Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)

Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes) s a t n e b e S e s e t s e T

Índice: 1. Matrizes 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

Igualdade de matrizes … 3 Transposta de uma matriz … 3 Multiplicação por um escalar … 3 Produto entre matrizes … 4 Propriedades do produto entre matrizes … 5 Matrizes invertíveis … 6 Operações elementares sobre uma matriz … 7 Forma escalonada de uma matriz … 7 Algoritmo para a inversão de matrizes … 8

2. Determinantes 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Cálculo de determinates … 9 Propriedades dos determinantes … 10 Resolução de sistemas … 10 Sistemas de Cramer … 12 Sistemas Homogéneos … 12 Característica da matriz … 13 Discussão de sistemas … 14

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2

1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes: Para que valores de e de as matrizes A e B são iguais? B=

A=

A=B

=





1.2. Transposta de uma matriz: Considere as matrizes A, B e C. Calcule se possível: 1. 2.

AT + B ( C – AT )T

A=

C=

B=

1.

AT + B  Não é possível porque as matrizes têm ordens diferentes. Ordem: AT (3 2) B (3 2)

2.

( C – AT )T = CT – A =

–

=

1.3. Multiplicação por um escalar: Considere as matrizes A e C. Calcule: 3A – ½ CT A=

3A – ½ CT =

B=

–


= 3

1.4. Produto entre matrizes: 1. Considere as matrizes A e B. Calcule o produto: a. AB b. BA A=

B=

a.

AB = [1 5 + 0 3 + ( 2) 4] = [ 3]

b.

BA =

T

=

2. Calcule todos os produtos possíveis (com 2 factores) com as seguintes matrizes: A=

B=

C=

E=

I=

3 D=

CD =

=

IB =

=

CA =

=

BC =

=

DE =

= =

=


4

EA =

=

BI =

=

=

=

1.5. Propriedades do produto entre matrizes: 1.

Simplifique: A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C

A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C = ABC – 2ACB + (2AC – AB)C + BAC – ABC = ABC – 2ACB + 2ACC – ABC + BAC – ABC = −2ACB + 2ACC – ABC + BAC 2.

Sendo A =

e AB =

, determine a 1ª e 2ª colunas

de B

=

3.

Considere A =

eB=

; resolva a seguinte equação

matricial: BA + 5X = A

BA + 5X = A  5X = A – BA  X = 1/5(A – BA) http://www.testesesebentas.weebly.com

5

BA =

=

A – BA =

–

=

X = 1/5(A – BA) = 1/5 4. Dizemos que uma matriz M é simétrica se M’ = M. Supondo que A e B são matrizes simétricas tais que AB = BA, prove que AB também é simétrica.

Hipótese: – A é simétrica: AT = A – B é simétrica BT = B – AB = BA Tese: AB é simétrica: (AB) T = AB (AB)T = BTAT = BA = AB ⇒ AB é simétrica, c.q.d.

1.6. Matrizes Invertíveis 1.

Simplifique CTB(AB) –1(C–AT)T

CTB(AB) –1(C–AT)T = CTBB–1A–1(AT)T(C–1)T = CTIA–1A(C–1)T = CTII(C–1)T = CT(C–1)T = CT(CT)–1 = I 2. Sejam A e B matrizes invertíveis; resolva as seguintes equações matriciais: a. AX + A2 = B b. B–1X–1 = AB2


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a.

AX + A2 = B  A–1AX = A–1(B+A2)  X = A–1B – A–1AA   X = A–1B – A

b.

B–1X–1 = AB2  BB–1X–1 = BAB2  (X–1) –1 = (BAB2) –1   X = (B2) –1A–1  X = B–2A–1B–1

3.

Determine X tal que:

(X–1 – 3I)T = 2

(X–1 – 3I)T = 2  X–1

– 3I =

 X–1

=

X

=



[(X–1 – 3I)T]T =

 X–1

+

=

T

+3

 (X–1) –1 =



–1 

–1

1.7. Operações elementares sobre uma matriz : Efectue operações elementares sobre a matriz A =

de modo a

obter uma matriz do “tipo” triangular superior.


7

1.8. Forma escalonada de uma matriz: Calcule a forma escalonada da seguinte matriz: A=

A=

forma escalonada de A forma escalonada reduzida de A

1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes: Calcule a inversa da matriz A =

e da matriz B =

[A|I]=

= [ I | A –1 ] A–1 =

[B|I]=


8

= [ I | B –1 ]

B–1 = 1/2

2. Determinantes 2.1. Cálculo de determinantes: 1.

Calcule os seguintes determinantes:

a) A =

a. b.

b) B =

c) C =

= 3×(−2)−4×1 = −6−4 = −10 Pela Regra de Sarrus: = 1×0×6+4×8×3+2×0×(−1)−3×0×2−

(−1)×8×1−6×0×4 = 104 c.

det B = 0×C11 + 1×C21 + 0×C31 + 0×C41 = −M21 =


9

=−

= −(−1×C11 + 0×C21 + 1×C31) =

= C11 – C31 = M11 – M31 =

−

=

= (0−24) – (3−9) = −24 + 6 = −18

2.2. Propriedades dos determinantes: Sejam A, B ∈ ℳ3×3 (ℝ) tais que det A = −2 e det B = ¼ Calcule: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

det (2A) det (A4BT) det (−B) det (5ATB) det (AB–1AT) det (B–1A2B) det [1/2 (B–1)T]

1. det (2A) = 23×det A = 8×det A = 8×(−2) = −16 2. det (A4BT) = det (A4)×det (BT) = det(A4)×det B = = det A×det A×det A×det A×det B = (det A)4×det B = (−2)4 ×1/4 = = 4 3. det (−B) = −13×det B = − det B = −1/4 4. det (5ATB) = 53×det (ATB) = 53×det(AT)×det B = = 53×det A×det B = 125×(−2)×(1/4) = −125/2 5. det (AB–1AT) = det A×det (B−1)×det (AT) = det A×(1/det B)×det A = = −2×4×(−2) = 16 6. det (B–1A2B) = det (B−1)×det (A2)×det (B) = = (1/det B)×(det A) 2×det B = (−2)2 = 4 7. det [1/2 (B–1)T] = (1/2)3×det[(B−1)T] = (1/8)×det (B −1) = = (1/8)×(1/det B) = ½

2.3. Resolução de sistemas : Resolve os seguintes sistemas: 1.


10

2. 3.

↝

1.

↝ C.S. = ↝

2.

↝

↝ SIST. IMP. C.S. = ∅ 3.

↝


11

↝ C.S. =

2.4. Sistemas de Cramer: Verifique se os seguintes sistemas são de Cramer: 1. 2.

1.

A=

det A = 2×(−2)−3×1 = −4−3 = −7 ≠ 0 ⇒ É sistema de Cramer. 2.

A=

det A = 1×C11 = M11 =

= 2−2 = 0 ⇒ Não é sistema de Cramer.

2.5. Sistemas homogéneos: Considere o sistema

1. 2.

Mostre que (-2, 1, 0) é a solução do sistema dado. Determine o conjunto solução desse sistema.


12

1.

 AX =

X1 =

AX1 = B

AX1 =

2.

×

B onde A =

=

,X=

=

eB=

=B

Pela alínea anterior, X 1 =

Sistema homogéneo associado: AX = 0 ⟶ SIST. POSS. E INDET. (grau de ind. = 1)

C.S.M = C.S. =

=

2.6. Característica da matriz: Diga qual a característica das seguintes matrizes: A=

B= SIST. IMP.

A) B)

C)

C= SIST. POSS. E IND.

SIST. POSS. E DET.

car A = 2 Car (A|B) = 3 car A = 2 car (A|B)=2 n.º inc. = 3 car A = 3 car(A|B) = 3 n.º inc. = 3


13

2.7. Discussão de Sistemas: Discute os sistemas em função dos parâmetros: 1.

3.

2.

↝

1.

Caso 1: se (3−5k)/2 = 0  k = 3/5 car A = 2

car(A|A) = 2

n.º inc. = 3

Se k = 3/5 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1)

Caso 2: se (3−5k)/2 ≠ 0  k ≠ 3/5 car A = 3 car (A|B) = 3 n.º inc. = 3 Se k∈ℝ\

2.

então SIST. POSS. E DET.

↝

=


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Caso 1: se a−1 = 0  a = 1 então =

car A = 1 car(A|B) = 1

n.º inc. = 3

Se a = 1 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−1 = 2)

Caso 2: se a−1 ≠ 0  a ≠1 então Caso 2.1: se 2−a−

= 0  a = 1 ∨ a = −2

=


Se a = −2 (a ≠ 1) então SIST. IMP. Caso 2.2: se 2−a−

≠ 0  a ≠ 1 ⋀ a ≠ −2


n.º inc. = 3

Se a ≠ 1 e a ≠ −2 então SIST. POSS. E DET.

3.

↝

=

Caso 1: se c = 0 então: = Caso 1.1: se 1 + (d/2) = 0  d = −2 então car A = 2 car(A|B) = 2

n.º inc. = 3

Se c = 0 e d = −2 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1)


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