Modelos Básicos Propuestos y Resueltos 1
Resolución de Modelos Básicos
1.1 Planificación de Recursos
Producto A Producto B Producto C
Recursos en Serie
A B C
Recurso 2
A B C
Recurso 1
A B C
Recurso 3
A B C
Recurso 2
Recurso 1
Producto A Producto B Producto C
Producto A Producto B Producto C
A B C
Recursos en Paralelo
Ilustración 1: Recursos en Serie o en Paralelo El siguiente problema muestra la diferencia entre ambas definiciones. Una fábrica que elabora tres tipos de teléfonos: celulares, inalámbricos y fijos. Las utilidades de los teléfonos son de $50, $20 y $25 respectivamente. Para elaborar un teléfono éste debe pasar de forma consecutiva o en serie por las tres máquinas uno, dos y tres, las cuales pueden trabajar un máximo de 10 horas, 20 horas y 22 horas diarias respectivamente. La productividad de cada máquina, expresada en unidades por hora, se muestra en la Tabla 1. Tabla 1: Productividad de las Máquinas Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3
Celulares 9 5 3
Fijos 3 4 1
Inalámbricos 5 1 2
La formulación de este problema se desarrolla a continuación. Variables de decisión: c : números de teléfonos celulares a producir. y : números de teléfonos inalámbricos a producir. f : números de teléfonos fijos a producir. Maximizar: z = 50c 20 y 25 f Sujeto a:
c f y 10 9 3 5 c f y 20 5 4 c y f 22 3 2 c, y, f 0
Si la elaboración de teléfonos se puede realizar en cualquiera de las tres máquinas que dispone la fábrica, el número de decisiones aumenta pues se debe determinar en cuál máquina producir qué modelo de teléfono. La formulación de este problema como un programa lineal requiere una combinación de variables de tipo de teléfono en cada máquina, pues se pueden producir en paralelo. Variables de decisión: ci = números de teléfonos celulares a producir en la máquina i yi = números de teléfonos inalámbricos a producir en la máquina i fi = números de teléfonos fijos a producir en la máquina i i = 1, 2, 3. 3
3
Maximizar: z = 50
ci
20
i 1
Sujeto a: c1 9 c2 5 c3 3
f1 3 f2 4
i 1
y1 5
10
y2
20
f3
y3 2
22
ci , y i , f i
0
3
yi
25
fi i 1
1.2 Satisfacción de Receta Los problemas de satisfacción de recetas, también denominados de satisfacción de dieta, consisten en buscar la combinación de recursos que satisfacen de la forma más eficiente un conjunto de requerimientos. Un ejemplo de satisfacción de receta es el problema de un restaurante que ofrece tres tipos de menú: J, K y L. Cada uno tiene distinto costos y cantidades de canapés, pasteles, jugos y bebidas. Se desea entregar el servicio más barato que cumpla con las exigencias que se entregan en la Tabla 2.
2
Tabla 2: Exigencias de Menús Canapés Pasteles Jugos Bebidas Costo
Menú J 10 5 2 500
Menú K 5 3 1 1 200
Menú L 15 5 2 800
Mínimo requerido 500 350 100 120
Para resolver este problema se definen: Variables de decisión: j : cantidad de menú J a comprar k : cantidad de menú K a comprar l : cantidad de menú L a comprar Minimizar: z = 500 j +200 k +800 l Sujeto a: 10 j +5 k +15 l 500 5j+3k+5l 350 2j+k 100 k+2l 120 j, k, l 0
2 2.1
Otros Tipos de Problemas Un panadero al comienzo del día debe decidir la cantidad de kilogramos de Baguette y Marraqueta que producirá hoy. Se sabe que el margen de utilidad que obtiene por la marraqueta es de $10 por kg. mientras que el de baguette es de $15 por kg. Los insumos utilizados para la producción de pan en general son harina y levadura, además de la utilización de un horno especial, el cual es compartido en la producción de marraquetas y baguettes. La Tabla 3 muestra las cantidades de cada insumo que se deben utilizar para la producción de un kg. de marraqueta o baguette: Tabla 3: Insumos por Producto Marraqueta Baguette
Harina 0.9 0.8
Levadura 0.1 0.2
Minutos de horno 15 12
La panadería dispone de 1000 kg. de harina y 400 kg. de levadura diariamente, además el horno puede trabajar durante 10 horas al día. Dadas las características del proceso productivo, la cantidad de marraqueta que se produzca debe ser mayor o igual a la cantidad de baguette. Asumiendo que el objetivo del panadero es maximizar la utilidad por la venta de pan, modele el problema planteado. 3
Solución: Variables de decisión: xm : producción diaria de marraquetas xb : producción diaria de baguettes Maximizar: z = 10 · xm +15 · xb Sujeto a: xb xm 0,9 xm + 0,8 xb 1000 0,1 xm + 0,2 xb 400 0,25 xm + 0,2 xb 10 xm, xb 0 2.2
Un jugador participa en un juego que requiere dividir el dinero apostado entre cuatro opciones diferentes. El juego tiene tres desenlaces posibles. La Tabla 4 indica la ganancia, o pérdida, correspondiente por cada peso depositado en cada una de las cuatro opciones de los tres resultados. Tabla 4: Ganancia o Pérdida por Resultado y Opción Resultado Opción 1 A –3 B 5 C 3
Opción 2 4 –3 –9
Opción 3 –7 9 10
Opción 4 15 4 –8
El jugador tiene un total de $500, que puede jugar sólo una vez. El resultado A tiene un 30% de probabilidad de ocurrencia, el resultado B un 25% y el resultado C un 45%. Formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar la riqueza.
Solución: Variables de decisión: xi = monto de dinero a jugar en la opción i, i = 1, 2, 3, 4. Maximizar: z = 0,3 · (–3 x1 + 4 x2 – 7 x3 +15 x4) + 0,25 · (5 x1 – 3 x2 +9 x3 + 4 x4) + 0,45 · (3 x1 – 9 x2 + 10 x3 – 8 x4) Sujeto a: x1 + x2 + x3 + x4 x1, x2, x3, x4 0
500
4
2.3
Un centro de distribución despacha bebidas en envases de medio, uno y dos litros. Se sabe que las ventas máximas son de 40 mil unidades de medio litro, 80 mil unidades de un litro y 50 mil unidades de dos litros al mes. La capacidad de la flota es de 180.000 litros al mes y no se pueden transportar más de 10.000 litros de unidades de litro. Los márgenes unitarios para las unidades de medio, uno y dos litros son de $251, $207 y $303 respectivamente. a) Formule el problema mediante programación lineal identificando variables, función objetivo y restricciones. b) ¿Cómo modelaría el hecho que la empresa debe despachar como mínimo un 10% de su capacidad? c) ¿Cómo queda la función objetivo si la utilidad de las unidades de medio litro es el doble que la de dos litros, pero la mitad de la utilidad de las unidades de un litro? Solución: a) Variables de decisión: m: Unidades de bebidas de medio litro. u: Unidades de bebidas de un litro. d: Unidades de bebidas de dos litros. Maximizar: z = 251 m + 207 u + 303 d Sujeto a: m 40.000 u 80.000 d 50.000 0,5 m + 1 u + 2 d 180.000 u 10.000 m, u, d 0 b) 0,5 m + 1 u + 2 d
18.000
c) Maximizar: z = 4 u + 2 m + d 2.4
Una imprenta produce afiches para cuatro partidos políticos durante la campaña electoral. Cada partido tiene sólo un diseño para su afiche. Para imprimir cada diseño, se pueden usar de uno a cuatro colores de tinta. La cantidad de tinta (en mililitros) usados para imprimir cada uno de los afiches se resume en la Tabla 5. Tabla 5: Requerimiento de Tinta para Afiches Liberal Democrático Verde Independiente
Rojo 70 0 0 0
Azul 140 80 10 0
5
Amarillo 50 90 10 0
Negro 60 100 100 50
Los costos de trabajo de producir cada afiche depende del número de colores usados: $70 por el uso de 1, $210 por el uso de 2, $350 por el uso de 3 y $420 por el uso de 4. El costo de la tinta por litro es de $7, $21, $35 y $42 para el rojo, azul, amarillo y negro respectivamente. Los precios pagados por cada afiche son de $2.800, $2.100, $1.400 y $700 por el partido Liberal, Democrático, Verde e Independiente respectivamente. La cantidad de tinta disponible cada día son: 300 litros de tinta roja, 100 litros de tinta azul, 150 litros de tinta amarilla, y 500 litros de tinta negra. Los números de afiches requeridos cada día por el partido Liberal es a lo menos 300. Los otros partidos quieren cuantos pueda producir la imprenta. El costo del papel por cada afiche es $119. Por razones políticas internas de la empresa, se ha decidido proveer al partido independiente con al menos el doble de los afiches que la suma de los otros tres partidos. Plantee el problema para ver cómo la imprenta maximizaría su utilidad. Solución: Variables de decisión: l : cantidad de afiches a producir para el partido Liberal d : cantidad de afiches a producir para el partido Democrático v : cantidad de afiches a producir para el partido Verde i : cantidad de afiches a producir para el partido Independiente Maximizar: z = 2253,30 l + 1621,97 d + 926,24 v + 508,90 i Sujeto a: 70 l 300.000 140 l + 80 d + 10 v 100.000 50 l + 90 d + 10 v 150.000 60 l + 100 d + 100 v + 50 i 500.000 l 300 i 2 (d + l + v) d,v,i 0
2.5
Suponga que cocinará una gran cazuela de peso mínimo 100 kgs. La cazuela debe cumplir con ciertos requisitos en su composición nutricional: tener un contenido en materia grasa de al menos 0,8% y no más de 1,2%, en fibra no menor que un 22%, y no más de 5% de almidón. Suponga además que los principales ingredientes a utilizar son verduras, carnes y papas. En la tabla 6 se resumen los contenidos de cada ingrediente. Se pide formular el problema para determinar la mezcla óptima de los ingredientes para preparar la cazuela con los nutrientes requeridos al mínimo costo. Tabla 6: Nutrientes y Costo de Ingredientes
Ingrediente
Porcentaje de nutrientes por kilo de Ingrediente Grasa Fibra Almidón 6
Costo [$] por kilo
Carne Papas Verduras
0,38 0,001 0,002
0,00 0,09 0,5
0,00 0,02 0,08
0,0164 0,0463 0,125
Solución: Variables de Decisión: xi [kgs.]: cantidad de carne, papas y verduras para producir la mezcla. Minimizar: z = 0,0164 xc + 0,0463 xp + 0,125 xv Sujeto a: xc + xp + xv 100 0,38 xc + 0,001 xp + 0,002 xv 1,2 (xc + xp +xv) 0,38 xc + 0,001 xp + 0,002 xv 0,8 (xc + xp +xv) 0,02 xp + 0,08 xv 5 (xc + xp +xv) 0,09 xp + 0,5 xv 22 (xc + xp +xv) xc, xp, xv 0 2.6
Lote diario Grasa Grasa Almidón Fibra No negatividad
Una empresa de construcción y dispone de un terreno de 800 há no urbanizadas. De acuerdo al plan de la comuna usted puede construir casas para 1, 2 ó 3 familias, donde las casas de 1 familia constituyen por lo menos el 50% del total de los inmuebles construidos. Estudios técnicos señalan que el 15% de los terrenos se utilizan en calles y vías de acceso. La casa sencilla se espera tenga un precio de venta de 10.000UF, la casa doble de 15.000UF y la triple en 20.000UF. Para limitar el uso de estanque de residuo de alcantarillados de las casas se requieren terrenos con tamaños de 2, 3 y 4 há para casas de 1, 2 y 3 familias respectivamente. El costo de conexión del servicio de agua potable es proporcional al número de casas que se construya, el cual debe ser como mínimo de 100.000UF. La empresa de agua potable también ha señalado que puede proporcionar a dichas casas un máximo de 200.000 m3 por día durante los períodos de prueba. El costo de conexión y el gasto promedio de las casas se indica en la Tabla 7. Plantee el modelo que permita maximizar utilidad. Tabla 7: Costo de Conexión y Gasto Promedio de Casas Tipo de Construcción Costo de Conexión [UF] Consumo [m3]
A 1000 400
B 1200 600
C 1400 840
Solución: Variables de Decisión a: número de casas sencillas b: número de casas dobles c: número de casas triples Maximizar: z = 10.000 a +15.000 b + 20.000 c - (1000 a + 1200 b +1400 c) Sujeto a: 2 a +3 b + 4 c 680 (85% de 800) Disponibilidad de Terreno 7
1.000 a + 1.200 b +1.400 c 100.000 400 a + 600 b + 840 c 200.000 a 0.5 (a + b + c) a-b-c 0 a, b, c 2.7
0
Agua potable Consumo Construcción de casas
No negatividad
Un taller especializado en el pintado de buses y camiones desea maximizar sus utilidades mensuales. El taller trabaja 250 horas a la semana. Para el pintado de cada bus son necesarias 3 horas, en tanto que es posible pintar 2 camiones en una hora. La utilidad por vehículo pintado, los requerimientos de pintura y la demanda máxima se muestran en la Tabla 8. Tabla 8: Utilidad de Buses y Camiones, Requerimientos de Pintura y Demanda
Bus Camión
Utilidad por vehículo pintado $5 $7
Pintura necesaria por vehículo 15 litros 20 litros
Demanda máxima mensual 26 buses 24 camiones
Si el costo de cada litro de pintura es de $30 y el taller dispone de un presupuesto semanal máximo de $2.500 para gasto en pintura, se pide: a) Modele este problema definiendo las variables como las horas de trabajo destinadas a pintar cada tipo de vehículo. b) Modele este problema definiendo las variables como el porcentaje del presupuesto destinado a pintar cada tipo de vehículo. Solución: a) Variables: b: horas destinadas a pintar buses semanalmente c: horas destinadas a pintar camiones semanalmente Maximizar: z = 5b/3+ 7c 2 Sujeto a: b+ c 250 b/3 26/4 2 c 24/4 30 15 b/3 +20 30 2 c c, b 0
2500
Horas trabajadas Demanda Demanda Presupuesto No Negatividad
b) Variables: xb: porcentaje del presupuesto destinado a pintar buses semanalmente xc: porcentaje del presupuesto destinado a pintar camiones semanalmente Maximizar: z = 5 xb 2500 / (15 30) + 7 xc 2500 / (30 20) Sujeto a: xb 2500 3 / (15 30) + xc 2500 / (30 20 2) 250 xb 2500 / (15 30) 26/4 xc 2500 / (30 20) 24/4
8
xc + xb 1 xc, xb 0 2.8
Un exportador de peras, manzanas y uvas requiere de temporeros para la cosecha y el packing de las frutas, y también de cajas para dicho packing. Actualmente cuenta con 30 personas que disponen de 50 horas cada uno para realizar el trabajo de cosecha y otras 60 horas cada uno para realizar el trabajo de packing. Cada caja de peras, manzanas y uvas se vende a $3000, $2500 y $4000 respectivamente. El costo directo de una caja es de $150 pesos y se cuenta con un presupuesto de $87.000 para dicho insumo. Además se cuenta con la información de la Tabla 9 a continuación. Tabla 9: Información para el Exportador de Fruta
Peras Manzanas Uvas
Cosecha (minutos/kilo) 4 2 5
Packing (cajas/hora) 20 10 5
Capacidad caja (kilos/caja) 25 20 10
Se estima que no hay restricción en la demanda por manzanas y uvas, pero que a lo más se venderán 100 cajas de peras. Modele como un problema lineal de modo de maximizar la utilidad. Para esto, defina las variables de decisión como: p : los kilos de peras a vender m : el tiempo dedicado a cosechar manzanas u : % del presupuesto de las cajas destinados a empaquetar uvas Solución: Maximizar: z = 3000·0,04 p + 2500·0,025 m + 4000·580 u – 150·(0,04 p +0,025 m +580 u) Sujeto a: 4·25·0,04 p + 2·20·0,025 m + 5·10·580 u 90.000 Tiempo cosecha 0,05 · 0,04 p + 0,1· 0,025 m + 0,2 · 580 u 1800 Tiempo de packing 0,04 p + 0,025 m + 580 u 580 Presupuesto p 2500 Máxima demanda peras p, m, u 0 No negatividad
9
2.9
Una panadería produce marraquetas, hallullas y pan especial, para lo cual necesita dos procesos. El primero es la preparación de las masas, a cargo de 15 panaderos, quienes tienen una disponibilidad semanal de 50 horas cada uno. El segundo proceso es el horneado de las masas, para lo cual se tiene dos hornos con una capacidad de utilización semanal máxima de 60 horas cada uno El precio del kilo de marraquetas, hallullas y pan especial son respectivamente de $ 450, $390 y $600; y sus costos directos de producción respectivos son $160, $140 y $190 por kilo. Para cubrir los costos de producción se cuenta con un presupuesto de $950.000. Además se cuenta con la información de la Tabla 10 para cada tipo de pan. Por ejemplo, cada horno puede procesar 60 kilos de marraqueta para lo cual requiere de 40 minutos de cocción. Tabla 10: Datos de Cada Tipo de Pan
Marraquetas Hallullas Pan Especial
Preparación Masa [Kilos/Hora] 12 9 6
Horneado Masa [Minutos] 40 30 75
Capacidad de cada Horno [Kilos] 60 30 25
Al mismo tiempo se sabe que la demanda mínima entre hallullas y marraquetas es de 1600 kilos y que históricamente, no se venden más de 3800 kilos de marraquetas ni más de 2500 kilos de pan especial. Conjuntamente, la panadería tiene una política de que la producción de pan especial debe ser al menos un cuarto de la producción total de hallullas y marraquetas sumadas. Modele como un problema lineal de modo de maximizar las utilidades de la panadería. Para esto se definen las siguientes variables: m h e
: Minutos dedicado a hornear marraquetas semanalmente : Minutos dedicado a la preparación de la masa de las hallullas : % del presupuesto semanal destinado a la producción de pan especial.
Solución: Maximizar: z = (450 – 160) · 1,5 · m + (390 – 140) · 0,15 · h + (600 – 190) · 5000 · e Sujeto a: (60 / 12) · 1,5 · m + (60 / 9) · 0,15 · h + (60 / 6) · 5000 · e ≤ 45.000 Restricción tiempo panaderos (40 / 60) · 1,5 · m + (30 / 30) · 0,15 · h + (75 / 25) · 5000 · e ≤ 7200 Restricción tiempo horneado 160 · 1,5 · m + 140 · 0,15 · h + 190 · 5000 · e ≤ 950.000 Restricción presupuestaria 1,5 · m + 0,15 · h ≥ 1.600 Mínima demanda hallullas y marraquetas 1,5 · m ≤ 3.800 Máxima demanda Marraquetas 5000 · e ≤ 2.500 Máxima demanda pan especial 4 · 5000 · e ≥ 1,5 · m + 0,15 · h Política de producción m, h, e ≥ 0 No negatividad 10
2.10 Suponga que el cuerpo de Carabineros quiere maximizar su dotación total, que consiste en el número de efectivos motociclistas, número de efectivos destinados a radiopatrullas y número de efectivos a pie. Su objetivo debe cumplirse sujeto a un conjunto de condiciones de diversa índole. Desde el punto de vista de la seguridad: Debe resguardarse una población de por lo menos 3 millones de habitantes. El número mínimo de efectivos dedicados a la seguridad debe ser de 3000. Se debe tener capacidad para realizar un mínimo de 1000 arrestos al mes. El tiempo necesario por cada efectivo a pie para realizar una ronda es de 4 horas, y cada uno de ellos trabaja 8 horas al día. Respecto del control de tránsito: El porcentaje de efectivos dedicados a tránsito debe ser al menos un 30% del total del cuerpo de Carabineros. También existen requerimientos de participación en ceremonias oficiales tales como desfiles y convenciones: Asumiendo que cada efectivo no puede participar en más de una ceremonia al año, la institución debe participar en por lo menos 20 ceremonias anualmente. No pueden haber menos efectivos motociclistas que los destinados a radiopatrullas. Aspectos operacionales: Por cada 4 efectivos destinados a radiopatrullas no debe haber más que 2 efectivos motociclistas. Debe haber por lo menos 4 efectivos a pie por cada 3 efectivos motociclistas. La proporción entre efectivos destinados a radiopatrullas y efectivos a pie no puede ser inferior a ½. La diferencia entre efectivos a pie y efectivos motociclistas debe ser mayor o igual que 500. Cada una de las 1.000 motos disponibles requiere de por lo menos 1,2 efectivos motociclistas, en tanto que cada una de los 500 radiopatrullas disponibles requiere de por lo menos 3 efectivos dedicados. Restricciones presupuestarias: El presupuesto anual de la institución para sueldos brutos es de 500 millones de pesos al año. El presupuesto de operación, que es independiente al de sueldos, alcanzaría para disponer en forma exclusiva de 3000 efectivos motociclistas, 1000 efectivos destinados a radiopatrullas ó 5000 efectivos a pie. Plantee el programa lineal que describe esta situación, considerando los datos presentados en la Tabla 11.
11
Tabla 11: Datos sobre Tipos de Efectivos de Carabineros
Porcentaje de efectivos dedicados a tránsito Porcentaje de efectivos dedicados a la seguridad Población resguardada por cada efectivo dedicados a la seguridad [habitantes / efectivo] Sueldo bruto [$/(efectivo mes)] Tasa de arrestos [arrestos/(efectivo mes)] Necesidad de efectivos en cada ceremonia [efectivos / ceremonia]
Efectivos Efectivos en Efectivos a motociclistas radiopatrullas pie 30% 10% 40% 40% 50% 30% 300 500 200 500.000 2 10
600.000 3 20
300.000 2 100
Solución: Variables de decisión: m. número de efectivos en motocicletas r: número de efectivos en radiopatrullas p: número de efectivos a pie Maximizar: z = m + r + p Sujeto a: 300 hab/efectivo
0,4 m efectivos + 500 0,5 r + 200 0,3 p
0,4 m + 0,5 r + 0,3 p
3.000
2 0,4 m + 3 0,5 r + 2 0,3 p 0,3 m + 0,1 r + 0,4 p m
10 20
r
20 20
p
100 20
m–r
0,3
1000
m+r+p
0
2r–4m
0
3p–4m
0
2r–p
0
p–m
500
m
1,2 efectivos / moto
r
3 efectivos / radiopatrullas
12
3 MM.
1000 motos 500 radiopatrullas
500.000 $ al mes/ efectivo m + 600.000 r + 300.000 p
m/3000 + r/1000 + p/5000 1 12
500 MM
m,r, p >=0
2.11 El dueño de un fundo que produce uvas debe decidir la cantidad de fertilizantes que va a comprar para aplicar en su campo, de manera de obtener el mayor rendimiento posible de la tierra y así maximizar sus utilidades. Existen dos tipos de mezclas de fertilizantes disponibles en el mercado, A y B, las cuales contienen tres tipos de minerales en distintas concentraciones, como se muestra en la Tabla 12. Tabla 12: Concentración de Minerales Mezcla A Mezcla B
Nitrógeno 64% 25%
Fósforo 5% 65%
Potasio 31% 10%
Es decir, cada Kg. de la mezcla A contiene 640 grs. de Nitrógeno (N), 50 grs. de Fósforo (P) y 310 grs. de Potasio (K). El rendimiento de uvas por hectárea puede explicarse según la Tabla 13. Tabla 13: Rendimiento de Uvas Tipo Mezcla Mezcla A Mezcla B
Rendimiento por hectárea (Kgs. de uva por cada Kg. de mezcla) 30 20
Es importante que los minerales se encuentren balanceados en la tierra, por lo cual debe cumplirse que por cada Kg. de Fósforo que se aplica a la tierra no puede aplicarse más de 3 Kg. de Nitrógeno. Además se ha determinado que cuando se usan los dos tipos de mezcla en un campo debe cumplirse que por cada Kg. de mezcla B debe haber al menos 2 Kg. de mezcla A. Las mediciones que se han hecho a la tierra destinada a cultivos de uva han mostrado que ésta tiene un pH (grado de acidez) igual a 7. Como la uva es una especie sensible a la acidez de la tierra, se ha determinado que ésta no puede tener un pH menor a 5. Se sabe que por cada Kg. de Nitrógeno aplicado por hectárea, el pH de la tierra baja en 0,005 y por cada Kg. de Fósforo aplicado por hectárea el pH sube en 0,003. La uva es exportada a EE.UU. y el productor recibe por ella $300 por kilo. Los costos de las mezclas de fertilizante se muestran en la Tabla 14. Tabla 14: Costos de las Mezclas Mezcla A B
Costo [$/Kg.] $310 $260
13
Considerando todos los datos anteriores, modele este problema como programación lineal para maximizar las utilidades del fundo, considerando que las variables son los kilos de mezcla A y de mezcla B a comprar. Solución: Variables de decisión: a [Kg]: cantidad que se compra de la mezcla A b [Kg]: cantidad que se compra de la mezcla B Variables auxiliares: N [Kg.]: Kg. de Nitrógeno P [Kg.]: Kg. de Fósforo K [Kg.]: Kg. de Potasio Maximizar: z = $300 (30 a + 20 b) – ($310 a + $260 b) Sujeto a: 0,003 P – 0,005 N -2 0,003 (0,05 a + 0,65 b) – 0,005 (0,64 a + 0,25 b) -2 Restricción de PH 3 P N 3 (0,05 a + 0,65 b ) (0,64 a + 0,25 b) Restricción de minerales a 2b Restricción de mezclas a, b 0 Restricción de no negatividad 2.12 Un dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. Él puede adquirir manteles a un costo de $20 cada uno, y después de haberlos usado puede mandar los manteles sucios a lavar, para lo cual tiene dos servicios de lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda un día) que cuesta $15 por cada mantel, y otro normal (tarda 2 días) que cuesta $8 por mantel. Formule un modelo que permita determinar cuántos manteles se deben comprar inicialmente y cuántos se deben mandar a lavar cada día de manera de minimizar costos. Solución: Variables de Decisión x: Cantidad de manteles comprados (sólo se puede comprar 1er día) r: Cantidad de manteles lavados en servicio rápido en 1er día n: Cantidad de manteles lavados en servicio normal en 1er día s: Cantidad de manteles lavados en servicio rápido en 2do día Minimizar: z = 20 x + 15 r + 8 n + 15 s Sujeto a: x – 40 + r
60
14
x – 40 + r – 60 + n + s 70
x
170
r+n+s r+n s
70
100
40
70
x,r,n.s
2.13 Una bodega produce tres tipos de vinos de alta calidad: Cabernet Sauvignon, Merlot y Premium, siendo este último una mezcla de los dos primeros. Para poder producir los vinos debe decidir cuántas cajas de uva debe comprar. Los viñedos de donde provienen dichas uvas determinan el porcentaje de vino de alta calidad que se puede extraer, así como el tipo de vino, información expresada en la Tabla 15. El resto del vino se vende a productores de vino corrientes, a $300 pesos el litro, sin importar de cuál viñedo provino. Tabla 15: Datos de los Viñedos Tipo de vino Costo por caja Rendimiento por caja Costo de proceso por caja % de alta calidad extraíble
Viñedo A Cabernet Sauvignon $400 200 litros $350 40%
Viñedo B Merlot $600 400 litros $500 50%
Para obtener la mezcla Premium que distingue a la marca, se deben usar 2 partes de Merlot por cada parte de Cabernet Sauvignon. De acuerdo a los precios y demandas que se muestran en la Tabla 16 modele el problema lineal que permitirá buscar la maximización de utilidades. Tabla 16: Información de Demanda
Litros por unidad Precio por unidad Demanda de unidades
Cabernet Sauvignon 1 $2500 Máx 10.000
Hint: modele el problema con cuatro variables Solución:
15
Merlot 1 $2400 Min. 5.000
Premium 1 $2200 Entre 2000 y 9000
Variables de decisión: (6 puntos) ac : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Carmenere as : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Cabernet Sauvignon bc : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Carmenere bm : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Merlot Variables auxiliares: S : 200 · 0.4 · as : litros de vino Cabernet Sauvignon M : 400 · 0.5 · bm : litros de vino Merlot C : 200 · 0.4 · ac + 400 · 0.5 · bc : litros de vino Carmenere Maximizar: z = 2500 · 80 as + 2400 · 200 bm + 2200 · (80 ac + 200 bc ) – 750 · (as + ac) – 1100 · (bm + bc) + 300 · (120as + 120ac + 200bm + 200bc) Sujeto a: 2 · 80 ac = 200 bc 80 as 10000 200 bm 5000 2000 80 ac + 200 bc as, ac, bm, bc 0
Mezcla del Carmenere Demanda máxima de Cabernet Sauvignon Demanda mínima de Merlot 9000 Demanda de Carmenere No negatividad
2.14 La refinería de petróleo “MÄRKLIN” tiene actualmente en stock dos tipos petróleo: 3000 litros del tipo DB y 2000 litros del tipo DR. La empresa debe ocupar este stock en un período máximo de dos años, para lo cual tiene dos opciones: producir bencina o parafina. Dados los procesos de refinamiento con 4 litros del tipo DB se produce 1 litro de bencina, y con 1 litro del tipo DB se obtienen 5 litros de parafina. Se obtienen 8 litros de parafina con 1 litro de DR, y se requieren 3 litros de DR para producir 1 litro de bencina. Por cada litro de parafina vendido se obtiene una utilidad de $10 el primer año y de $15 el segundo; por cada litro de bencina la utilidad es de $70 el primer año y $110 el segundo. Para cumplir con regulaciones de la empresa deben respetarse las siguientes condiciones: i) Por lo menos la mitad de petróleo tipo DB debe destinarse a bencina. ii) Al menos el 30% de petróleo tipo DR debe procesarse el segundo año. iii) No se puede producir más de 15 litros de parafina en cada año. iv) Debe producirse al menos 170 litros de bencina. Modele el siguiente problema de decisión como programa lineal.
16
Solución: Variables de decisión: DBbi: litros de petróleo del tipo DB destinados a bencina en el año i DRbi: litros de petróleo del tipo DR destinados a bencina en el año i DBpi: litros de petróleo del tipo DB destinados a parafina en el año i DRpi: litros de petróleo del tipo DR destinados a parafina en el año i Tabla 17: Variables de Decisión
Bencina Parafina Relaciones:
DB Año 1 Año 2 DBb1 DBb2 DBp1 DBp2
DR Año 1 DRb1 DRp1
Año 2 DRb2 DRp2
1 litro de DB = 5 litros de parafina 1 litro de DB = 1/4 litros de bencina 1 litro de DR = 8 litros de parafina 1 litro de DR = 1/3 litros de bencina
Maximizar: z = 10(5DBp1 + 8DRp1) + 15(5DBp2 + 8DRp2) + 70(DBb1 /4 + DRb1/3) + 110(DBb2/4 + DRb2/3 ) Sujeto a: i) DBb1 + DRb2 1500 (0.5 3.000) 2 2 ii) DRb + DRp 600 (30% de 2.000) 1 1 iii) 5DBp + 8DRp 15 5DBp2 + 8DRp2 15 iv) DBb1/4 + DRb1/3 +DBb2/4 + DRb2/3 170 DBb1 + DBb2 +DBp1 + DBp2 = 3000 DRb1 + DRb2 +DRp1 + DRp2 = 2000 DRbi, DRpi, DBbi, DBpi 0 para i = 1,2 2.15 Suponga que usted dispone de 800 puntos para apostar en la inscripción de los ramos mínimos A y B, y de los ramos optativos C y D. Los ramos A y C son de la rama de Economía en tanto que B y D son de Administración. La probabilidad de ser aceptado en un ramo es lineal respecto del número de puntos apostados: probabilidad = 0 si se apuesta 0 puntos, y probabilidad = 1 si se apuestan 500 puntos en el caso de los ramos mínimos, y 300 en el caso de los optativos. Se sabe que el ramo B demanda 10 horas semanales de estudio, un tercio de lo que requiere A y el doble de lo que requiere C, en tanto que D requiere un sexto de lo que demanda A. La asignación de puntos debe respetar las siguientes condiciones: El valor absoluto de la diferencia entre puntaje asignado a los ramos económicos y el puntaje asignado a los ramos administrativos no puede superar el 25% del total de puntaje apostado. (debe transformar la expresión de “valor absoluto” a fórmulas lineales, es decir, no puede ocupar el símbolo “|”) 17
El puntaje asignado a los ramos mínimos al menos debe duplicar al puntaje asignado a los optativos. La probabilidad de ser aceptado en un ramo mínimo no puede ser inferior al 20%. Por cada punto apostado al ramo D la escuela subsidia en 0,5 puntos la disponibilidad de puntos del alumno, si bien el total de puntos apostados a D no puede superar 300. El valor esperado de horas semanales de estudio debe ser no superior a 60. Plantee el programa lineal que asigna de manera óptima los puntos, considerando que usted valora en el doble el ser aceptado en un ramo mínimo que en uno optativo. Maximizar: 2 a/500 + 2 b/500 + c/300 + d/300 Sujeto a: a
500; b
500; c
300; d
300
a + c – (b + d)
¼ (a + b + c + d)
a + c – (b + d)
-¼ (a + b + c + d))
a+b
Probabilidades
Valor absoluto de la diferencia
2 (c+d) a
100
b
100
Puntaje mínimos al menos duplica Probabilidad ramo mínimo
a+b+c+d d
1
800 + 0,5 d
Subsidio
300
30/500 a + 10/500 b + 5/300 c + 5/300 d a, b, c, d
0
60Horas semanales de estudio No negatividad
2.16 Un supermercado debe planificar las compras diarias de los distintos tipos productos [en kilos] dados los precios diarios y considerando que existe un cierto espacio en góndolas para exponer los distintos productos en venta. El supermercado tiene la política de mantener las góndolas con su capacidad Kg de exhibición copada al menos en un 87% todos los días (al final del día) y se supone que las compras diarias van directamente a reposición de las góndolas. Las góndolas pueden exhibir más de un tipo de producto así como también un mismo producto puede encontrase exhibido en más de una góndola. Además, debe cumplirse con la política de que todos los días haya un mínimo de cada producto en exhibición (al final del día). Se sabe además que cada producto enfrenta una demanda distinta cada día. Defina las variables y modele este problema para maximizar el flujo de caja del supermercado en un horizonte de un año, donde el flujo de caja se mide como los 18
ingresos por ventas menos los costos por compras realizadas durante el año. Utilice los parámetros que se definen a continuación. Conjuntos: G = {pasillo1 superior, pasillo 4 inferior, ...} : Góndolas T = {peras, manzanas, ...}
: Tipos de Productos
D = {1,2, ..., 360}
: Días del año
Parámetros: Pt,d
: precio del producto t el día d
Kg
: capacidad de la góndola g
Ct,d
: costo del producto t comprado el día d
Et
: cantidad diaria mínima en exhibición del producto t
Dt,d
: demanda del producto t el día d
Solución:.Variables: vt,d,g, : Ventas del producto t, el día d en la góndola g xt,d,g, : Compras del producto t, el día d en la góndola g it,d,g : Inventario del producto t, el día d en la góndola g
Maximizar: 360
z=
pt , d t
d 1
vt , d , g
Ct , d
g
xt , d , g g
Sujeto a: it,d,g = it,d-1,g + xt,d,g - vt,d,g
g,d
Ecuación Inventario
it , d , g
Kg
g,d Capacidad de las góndolas
it , d , g
0.87*Kg
g,d
it , d , g
Et
vt , d , g
dt,d
t
Mínimo de inventario en las góndolas
g
t,d
Mínimo de cada producto en exhibición
g
t,d
Ventas máximas
g
xt,d,g, vt,d,g, it,d,g
0
t,d,g
No negatividad
19
