MATRIZES Teoria e Exercícios
1. Matriz - Conceito Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:
2 linhas 1 coluna
= 27
é uma matriz 2 x 1
13 5 2 3
= 0 1 1 C 2 3
0 4 2
2 linhas 3 colunas é uma matriz 2 x 3
1 3 é uma matriz 3 x 3 5
Diz-se também, QUADRADA DE ORDEM 3
Representa-se a matriz como uma tabela de números entre parênteses ou colchetes
2. Representação de uma matriz Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será represent representado ado pelo símbolo ai j j , onde o índice i refere-se à linha em que se encontra tal elemento e o índice j índice j refere-se refere-se à coluna em que se encontra o elemento. Exemplo 1:
2 3 4 1 A Seja a matriz 0 2
= 2 O elemento = 2 O elemento = 1 O elemento
do tipo 3 x 2
Exemplo 2: Escreva a matriz A = (ai j)2 x 2, onde ai j = 2i + j. Trata-se de uma matriz quadrada de ordem 2, que pode genericamente ser representada
a11 a12 da seguinte forma: A a a 21 22 Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, teremos:
= 2. 2. + = 2.1 = 2.1 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 2.1 + 2 = 2 + 2 = 4 == 2.2 2.2 + 2 = 4 + 2 = 6 = 2.2 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5 3
Logo: A
5
4
6
3. Tipos de Matrizes Matriz Quadrada Considere uma matriz m x n. Quando m = n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada de ordem n x n ou simplesmente de ordem n. Exemplos:
= 30 12 Diagonal Secundária (DS) 5 B 3 1 Diagonal Secundária (DS)
é uma matriz de ordem 2 Diagonal Principal (DP)
4
6
2
1
0
2
é uma matriz de ordem 3 Diagonal Principal (DP)
Matriz Triangular Considere uma matriz quadrada de ordem n. acima ou abaixo da abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos Quando os elementos acima ou que a matriz é triangular . Exemplos:
2
A
3
1 B 3 2
0
1
0 4 5
1 = 00 0
0
1 0
1 2 0 0
3 8 53 237 0 4
Matriz Diagonal A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da abaixo da diagonal principal são são nulos é chamada de matriz diagonal . Exemplos:
3 A 0 0
0 1 0
0
0 4
3 B 0
0
1
Matriz Nula A matriz que tem todos os elementos iguais a zero é zero é chamada de matriz nula. nula. A matriz nula de ordem m x n é indicada por 0m x n e a matriz nula de ordem n por 0n. Exemplos:
0 0
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
Matriz Identidade Uma matriz quadrada de ordem n é chamada de matriz unidade ou identidade (indica-se por ) quando os elementos de sua diagonal principal são são todos iguais a 1, e os demais iguais a zero. zero.
Exemplos:
1 I 2 0
0
1
1 I 3 0 0
0
0
1
0
0
1
4. Igualdade de matrizes Duas matrizes de mesmo tipo m x n são iguais quando todos os seus elementos correspondentes correspondentes são iguais. Exemplo: Determine a, b, c , e d de de modo que se tenha a igualdade seguinte: 1 2 a 1 1 b 1 c 2 d 6
1
1
3
Sabendo-se que os elementos correspondentes correspondentes devem ser iguais, teremos:
=2 +1=1 ∴ =0 2=6 ∴ =8 =3
Exercícios de fixação: 1) Determine x Determine x , y e z e z que que satisfaçam a igualdade:
3 =4 3=6 ∴ =2 1=0 ∴ =1
1 2 = 1 2 34 3 5 1 6 5 0
2) Escreva a matriz A (2, 3) = [a ij], tal que aij = i2 – j
=
= 1 1 = 1 1 = 0 = 1 2 = 1 2 = 1 = 1 3 = 1 3 = 2 ⇒ = 0 1 2 3 2 1 = 2 1 = 4 1 = 3 = 2 2 = 4 2 = 2 = 2 3 = 4 3 = 1
3) Determine os elementos da diagonal principal da matriz sabendo que a matriz dada diagonal. representa uma matriz diagonal.
0=
2 x y x 3
y 5
x y
=0 Diagonal Principal (DP)
+3=0 ∴ =3 +5=0 ∴ =5
=2 ⇒ = 2 . 3 5 =6+5=1 = + ⇒ = 3 + 5 =35=8 DP:
1 e = 8
4) Determine os valores de “a”, “b”, “c” e “d”, para que a matriz dada represente uma matriz unidade.
ab 2a 3b
=1 23=0 × ×()
33=3 2+3=0 =3 3=1 31= =2
3c 2d
c d 9
= 10 01
32=0 +9=1 32=0 +=10
×
32=0 2+2=20 5=20 =4 4+=10 =6
5. Operações Adição e Subtração Dadas duas matrizes, A = (a i j)m x n e B = (bi j)m x n , a matriz soma A + B é a matriz C = (c i j)m x n , onde ci j = ai j + bi j para todo i e todo j todo j.. Assim, a matriz soma C é do mesmo tipo que A e B, de modo que cada um de seus elementos é a soma de elementos correspondentes de A e B, conforme exemplo a seguir:
2 4 5 3
+
3 1
6
0
=
5 4
2
3
Exemplo 2: Encontre a matriz M de modo que a igualdade seja verdadeira.
2 3 5 1 1 1 + = 4 3 4 2 3 2 Sabe-se que a matriz procurada terá de ser do mesmo tipo, isto é, 3 x 2.
2 3 5 1 1 1 + = 4 3 4 2 3 2 Equacionando de acordo com os termos correspondentes teremos:
2+=5 ∴ =3 1+=4 ∴ = 5 4 + = 3 ∴ = 1
3 + = 1 ∴ = 4 1 + = 3 ∴ = 4 2+=2 ∴ = 4 3 4 ⇒ = 5 4 1 4
Matriz Oposta Seja a matriz A = (a i j )m x n. Chama-se oposta de A, a matriz representada por – A , tal que – A) = 0, onde 0 é a matriz nula do A + ( – nula do tipo m x n.
Para isso, basta trocar o sinal dos termos da matriz dada.
Exemplo:
7 3 A 1 5
⇒
3 7 A 1 5
Matriz Diferença Dadas duas matrizes A e B, definimos a matriz diferença A – B como a soma de A com a oposta de B, isto é A – B = A + ( – B).
Exemplo:
7 3 = 7 + 3 = 7 3 = 4 2 3 2 +3 2+3 1
Multiplicação de um número real por uma matriz Considerando uma matriz qualquer A qualquer A de de ordem m x n e um número real qualquer p qualquer p.. Quando multiplicamos o número real p real p pela pela matriz A matriz A encontraremos encontraremos como produto outra matriz p.A matriz p.A de de ordem m x n cujos elementos são o produto de p de p por por cada elemento de A de A.. Exemplo 1: Seja
12 1 1 4 . 1 = 3 3 2 ⇒ 4 . = 4 . 3 4 4 ∴4= 43 142
4 .1.1 4 . 12 4 .3.3 4 .2.2 2 8
Exemplo 2: Resolver a equação matricial 2X = A + B, conforme segue, onde
= 51 32 = 13 10 Primeiro determina-se genericamente a matriz =
2 . = 51 32 + 13 10 2 2 = 4 2 2 2 6 2
=2 =3
=1 =1
= 32 11
Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes matrizes A A = (ai ) chama-se produto de de A A por por B, e j m x n e B = (bi ) j n x p, chama-se produto indica-se por A por A . B, B, à matriz C = (c i k )m x p, onde um elemento qualquer c é obtido da seguinte maneira: 1º) Tomamos ordenadamente os n elementos da linha i da da matriz A matriz A:: ai 1 , ai 2 , ..., ai n. ( I ) II ) 2º) Tomamos ordenadamente os n elementos da coluna k da da matriz B: bi k , b2 k , ..., bn k . ( II ) II ), o 2º elemento de ( I ) 3º) Multiplicamos Multiplicamos o 1º elemento e lemento de ( I ) pelo 1º elemento de ( II ), II ) , e assim sucessivamente. pelo 2º elemento de ( II ) 4º) Somamos os produtos obtidos. Assim: c i k = ai 1 . b1 k + ai 2 . b2 k + ... + a i n . bn k
Vamos a um exemplo:
3 Sendo A 5 1
2
3 0 e B 6 4
1
determine a matriz C = A = A . B: B:
2
Vamos a um exemplo:
3 Sendo A 5 1
3 5 1
2
3 0 e B 6 4
1
3 6
1
2
0 4
determine a matriz C = A . B: B:
2
2
= 3 .3 . 3 + 2 .6 . 6 =9+12 ∴ = 21
Vamos a um exemplo:
3 Sendo A 5 1
3 5 1
2
3 0 e B 6 4
1
3 6
1
2
0 4
determine a matriz C = A . B: B:
2
2
= 3 .3 . 3 + 2 .6 . 6 =9+12 ∴ = 21 . 2 = 3 + 4 ∴ = 7 = 3 .1 . 1 + 2 .2 = 5 .3 . 3 + 0 .6 . 6 =15+0 ∴ = 15 =
Vamos a um exemplo:
3 Sendo A 5 1
3 5 1
2
3 0 e B 6 4
1
3 6
1
2
0 4
determine a matriz C = A . B: B:
2
2
= 3 .3 . 3 + 2 .6 . 6 =9+12 ∴ = 21 . 2 = 3 + 4 ∴ = 7 = 3 .1 . 1 + 2 .2 = 5 .3 . 3 + 0 .6 . 6 =15+0 ∴ = 15 = 5 .1 . 1 + 0 .2 . 2 = 5 + 0 ∴ = 5 =
Vamos a um exemplo:
3 Sendo A 5 1
3 5 1
2
3 0 e B 6 4
1
3 6
1
2
0 4
determine a matriz C = A . B: B:
2
2
= 3 .3 . 3 + 2 .6 . 6 =9+12 ∴ = 21 . 2 = 3 + 4 ∴ = 7 = 3 .1 . 1 + 2 .2 = 5 .3 . 3 + 0 .6 . 6 =15+0 ∴ = 15 = 5 .1 . 1 + 0 .2 . 2 = 5 + 0 ∴ = 5 . 6 =3+24 ∴ = 27 = 1 .3 . 3 + 4 .6 =
Vamos a um exemplo:
3 Sendo A 5 1
3 5 1
2
3 0 e B 6 4
1
3 6
1
2
0 4
determine a matriz C = A . B: B:
2
2
= 3 .3 . 3 + 2 .6 . 6 =9+12 ∴ = 21 . 2 = 3 + 4 ∴ = 7 = 3 .1 . 1 + 2 .2 = 5 .3 . 3 + 0 .6 . 6 =15+0 ∴ = 15 = 5 .1 . 1 + 0 .2 . 2 = 5 + 0 ∴ = 5 . 6 =3+24 ∴ = 27 = 1 .3 . 3 + 4 .6 . 1 + 4 .2 . 2 = 1 + 8 ∴ = 9 = 1 .1
Vamos a um exemplo:
3 Sendo A 5 1
AGORA FICOU FÁCIL!!!
3 5 1
2
3 0 e B 6 4
1
3 6
1
2
0 4
determine a matriz C = A . B: B:
2
2
21 7 = 15 5 27 9
= 3 .3 . 3 + 2 .6 . 6 =9+12 ∴ = 21 . 2 = 3 + 4 ∴ = 7 = 3 .1 . 1 + 2 .2 = 5 .3 . 3 + 0 .6 . 6 =15+0 ∴ = 15 = 5 .1 . 1 + 0 .2 . 2 = 5 + 0 ∴ = 5 . 6 =3+24 ∴ = 27 = 1 .3 . 3 + 4 .6 . 1 + 4 .2 . 2 = 1 + 8 ∴ = 9 = 1 .1
1 1 1 2 0 : = 1 0 2 e = 24 31 1 1 2 3 1.1 + 2.2 + 0.4 = 5 4 1 5
Sua vez de tentar
1 2 0 1 0 2
1 1 1 2 0 : = 1 0 2 e = 24 31 1 1 2 3 1.1 + 2.3 + 0.9 = 7 4 1 5 7
Sua vez de tentar
1 2 0 1 0 2
1 1 1 2 0 : = 1 0 2 e = 24 39 1 1 2 3 4 1 5 7 9
Sua vez de tentar
1 2 0 1 0 2
1..1 + 0.2 + 2 . 4 = 9 1
1 1 1 2 0 : = 1 0 2 e = 24 39 1 1 2 3 4 1 5 7 ⇒ . = 5 7 9 3 9 3
Sua vez de tentar
1 2 0 1 0 2
1..1 + 0.3 + 2 . 1 = 3 1
1 1 1 2 0 : = 1 0 2 e = 24 39 1 1 2 3 4 1 5 7 ⇒ . = 5 7 9 3 9 3
Sua vez de tentar
1 2 0 1 0 2 NOTE QUE:
1º) O produto A.B produto A.B existe, existe, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número B. de linhas de B. 2º) A matriz produto C = A.B é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de A de A e e o número de colunas é igual ao número de colunas de B. A(m x
n)
. B(n x p) = C(m x p)
3º) Notemos que, se A se A é é do tipo m x n e B é do tipo n x p, p, com p com p diferente diferente de m, então A.B então A.B existe, mas B.A B.A não não existe.
Matriz Transposta Seja A Seja A uma uma matriz m x n. A (indica-se Denomina-se matriz transposta de transposta de A (indica-se por A por AT ) a matriz n x m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A de A.. Exemplo:
6 2 A 4 5
⇒
6 2
AT
4
5
Notamos que, se A se A é é de ordem m x n, n, então A então AT é de ordem n x m e b j i = ai j . Propriedades da matriz transposta: I. (AT)T = A II. ( . A)T =
. AT
III. (A + B) T = AT + BT IV. (A . B)T = BT . AT
Matriz Simétrica
2 Observe a matriz A matriz A seguinte seguinte e sua transposta A transposta AT : A 3 5
3 4 8
2 T 8 e A 3 9 5 5
3 4 8
8 9 5
Comparando, vemos que A = AT . Quando isso acontece, dizemos que A que A é é matriz simétrica. Dada uma matriz quadrada A quadrada A = (ai j ) n, dizemos que A que A é é matriz simétrica se, e somente se, ai j = a j i , para todo 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n . Matriz antissimétrica
4 5 0 0 4 5 Observe as matrizes quadradas quadradas a seguir: A 4 0 8 e AT 4 0 8 0 5 8 0 5 8
AT . Quando isso acontece, dizemos que A Comparando, vemos que A = – A que A é é matriz antissimétrica. antissimétrica. Note que cada elemento ai j é o oposto de a j i . Assim, definimos: Dada uma matriz quadrada A quadrada A = (ai j ) n, dizemos que A que A é é matriz antissimétrica se, e somente se, ai j = – a a j i , para todo 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n .
Matriz Inversa Seja A Seja A uma uma matriz quadrada de ordem n. A é dita invertível ou inversível se existir uma matriz B tal que: A . B = B . A = In Neste caso, B é dita inversa de A de A e e indicada por A por A– 1. Exemplo:
2
A inversa de A
4
0 1 / 2 A é 3 2 / 3 1 / 3 0
1
pois
MAS COMO É QUE POSSO ENCONTRAR A MATRIZ INVERSA?
. . − = −. =
Somente matrizes quadradas são invertíveis. Sendo A Sendo A,, quadrada e de 2ª ordem, sua inversa será do mesmo tipo, daí:
− = . . − = , logo, vamos “montar” a multiplicação: 2 . + 0 . = 1 2 . + 0 . = 0 4. + (3) (3).. = 1 4. + (3) (3).. = 0 2 0 1 0 4 3 0 1 1 2 = 1 ⇒ = 2 2=0 ⇒ = 0 43=0 43=1 ⇓ ⇓ 13=0 4 .0 . 0 3=1 1 0 4 . 2 − = 22 1 3=1∴ 3=1 ∴ = 13 3 3 2=3 ∴ = 23 Sabemos que
Exercícios Diversos
a) =
= 3. 3. 2. + 4 3.1 2.2 2.2 + 4 = 3 = 3.1 3.1 2.1 2.1 + 4 = 5 = 3.1 = 3.2 3.2 2.1 2.1 + 4 = 8 = 3.2 3.2 2.2 2.2 + 4 = 6 = 3.3 3.3 2.1 2.1 + 4 = 11 = 3.3 3.3 2.2 2.2 + 4 = 9 5 3 = 8 6 11 9
Exercícios Diversos
b) = = 3.1 3.1 + 2.1 2.1 5 = 0 = 3.2 3.2 + 2.1 2.1 5 = 3 = 3.3 3.3 + 2.1 2.1 5 = 6
= 3. 3. + 2. 5 = 3.1 3.1 + 2.2 2.2 5 = 2 = 3.2 3.2 + 2.2 2.2 5 = 5 = 3.3 3.3 + 2.2 2.2 5 = 8 0 2 4 = 3 5 7 6 8 10
= 3.1 3.1 + 2.3 2.3 5 = 4 = 3.2 3.2 + 2.3 2.3 5 = 7 = 3.3 3.3 + 2.3 2.3 5 = 10
3 +2 +2 = 7 3 + 2 2 = 7 2 ⇒ 3+2=7 ⇒ 3 3+3=3 2 3 3 2 3 33=3 5=10 ∴ = 2 ⇓ 3+2.2=7 ∴ = 1
a) = = 0 0 0 b) = 0 0
0 0 0 1 0 0 0 = 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 3 0
0 2 0 0 0 = 0 4 0 0 0 6 0 0 0 4
1++=9 ⇒ 1 + 3 + = 9 =3 4=8 ⇓ =2 = 3 .2 =6
3.1 3. 1 1 3.1 3. 1 2 2 1 = = 3.2 ∴ = 3. 2 1 3.2 3. 2 2 5 4 3.3 3.3 1 3.3 3.3 2 8 7 2 1 2 1 4 2 a) + = 5 4 + 5 4 = 10 8 8 7 8 7 1 6 14 0 0 2 1 b) + 0 0 = ∴ = 5 4 0 0 8 7
+ = 0 ⇒ = = + () 3 1 2 = 2 + 2 ∴ = 0 5 4 1
= 10 01 01 10 = 10 01 + 10 10 ∴ = 11 11
2 1 1 4 2 1 0 2 0 2. 2 1 2 . 1 0 = 4 2 + 12 0 = 2 12 0 1 4 1 = 4 2 0 = 72 2 2
4 3
2+4=8 1 2 4 ⇒ +2=4 ⇒ 2+=3 2+=3 2 1 3 ⇓ 5=5 ∴ = 1 2+1=3 2=31 2=4 ∴ = 2 Produto
. = 2 . 1 = 2
2 ⇒ 2 +6 = 0 1 0 ⇒ 2 + = 0 6=0 ⇒=6 3 1 0 2=6 ∴ = 3 . = 3 .6 = 18
= 11 20 ⇒ = 101 1221 1 0 1 0 1 2
1 2
=1. 1 + 0 .0 . 0 = 1 + 0 = 1 =1. 1 + 2 .0 . 0 =1+0 = 1 = 1. 1 + 0 .2 =1+0 = 1 = 1. 1 +2 .2 = 1 + 4 = 5
1 1 1 5
. .
d) O produto é possível, pois o número de colunas de é igual ao número de linhas de , e esse produto resulta numa matriz que pode ser somada à que é do mesmo tipo.
3×3
a) Apesar de ser possível calcular , pois é uma matriz matriz quadrada, quadrada, é impossível somar e que são matrizes diferentes diferentes tipos.
.
3×3
b) O produto é possível, pois o número de colunas de é igual ao número de linhas de , porém esse produto resulta numa matriz que não pode ser somada à que é do tipo .
2×3
.
2×3
c) O produto é possível, pois o número de colunas de é igual ao número de linhas de , porém esse produto produto resulta numa matriz que não pode ser somada à que é do tipo .
3×2
e) Não é possível somar , do tipo
3 × 3 à , do tipo 2 × 3.
ISERJ – 2014 Professora Telma Castro Silva
