SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO 16ª URE – UNIDADE REGIONAL DE EDUCAÇÃO E.E.E.M. DEP. RAIMUNDO RIBEIRO DE SOUSA Aluno: ________________ ______________________________ ______________________________ __________________ __ Data: _______/_______/____ _______/_______/_______ ___
Consultando a tabela, verificamos que:
•
1.1 - INTRODUÇÃO As matrizes são muito utilizadas na computação computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em compu computaç tação ão gráfic gráfica, a, para para se resolv resolver er sistem sistemas as de equaç equações ões,, etc. etc. Na engen engenhar haria ia elétr elétrica ica,, é muito muito difíci difícill resol resolve verr probl problem emas as de circu circuito itoss elétr elétric icos os e linhas linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes. Trabalhar com uma malha de linha de transmissão e passar esse circu circuito ito para para forma forma matri matricia cial,l, mais mais fácil fácil.. Na mecâ mecânic nica a também é muito importante, pois os tensores (grandeza) só são fornecidos em forma de matriz.
Monique tirou em matemática, 5 no primeiro bimestre, 8 no segundo, 9 no terceiro 10 no quarto bimestre. • Monique tirou 10 em física no primeiro bimestre, este número encontra-se na quinta linha (linha de física) e na primeira coluna (coluna do primeiro bimestre) Como vimos, vimos, estamos estamos chamando chamando de linha as filas filas • Como horizontais e coluna as filas verticais. • Esta tabela consta de 7 linhas e 4 colunas. Uma tabela como esta , onde os elementos estão dispostos em 7 linha e 4 colunas, é um exemplo de uma quatro) e é indicada matriz 7x4 (Lê-se, matriz sete por quatro) usualmente, numa das formas:
Info Inform rmaç açõe õess orga organi niza zada dass em tabe tabela lass estã estão o presentes nos mais variados campos da vida atual. Na Matem Matemáti ática, ca, usam usamos os tabela tabelass denom denomina inada dass matrizes. Observe a seguinte situação. Helen Monique recebeu o seu boletim escolar, como mostra a tabela a seguir: Disciplina
1ª Av.
Matemática Portiguês Geografia História Física Química Biologia
5,0 4,0 7,0 8,0 10,0 8,0 4,0
2ª Av.
8,0 3,0 4,0 5,5 8,0 7,0 6,0
3ª Av.
9,0 1,0 7,0 7,5 9,5 8,0 7,0
4ª Av.
10,0 6,0 8,0 9,0 7,5 8,0 6,0
Pode Podemo moss form formar ar uma uma tabe tabela la onde onde as nota notass de cada cada disciplina são colocadas em filas horizontais chamadas linhas e as notas de cada bimestre colocadas em filas verticais chamadas colunas : Representação: Linhas : i Colunas : j
j i
Matemática Portiguês Geografia História Física Química Biologia
1ª Av.
5,0 4,0 7,0 8,0 10,0 8,0 4,0
1.2 - DEFINIÇÃO Define-se matriz mxn (lê-se: “m por n”) uma tabela com m·n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Uma matriz pode ser escrita entre [colchetes], (parênteses) ou ll barras duplas ll. Representação genérica de uma matriz
Gene Generi rica came ment nte, e, a matr matriz iz A é repr repres esen enta tada da por por A = aij , em que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n , com i e m× n
j 2ª Av.
8,0 3,0 4,0 5,5 8,0 7,0 6,0
3ª Av.
9,0 1,0 7,0 7,5 9,5 8,0 7,0
4ª Av.
10,0 6,0 8,0 9,0 7,5 8,0 6,0
∈
Uma matr matriz iz A , do tipo IN . Uma
representada por:
a11 a21 A = a31 am1
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
a12
a13
a 22
a 23
a32
a33
am 2
a m3
a 2 n a3n a mn a1n
1
m×n,
pode pode ser ser
Existem matrizes, cujos elementos são determinados por uma lei de criação que envolve o posicionamento de cada um deles dentro da matriz.
f)
A = (aij)3x4, onde aij =
Exercícios Resolvidos R1) Represente explicitamente a matriz A = aij cada elemento aij
= 5i −
3× 4
, onde
j2 .
se
i = j
se
i ≠ j
3i − 2 j , se i ≥ j . 2 i − j , se i < j
02) Sendo A uma matriz 3x4, onde a ij = Então A é igual a:
= (bij 4×4 , tal que cada elemento, bij é dado i + j, se i < j = i j , se i = j . Represente explicitamente os i ⋅ j , se i > j
R2) Seja B por: bij
2 j − i j + 3i
elementos da matriz B.
1 − 1 − 2 a) 4 2 1 7 5 3 − 1 − 2 1 1 4 c) 2 5 3 7 − 1 4 − 3 e) 2 3 1 5 3 5
− 3 0 5 − 3 0 5 1 4 7
03) A tabela A = ( aij )50×9 contém em suas linhas as notas dos 50 alunos de uma classe e suas colunas indicam as nove disciplinas ministradas na turma. Se a oitava coluna contém as notas de redação e A é definida por aij
=
i 10
+
j 10
, então a nota de redação do quadragésimo
aluno desta turma é: a) 3,8 b) 4,8 c) 5,8
Agora é a sua vez!!! Mostre que você é uma das feras do CONVÊNIO 2011!!
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
− 1 − 2 − 3 1 1 0 4 b) 2 5 3 5 7 1 4 7 − 3 d) − 1 2 5 0 − 2 1 3 5
d) 6,8
e) 7,8
04) A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atleta) e colunas (dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e aij = 30i + 10j o elemento genérico desta tabela, com i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no terceiro dia foi de: a) 1 hora e 30 minutos. b) 1 hora e 50 minutos. c) 2 horas d) 2 horas e 10 minutos. e) 2 horas e 30 minutos 05) O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.
01) Represente explicitamente a matriz: a)
A = (aij)3x2, onde aij = i + j
b)
A = (aij)3x3, onde aij = (-2) i + j
c)
A = (aij)2x3, onde
d)
A = (aij)3x3, onde aij = 2i,se i = j e a ij = 3j – i se i ≠ j
i + j 2 j − i
se i ≥ j se i < j
0 e) A = (aij)4x4, onde aij = 2i + j j
se
i = j
se
i > j
se
i < j
A matriz A = [aij]4x4 associada a esse mapa é definida da seguinte forma: aij
1, = 0,
se i está ligado diretament e a j
se i = j ou não tem ligação direta com j Sabendo-se que i e j referem-se as cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, construa a matriz A.
06) Uma confecção vai fabricar 2 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes.
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
2
Considere a matriz A, onde cada elemento a ij representa quantas unidades de material j serão empregados para a fabricação de roupas do tipo i. Quantas unidades do material 3 serão empregados na confecção de uma roupa do tipo 2? 07) É dado um quadrado de lado medindo 1 unidade, numerado conforme a figura. Determine a matriz 4x4, tal que aij é a distância entre os vértices de números i e j
S refere-se às despesas de sábado e D, as de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado, Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu; 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S). a) Quem bebeu mais chope no final de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
08) Uma rede é composta por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A tabela a seguir representa o faturamento, em dólares, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro:
1.3 - TIPOLOGIA DE MATRIZES a) Matriz coluna: é toda matriz que possui apenas uma única coluna. b) Matriz linha: é toda matriz que possui apenas uma única linha.
Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j. a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias? 09) Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatros primeiros dias de fevereiro, foram obtidos os seguintes resultados:
sendo que: A matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 3 de fevereiro pela loja A? b) Quantas unidades do modelo 1 foram vendidas no dia 2 de fevereiro pela loja B?
c) Matriz nula: é toda matriz com todos os elementos iguais a zero. d) Matriz quadrada: é toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Diagonais de uma matriz quadrada
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Assim temos: Diagonal principal: formada por todos os elementos aij , com i = j , isto é, a11 , a 22 , a33 , ..., a nn Diagonal secundária: formada por todos os elementos aij , com i + j = n + 1 , isto é, a1n , a 2n −1 , a3n − 2 , ..., an1 . Exemplo: Diagonal Secundária Principal
Diagonal
Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. f) Matriz Escalar: é toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais. Exemplo:
c) No período considerado, construa uma matriz que descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas duas lojas juntas. 10) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
g) Matriz Identidade (In): é toda matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
3
1 Exemplo: I = 0 0
0 0 1
0
0 1
h) Matriz Transposta ( At ) Dada uma matriz A = aij
m× n t
transposta de A a matriz A
aijt
,
=
define-se
aijt
matriz
na qual
n×m
• A matriz A descreve o desempenho da Amazônia Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. • A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo b ij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. Construa uma matriz C que representa o desempenho de vendas das duas lojas.
= a ji ,
isto é, as linhas da matriz At são, ordenadamente, iguais às colunas da matriz A , assim como as colunas da matriz At são, ordenadamente, iguais às linhas da matriz A .
− 3 Exemplo: A = 1
2 5
− 3 t = A e 2 4 0
1
b) Multiplicação de uma matriz por um número real Para multiplicar um número real k por uma matriz basta multiplicar o número real k dado por cada elemento da matriz.
5 . 4
0
1.4 - OPERAÇÃO COM MATRIZES a) Adição e Subtração de Matrizes As operações de soma e subtração de matrizes poderá ser feita, se e somente se, as matrizes forem do mesmo tipo. Para se obter o resultado da soma ou subtrações basta operar os elementos correspondentes das matrizes. Exemplo 01) Sendo
− 5 4 A = 1 − 2 9 5 Determine: a) A + B
3 0 5
10 0 1 e B = 5 8 6
0
−8
7
3
6
2 .
4
1
3
− 5 4 5⋅ 1 − 2 9 5
0 1 = 5 6
c) Multiplicação de Matrizes Dada duas matrizes A e B, o produto matricial AxB, poderá acontecer, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número d elinhas de B. Dada duas matrizes A = aij
e B = bij n× p o
m× n
produto de A por B é a matriz C = cij
m× p ,
na qual cada
elemento cij é a soma dos produtos de cada elemento da linha i de A pelo correspondente elemento da coluna j de B. Exemplo:
b) A - B
3 0
Dadas
as
matrizes
− 2 . O produto 0 4 2 Qual o resultado de A ⋅ B ? 3
B =
1
− 2
A =
5
4
0
e
A ⋅ B pode ser feito?
c) B - A
1.5 - Matrizes Inversas Exemplo 02) A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes:
Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo:
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
4
Determine à inversa da matriz
15) Considerando a matriz A = aij
com aij
2 x 2
calcular x, y, z e t para que se tenha A =
1
x + y 3 x − t
= i + j , x + z t + z
5
3
3
, B = e 16) Dadas as matrizes: A = 2 4 1 2 3 4
C =
a) A + B
6
, calcule:
2
b) A + C
c) B + C
17) Determine x, y e z nas matrizes abaixo, sabendo que:
Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.
Agora é a sua vez!!! Mostre que você é uma das feras do CONVÊNIO 2011!!
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11) Sabendo que as matrizes A e B são iguais, determine o valor de x e y:
x 2
a) A =
− 1 e B = y 2 3
x − 3 y + 1
b) A =
x − 2 0
c) A =
0
3
4 2
4 0
1
y + 5
e B = − 4 0
0
3 e B = 9 1
1 + 3 − 3
2 z − 3
3 = 2
1
1 3
2 , B 4
18) (PUC-SP) Se A =
z
R: x = 4, z = -1, y =
4
1 = 2
0
, determine (A + B)t
1
19) Determine a, b, c e d de modo que nas matrizes abaixo se tenha:
2a − 1 b + 2
− 3 + 1 − 1 2
1 − c
0 = d + 2 − 2
5
3
x 2 y 2 2 x − y 8 12 2 + = 2 4 9 0 7 − − x y − 3 4 2
− 4 0
− 1 2 0 − 3
21) Dada as matrizes A = calcule A – B
4 6 , B = 2 5
0
−1
− 4 , 3
22) Encontre a Matriz X, tal que X – A + B = 0, sendo
y − 6 4 d) A = x + 3 e B = 3 − 1 − 1
x 2 − 1 e) A = 1
4
4
20) Determinar os números x e y nas matrizes abaixo, de modo que:
4
e B = 1 5
x − 2 y + 1
3 − 1 dadas A = − 2 , B = − 4 5 2 0 y
2
5 − 2 1 + X = 0 0 4 − 3
23) Determine a matriz X, tal que
12) Calcular x e y sabendo que as matrizes A e B são iguais;
7 2 x + 3 y , B = 3 x − y 16
A =
m + n 13) Determine m e n tal que 0
m
= I 2
n
14) Determine x, y, a e b, sabendo que as matrizes A e B são iguais: x + y 2a + b 3 − 1 A = e B = − − 2 x y a b 0 7
x 24) Determinar x, y e z, tal que 3 4 25) Seja A = aij com bij
= ( aij )
2
2 x 2
com a ij
2
0 z + 1 5 Y
= 3i − 2 j
2 3 − 1 , B = 2 0 5 −
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
b)
1 3
1 6 = 4 3 6
2
9 8
e B = bij
2 x 2
, calcular A – B
26) Dada as matrizes A = a) 2A
0
B
c) 2A + 3B
5
4
, calcule:
3
d) 3 A – 4B
1 27) Dados A = 0 0
0 2 0
0
1 0 , B = 1 3 0
0
1
3 , determinar a 9
2 4
matriz X tal que 3X – 2A + B = 0 28) Dados
3 5
2 , B 1
A =
mostrando que AB
≠ BA
2
3
0 = 3
1
, calcular AB e BA,
0
3 − 1 1 , C = , calcular, se 4
, B = 29) Sendo A = 0 1 2 0 existir: a) AB b) AC c) BC d)
CB
30) Efetue os produtos:
1 2 a) 3 − 1
3 b) − 2 .( 2 4
2 0 . 1 2 − 1
− 3 2 0
3 − 1 0 . − 1 2 5
6 3
sendo que: A matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 3 de fevereiro pela loja A? b) Quantas unidades do modelo 1 foram vendidas no dia 2 de fevereiro pela loja B? c) No período considerado, construa uma matriz que descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas duas lojas juntas.
4 1)
c)
36) Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatros primeiros dias de fevereiro, foram obtidos os seguintes resultados:
No período considerado, construa uma matriz que compare o desempenho da loja A em relação à loja B, nas vendas diárias de cada modelo.
5
4
2 − 3 , calcule A2 3 1
31) Seja a Matriz A =
3 − 4 , obter; 1 − 1
37) Uma concessionária de veículos vende três modelos diferentes, A, B e C, em que cada modelo possui a sua disposição motores a álcool ou a gasolina. As duas tabelas abaixo registram as quantidades vendidas durante os meses de janeiro e fevereiro, separados por modelo e por tipo de motor.
32) Se a matriz A =
a) A2 b) A2 – 2A + I2 c) (At)2 – 2At + I2t 33) Determinar a matriz inversa de :
2 − 4 3 7
2 4
a) A =
4
b) A =
8
34) Uma matriz quadrada A = (aij) é denominada escalar se os elementos da diagonal principal são iguais entre si e os demais elementos são nulos. Determinar a inversa da
x 0 matriz escalar não nula A = 0 0
0
0
0
x
0
0
0 x
0
0
38) Determine a matriz X tal que
0
0 x
35) Dona Maria, moradora no centro de Tucurui, possui dois netos: Maria Eduarda e João Eduardo. Maria numa conversa com um dos filhos, comentou: Meus netos, Maria Eduarda e João Eduardo, tem suas idades, respectivamente, aos elementos a11 e a 22 da matriz A −1 .
1
Determine a tabela que registra os totais das vendas de cada modelo no bimestre indicado?
Sendo A = . As idades, respectivamente, de João 0 2 Eduardo e Maria Eduarda são: a) 2 anos ; 1 ano b) 1 ano ; 6 meses c) 6 meses; 1 ano ; d) 1 ano; 2 anos
4 2
1
4 ⋅ X = 3 6
. 10 8
39) Numa fábrica de manipulação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e C, expressa na tabela abaixo, em gramas:
As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substâncias em cada fornecedor, está expresso em reais na tabela seguinte:
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
6
Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos por fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor. Considerando que o pagamento é feito a vista, determine como o farmacêutico pode combinar a compra das três substâncias de modo a gastar o mínimo possível. 40) Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne, cerveja e feijão. No 1° restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20 kg de feijão. No 2° restaurante são consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 garrafas de cerveja e 22 kg de feijão. Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são:
A partir destas informações: a) Construa uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1° e no 2° restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores; b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes. 41) Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação.
A quantidade, em miligramas, do pesticida 2 que foram absorvidos pelo herbívoro 1, é: a) 88
b) 64
d) 44
e) 188
43) Um batalhão do exército resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associou as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:
Desta forma, supondo que o batalhão em questão deseja enviar a mensagem “PAZ”, pode-se tomar uma matriz 2x2,
P Z 15 dada por 25
A
, a qual, usando-se a tabela acima, será 1 . Tomando-se a matriz-chave C para o 0 2 3 , transmite-se a mensagem código, isto é: C = 1 2 da forma:
“PAZ” através da cadeia de números 31 47 50 75.
15 25
M ⋅ C =
1 2
⋅ 0 1
3
31 = 2 50
47
.
75
Desta
forma,
utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 que será compreendida pelo batalhão, é: a) AMOR
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
c) 33
b) VIDA c) ROMA d) CASA e) FOGO
44) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados.
Usando a multiplicação de matrizes, responda: Nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada? 42) Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar insetos daninhos. No entanto, parte dos pesticidas são absorvidos pela planta. Os pesticidas são absorvidos por herbívoros quando estes comem as plantas que foram pulverizadas. As matrizes abaixo: A relaciona 4 plantas (P1, P2, P3, P4) e três pesticidas (pest1, pest2, pest3) e cada elemento aij indica a quantidade em miligramas de cada pesticida absorvido por planta; B relaciona 3 herbívoros (H1, H2, H3) e as 4 plantas e cada elemento bij indica a quantidade de planta comida por herbívoro.
A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
7
Definição : é todo número gerado pela diferença entre o
produto das diagonais.
20 18
45) Na matriz A =
18
5
, os elementos da primeira
21 4
linha representam os preços unitários em reais de três artigos diferentes na loja X e os da segunda linha, os respectivos preços unitários em reais dos mesmos artigos
1 na loja Y. Os elementos da matriz A . B, com B = 2 , 1 representam os preços a serem pagos pela compra de 1 unidade do primeiro artigo, 2 do segundo e 1 do terceiro, nessas lojas. Se fizermos a compra em Y, gastaremos, em relação ao que seria gasto na loja X: a) R$ 3,00 a mais.
b) R$ 3,00 a menos.
c) R$ 4,00 a mais.
d) R$ 4,00 a menos.
O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado por detA.
Cálculo dos Determinantes 1º caso: Determinante de 1ª Ordem A = (a11) detA = a11 2º caso: Determinante de 2ª Ordem
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo: 1. Calcule o valor dos determinantes das matrizes abaixo:
3º caso: Determinante de 3ª Ordem Regra de Sarrus: Essa regra só é valida para determinantes de ordem 3.
Exemplo: 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
8
Agora é a sua vez!!! Mostre que você é uma das feras do CONVÊNIO 2011!! EXERCÍCIOS PROPOSTOS 46) Calcule os determinantes: a)
b)
k
2
−1
−2
5
= 10 , então k é:
a) um número inteiro.
−5
−4 1
c) 4 1
0
2
52) Resolva a equação: −1 −1 3 − x
3
3
9
4 1
2
4
2,4
b) menor que –4. − 35 c) igual a 26 53 d) igual a − 22 83 e) igual a − 26
−3
0
51) Se
1 1
8
5
2
x − 4
3
−3
−2 =0 x − 5
47) Calcule os determinantes, aplicando a regra de Sarrus: 53)
−3
4
a) det A = 0
2
5
1
3
−1
1
=
b) det B
2
2 3
1
4 5
−1
0 3
48) Determine o conjunto solução das equações: a)
x + 3
2x − 1 =0 −2
3
2 x x b) 1 2
3
1
= 12
1 2
a
Seja
= 2( 1+ log
2
a
5)
matriz
= 2( log
;b
2
8)
;c
a c
A =
= log
4 seja nulo.
5 x
5
log 3 27 a) 2
81 3
2
3 0
3 0
log
− 3 2 c) 2 2 − 5 2
log2 5 5
e)
3 log
3
0
27.
81
3 log 2 81
−2
Menor Complementar: Chama-se menor complementar de uma matriz A de ordem n ≥ 2 de um elemento aij, ao valor ∆ ij , correspondente ao determinante da Matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j onde se encontra o elemento aij.
O menor complementar
0 3
3
− 3 2 b) 2 3 − 5 2 − 3 2 d) 3 − log 5 2 2
50) Calcule o determinante da matriz P2, sendo P a matriz:
0
81 e d = log
onde:
Uma matriz real quadrada B, de ordem 2, tal que AB é a matriz identidade de ordem 2, é:
49) Determine os valores de x para que o determinante da matriz: 3 3 x
4 4
3
b , d
Exemplo:
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
9
1. Dada a matriz
, calcule:
Propriedades de Determinantes
a)
∆ 32
P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for nula, então seu determinante é igual a zero.
b)
∆ 23
Exemplo: Determine o valor de x na equação:
Cofator ou complementar algébrico: Chama-se cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem n ≥ 2 , ao elemento cof ( aij que se obtém multiplicando o fator
( − 1) i + j pelo menor complementar ∆ ij .
P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma matriz forem iguais ou proporcionais, então seu determinante é nulo.
P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma matriz, o seu determinante muda de sinal. TEOREMA DE LAPLACE Seja uma matriz A de ordem n ≥ 2 , o determinante da matriz A é dado pela soma do produto de uma de suas filas pelos seus respectivos cofatores.
P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da diagonal principal forem nulos, então o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. det A = 1 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 2
Exemplo:
det A = 24
1. Calcule o determinante das matrizes abaixo, usando o Teorema de Laplace:
P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante não altera. 1ª linha menos 2ª linha det B = 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ ( − 2) det A = 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 1 det A = 10
det B
= 10
P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma constante, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por essa constante.
Multiplicando-se a 1ª linha por 2 temos:
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
10
P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma constante k, seu determinante obedece a seguinte relação: A =
0
1
0
3
−4
2
1
−2
0
4
1
3
5
−1
0
2 x
55) Seja a raíz da equação
Matriz dos Cofatores: Seja uma matriz A de ordem n, chama-se matriz dos cofatores a matriz Cof ( A) , que é formada por todos os cofatores da matriz A. Exemplo: Determine a matriz cofatora da matriz:
0 0 0
1 x
1 2
2 0 x
3
= 16 . Então o
0 0 0 2 valor de x2 é: a) 16
b) 4
c) 0
d) 1
e) 64
56) A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Na equação det(2A) = 2x -150, o valor de x é: a) 11
b) 16
c) 43
d) 67
57) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A-1 a sua inversa. Se 16 ⋅ det A −1 = det( 2 A) , então o determinante de A vale: a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 16
58) Usando as propriedades, calcule os determinantes:
Matriz Adjunta ( Adj (A)): É a matriz transposta da matriz dos cofatores. Exemplo: Determine a matriz adjunta da matriz:
Inversa de uma matriz através da Adjunta: A matriz inversa de A é dada por: A
1
−
=
Adj ( A) det A
Exemplo: Determine a matriz inversa da matriz:
4 −1 59) Se det A = 5 e A = 5 − 1 5
a , então a é igual a? 2
5
60) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det A = 7 . Nessas condições, det ( 3 A) e det ( A −1 valem respectivamente:
Agora é a sua vez!!! Mostre que você é uma das feras do CONVÊNIO 2011!!
a) 1 e -7
b) 21 e 1/7
d) 63 e -7
e) 63 e 1/7
c) 21 e -7
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 54) Calcule o determinante da matriz:
Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos
11
