2 1 0 1
1 0 . 0 0
(a) Calcule o determinante de M e indique os valores reais de m para os quais M tem característica 4. (b) Determine, em função do m, a entrada (1, 3) da matriz adjunta e da matriz inversa de M . 3.23 Prove que as seguintes matrizes são invertíveis e calcule, respectivas inversas: a b 2 (a) A = , ad − bc 6= 0 c d (c) C = 0 2 1 0 3 −1 4 (d) D = 0 (b) B = 2 1 0 0 2 1 0 20
usando a matriz adjunta, as 4 −3 1 1 2 −1 −a 0 0 1 −a 0 0 1 −a 0 0 1
2 −3 1 3.24 Considere a matriz A = −2 1 −1 .Calcule: 2 0 2 (a) |A| por condensação. O que conclui quanto à invertibilidade de A? Justifique (b) adjunta de A; (c) A−1 .
2 −1 1 3.25 Seja A = −2 1 1 . Calcule A−1 usando a adjunta. −2 0 2 x x − 2 −x 0 −1 . 3.26 Considere a matriz A = 1 0 2 −2 (a) Determine o valor de x, de modo que se verifique a igualdade det(A) = det(adj(A)). (b) Faça x = 3 e determine a inversa de A. 2 0 −1 1 1 4 −1 4 1 0 −1 . 3.27 Considere as matrizes A = 1 1 1 e B = 2 −1 3 4 2 0 3 1 0 −1 3
(a) Prove que a matriz A é invertível e calcule a terceira coluna da matriz inversa de A; (b) Prove que a matriz B é invertível e calcule a entrada (3, 4) da matriz inversa de B. m+1 1 2 m + 2 −1. 3.28 Seja M = 2 −2 −2 m (a) Determine todos os valores reais de m para os quais a matriz M é invertível. (b) Para os valores encontrados na alínea anterior, calcule, usando a matriz adjunta, a inversa da matriz M .
Regra de Cramer . 3.29 Resolva os seguintes sistemas pelo método de Cramer √ √ x + 2y = −3 2x + 2y = 0 x + 23 y − z = 0 √ √ √ (a) (d) x−z = 1 3x + 2y = 0 2x − 2y = − 8 (g) y+z = −1 x + 3y − z = 3 −5x + 2y = 1 −x − y = −1 (e) (b) x + 2y = 1 3x + 3z = 0 y + 2z − t = 0 2x + 3y − z = 6 3x + 3y − z = −3 2x + 2y = −3 (h) (c) −x − y = −2 x+y+z−t=1 (f) 3x + y = −2 2x + y = 0 3x − 3y − 2z + t = 0
21
3.30 Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares: ( x + z = 2 −2x + y + z = 2 7x + 8y = 19 (a) (b) x + y = 3 (c) x + 3y − z = −1 6x + 7y = 11 y+z =4 3x − y + 3z = 1 x+y−z+w =1 x − y + z − w = 0 (d) x + 2y − z = 1 x − y − 2z = 1
x−y+z =0 y − z + w = 2 (e) x + y + z + w = −1 y+w =3
x+y−z−w =2 2x + y + w = −1 (f) x + z − 2w = 0 2y − z + 3w = 1
3.31 Use o método de Cramer para obter o valor da incógnita t no sistema: y + 2z − t = 0 2x + 3y − z = 6 x+y+z−t=1 3x − 3y − 2z + t = 0 3.32 Considere o sistema
λx + y = 1 x − y + 2z = 0 2x + λy + z = −1
(a) Determine os valores de λ que o tornam possível e determinado. (b) Resolva-o pela regra de Cramer, fazendo λ = 2. 3.33 Considere o sistema
x − 3z = 2 x + 2y − βz = 1 2x − y = 2α
(a) Discuta-o em função dos parâmetros α e β. (b) Resolva-o pela regra de Cramer, fazendo α = −1 e β = 2.
22
EXERCÍCIOS DE REVISÃO I.1 Sejam as matrizes
1 1 1 M = x 2 −1 1 y 2
2 1 3 1 e N = −1 0 z 3 −8
(a) Determine x e y de modo que M seja uma matriz simétrica. (b) Determine z de modo que N seja uma matriz regular. (c) Faça z = 8 e determine N −1 . (d) As matrizes M e N são permutáveis? Justifique. (e) Explicite e determine a matriz X tal que (XM −1 + I3 )−1 ) = N considerando M simétrica e z = 8. I.2 Considere a matriz real quadrada de ordem 3, M = [mij ] definida por −1 se i ≥ j mij = j − i se i < j (a) Construa a matriz M . (b) M és uma matriz regular? Justifique (c) Calcule M −1 . Verifique o resultado obtido usando a definição de matriz inversa. (d) Explicite e determine X tal que X T M = B, sendo B = [1 0 − 1]. I.3 Dadas as matrizes
2 −1 0 k 1 A= 1 1 2 −1
B=
2 3 −2
C=
1 −1 0 1
com k ∈ R, (a) Discuta a característica de A em função do parâmetro k. (b) Faça k = 3 e resolva a equação matricial AT X − B T = 0. (c) Verifique 1 I.4 Seja A = b 7
se C é solução da equação x2 − 2x + 1 = 0. −b 1 1 −1. −4 1
(a) Determine b de modo que o sistema homogéneo AX = 0 tenha uma solução não nula. (b) Para um dos valores de b encontrado na alínea anterior, determine uma solução não nula do sistema homogéneo. 23
I.5 (*) Efectuando operações elementares sobre as linhas, a matriz A é transformada na matriz R, sua forma escalonada reduzida: 1 −1 0 2 R = 0 0 1 −2 . 0 0 0 0 (a) Resolva o sistema AX = 0. (b) Seja Ci a coluna i de A, i = {1, 2, 3, 4}. Suponha que B = C1 + C2 . Determine a solução geral de AX = B. I.6 Considere o seguinte sistema de equações lineares, onde a, b são parâmetros reais: ax + bz = 2 ax + ay + 4z = 4 ay + 2z = b (a) Discuta-o em função de a e de b. (b) Faça a = b = 1 i. Resolva-o. ii. Sendo A a matriz simples do sistema, justifique que A é invertível e calcule A−1 . iii. Usando A−1 , confirme a solução obtida anteriormente. I.7 Considere AX = B um sistema,onde 3 0 2 3+a 2 3 A= 7 2 4 3 − a −2 2 + a
1 1 2 1
0 2 B= 1 b−1
(a, b ∈ R)
(a) Discuta-o em função dos parâmetros a e b. (b) Faça a = b = 0 e resolva-o. I.8 Calcule f (0), f (−1) e f (π/2) para cada função matricial f : R → Rm,n indicada de seguida: cos θ − sin θ 0 2s 0 (a) f (s) = 0 2s (d) f (θ) = sin θ cos θ 0 0 0 1 2 t cos t 0 (b) f (s) = 2s 3s s (e) f (t) = t t t t t t cos 2θ sin 2θ 0 (f) f (θ) = sin 2θ − cos 2θ 0 (c) f (t) = 0 2t −1 0 1−t 1 0 0 1 Determine ainda det(f (0)) em todos os casos em que o determinante faça sentido. 24
1 1 I.9 Seja A = 2 5 A23 = 1.
y 3 x 4
2 1 1 0
0 1 , com x, y ∈ R. Determine x e y de modo que |A| = 0 e 0 1
2 −3 1 1 −1 0 1 −1 e B = 2 3 −1 I.10 Considere as matrizes A = −2 2 0 2 1 0 2 (a) Calcule C = A−1 B (b) Determine a característica de C. 2α 4 I.11 Dada a matriz A = 1 α (a) Para que valores de α a matriz é regular? (b) Calcule A−1 para α = 1. Verifique o resultado. 1 −1 α 0 2 I.12 Considere a matriz A = −2α 0 3 1 (a) Mostre que, qualquer que seja o valor de α real, a característica é 3. (b) Faça α = −1 e determine a inversa. I.13 Para que valores de a, a matriz A tem a característica igual à ordem se 3 1 a A = 4 2 1 ? 0 1 3 I.14 Indique, justificando, os valores reais de x para os quais a seguinte matriz é invertível: x − 1 −1 0 1 −1 x − 1 0 1 . A= 0 −1 x − 1 1 1 −1 0 x−1
0 1 0 0 1 com a ∈ R. I.15 Considere a matriz real A = 0 3 2 a −3a 3a (a) Calcule, usando o teorema de Laplace, det A. (b) Para a = 0, a matriz A é invertível? Justifique. I.16 Determine o valor de a que verifica a igualdade 1 1 2a det 12 a 23 = 1 2 1 1 25
I.17 Considere a matriz 4 × 4, A = [aij ] tal que −1 se i > j 0 se i = j aij = 1 se i < j (a) Construa a matriz A. (b) A será uma matriz regular? Justifique baseado na teoria dos determinantes. (c) Determine A−1 .
1 0 −2 0 3 1 −1 2 . I.18 Considere a matriz B = 1 −1 x 0 0 1 2 −4 (a) Determine o valor de x, de modo que se verifique a igualdade det(B) = det(adj(B)). (b) Faça x = 3 e determine a inversa de B. (c) Determine para que valores de x a característica de B é 4. I.19 Considere as matrizes
1 1 1 A= 1 α 1 α 1 0
1 B= 1 0
x e X= y z
(a) Discuta a característica da matriz em função de α, usando a teoria dos determinantes. (b) Faça α = 0 e considere o sistema AX = B. Resolva o sistema usando a teoria matricial. I.20 Considere o seguinte sistema de equações lineares: x + y + z = −2 3x + 3y − z = 6 x − y + z = −1 (a) Represente-o na forma matricial, isto é, numa equação do tipo AX = B. (b) Resolva-o usando a teoria matricial. I.21 Considere o seguinte sistema de equações lineares: x+y+z =1 −x + 2y + 3z = 1 x + 4y + az = 3 (a) Calcule, em função de a, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Deduza os valores reais a ∈ R tais que o sistema indicado é um sistema possível determinado. 26
(b) Use o método de Cramer para obter o valor da incógnita y se a = 0. I.22 Considere o seguinte sistema de equações lineares: 2x + y + az = a 4a + ay = −2 −2x + 2y + az = 7 (a) Discuta-o em função do parâmetro a. (b) Faça a = 1 e resolva-o pela regra de Cramer. I.23 Seja o sistema AX = B com 1 −1 3 A = k 0 2k , 1 k2 5
x X = y , z
0 B = 1 , 2
(a) Discuta o sistema. (b) Faça k = −1 e determine x, pela regra de Cramer.
27
(k ∈ R)
