Elementos y características de los grafos Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, vértices, a estos también también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o ms aristas, pero toda arista debe unir e!actamente a dos vértices. vértices. "os grafos representan representan conjuntos conjuntos de objetos objetos #ue no tienen restricci$n restricci$n de relaci$n entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc. "a notaci$n G % A &V, &V, A' se util utili( i(a a com) com)nm nmen ente te para para ident identifific icar ar un graf grafo. o. "os "os graf grafos os se cons constititu tuye yen n principalmente de dos partes* las aristas, vértices y los caminos #ue pueda contener el mismo grafo.
Composición de un grafo Aristas +on las líneas con las #ue se unen las aristas de un grafo y con la #ue se construyen también caminos. +i la arista carece de direcci$n se denota indistintamente a, b- o b, a-, siendo a y b los vértices vértices #ue une. +i a, b- es una arista, arista, a los vértices vértices a y b se les llama sus e!tremos. Aris Arista tass Ady Adyacen acente tes* s* +e +e dice dice #ue #ue dos dos aris aristas tas son son adyac adyacen ente tess si conv conver erge gen n en el mismo vértice. Aris Arista tass /ara /arale lela las* s* +e +e dice dice #ue #ue dos dos ari arist stas as son son par paral alel elas as si si vért vértic ice e inic inicia iall y el fin final al son el mismo.
Aris Arista tass íc íclilica cas* s* Arist rista a #ue #ue par parte te de de un vért vértic ice e par para a entr entrar ar en en el mism mismo. o.
ruc ruce* +on +on dos dos aris ristas tas #ue #ue cru( ru(an en un punt punto. o. Vért Vértiices ces
+on los puntos o nodos con los #ue est conformado conformado un grafo. "lamaremos "lamaremos grado de un vértice al n)mero de aristas de las #ue es e!tremo. +e dice #ue un vértice es 1par2 o 1impar2 seg)n lo sea su grado. Vért Vértic ices es Adya Adyace cent ntes es** si si ten tenem emos os un par par de de vér vértitice cess de de un un gra grafo fo &U, &U, V' V' y si tene tenemo moss una arista #ue los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice #ue U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
Vértice Aislado ado* Es Es un un vé vértice de de gr grado ce cero.
Vértice 3erminal* Es Es un vé vérti rtice de gr grado 4. 4.
Tipos de grafos /odemos clasificar los grafos en dos grupos* dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices #ue representa un arco no est ordenado. /or lo tanto, los pares &v4, v5' y &v5, v4' representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco est
representado por un par ordenado de vértices, de forma #ue y representan dos arcos diferentes. Ejemplo* G4 % &V4, A4'V4 % 4, 5, 6, 7- A4 % &4, 5', &4, 6', &4, 7', &5, 6', &5, 7', &6, 7'-G5 % &V5, A5'V5 % 4, 5, 6, 7, 8, 9- A5 % &4, 5', &4, 6', &5, 7', &5, 8', &6, 9'-G6 % &V6, A6'V6 % 4, 5, 6 A6 % :4, 5;, :5, 4;, :5, 6; -
Un grafo es bipartido si V%V4?V5 y cada arista de E une un vértice de V4 y otro de V5 @Grafo bipartido completo >Un grafo es bipartido completo si V%V4?V5 y dos vértices de V estn unidos por una arista de E si y solo si un vértice est en V4 y el otro en V5. +e denota por r, sal grafo bipartido completo donde V4 tiene r vértices y V5 tiene s vértices Grafos planos. Un grafo plano es a#uel #ue puede ser dibujado en el plano sin #ue ninguna arista se interse#ue. Grafos cone!os. Un grafo es cone!o si cada par de vértices est conectado por un camino= es decir, si para cual#uier par de vértices &a, b', e!iste al menos un camino posible desde a Bacia b Grafo ponderado. Un grafo es ponderado si presenta los pesos de cada arista y se puede determinar la longitud de una ruta, la cual es la suma de todos los pesos de las aristas.
Representación de grafos
Catri( de adyacencia
Dado un grafo G % &V, E' con n vértices v4, ..., vn- su matri( de adyacencia es la matri( de orden nn, A&G'%&aij' donde aijes el n)mero de aristas #ue unen los vértices vi y vj. "a matri( de adyacencia de un grafo es simétrica. +i un vértice es aislado entonces la correspondiente fila &columna' est compuesta s$lo por ceros. +i el grafo es simple entonces la matri( de adyacencia contiene solo ceros y unos &matri( binaria' y la diagonal est compuesta s$lo por ceros. Catri( de incidencia Dado un grafo simple G % &V, E' con n%FVF vértices v4, ..., vny m%FEF aristas e4, ..., em-, su matri( de incidencia es la matri( de orden n!m, &G'%&bij',
donde bij%4 si vi es incidente con ej ybij%0 en caso contrario. "a matri( de incidencia s$lo contiene ceros y unos &matri( binaria'. omo cada arista incide e!actamente en dos vértices, cada columna tiene e!actamente dos unos. El n)mero de unos #ue aparece en cada fila es igual al grado del vértice correspondiente. Una fila compuesta s$lo por ceros corresponde a un vértice aislado.
Representación Matemática de los grafos En matemticas y ciencias de la computaci$n, la teoría de grafos, también llamada teoría de loas graficas estudia las propiedades de los grafos &también llamados graficas' Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices &o nodos' y una selecci$n de partes de vértices llamados aristas.
Representación Computacional de los grafos E!isten diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. "a estructura de datos, usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras ms sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices y aun#ue frecuentemente se usa una combinaci$n de ambos.
Algoritmos de recorrido y búsqueda Algoritmos de recorrido y búsqueda El camino más corto El problema de los caminos ms cortos es el problema #ue consiste en encontrar un camino entre dos vértices &o nodos' de tal manera #ue la suma de los pesos de las aristas #ue lo constituyen es mínima. ABora bien, podemos emplear el algoritmo de DijHstra para éstos casos, los pasos o procedimientos a seguir para éste algoritmo son los siguientes* 3eniendo un grafo dirigido ponderado de I nodos no aislados, sea ! el nodo inicial, un vector D de tamaJo I guardar al final del algoritmo las distancias desde ! al resto de los nodos. 4. Kniciali(ar todas las distancias en D con un valor infinito relativo ya #ue son desconocidas al principio, e!ceptuando la de ! #ue se debe colocar en 0 debido a #ue la distancia de ! a ! sería 0. 5. +ea a % ! &tomamos a como nodo actual'. 6. Lecorremos todos los nodos adyacentes de a, e!cepto los nodos marcados, llamaremos a estos vi 7. +i la distancia desde ! Basta va guardada en D es mayor #ue la distancia desde ! Basta a, sumada a la distancia desde a Basta vi= esta se sustituye con la segunda nombrada. 8. Carcamos como completo el nodo a.
9. 3omamos como pr$!imo nodo actual el de menor valor en D &puede Bacerse almacenndolos valores en una cola de prioridad' y volvemos al paso 6 mientras e!istan nodos no marcados.
Algoritmos de recorrido y búsqueda A lo ancho "a b)s#ueda en ancBura es otro procedimiento para visitar sistemticamente todos los vértices de un grafo. Es adecuado especialmente para resolver problemas de optimi(aci$n, en los #ue se deba elegir la mejor soluci$n entre varias posibles. Al igual #ue en la b)s#ueda en profundidad se comien(a en un vértice v &la raí(' #ue es el primer vértice activo. En el siguiente paso se eti#uetan como visitados todos los vecinos del vértice activo #ue no Ban sido eti#uetados. +e contin)a eti#uetando todos los vecinos de los Bijos de v &#ue no Bayan sido visitados a)n'. En este proceso nunca se visita un vértice dos veces por lo #ue se construye un grafo sin ciclos, #ue ser un rbol
Algoritmos de recorrido y búsqueda En profundidad En la b)s#ueda en profundidad se avan(a de vértice en vértice, marcando cada vértice visitado. "a b)s#ueda siempre avan(a Bacia un vértice no marcado, internndose MprofundamenteN en el grafo sin repetir ning)n vértice. uando se alcan(a un vértice cuyos vecinos Ban sido marcados, se retrocede al anterior vértice visitado y se avan(a desde éste
Arboles En teoría de grafos, un rbol es un grafo en el #ue cuales#uiera dos vértices estn conectados por e!actamente un camino. Un rbol a veces recibe el nombre de rbol libre. Definiciones Un rbol es un grafo simple unidireccional G #ue satisface alguna de las siguientes condiciones e#uivalentes*
G es cone!o y no tiene ciclos.
G no tiene ciclos y, si se aJade alguna arista se forma un ciclo.
G es cone!o y si se le #uita alguna arista deja de ser cone!o.
G es cone!o y el grafo completo de 6 vértices no es un menor de G.
Dos vértices cual #uiera de G estn conectados por un )nico camino simple.
+i G tiene mucBos vértices, n, entonces las definiciones anteriores son también e#uivalentes a cual#uiera de las siguientes condiciones* G es cone!o y tiene n @ 4 aristas.
G es cone!o y sin ciclos.
uales#uiera 5 vértices estn unidos por una )nica trayectoria
Propiedades del árbol 3odo rbol es a su ve( un grafo bipartito. 3odo rbol con s$lo un conjunto numerable de vértices es adems un grafo plano. 3odo grafo cone!o G admite un rbol de e!pansi$n, #ue es un rbol #ue contiene cada vértice de G y cuyas aristas son aristas de G. Dado n vértices eti#uetados, Bay n n@5 maneras diferentes de conectarlos para construir un grafo. El resultado se llama f$rmula de ayley. El n)mero de rboles con n vértices de grado d4,d5,...,dn es* un coeficiente multinomial. ontar el n)mero de rboles no eti#uetados es un problema complicado. De BecBo, no se conoce ninguna f$rmula para el n)mero de rboles t&n' con n vértices &debe entederse a#uí el n)mero de rboles diferentes salvo isomorfismo de grafos'. "os primeros valores de t&n' son 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 44, 56, 7O, 409, 568, 884, 4604, 648P, ... &sucesi$n A000088 en QEK+'. Qtter &4P7R' prob$ #ue Una f$rmula ms e!acta para el comportamiento asint$tico de t&n' implica #ue Bay dos n)meros a y S &a T 6 y S T 0.8'
Clasicación de arboles Un rbol binario es una estructura de datos en la cual cada nodo siempre tiene un Bijo i(#uierdo y un Bijo derecBo. Io pueden tener ms de dos Bijos &de aBí el nombre binario'. +i alg)n Bijo tiene como referencia a null, es decir #ue no almacena ning)n dato, entonces este es llamado un nodo e!terno. En el caso contrario el Bijo es llamado un nodo interno. Usos comunes de los rboles binarios son los rboles binarios de b)s#ueda, los montículos binarios y odificaci$n de
Componentes de un árbol Es una estructura jerr#uica aplicada sobre una colecci$n de elementos u objetos llamados nodos, de los cuales uno es conocido como raí(, adems se crea una relaci$n de parentesco entre los nodos dando lugar a términos como padre, Bijo, Bermano, antecesor, sucesor, ancestro, etc. Un rbol es una estructura #ue est compuesta por un dato y varios rboles. Dado un nodo cual#uiera de la estructura, podemos considerarlo como una estructura independiente, es decir un nodo cual#uiera puede ser considerado como la raí( de una rbol completo. En relaci$n con otros nodos*
Iodo /adre* Iodo #ue contiene un puntero al nodo actual. En un rbol un nodo solo puede tener un nodo padre.. es padre de W sí y solo sí el nodo apunta a W, también se dice #ue es antecesor de W. Iodo
Ledes teorema de flujo m!imo teorema de flujo mínimo pareos
Una Led de 3ransporte es una grafica dirigida, simple, con pesos y #ue debe cumplir las siguientes* /oseer una fuente o vértice fijo #ue no tiene aristas de entrada. /oseer un sumidero o vértice fijo #ue no tiene arista de salida El peso ij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de MijN es un numero no negativo.
Ejemplo de una red #ue parte de un punto a #ue es un Cuelle y llega a un punto ( #ue es una refinería. 3eorema de flujo m!imo. +iendo G una red de trasporte, un flujo m!imo es un flujo con valor m!imo. En general, Babr varias flujos con el mismo valor m!imo. "a idea es sencilla* comen(ar con cierto flujo inicial e incrementar de forma iterativa Basta #ue no pueda mejorarse ms. El flujo resultante ser el m!imo. /ara aumentar el valor de un flujo dado, debemos determinar un camino de la fuente al sumidero e incrementar el flujo a lo largo de ese camino. 3eorema del flujo mínimo. En lo #ue respecta a las redes, un corte es un conjunto de corte en el cual #uedando partes disjuntas del conjunto de vértices, V4 y V5 #ue, situados en la red, dejan la fuente en una de ellas y al sumidero en la otra. +e llama capacidad de un corte a la suma* apacidad &v,X' = vV4, X?V5 V4es la parte #ue contiene a la fuente V5 es la parte #ue contiene al sumidero +ea Y un flujo en G y sea &/, /' un corte en G. Entonces la capacidad de &p, p' es mayor o igual #ue el valor de Y
Yuente de informaci$n Bttp*ZZes.scribd.comZdocZ4098O9OO8ZUIKDAD@VK@Catematicas@Discretas .57Z44Z5045. . Bttp*ZZes.scribd.comZmobileZdocZ4098O9OO8 .57Z44Z5045. Bttp*ZZes.m.XiHipedia.orgZXiHiZ[rbol\&teoría\de\grafos' .57Z44Z5045. Bttp*ZZes.m.XiHipedia.orgZXiHiZLecorrido\de\rboles.57Z44Z5045. Bttp*ZZteoriadegrafos.metroblog.comZ9\9\aplicaciones\de\grafos\y\arboles
Leali(a lo #ue se te pide a' @Enlista todas las trayectorias de longitud 4 @Enlistar todas las trayectorias de longitud 5 #ue inicien en vértice 4. @Enlistar todas las trayectorias de longitud 6 #ue inicien en vértice 5 @Encontrar un ciclo #ue inicie en vértice 7 @Encontrar un ciclo #ue inicie en vértice 4
!"#T!T$T% TEC"%&'(!C% )E PARRA& INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
MATEMÁTICAS DISCRETAS 1
ALUMNO:
SERGIO ENRIQUE CHÁVEZ CHAPARRO
PROFESOR:
JUAN JOSÉ MORA VÁZQUEZ
TRABAJO:
INVESTIGACIÓN DE GRAFOS
06Z45Z5048
