Ejercicios Resueltos Control Digital

ALONSO DE JESÚS CHICA LEAL

Sistemas de control digital

Ejercicios resueltos 1. Considere el sistema de control en tiempo discreto que se muestra en la siguiente figura.

Obtenga la función de transferencia pulso .

Solución:

Aplicando Laplace asterisco a las ecuaciones anteriores:

Reemplazando en

Despejando 1

1

Despejando 1

1

2. Utilizando el método de la integral de inversión, obtenga la transformada z inversa de :



Solución:

1

1

1

1 2 1! !

!

!

3. Obtenga la transformada z de la función "#que se muestra en la siguiente gráfica:

Solución:

Para el tramo de 0 % # % 2, la función correspondiente es &#, para obtener el tramo

de 2 % # % 4, es necesario sumar la función 1/4# 2 multiplicada por la función escalón &# 2,

Para el tramo de 4 % # % 6, se suma la función

escalón &# 4,

* # +

4 multiplicada por la función



Para el tramo de 6 % # % 8, se suma la función 1/2# 6 multiplicada por la función escalón &# 6,

Para el tramo de 8 % # % 10 se suma la función # 8 multiplicada por la función escalón &# 8

y por último para el tramo de # - 10, se suma la función # 10 multiplicada por la función escalón &# 10.

La función "# resulta al sumar las funciones de los tramos correspondientes, de la siguiente manera: 1 1 3 1 "# &# # 2&# 2 # 4&# 4 # 6&# 6 2 4 4 2 1 1 # 8&# 8 # 10 &# 10 2 2

Realizando una prueba para validar la función "# obtenida, se escogen puntos de # y se reemplazan en la función obtenida debiendo resultar valores de "# dados en la gráfica, de la siguiente manera: 1, 0,1,2, … Recordando que & / 2 0 %0 Para # 0;


+

Sistemas de control digital * +

"0 &0 2& 2 4& 4 6& 6 8& 8

10 & 10

5 6 Para # 1; 1 1 3 1 "1 &1 1 2&1 2 1 4&1 4 1 6&1 6 2 4 2 4 1 1 1 8&1 8 1 10 &1 10 2 2 3 1 1 1 1 "1 &1 1& 1 3& 3 5& 5 7& 7 4 2 2 2 4 1 9 & 9 2 5 35 6 Para # 2; 1 3 1 1 "2 &2 2 2&2 2 2 4&2 4 2 6&2 6 2 4 4 2 1 1 2 8&2 8 2 10 &2 10 2 2 3 1 1 1 1 "2 &2 0&0 2& 2 4& 4 6& 6 2 4 4 2 2 1 8 & 8 2 5 36 6 Para # 3; 3 1 1 1 "3 &3 3 2&3 2 3 4&3 4 3 6&3 6 4 2 2 4 1 1 3 8&3 8 3 10 &3 10 2 2 3 1 1 1 1 "3 &3 1&1 1& 1 3& 3 5& 5 2 4 4 2 2 1 7 & 7 2 1 1 1 "3 2 4 4 5 3: ; Para # 4; 1 1 3 1 "4 &4 4 2&4 2 4 4&4 4 4 6&4 6 2 4 4 2 1 1 4 8&4 8 4 10 &4 10 2 2 34



3 1 1 1 1 "4 &4 2&2 0&0 2& 2 4& 4 4 2 2 2 4 1 6 & 6 2 1 2 "# 0 2 4 Para # 5; 1 1 3 1 "5 &5 5 2&5 2 5 4&5 4 5 6&5 6 4 2 2 4 1 1 5 8&5 8 5 10 &5 10 2 2 1 1 3 1 1 "5 &5 3&3 1&1 1& 1 3& 3 4 2 2 2 4 1 5 & 5 2 1 3 3 "5 2 4 4 5 3< 6

Para # 6; 1 3 1 1 "6 &6 6 2&6 2 6 4&6 4 6 6&6 6 2 4 4 2 1 1 6 8&6 8 6 10 &6 10 2 2 3 1 1 1 1 1 "6 &6 4&4 2&2 0&0 2& 2 4 & 4 2 4 4 2 2 2 1 4 6 "6 2 4 4 3= 5

Para # 9; 1 1 3 1 "9 &9 9 2&9 2 9 4&9 4 9 6&9 6 2 4 4 2 1 1 9 8&9 8 9 10 &9 10 2 2 1 1 3 1 1 1 "9 &9 7&7 5&5 3&3 1&1 1 & 1 2 4 4 2 2 2 1 7 15 3 1 "9 2 4 4 2 2 5 3> 6 Lo que muestran los resultados anteriores es la validación de la función obtenida, la cual es correcta, ahora discretizando "#, se tiene " teniendo en cuenta que se están discretizando funciones escalones y rampas, de la siguiente forma:



3 1 1 1 " & 2& 2 4& 4 6& 6 4 2 2 4 1 1 8& 8 10 & 10 2 2 La transformada z resulta: 1 1 1 ? @ &A 2 2 1 1 C

1 ? @ 2A . 4 4 1 3 3 C

? @ 4A + . 4 4 1 1 D C

1 ? @ 6A . 2 1 2 1 1 C

? @ " 8A E . 2 2 1 1 1 C

? @ 10A F . 2 2 1 Sumando los resultados de las transformadas se tiene G

1 1 1 C

3 + C

1 D C

. . . 2 1 4 1 4 1 2 1 1 C

1 F C

E . . 2 1 2 1

1 C * 3C H 2C I 2C J 2C

G 41

4. Encuentre la solución de la siguiente ecuación en diferencias: " 2 3" 1 2" & 1, 0,1,2, … Donde "0 1 y "1 1. & / 2 0 %0 a. Resuelva " como una función de . b. Evalúe "0, "1, "2 K "3 de la parte a. c. Verifique el resultado en la parte b. usando el método de división directa. Solución: G "0 "1 3G "0 2G L G 3G 3 2G L G 3 2 2 L Reemplazando L por se obtiene G 3 2 2 1



1 12 1 *

G 3 2 1 * G 1 3 2 * G * 2 2 * G 1 1 2

G 3 2

Aplicando transformada z inversa a. Para resolver " se aplica algún método como integral de convolución o fracciones parciales. Por integral de convolución: " * *

1* 1 1 lim 1G lim Q R 1

P

P 1 2 1 11 2 1 1

6 *

lim 1G lim Q R P

P 1 2 1* 1 1 1

1 1 1 2 1 1

2 *

* lim R 2G lim Q P P 1 1 2* 2 2 2

2 1 2 2 2 * 2

3 1 2 1 " 1 1 2

6 2 3 A continuación se presentan tres formas de solucionar este ejercicio por fracciones parciales; sin dividir por z a ambos lados, dividiendo por z a ambos lados y por solución de ecuaciones: Sin dividir por z a ambos lados: * S T U G 1 1 2 1 1 2 * 1 R 1G ! Q 1 1 1 2 ! 6

ALONSO DE JESÚS CHICA LEAL 1G

! Q 1

* 2G

! Q 2


* 1 R 1 1 2 ! 2

* 2 R 1 1 2 ! 3 1 1 1 1 2 1 G

6 1 2 1 3 1 2 1 1 2 " 1 1 2

6 2 3

Otra solución: Dividiendo por z a ambos lados: G 1 S T U 1 1 2 1 1 2 G 1 1 Q 1 R Q 1 R 1 1 2 ! 6 !

Q 1

G 1 1 R Q 1 R !

1 1 2 ! 2

G 1 1 R Q 2 R ! 1 1 2 ! 3 1 1 1 1 G 6 1 2 1 3 2 1 1 1 " 1 1 2 6 2 3 * Q 2

Otra solución: Por solución de ecuaciones: G 1 S T U 1 1 2 1 1 2 S 1 2 T 1 2 U 1 1 1 S 3S 2S T T 2T U U 1 S T U 3S T 2S 2T U 1 STU 1 3S T 1 2S 2T U 1 La solución de este sistema de ecuaciones se puede calcular por diversos métodos, tales como Kramer, matriz inversa, igualación, sustitución, entre otros. Solucionando el sistema de ecuaciones por matriz inversa, se tiene: 1 1 1 Z ] 6 6 6 \ Y S 1 1 1 1 1 1 1 1 VT W V3 1 0 W .V 1 W Y \.V 1 W 2\ 1 Y2 2 U 2 2 1 1 2 1 \ Y4 X6 3 3 [


D


*

S ,T ,U , Otra solución: Solucionando el sistema de ecuaciones por cancelación de términos, se tiene: S 1 2 T 1 2 U 1 1 1 Si 1

D

S23 1

S ,

Si 1

T 21 1

T

U 3 1 1

U*

Si 2

1 1 1 1 6 1 2 1 3 2 1 1 1 " 1 1 2 6 2 3 G

b. Evaluando "0, "1, "2 K "3 en la ecuación dada inicialmente se tiene: "0 1 Condición inicial "1 1 Condición inicial Si 0, en " 2 3" 1 2" &, se tiene "2 3"1 2"0 &0, reemplazando condiciones iniciales "2 1 2 3 2 Si 1, en " 2 3" 1 2" &, se tiene "3 3"2 2"1 &1, reemplazando condiciones iniciales "3 1 6 2 3 Este resultado "0 1 "1 1 "2 2 "3 3, marcan una pauta para la evaluación de la función ". Evaluación de " por integral de inversión y por fracciones parciales sin dividir por z: 1 1 2 " 1 1 2

6 2 3

"0 D D 1

E

"1 D * 1

+

"2 D * 2

"3 D * 3

Evaluación de " por fracciones parciales dividiendo por z: 1 1 1 " 1 1 2 6 2 3


D

D

D

D

*


*

+ * E *

"0 1 "1

"2

"3

1 2

3

c. Por división directa:

* * 2 2 1 G 1 2 2 * G

"0 1 "1 1 "2 2 "3 3 5. Calcule el error de estado estacionario para el sistema de la siguiente figura, ante una entrada escalón y una entrada rampa, teniendo como función de transferencia en lazo abierto ^ dado a continuación, si C 1 seg.: ^

1 _ `a b c ^ ^^ 1

1 1 ?b c ^ ^ 1

d 1 _ ` C 1 1 _ ` C_ ` ?Q R 1 _ `

d

_ ` C 1 1 _ ` C_ ` 1 _ `

_aae fg fijk n, _aao g ijk h

lPm

p

` , _aaq lPm n

g ijk r

`s s lPm n



Para t 1 _aae 0

_aao g p

_aao g p

_aaq g r

`

vwxyz {zym|l{wmyxyz yzxyz |} ijk u lPmg lymwlyxyz |

`

, _aao g p

, si C 1; _aao

vwxyz {zym|{wmyxyz yzxyz |} g wmyxyz |

`s

vwxyz {zym|l{wmyxyz yzxyz |} ijklPm s g lymwlyxyz |

vmyxym } g wmyxyz |

`

vwxyz {zym|l{wmyxyz yzxyz |} ijk lPmg wlyxyz |

_aao g

_aaq F ~ ∞

,

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