PRIMERA UNIDAD ANALISIS COMBONATORIO Y PROBALIDADES OBJETIVO GENERAL https://www.youtube.com/watch?v=FCIxoxCUCGc https://www.youtube.com/watch?v=ynxsVxVZ9Vw https://es.scribd.com/doc/276584039/Edward-de-Bono-las-4-Ruedas-DelPensamiento-Humano https://books.google.com.pe/books/about/M%C3%A1s_all %C3%A1_de_la_competencia.html?id=9N8EmZY-CIQC
Al término de esta unidad del alumno estará en capacidad de poder realizar permutaciones, variaciones y combinaciones de grupos de finitos-Calcular probabilidades de eventos independientes y dependientes – Calcular la esperanza matemática y sus mediadas de dispersión.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
CONTENIDO
Sabrá realizar técnicas de conteo de utilizando formulas se podrá realizar permutaciones y combinaciones.
-Generalidades-Factorial un número. -Técnicas de concepto. -Permutación y combinación.
Calcular probabilidad de eventos posibles.
-Experimento aleatorio. -Espacio muestral. -Evento o suceso. -Definición en probabilidades de la ocurrencia y no ocurrencia de eventos.
Calcular la esperanza matemática o el valor esperado.
Concepto de variable aleatorio. Función aleatoria.
Determinar la mediada de dispersión como la varianza y desviación del estándar.
-Cálculo de la esperanza matemática. -Cálculo de la varianza y desv. -Estándar o típica.
ANALISIS COMBINATORIO Y PROBALIDADES
GENERALIDADES. Es la parte de algebra que estudia las diversas formas o modos de Arreglar, seleccionar todos o algunos de los elementos de un conjunto que se encuentra ordenado o desordenado. 1.1 FACTORIAL DE UN NÚMERO Es el producto de todos los números consecutivos que comiencen desde la unidad el mismo número inclusive, como por ejemplo: Así: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 Esto es: 6Ị = 720 Por lo tanto: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 6Ị = 720 SIMBOLOGÍA (nỊ) se lee Factorial de n →nỊ = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) (3Ị) se lee Factorial de 3 → 3Ị = 3 x 2 x 1 (6Ị) se lee Factorial de 6 → 6Ị = 6 x 5 dx 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Observación: Notamos que el factorial de cualquier número es el producto en forma ascendente o descendente por tanto tenemos 6Ị = 1 x 2 x3 x 4 x 5 x6 = 6x5x4x3x2x1 = 720 se lee el factorial de 6 es 720
Ejemplos 1) 2Ị + 5Ị + 3Ị = 2 + 120 + 6 = 128 2) 7Ị - 2Ị - 5Ị = 5040 - 2 -120 = 4918 3) 1Ị - 1Ị + 0Ị = 1 – 1 + 1 = 1 4) (3Ị + 4Ị)(5Ị - 0Ị) = (6 + 24 )(120 – 1)= (6 + 24 )(120 – 1)= 3570
PROPIEDADES El factorial de 0 es igual a uno → 0Ị = 1 El factorial de 1 es igual a uno
→ 1Ị = 1
El factorial de un negativo no existe → (-3) Ị no existe Observar que (-2) Ị no existe mientras que 2Ị =-1 x 2 = -2 por tanto (-2) Ị =-2Ị
TÉCINICAS DE CONTEO
Es un método práctico que se utiliza para conocer el número de resultados posibles de un experimento Ejemplo 1: Cuantas placas de carros se podrán fabricaron con las siguientes características si utilizamos dos letras diferentes y dos dígitos de los cuales la primera no puede ser cero.
Ejemplo 2: Supóngase a ud. le toca marcar productos con las siguientes características 2 letras diferentes y un digito sin contar el cero, cuantos productos serian.
1.2 PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN
PERMUTACIÓN Definición.- Se llaman permutaciones de n elementos a los grupos de objetos que se puede formar de modo que: 1) En cada grupo entren todos los elementos, (n) elementos. 2) Dos grupos se consideran distintos, cuando difieren en el orden en que van colocados.
Obs.: También se le denomina como un arreglo ordenado de grupos. Asi las permutaciones que se pueden tomar con las letras (a,b,c).
Utilizando el diagrama de árbol tendremos los resultados:
Solamente hay 6 grupos, que puede hacer con la técnica del conteo porque hay 3 letras que deseamos formar grupos de 3. Así:
FORMULAS QUE SE UTILIZAN EN PERMUTACIONES
1) P(n, n)
=
n!
2) P(n, k)
=
n! ( n−k ) !
3) P(n, k)
=
nk
4) P(n, k, r, s)
=
n! k! r! s!
5) P(n )
=
( n−1 ) !
⇒
Grupos total
⇒ ⇒
Grupos con repetición
⇒
⇒
Grupos sin repetición
Grupos repetidos
Forma circular
Ejemplos: 1.- ¿De cuantas maneras pueden ser ordenados en filas 3 libros diferentes en un estante?
2.- ¿Cuántos números de 2 cifras pueden formarse con los números: 1, 2, 3, 4 y 5? a) Si los dígitos no pueden repetirse. b) Si los dígitos pueden repetirse.
3.- ¿Cuántas permutaciones se puede realizar en la palabra ESTADISTICA?
4.- ¿Cuántas maneras 3 hombres y 3 mujeres, pueden sentarse alrededor de una mesa, si no hay ninguna restricción?
COMBINACIÓN
Definición.- Se llaman combinaciones de “n” objetos tomados en “k” grupos (siendo el número natural k ≤ n), a los grupos que se puede formar utilizando la formula a base de factorial. n
C k=
n! k ! ( n−k ) !
En cada grupo entran “k” de los “n” objetos. Dos grupos se consideran distintos cuando difieren en alguno de los objetos que lo forman.
Ejemplo: Si se tiene los elementos a, b, c, d, e, tomados de dos en dos. Cuantas combinaciones se podrán realizar.
Observación: El coeficiente binomial es una fracción que está determinado por el factorial de su denominador, tiene la forma de:
(❑nk )=
n ( n−1 )( n−2 ) ..(n−k +1) k!
En si es la misma combinatoria pero su aplicaciones más efectiva. Ejemplo: Resolver el siguiente coeficiente binomial
(❑32 ) .
DIFERENCIA ENTRE CONVINACIONES Y VARIACIONES
Las combinaciones se diferencian por sus elementos y las variaciones por el orden de los mismos.
Ejemplo: Dado el conjunto A =
{ a , b , c ,d } , calcular las variaciones y las combinaciones de
los elementos de “A” tomados de 3 en 3 a la vez:
COMBINACIONES
VARIACIONES
abc
abc, acb. bac. bca. cab. cba
abd
abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd
acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
Ejemplos: 1.- En Gerente de BANCOSUR desea formar un comité compuesto por 3 administradores y 2 contadoras de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres.
2.- Si tenemos 55 grupos formados en grupos de 2, para representar en un evento. ¿Cuántas personas hablan antes de formarse los comités?
EJERCICIOS 1.- Cuantos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3,4, 5, así: a) Los dígitos no pueden repetirse. b) Los dígitos si pueden repetirse.
2.- Una orquesta debe interpretar tres piezas musicales, escogidas de un total de 7. Hallas el número de maneras que puede ejecutarlo.
3.- Un Ing. de Producción debe visitar cuatro talleres en una planta industrial en la mañana y cinco en la tarde. Como el factor sorpresa es importante, averiguar en cuantas formas pueden disponer sus visitas para evitar la rutina. 4.- ¿De cuantas formas pueden dos hombres tres mujeres sentarse alrededor de una mesa si no se impone ninguna restricción?
5.- El Servicio de inteligencia de la Marina desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: A , B , C , D , E , F ¿Cuántas palabras claves de cuatro letras se pueden formar? a) Sin repetición. b) Con repetición:
6.- De doce libros. ¿Cuántas selecciones de cinco libros pueden hacerse?
7.- Hay diez administradores en la empresa “BETA S.A.” y cuatro deben ser seleccionados al azar para concurrir a un curso de capacitación. ¿Cuántas combinaciones de administración son posibles?
8.- Un alumno de la Facultad de Administración tiene que contestar 8 de diez preguntas en un examen de Estadística II ¿Cuantas maneras de escoger tiene?
9.- Diez invitados a un almuerzo se han dividido en dos grupos de cinco para ocupar dos mesas. ¿Cuántas maneras diferentes hay para ordenar a los individuos?
10.- Una profesora debe nombrar un comité de cuatro muchachos y tres muchachas entre los estudiantes. Debe de escogerlo entre un grupo de ocho hombres y seis mujeres. ¿Cuántos comités diferentes se pueden nombrar?
11.- De cuantas maneras pueden ordenarse 7 libros en un estante si 3 libros determinados deben estar juntos.
1.3 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS
ESPACIO MUESTRAL Es un conjunto de puntos que son los resultados de un experimento aleatorio se representa con la letra griega omega ( Ω ¿ . Ejemplo: Se lanza tres monedas se desea saber cuál es el espacio de posibles resultados
c c s
c s s
Ω=
c
ccc
s
ccs
c
csc
s
css
c
scc
s
scs
c
ssc
s
sss
{ ccc , ccs , csc , css , scc , scs , ssc , sss } es el espacio muestral. Por lo tanto hay 8
puntos o resultados. EVENTO O SUCESO En un sub conjunto del espacio muestral, generalmente representamos utilizando letras mayúsculas A, B, C, etc.
A ⊂Ω( A esta contenido en Ω) OCURRENCIA DE UN SUCESO Se dice que un evento ocurre cuando se espera que suceda
NO OCURRENCIA DE UN SUCESO
Se dice que un evento no ocurre cuando los resultados no pertenece al suceso, representamos A’ (Complemento de A)
REPRESENTACION DE LA OCURRENCIA Y NO OCURRENCIA OCURRE
NO OCURRE
A A
Ejemplo. Se lanza un dado determinar el suceso de obtener números pares. Solución:
A= { 2, 4,6 }
Si ocurrió el suceso porque son números pares.
A '= {1, 3, 5 }
No ocurrió el suceso porque son números impares.
CLASES DE EVENTOS: Evento Posible.- Cuando se espera que suceda el evento. Evento Imposible.- Cuando no se espera que suceda el evento. Evento Seguro.- Cuando va a suceder seguro puesto que el evento siempre se realiza.
PROPIEDADES: Unión de dos eventos A y B cuando ocurre una de las alternativas sucede A, o sucede B ó suceden ambas.
( A ∪ B)
Intersección de dos eventos A y B se realiza cuando ocurre si multáneamente ambos eventos.
( A ∩B)
Diferencia de dos eventos A y B cuando los resultados de a no están en B.
( A−B) '
Complemento de un evento A cuando los resultados son los que no están en A. ( A )
1.4 PROBABILIDADES DE EVENTOS
PROBABILIDADES Definición.- La probabilidad de un evento es la razón que existe entre los puntos del evento y los puntos del espacio muestral. También se dice es el cociente que existe entre los casos posibles de un evento sobre el total de casos.
EXPERIMENTO ALEATORIO Es el proceso mediante el cual se obtiene resultados favorables (éxitos) o desfavorables (fracaso).
FORMULAS QUE SE UTILIZAN PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD
1¿ P ( A )=
n ( A) ⇒ Formulade probabilidades n ( Ω)
2 ¿ P ( A ó B )=P ( A ) + P ( B ) ⇒ Eventos excluyentes 3 ¿ P ( A ó B ) =P ( A )+ P ( B )−P( A ∩ B)⇒ Regla Aditiva 4 ¿ P ( A y B ) =P ( A ) x P (B)⇒ Formula de probabilidades
PROPIEDADES: *La probabilidad de un evento está entre 0 y 1. *La probabilidad de un evento imposible es 0. *La probabilidad de un evento seguro es 1. Ejemplo:
La probabilidad de que un comerciante venda dentro de un mes un lote de radios es de ½ y un lote de TV es 1/4. Hallar la probabilidad de que el mes siguiente; a) b) c) d)
Venda radios y Tv Venda al menos uno de los dos lotes. No venda ninguno de los lotes. Solamente venda el lote de radios y no de tv.
EJERCICIOS
1.- Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad que salga 3?
2.- Si en una urna hay 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules. Si se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener roja o blanca?
3.- calcular la probabilidad de obtener As o corazón en una baraja de 52 cartas.
4.- Calcular la probabilidad de extraer dos veces cara en el lanzamiento de una moneda.
5.- En una caja hay3 bolas blancas, 2 bolas negras. ¿Cuál es la Probabilidad de que ambas sean negras?
6.- En una caja hay 8 bolas rojas, 3 blancas t 2 azules, si se extraen 3 al azar determine la probabilidad de que: a) los 3 sean rojos b) los 3 sean blancos
7.- Se lanza 1 par de dados y la suma a + b = 6. Hallar la P que uno sea 2.
1.5 VARIABLES ALEATORIAS
VARIABLE ALEATORIA Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados posibles de un experimento aleatorio. En otras palabras la variable aleatoria obedece la función que asignamos para poder determinar la ocurrencia de un suceso. Ejemplo: Supongamos que se lanza dos monedas y ordenamos a “X” obtener el número de caras que aparece. Determinar la variable aleatoria. Solución: 1) Armamos el espacio muestral y sus posibles resultados del exprimento. Resultados posibles:
Ω= { cc , cs , sc , ss } espacio muestral.
Resultados posibles:
c
c
cc
2
s
s
cs
1
c
c
sc
1
s
s
ss
0
c
s
Entonces X será: X =
{ 0,1,2 } consiste en observar el espacio muestral
Ejemplo: Si la variable aleatoria asume los valores de 0, 1, 2 con una probabilidad de ocurrencia de 1/4; 2/4; ¼ representa gráficamente.
Ejemplo: En una clínica la atención del cáncer mamario se registró en una día cualquiera. Distribuir la probabilidad entre el número de pacientes y el número de días que se atendió. # de Personas
# de días de atención
100 101 102 103 104 105 106 107
5 1 8 2 8 10 6 4
1.6 ESPERANZA MATEMATICA, VARIANZA Y DESVI.ESTANDAR
VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMATICA Definición.- Es la sumatoria del producto de la variable aleatoria y la probabilidad, conocido con el nombre de promedio cuya fórmula es la siguiente.
E ( xVARIANZA )=∑ x . p(x ) Definición.- es la dispersión que existe con respecto a la media aritmética cuya fórmula es la siguiente:
x 2 . p ( x )−¿ ( ∑ x . p(x))
2
V ( x ) =∑ ¿ DESVIACION ESTANDAR Definición.- Se llama deviación estándar a la variable aleatoria X a la raíz cuadrada positiva de la varianza cuya fórmula es la siguiente:
x 2 . p ( x )−¿ ( ∑ x . p(x))
2
D . E ( x )=V ( x )=∑ ¿ Ejemplo: Hallar la esperanza matemática, varianza y la desviación estándar de lanzar una moneda tres veces y observar el número de caras.
Ejercicios Resueltos: 1.- Hallar la desviación estándar de la siguiente tabla. x
-10
-20
-30
p(x)
1/5
3/10
1/2
2.- Si se lanza un dado legal y asignamos a “X” como el doble del número que aparece y además a “Y” como el triple del número que aparece. Hallar E (X+Y) 3.- Hallar la esperanza matemática
E=| x−μ2| de la siguiente tabla adjunta (µ es el
promedio). x
8
12
16
20
24
p(x)
1/8
1/6
3/8
1/4
1/12
4.- Hallar la Esperanza Matemática de la siguiente tabla. x
-1
0
-1
2
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
5.- Si “X” representa los posibles valores que se obtiene al lanzar un dado. Hallar la Esperanza matemática de
E(2 x 2−5)
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ANALISIS COMBINATORIOS 1.- Evaluar las siguientes factoriales:
a ¿ 3 !+ 4 !−2!
b ¿ 4 (3−1 ) !−3 ( 4−2 ) ! c ¿3 ( 0 !+ 1! )−3 ! d¿
14 (12!)(13 !)(10 !) (11 ! )( 12 ! ) (14 !)
e¿
4 (3 !−2 ) !+2 ! 2 !(0!−1 !)
2.- Siguiendo con el grupo de tres elementos electrónicos que deben ensamblarse en cualquier orden. De cuantas formas diferentes pueden reunirse.
3.- En cuantas formas pueden escogerse cuatro interruptores buenos y dos defectuosos de un lote que contiene 20 interruptores buenos y cinco defectuosos.
4.- Entre las ciudades de LIMA y CHOSICA hay cuatro caminos diferentes y entre CHOSICA y MATUCANA hay tres caminos distintos. De cuantas maneras se puede viajar entre LIMA a MATUCANA.
5.- En el Departamento de Archivos y Créditos del BANCO LATINO laboran 10 profesionales y solo 4 deben ser seleccionados para ocurrir a un curso de capacitación. Cuantas comisiones se podrá formar.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROBABILIDADES 1.- La probabilidad de que un comerciante venda dentro de un mes un lote de radios es 1/3 y un lote de TV es 1/5. Hallar la probabilidad de que al mes: a) Venda radios y TV b) Venda al menos uno de los lotes. c) No venda ninguno de los dos lotes. d) Solamente venda el lote de radios y no te TV.
2.- Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos. Si se toman 3 artículos al azar uno tras otro. Cuál es la probabilidad de que los tres estén buenos. 3.- Si se lanza un dado cual es la probabilidad de obtener número par. 4.- Si se lanza un par de dados cual es la probabilidad de obtener dos números que sean iguales e impares. 5.- Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Hallar la probabilidad de que se extraiga una de cada color (usa Combinatoria).
EJERCICIOS PROPUESTOS DE VARIABLES ALEATORIAS 1.- Si se lanza un dado legal, designamos a X como variable aleatoria como el doble del número que aparece hallar la esperanza matemática. 2.- Un contratista hace las siguientes estimaciones para terminar una obra de la siguiente manera en 10 días avanzara 30%, en 15 días el 20% y el resto de la obra en 22 días. En cuantos días se espera que concluya la obra. 3.- Un inversionista se da cuenta que tiene la probabilidad del 40% de obtener una utilidad de $25 000 y una probabilidad de perder $ 15 000. Que le espera a este inversionista. 4.- Un hombre compra una papeleta de rifa en la que puede ganar un premio de $5 000 ó un segundo premio de $ 2 000 para ganar el primer premio tiene una probabilidad de 0,001 y de 0,003 para el segundo premio. Cuál será el precio justo de pegar la papeleta de la rifa.
5.- Hallar la desviación estándar de y = (x.y) /2 que resulta de lanzar un dado legal en donde las variables X asignamos como el triple de número que aparece, a la variable Y como el doble del número que aparece.
PRUEBA AUTOEVALUATIVA: I UNIDAD
1.- ¿De cuantas formas pueden cinco personas sentarse en un sofá que solamente tiene 3 asientos? a) 30
b) 50
c) 40
d) 80
e) 60
2.- De cuantas maneras pueden sentarse en una mesa redonda 6 ejecutivos sin interesar el orden. a) 120
b) 140
c) 110
d) 150
e) 100
3.- Cuantas combinaciones se pueden realizar entre 14 personas agrupadas en grupos de 5. a) 2020
b) 2000
c) 2200
d) 2002
e) 2022
4.- Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas si las 2 primeras son obligatorias de cuantas maneras podrá contestar. a) 28
b) 25
c) 29
d) 22
e) 27
5.- Un jefe de planta debe nombrar un comité formado por 4 muchachos y 3 muchachas de un grupo de 8 hombres y 6 mujeres. Cuantos comités podrá formarse. a) 1419
b) 1040
c) 1400
d) 1914
e) 1004
6.- En una caja hay 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 azules cual es la probabilidad de que no sean rojas. a) 0,50
b) 0,60
c) 0,30
d) 0,80
e) 0,20
7.- Si se lanza un dado legal, designamos a X la variable aleatoria como el doble del número que aparece hallar la varianza. a) 16,17
b) 11,16
c) 11,67
d) 17,11
e) 11,17
8.- Si se lanza un dado legal, designamos a X la variable aleatoria como el doble del número que aparece hallar la desviación estándar.
a) 4,31
b) 3,14 x
c) 1,34 1
d) 4,13
3
5
e) 3,41
7
9.Un p(x) contratista 0,10 0,25 0,35 0,30 hace las siguientes estimaciones para terminar una obra de la siguiente manera en 20 días avanzara el 30%, en 25 días el 20% y el resto de la obra en 14 días. En cuantos días espera que se construya la obra. a) 18 días
b) 15 días
c) 22 días
d) 26 días
e) 20 días
10.- Un inversionista se da cuenta que tiene la probabilidad del 60% de obtener una utilidad de $25 000 y una probabilidad de perder $ 15 000, cuanto espera ganar el inversionista. a) $9000
b) $8000
c) $5000
d) $7000
e) $6000
11.- Hallar la varianza de la siguiente distribución.
a) 5
x
2
4
6
8
10
p(x)
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
b) 8
c) 6
d) 9
e) 3
12.- Hallar el valor esperando de la tabla.
a) 4,3
b) 4,7
c) 4,1
d) 4,9
e) 4,6
13.- Hallar la desviación estándar de la tabla adjunta
a) 1,40
x
1
2
3
4
5
p(x)
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
b) 1,42
c) 1,44
d) 1,41
e) 1,47
14.- Hallar la varianza en la tabla
a) 3,4
x
0
2
4
6
p(x)
0,10
0,25
0,35
0,30
b) 3,5
c) 3,6
d) 3,7
e) 3,8
15.- Hallar la desviación estándar de la tabla
a) 3,72
x
0
5
8
9
p(x)
0,10
0,35
0,25
0,30
b) 4,57
c) 2,78
d) 5,83
e) 2,73
