Ejercicios Resueltos de Control Capitulos 2-3 (1)

Control Estadístico

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 2 EJERCICO 1: Con sus palabras y apoyándose en gráficas, conteste los siguientes incisos: a) ¿qué es la tendencia central y qué es la variabilidad de un proceso o unos datos?

La tendencia central es una característica descriptiva de una muestra de observaciones que son interpretados como valores que permiten resumir a un conjunto de datos dispersos, adopta un valor representativo para todo un conjunto de datos predeterminados. MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL: PERMITEN OBSERVAR SI UN PROCESO SE ENCUENTRA CENTRADO La variabilidad son cambios que modifican un proceso o un conjunto de datos, que posteriormente afectan al producto o al análisis de los datos. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: VARIABILIDAD DE UN PROCESO

OBSERVAR

LA

Represente de manera gráfica y mediante curvas de distribución, dos procesos con la misma variabilidad pero diferente tendencia central. Gráfica de distribución Normal, Desv.Est.=3

0.14

Media 250 300

0.12 0.10

Densidad

b)

PERMITEN

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

240

250

260

270

280 X

290

300

310



c)

Elabore la gráfica de dos procesos con la misma media pero diferente dispersión. Gráfica de distribución Normal, Media=300

0.14

Desv .Est. 3 6

0.12

Densidad

0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

d)

280

290

300 X

310

320

Represente dos procesos cuya forma de distribución sea diferente. Gráfica de distribución 0.07

Distribución Media Poisson 300 Distribución Media Desv .Est. Normal 300 6

0.06

Densidad

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

e)

250

275

300 X

325

350

¿qué significa que un proceso sea capaz? Significa que los valores que obtuvieron han caído dentro de las especificaciones inferiores y superiores. Un proceso es aquel que cumple las especificaciones decimos que es un proceso de CALIDAD esta asociada al cumplimiento de los requisitos del cliente….q cumplir las especificaciones que señalamos….



Ejemplo: Supongamos una botella de agua mineral de ½ litro contenido debe ser 500 ml±5 ml. Entonces: Especificación superior=505 ml Especificación Inferior= 495 ml Toda botella se encuentra en ese rango va cumplir con las especificaciones de calidad del atributo: Contenido Volumen. Nota.- La calidad de un producto la medimos en función de sus distintas variables: - Diámetro del envase de acuerdo al diseño - Peso del envase - Características físicas y químicas: color, sabor, ph, temperatura etc - Material de la tapa - Etc… PROCESO ES CAPAZ SI CUMPLE LAS ESPECIFICACIONES EN LOS SERVICIOS TODO DE CARACTERISTICAS….

EJERCICIO 2: Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es µ = 29.9; entonces, ¿se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones? Si se tiene una buena calidad porque está entre la tolerancia permitida. No hay muchos valores o casi nada de valores extremos que haga que pierda representatividad la media. Para tener una mejor respuesta es necesario conocer la variabilidad.


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Gráfica de distribución Normal, Media=29.9

28

0.9

32 Especificación Superior

Especificación Inferior

0.8

Desv .Est. 0.5 1

Cumple especificaciones

0.7 Densidad

0.6 0.5 0.4 0.3

NO Cumple especificaciones

0.2 0.1 0.0

26

27

28

29

30

31

32

33

X

EJERCICIO 3: ¿De qué manera afectan los datos raros o atípicos a la media? Explique su respuesta. Estos valores muy extremos hacen que la media pierda representatividad. Es decir; el valor obtenido sea muy inferior o superior a lo real.

EJERCICIO 4: Un grupo de 30 niños va de paseo en compañía de tres de sus maestras. La edad de los niños varía entre 4 y 8 años, la mitad tiene 5 años o menos. La edad que se repite más es la de 4. La edad de las tres maestras es de aproximadamente 30 años. Con base en lo anterior, incluyendo a las tres maestras, proponga un valor aproximado para la media, la moda y la mediana de la edad de los 33 paseantes. Argumente sus propuestas. Media = 11, esté valor estimado es porque al ver 3 valores muy extremos como 30 años con 4 y 8 años, esto condiciona a la media a perder representatividad. Moda = 4, es el valor que más se repite. Mediana = 5, es el valor medio. Es decir; que el 50% tiene un valor inferior a 5 años y el otro 50% tiene un valor superior a 5 años a pesar que las 3 maestras tienen un aproximado de 30 años. Esto es porque la mayor cantidad de paseantes son



menores de 5 años y las 3 maestras de 30 años aproximadamente no influyen en la mediana.

EJERCICIO 5: En una empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la media es de 4 y la mediana de 6. a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿qué número reportaría? ¿por qué? Reportaría el n° 6, porque me da el valor medio de fallas que ocurrieron en cada mes. Es decir; que el 50% de fallas es inferior a 6 y el otro 50% es superior a 6. b) ¿la discrepancia entre las media y la mediana se debió a que durante varios meses ocurrieron muchas fallas? Si, por que al ver varias fallas en unos meses y en otros meses no. Esto nos proporciona valores extremos que influyen en el análisis de los datos, perdiendo representatividad el valor de la media.

EJERCICIO 9: La desigualdad de Chebyshev y la regla empírica establece la relación entre la media y la desviación estándar. Explique esta situación y explique si sr aplica para el caso muestral, poblacional o para ambos. Si una variable aleatoria tiene una desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupen alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ. Esta desigualdad de chebyshev es aplicada para ambos casos (muestral y poblacional).



EJERCICIO 10 Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ± 3 mm. Al final del turno un inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumpla especificaciones. A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas. 199.2 200.7 200.7 200.5 200.2 202.0 200.7 198.6 199.7 199.6 198.9 199.0 199.6 199.4

199.7 201.4 200.9 201.2 201.0 201.0 201.8 200.3 199.7 199.0 198.8 199.0 199.0 198.7

201.8 200.4 201.0 201.7 201.4 201.5 200.5 198.5 199.0 198.7 198.7 198.7 198.7 198.5

202.0 201.7 201.5 201.2 201.4 201.6 200.5 198.2 198.4 200.5 199.2 199.1 198.9 198.7

201.0 201.4 201.2 201.2 201.1 200.6 200.8 199.6 199.1 198.4 199.3 200.3 199.2 198.6

201.5 201.4 201.3 200.5 201.2 200.1 200.3 198.2 198.8 199.2 199.7 200.5 197.9 198.5

200.0 200.8 200.9 200.1 201.0 201.3 200.7 198.4 198.3 198.8 197.8 198.1 200.3

199.8 202.1 200.7 201.4 200.6 200.6 199.5 199 198.9 198.5 199.9 198.3 199.6

a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central del proceso es adecuada. Estadísticas descriptivas: C1 N para Variable Media Mediana Modo moda C1 200.00 200.10 199, 200.5, 201.4 6 Todas las medidas de tendencia central nos indica que latendencia es adecuada, porque esta dentro de los limites permitidos.

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales, y a partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. Variable Desv.Est. Varianza C1 1.16 1.34

Limites Reales: µ±3 Desv.Estandar c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etcétera).



Histograma de C1 Normal

196.532 12

203.468 10

Frecuencia

10

10

200.0 1.156 110

9 8

8

Como el sesgo es negativo, nos indica que la curva tiene una tendencia hacia la derecha

8 7

7

6 6

6

5 4

4

5 4

4 3

2

2 0

Media Desv .Est. N

11

1

197

198

199

200 C1

201

202

203

d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión acerca de lo adecuado o no de la longitud de las tiras que se cortaron en el periodo que representan las mediciones. Las longitudes de las tiras se encuentran en el rango permitido, así que podemos decir que las tiras cumplen las especificaciones requeridas y el lote es aceptado.

EJERCICIO 11: En el caso del ejercicio anterior, considere que los primeros 55 datos (ordenados por renglón) corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo siguiente. a) Evalúe las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con respecto a la longitud ideal (200). Estadísticas descriptivas: Maquina 1, Maquina 2 Variable

N para Media Mediana

Modo

moda


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Maquina 1 200.08 200.20 199 5 Maquina 2 199.91 200.10 200.3, 200.6, 201.2, 201.4

3

La máquina 2 es más exacta que la máquina 1.

b) Analice la dispersión de ambas máquinas utilizando la desviación estándar y la regla empírica. Estadísticas descriptivas: Maquina 1, Maquina 2 Variable Desv.Est. Varianza Q1 Q3 Sesgo Kurtosis Maquina 1 1.16 1.36 199.00 201.20 0.09 -1.43 Maquina 2 1.15 1.32 198.80 200.90 -0.17 -1.20 De acuerdo a las especificaciones ambas máquinas cumplen las tolerancias permitidas. Pero la máquina 2 es la más exacta a la media ideal de 200 mm, porque su desv. Est. es menor a la de la máquina

c) Haga un histograma para cada máquina e intérprete cada uno de ellos.

Histograma de Maquina 1, Maquina 2 Normal

196.605 12

197 198 199 200 201 202 203

203.595 Maquina 1

Maquina 2

Maquina 1 Media 200.1 Desv .Est. 1.165 N 55

10

10

Maquina 2 Media 199.9 Desv .Est. 1.150 N 55

Frecuencia

8 8 6

Maquina1: Sesgo positivo, tiende acia la izquierda

6 4

4 2 0

Maquina2: Sesgo negativo, tiende hacia la derecha

2

197 198 199 200 201 202 203

0 196.45

203.35

d) De acuerdo a lo anterior, ¿cuál es el problema de cada máquina? La máquina 1 tiene menor precisión, la mayoría de sus valores son inferiores a la media ideal (200 mm).



La máquina 2 es más precisa, pero la mayoría de sus valores son superiores e inferiores. e) Considere que cada máquina es operada por una persona diferente, y determine cuáles son las posibles causas de los problemas señalados en el inciso anterior y señale qué haría para corroborar cuáles son las verdaderas causas. Causas: 



Puede ser que la persona que está operando la máquina no esté revisándola constantemente, ya que la máquina puede ser muy antigua y se descontrole fácilmente. El operario no ha sido capacitado correctamente.

Precauciones: - Revisar constantemente la máquina. - Evaluar al operario.

f)

Vuelva a analizar el histograma realizado en el inciso c) del ejercicio anterior y vea si de alguna forma se vislumbraba lo que detectó con los análisis realizados en este ejercicio.



EJERCICIO 23: El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De acuerdo con los datos históricos se tiene que µ = 318 y σ = 4. ¿El proceso de envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.

Gráfica de distribución

Normal, Media=318, Desv.Est.=4 306

310

330 Respecto a los limites reales los datos esta correctamente distribuidos, pero segun las especificaciones tiende una variabilidad hacia la izquierda.

0.10

Densidad

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

310

318 X

326

330

EJERCICIO 16: Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un componente que influye en esta es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se decide investigar cuanta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales).



Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especificaciones iniciales que se establecen para el peso de los costales de arena son de 20± 0.8 kg. a) de acuerdo con los 90 datos, ¿el centrado del proceso es adecuado? b) ¿la variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados. c) obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especificaciones e interprete con detalle. d) de su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el peso especificado. e) haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y gráficas, señale si hay diferencias grandes entre los lotes. f) ¿las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma de inciso c)? g) obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos. LOTE 1

2

3

18.6 19.1 19.6 18.6 19.5 20.0 20.1 20.0 20.2

19.2 18.6 19.4 19.9 19.1 18.4 20.2 19.7 19.7

PESO DE COSTALES DE LA MUESTRA 19.5 19.2 18.9 19.4 19.0 20.0 19.4 18.7 21.0 19.8 19.0 18.6 19.8 19.1 20.0 20.4 18.8 19.3 18.8 18.4 19.0 20.1 19.7 19.3 18.5 19.6 19.4 19.6 20.3 18.8 18.9 19.7 17.8 19.4 18.9 18.4 21.0 19.7 20.1 20.0 19.1 20.4 20.8 19.7 19.7 20.4 19.8 20.5 20.0 19.6 19.7 19.8 19.9 20.3

Estadísticas descriptivas: Lote 1, Lote 2, Lote 3 Variable Lote 1 Lote 2 Lote 3

Media 19.350 19.297 20.040

Desv.Est. 0.555 0.690 0.401

Histograma de Total de Lotes

Varianza 0.308 0.476 0.161

Mediana 19.250 19.350 20.000

Sesgo 1.01 0.06 0.29

Kurtosis 1.39 -0.26 0.46

19.3 19.6 19.1 20.7 19.2 19.0 19.6 20.0 20.4

20.0 19.0 19.1 19.6 20.6 19.7 20.6 20.0 20.2


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Gráfica de caja de Lote 1, Lote 2, Lote 3 Histograma de Total de Lotes Normal

17.607

21.513 Media Desv .Est. N

14 12

19.56 0.6511 90

Frecuencia

10 8 6 4 2 0

18.0

18.5

19.0 19.5 20.0 Total de Lotes

20.5

21.0

21.5

Gráfica de caja de Lote 1, Lote 2, Lote 3 21.0 20.5

Datos

20.0 19.5 19.0 18.5 18.0 Lote 1

Lote 2

Lote 3

EJERCICIO 17: En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta a solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas mayores, en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se de



en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6 horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del año (65 datos). 5.0 4.1 5.5 3.2 7.7 4.5 4.7

5.4 3.0 7.9 3.9 3.9 6.5 6.3

7.1 5.7 2.0 5.9 5.8 4.1 6.0

Los 65 datos 5.5 4.4 6.8 4.7 2.9 5.3 4.0 2.3 1.7 3.2 6.8 4.3 4.8 -

7.0 6.7 5.4 3.6 5.9 7.5 3.1

5.4 7.1 7.4 8.9 6.8 5.9 -

6.6 3.2 5.1 5.8 7.0 3.1 -

7.1 5.7 6.9 5.8 5.4 8.3 -

4.2 4.1 7.5 6.4 5.6 5.4 -

a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en estas, ¿cree que se cumple con la meta? b) Aplique la regla empírica, interprete y diga que tan bien se cumple la meta. c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes. d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿Qué recomendaciones daría para ayudar a cumplir mejor la meta?

Media 5.366

Mediana 5.500

Modo 5.4

N para moda 5

Histograma de C1 Normal

12

0.51


10

Frecuencia

Variable C1

El histograma presenta caracteristicas multimodales, esto es debido ala variación de los tiempos que se toma en el analisis de este caso.

8 6 4 2 0

5.366 1.618 65

1.5

3.0

4.5

6.0 C1

7.5

9.0



EJERCICIO 18: Los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres líneas de producción. a) analice los datos para cada línea y anote las principales características de la distribución de los datos. b) compare las tres líneas, ¿nota alguna diferencia importante? SEMANA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

LINEA 1 7.7 6.8 8.5 8.6 5.7 7.9 8.1 7.6 7.1 7.3 7.8 6.1 6.3 6.3 7.8 6.7 7.3 5.7 6.2 7.3 5.0 5.0 5.4 7.5 6.0

LINEA 2 6.6 5.2 7.2 9.2 6.7 6.2 7.1 8.1 6.4 6.3 8.2 8.4 7.4 6.5 7.7 7.4 6.1 6.2 7.3 6.9 6.1 6.9 8.4 5.0 7.4

LINEA 3 7.5 8.1 6.2 7.4 8.2 6.0 8.2 8.1 6.7 8.0 8.1 8.1 7.0 8.5 8.0 7.7 7.5 8.2 7.7 7.0 6.5 6.2 6.0 6.1 5.8

Estadísticas descriptivas: Linea 1, Linea 2, Linea 3 Variable Linea 1 Linea 2

Media 6.872 6.996

Desv.Est. 1.050 1.001

Varianza 1.102 1.001

Q1 6.050 6.250

Mediana 7.100 6.900

Q3 7.750 7.550

Modo 7.3 7.4

N para moda 3 3


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Linea 3

7.312

Variable Linea 1 Linea 2 Linea 3

Sesgo -0.23 0.13 -0.46

0.878

0.770

6.350

7.500

8.100

8.1

4

Kurtosis -0.94 0.01 -1.35

EJERCICIO 8: De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20L se le permitía una discrepancia de 0.2L. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para evitar infracciones y ver si se cumplen las especificaciones (EL = 19.8, ES = 20.2). De acuerdo con los resultados de 15 inspecciones para una bomba en particular, la media y la desviación estándar de los 15 datos son 19.9 y 0.1, respectivamente. De acuerdo con esto, ¿se puede garantizar que la bomba cumple con la norma? Argumente su respuesta.


Normal, Media=19.9, Desv.Est.=0.1 19.6

19.8

20.2

4

La bomba no cumple on la norma porque el proceso es inadecuado por la izquierda, respecto alas especificaciones

Densidad

3

2

1

0

19.7

19.9 X

20.1

20.2



12. En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste en 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. La respuesta para cada pregunta es un número entre 0 y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos se suma los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios. Solución: Puntos Obtenidos de los cuestionarios Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta

-

59.8 2.987593394 58.5 78 21.12547548 446.2857143 -1.802931906 -0.015244434 62 29 91 2990 50

Los puntos promedio obtenidos del cuestionario es 59. El 50% de los puntos obtenidos tiene una igualdad o inferior de 59. 78 puntos, es el puntaje que con mayor frecuencia se repite.



Histograma (con curva normal) de resultado de Encuestas Media Desv .Est. N

12

59.8 21.13 50

Frecuencia

10 8 6 4 2 0

18

36

54 72 resultado de Encuestas

90

108

Interpretación Se nota que los 50 resultados de las encuestas están divididos en dos grupos, en un grupo donde conlleva la nota más baja esta entre 26.92 a 51.02 y el segundo grupo está entre 62.81 a la nota más alta que es 92.8 Lo que más resalta del histograma es que los resultados que mayor se repite esta con un puntaje inferior del 50 % Son muy poco lo que llegaron a la nota más alta

13. En una fábrica de piezas de asbesto de una característica importante de la calidad es el grosor de las laminas. Para cierto tipo de lamina el grosor óptimo es de 5mm y se tiene una discrepancia tolerancia de 0.8 mm, ya que si la lamina tiene un grosor menor que 4.2 mm se considera demasiado delgado y no reunirá las condicione de resistencia exigida por el cliente. Si la lamina tiene un grososr mayor que 5.8 mm, entonce se gastara demasiado m,aterial para su elaboración y elevaran lo costos del fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las laminas con el grosor óptimo, y en el peor de lo casos dentro de la tolerancia epecifica deacuerdo con los registro s de las medidas realizadas en los ultimo 3 meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable , el grosor medio es µ = 4.75, la mediana 4.7, y la desviación estándar  = 0.45.



a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso es acuerdo? Argumente. b) Si considera sólo la media y la mediana, ¿puede decir si el proceso cumple con la especificaciones? Explique. c) Calcule los limites reales, haga la grafica de capacidad y señale si el proceso cumple con especificaciones. Argumente su respuesta.

14. En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la metodología Seis Sigma varios de los cambios implementados fueron relativos a mejora del proceso. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se muestran a continuación: Solución: Grosor Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta

4.889166667 0.028935256 4.9 5 0.316969853 0.100469888 -0.121132286 -0.209923329 1.6 4.1 5.7 586.7 120



-

La medición promedio para el grosor es de 4.8mm El 50% de las láminas tiene una igualdad o inferior de 4.9. 5mm es el dato que con mayor frecuencia se repite.

Histograma (con curva normal) de grosor de laminas 20

Media Desv .Est. N

Frecuencia

15

10

5

0

4.2

4.5

4.8 5.1 grosor de laminas

5.4

5.7

4.889 0.3170 120



15. en la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de ésta. Para cierto envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 +- 0.5g. a continuación se muestran los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable. Solución: peso Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta

-

27.97482143 0.013526383 27.955 27.94 0.143149781 0.02049186 -0.24915051 0.203109269 0.76 27.63 28.39 3133.18 112

El peso promedio es de 28g. El 50% de los datos obtenidos mediante una carta de control tiene una igualdad o inferior de 27.95. 27.94 es el dato que con mayor frecuencia se repite.



Histograma (con curva normal) de medicion 27.5


20

27.97 0.1431 112

Frecuencia

15

10

5

0

27.60

27.75

27.90 28.05 medicion

28.20

28.35

28.50

Media del Error Variable N N* Media estándar Desv.Est. Varianza CoefVar Mínimo Medición 112 0 27.975 0.0135 0.143 0.0205 0.51 27.630

Variable Q1 Medición 27.872

N para Mediana Q3 Máximo Rango Modo 27.955 28.080 28.390 0.760 27.94

moda 7

Sesgo 0.20

Variable Kurtosis Medición -0.25

24. en la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas) esté entre 2.5 y 3.0. En el monitoreo del proceso se obtuvieron los siguientes 115 datos.



Solución: Porcentaje de CO2 Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta

-

2.624956522 0.025913479 2.6 2.61 0.277891099 0.077223463 105.8378446 10.08166048 3.04 2.48 5.52 301.87 115

El porcentaje promedio de CO2 para las bebidas es de 2.62%. El 50% de las bebidas tiene una igualdad o inferior es de 2.6% de CO 2. El 2.61% de CO2 es el dato que con mayor frecuencia se repite.



Histograma (con curva normal) de % de Co2 2.5

80

3 Media Desv .Est. N

70

2.625 0.2779 115

Frecuencia

60 50 40 30 20 10 0

2.0

2.5

3.0

3.5 4.0 % de Co2

4.5

5.0

5.5

Media del Error Variable N N* Media estándar Desv.Est. Varianza CoefVar Mínimo % de Co2 115 0 2.6250 0.0259 0.2779 0.0772 10.59 2.4800

N para Variable Q1 Mediana Q3 Máximo Rango % de Co2 2.5600 2.6000 2.6400 5.5200 3.0400

Modo 2.61

moda Sesgo 11 10.08

Variable Kurtosis % de Co2 105.84 Ay una cierta cantidad que no cumple con el rango de calidad (falta agregar más Co2



EJERCICIOS DEL CAPITULO 3 EJERCICIO 7: El departamento de compras inspecciona un pedido de 500 piezas eléctricas, para lo cuál toma una muestra aleatoria de 20 de ellas y se prueban. El vendedor asegura que el porcentaje de piezas defectuosas es sólo de 5%, así suponiendo el peor de los casos según el vendedor, p=0.05, responde lo siguiente: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral de defectuosos sea mayor al 10%? X distribución Hipergeométrica N=500 finita n=20 M=5%*500=25 10%20 = 2 Probabilidad ( X>2)=???? Variable discreta P(X>2)=P(X≥3)=??? Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=500, M=25, n=20 0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.0

0.0716 0

X

3

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una o menos piezas defectuosas?





0.736

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.0

1

X

4

EJERCICIO 8: Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse. a) Calcule la probabilidad de que el proceso se detenga debido al esquema de muestreo. X: Número de artículos defectuosos Variable aleatoria discreta sigue una distribución Binomial ~ B( n, p) p=0.05 n=18 P(proceso se detenga)=P(X>1)=P(X>=2)=0,226



Gráfica de distribución Binomial. n=18. p=0,05

0,4

Probabilidad

0,3

0,2

0,1 0,226 0,0

0

2

X

b) De acuerdo con lo contestado en a) ¿Considera que el esquema de muestreo es adecuado o generara demasiadas interrupciones? El tipo de muestreo ya que el nivel de calidad exigido en un lote de 18 artículos el 5% debe ser 1 o menos



EJERCICIO 9: Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de unidades defectuosas producidas para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras defectuosas que se produce es de 10% ¿Es real esta afirmación? Argumente su respuesta. Gráfica de distribución


Probabilidad

0.25 0.20 0.15 0.10 0.0622 0.05 0.00

0

7

X

EJERCICIO 10: Un fabricante de galletas que, con probabilidad de 0.95, cada galleta contenga al menos una pasa. ¿Cuántas pasas en promedio por galleta deberá agregar a la masa como mínimo? ¿Cuál es la probabilidad de que una galleta contenga mas de seis pasas? Apóyese en la distribución de Poisson. Gráfica de distribución Poisson, Media=1

0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1 0.632 0.0

0

1

X



Gráfica de distribución Poisson, Media=1

0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.0

0

X

0.0000832 7

EJERCICIO 11: En un almacén se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se recibe, para ello se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran más de tres piezas defectuosas en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 10 lotes antes de rechazar el primero del día? Gráfica de distribución Binomial, n=100, p=0.01

0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.0

0

X

9



Gráfica de distribución Binomial, n=100, p=0.01

0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.0

0.0184 0

X

4

EJERCICIO 12: Una caja contiene cuatro artículos defectuosos y ocho en buen estado. Se sacan dos artículos al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea bueno?

X: ARTICULOS EN BUEN ESTADO SI CONOCE TAMAÑO POBLACION ES UNA DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA N=12 n=2 M: 8 P(X>=1)=0,909




Hipergeométrico. N=12. M=8. n=2 0,5 0,909

Probabilidad

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

0

1 X

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo (buenos o malos)? P(los dos sean del mismo tipo (buenos o malos)= P(X=2)+P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.485=0,515


Hipergeométrico. N=12. M=8. n=2 0,5

0,485

Probabilidad

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

0

1 X

2



c) ¿Cuál es el valor esperado de los artículos buenos? VALOR ESPERADO= np=n*M/N=2*8/12=0,833

EJERCICIO13: Un gerente de producción de cierta compañía esta interesado en probar los productos terminados que están disponibles en lotes de tamaño 50. Le gustaría retrabajar el lote si puede estar seguro de que 10% de los artículos están defectuosos en la muestra. Entonces decide tomar una muestra de tamaño 10 sin reemplazo y retrabajar el lote si encuentra uno o más defectuosos en la muestra. ¿Es este un procedimiento razonable? Argumente su respuesta. Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=50, M=5, n=10

Probabilidad

0.4

0.3

0.2

0.1 0.689 0.0

0

1

X

EJERCICIO 15: En una compañía aérea 40% de las reservaciones que se hacen con más de un mes de anticipación son canceladas o modificadas. En una muestra de 20 reservaciones ¿Cuál es la probabilidad de que 10,11 ó 12 reservaciones no hayan cambiado? a) Conteste usando la distribución binomial.



Gráfica de distribución Binomial, n=20, p=0.4

0.20

Probabilidad

0.15

0.10

0.05

0.00

0.0565 2

12

X

b) Resuelva con base en la distribución normal con la media y la varianza de la binomial considerando el rango de 9.5 a 12.5. Gráfica de distribución Binomial, n=20, p=0.4

0.20

Probabilidad

0.15

0.10

0.05 0.128 0.00

2

X

11

EJERCICIO 16: Se hace un estudio de la duración en horas de 20 focos y se obtienen los siguientes datos: 138.62, 37, 62,25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68.



a) Encuentre, mediante gráficas de probabilidad, una distribución continua que se ajuste de manera adecuada a los datos. Gráfica de probabilidad de C1 Normal - 95% de IC

99

Media Desv .Est. N AD Valor P

95 90

101.6 110.6 17 1.333 <0.005

Porcentaje

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

-300

-200

-100

0

100 C1

200

300

400

500

b) Considere una distribución exponencial con parámetro





1



y

x

obtenga la probabilidad de que los focos duren más de 300 horas.

Gráfica de probabilidad de C1 Normal

99

Media Desv .Est. N KS Valor P

95 90

Porcentaje

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

-200

-100

0

100 C1

200

300

400

101.6 110.6 17 0.257 <0.010



EJERCICIO 17: Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con media µ=40,1 cm y una desv estándar 0,2 cm. La media óptima de tales tiras debe ser de 40 cm con un tolerancia de más o menos 0,5 cm. Suponiendo distribución normal estime el porcentaje de las tiras que cumple con las especificaciones X: medida de corte de las tiras metálicas (cm) ~ N( µ,σ2) Especificación inferior = 39,5 Especificación Superior = 40,5 Valor objetivo = 40 Z= (X-µ)/σ P( 39,5 < X <40,5)= P[( 39,5-40,1)/0,2 < Z < ( 40,5-40,1)/0,2]=??? P[-3< Z< 2]=0,976


Normal. Media=0. Desv.Est.=1 0,4 0,976

Densidad

0,3

0,2

0,1

0,0

-3

0 X

2



EJERCICIO 18: Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribución normal. 2.51 2.50 1.08 2.61 2.91 2.59 2.13 2.60

2.29 2.48 2.25 2.11 1.84 2.07 1.98

2.31 2.27 2.10 5.70 2.09 3.10 2.02

2.19 2.26 3.30 2.31 2.78 2.32 2.18

2.09 2.86 3.15 2.00 2.32 2.59 2.26

2.48 3.73 2.27 2.35 2.59 2.42 2.10

2.65 2.98 2.23 1.76 1.87 2.04 2.69



Prueba de bondad de ajuste curva normal

Ho: Los datos siguen una distribución normal Ha: Los datos NO siguen una distribución normal 99

Media Desv .Est. N KS Valor P

95 90

alfa=0,05

Porcentaje

80 70 60 50 40

alfa > valor p Rechaza Ho Es decir los datos no siguen una distribución normal

30 20 10 5

1

2,446 0,6388 50 0,179 <0,010

1

2

3

4 datos

5

6

Ejercicios Resueltos de Control Capitulos 2-3 (1)

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