Técnicas de Conteo
1. La clase clase de Métodos Métodos Estadíst Estadístico icos s Multiv Multivari ariado ados s tiene tiene 15 alumno alumnos, s, de los cuales cuales 8 son hombres hombres y 7 son mujeres. mujeres. Para realia realiarr cierto cierto !royect !royecto o se desi"nan al aar 5 estudiantes del curso. #alcular la !robabilidad de $ue entre los estudiantes asi"nados al !royecto, haya % hombres y & mujeres.
8 7 3 2 15 7 a'
8 7 2 3 15 5 b'
15 7 3 2 15 5 c'
8 7 2 3 d' 2. De un lote lote que contien contiene e 20 artículos artículos defec defectuos tuosos os y 80 no defectuo defectuosos sos se escogen escogen 10 10 al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar eactamente ! defectuosos y ! no defectuosos"
a' (,%( (,%()& )&) )E*+ E*+ b' 5,77 5,77) )E* E*1( 1( c# 0$021! d# 0.!
%. La clase clase de Métodos Métodos Estadíst Estadístico icos s Multiv Multivari ariado ados s tiene tiene 15 alumno alumnos, s, de los cuales 8 son hombres y 7 son mujeres. El curso ha decidido desi"nar al aar un "ru!o de ( estudiantes $ue se encar"ar-n res!ectivamente, de reco"er las tareas, re!artir el material del curso, llamar a lista y avisar la hora de terminacin de cada clase. /uli-n 0incn, María #rdoba, 0icardo #amacho y /osé uendía son estudiantes de dicho curso. 2#u-l es la !robabilidad de $ue /uli-n 0incn resulte encar"ado de reco"er las tareas, María #rdoba de re!ar re!artir tir el materia materiall del curso, curso, 0icar 0icardo do #amach #amacho o de llamar llamar a lista lista y /osé /osé uendía de avisar la hora de terminacin de cada clase3
1 15
4 a.
4 1 15 1 b.
15 4 c.
1 15! / 11! d. %. De un lote que que contiene contiene 80 artículos defectuosos defectuosos y 20 no defectuosos defectuosos se se escogen escogen 10 al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar eactamente ! defectuosos y ! no defectuosos"
a' (,%()&)E*+ b' 5,77 5,77) )E* E*1( 1( c# 0$021! d# 0.! !. &n una escena escena editad editada a de la famosa famosa película película de terror terror '&l amanecer amanecer de los muertos muertos($ ($ )oger *el protagonista# se encuentra en una bodega de municiones dentro del centro comercial. &n un descuido de+a la puerta de la bodega abierta lo que permite que un grupo de , zombies entre a atacarlo. &n su desesperaci-n y miedo$ )oger encuentra una ca+a de municiones la cual contiene 12 cartucos de escopeta$ de los cuales / están acíos y ! están llenos. En la escena 0o"er nunca devuelve uno de los cinco cartuchos seleccionados a la caja de municiones. ea $ la ariable aleatoria que denota el n3mero de cartucos acíos. 4a probabilidad probabilidad de que )oger seleccione más de , cartucos acíos es5 a# b# c# d# e#
2%.%/ 6 2,./% 6 2%./% 6 2,.%/ 6 2%.// 4
Solución
7or mtodo de tcnicas de conteo se obtiene que5
1 15
4 a.
4 1 15 1 b.
15 4 c.
1 15! / 11! d. %. De un lote que que contiene contiene 80 artículos defectuosos defectuosos y 20 no defectuosos defectuosos se se escogen escogen 10 al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar eactamente ! defectuosos y ! no defectuosos"
a' (,%()&)E*+ b' 5,77 5,77) )E* E*1( 1( c# 0$021! d# 0.! !. &n una escena escena editad editada a de la famosa famosa película película de terror terror '&l amanecer amanecer de los muertos muertos($ ($ )oger *el protagonista# se encuentra en una bodega de municiones dentro del centro comercial. &n un descuido de+a la puerta de la bodega abierta lo que permite que un grupo de , zombies entre a atacarlo. &n su desesperaci-n y miedo$ )oger encuentra una ca+a de municiones la cual contiene 12 cartucos de escopeta$ de los cuales / están acíos y ! están llenos. En la escena 0o"er nunca devuelve uno de los cinco cartuchos seleccionados a la caja de municiones. ea $ la ariable aleatoria que denota el n3mero de cartucos acíos. 4a probabilidad probabilidad de que )oger seleccione más de , cartucos acíos es5 a# b# c# d# e#
2%.%/ 6 2,./% 6 2%./% 6 2,.%/ 6 2%.// 4
Solución
7or mtodo de tcnicas de conteo se obtiene que5
7 5 7 5 1 5 0 4 = 0.2209 + 0.0265 + P (Y > 3) = 12 12 5 5 P (Y > 3) = 0.2474
9. &n una escena editada de la famosa película de terror '&l amanecer de los muertos($ )oger *el protagonista# se encuentra en una bodega de municiones dentro del centro comercial. &n un descuido de+a la puerta de la bodega abierta lo que permite que un grupo de , zombies entre a atacarlo. &n su desesperaci-n y miedo$ )oger encuentra una ca+a de municiones la cual contiene 12 cartucos de escopeta$ de los cuales / están acíos y ! están llenos. En la escena 0o"er nunca devuelve uno de los cinco cartuchos seleccionados a la caja de municiones. ea :$ la ariable aleatoria que denota el n3mero de cartucos llenos. 4a probabilidad de que )oger seleccione más de , cartucos es5 a# b# c# d# e#
%.!%! 6 %.!,; 6 %.!%0 6 %.!,8 6 %.!!! 4
Solución
7or mtodo de tcnicas de conteo se obtiene que5
7 5 7 5 1 4 0 5 = 0.04419 + 0.00126 + P ( X > 3) = 12 12 5 5 P ( X > 3) = 0.04545
/. &n un día cualquiera$
0.9%82 0.9%28 0.9%22 0.9%88 Solución
X ea la ariable aleatoria que cuenta el n3mero de pares de medias blancas que selecciona
P ( X ≤ 1)
= P ( X = 0) + P ( X = 1)
5 3 5 3 2 1 1 0 = 0.6428 + P ( X ≤ 1) = 8 8 2 2
Probabilidades Condicionales
1. Dos boeadores se an a enfrentar en una pelea a , asaltos. 4os obseradores opinan que cada boeador tiene la misma probabilidad de ganar la pelea de un golpe de =noc=>out y es igual a 0.2. in embargo si no se produce =noc=>out el boeador 1 por ser más estilista gana el asalto con probabilidad 0./!. ?ambin se sabe que si un boeador gana 2 asaltos seguidos gana la pelea y se termina. Nota: Los boxeadores ganan la pelea si ganan dos o más asaltos o si “knockean” en cualquiera de los asaltos.
¿Cuál es la probabilidad que el boeador 1 gane por =noc=>out"
a' b' c' d' e'
+.%(7 +.%17 +.%71 +.%%( o se !uede calcular
2. Dos boeadores se an a enfrentar en una pelea a , asaltos. 4os obseradores opinan que cada boeador tiene la misma probabilidad de ganar la pelea de un golpe de =noc=>out y es igual a 0.2. in embargo si no se produce =noc=>out el boeador 1 por ser más estilista gana el asalto con probabilidad 0./!. ?ambin se sabe que si un boeador gana 2 asaltos seguidos gana la pelea y se termina. Nota: Los boxeadores ganan la pelea si ganan dos o más asaltos o si “knockean” en cualquiera de los asaltos. ¿Cuál es la probabilidad que el boeador 1 gane la pelea"
a' b' c' d' e'
+.%(7 +.%8+ +.58+ +.(5+ o se !uede calcular
,. &l departamento de crdito de la empresa @AB?) inform- que el ,06 de sus entas son en &fectio$ el ,06 en Ceque y el %06 restante en ?ar+eta de Crdito. De acuerdo con las estadísticas de la compaEía$ el 206 de las entas en &fectio y el ;06 de las entas en Ceque$ respectiamente$ se realizan por un alor superior a F100.000. Gdicionalmente$ se sabe que la probabilidad de que un cliente de @AB?) seleccionado al azar realice una compra inferior o igual a F100.000 y lo aga con ?ar+eta de Crdito es de 0.19. i se escoge al azar un cliente que izo una compra superior a F100.000$ calcule la probabilidad de que aya pagado con Ceque.
a# b# c# d# e#
0.!, 0.%/ 0.!/ 0.%1 Ao se puede calcular
%. &l departamento de crdito de la empresa @AB?) inform- que el ,06 de sus entas son en &fectio$ el ,06 en Ceque y el %06 restante en ?ar+eta de Crdito. De acuerdo con las estadísticas de la compaEía$ el 206 de las entas en &fectio y el ;06 de las entas en Ceque$ respectiamente$ se realizan por un alor superior a F100.000. Gdicionalmente$ se sabe que la probabilidad de que un cliente de
@AB?) seleccionado al azar realice una compra inferior o igual a F100.000 y lo aga con ?ar+eta de Crdito es de 0.19. i se escoge un cliente al azar que izo una compra inferior o igual F100.000$ calcule la probabilidad de que aya pagado con &fectio
a# b# c# d# e#
0.%% 0.!0 0.!9 0./2 Ao se puede calcular
!. e cree que )afael Aadal y )oger Bederer disputarán la final del torneo de tenis$ 7&A 2008. 4a probabilidad de que )afael Aadal gane son 2 contra 1. i +uegan dos partidos$ ¿Cuál es la probabilidad de que )afael Aadal gane al menos 1 partido" a# 1H% b# 1H; c# 8H; d# 1H9 e# %H;
9. e sabe que el 2!6 de los teleisores de cierta compaEía requieren un sericio cuando están todaía en garantía$ mientras que solo 1!6 de los DIDs necesitan ese sericio. i alguien compra un teleisor y un DID fabricado por esta compaEía$ ¿cuál es la probabilidad de que ambos productos necesiten sericio dentro de la garantía" a# b# c# d# e#
Ao es posible responder la pregunta con la informaci-n suministrada 0.9% 0.0% 0.02! 0
/. e sabe que el 2!6 de los teleisores de cierta compaEía requieren un sericio cuando están todaía en garantía$ mientras que solo 1!6 de los DIDs necesitan ese sericio. i alguien compra un teleisor y un DID fabricado por esta compaEía$ ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de los productos necesite este sericio" a# b# c# d# e#
0 0.0% 0.;9 0.9% Ao es posible responder la pregunta con la informaci-n suministrada
8. G usted lo an contratado para realizar una auditoría en los procesos de calidad de la Aacional de Cocolates. &n la compaEía se tienen dos máquinas para acer los cocolates5
• •
Aormal. ?urbo.
Dependiendo de la máquina$ se incrementan los defectos en los cocolates$ los cuales están clasificados en G5 mala consistencia$ J5 mal sabor$ C5 tamaEo inadecuado. &n cada cocolate a lo sumo se presenta un tipo de defecto y cada máquina produce cocolates de manera independiente. 4os defectos que se presentan entre los cocolates producidos por la misma máquina tambin son independientes. 4a siguiente tabla muestra las probabilidades con las que cada uno de los defectos ocurre en cualquier cocolate dependiendo de la máquina en la que fue producido5 Máquina Aormal ?urbo
Defecto tipo A 0$0/ 0$18
Defecto tipo B 0$0% 0$0;
Defecto tipo C 0$002 0$0,
&l 2!6 de los cocolates se producen en la máquina turbo. ¿Cuál es la probabilidad de que un cocolate seleccionado al azar tenga un defecto tipo G" a# b# c# d# e#
!.2, 6 ,.%! 6 ;.2! 6 ;./! 6 Ao se puede calcular
;. G usted lo an contratado para realizar una auditoría en los procesos de calidad de la Aacional de Cocolates. &n la compaEía se tienen dos máquinas para acer los cocolates5
• •
Aormal. ?urbo.
Dependiendo de la máquina$ se incrementan los defectos en los cocolates$ los cuales están clasificados en G5 mala consistencia$ J5 mal sabor$ C5 tamaEo inadecuado. &n cada cocolate a lo sumo se presenta un tipo de defecto y cada máquina produce cocolates de manera independiente. 4os defectos que se presentan entre los cocolates producidos por la misma máquina tambin son independientes. 4a siguiente tabla muestra las probabilidades con las que cada uno de los defectos ocurre en cualquier cocolate dependiendo de la máquina en la que fue producido5 Máquina Aormal ?urbo
Defecto tipo A 0$08 0$1!
Defecto tipo B 0$09 0$08
Defecto tipo C 0$00! 0$02
&l ,26 de los cocolates se producen en la máquina turbo. ¿Cuál es la probabilidad de que un cocolate seleccionado al azar tenga un defecto tipo J" a# b# c# d# e#
!.;; 6 9.9% 6 9.90 6 9.,2 6 Ao se puede calcular
Variables Aleatorias
1. &l gerente de una empresa dedicada a la fabricaci-n de equipos de sonido$ determina
y
que la ariable aleatoria $ la cual$ describe el comportamiento del tiempo de duraci-n *en aEos# de un equipo de sonido$ se a+usta a la siguiente funci-n de probabilidad5
f Y ( y ) =
6 (3 y − y 2 ) 7
0 ≤ y ≤1
Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que por lo menos un equipo de sonido funciones correctamente más de 0.! aEos es5 a# b# c# d# e#
0.9%20 0.9%28 0.9%88 0.9!,2 0.9!28
Solución
e debe calcular la siguiente probabilidad5
P ( y > 0.5) 7ara facilitar los cálculos$ se sabe por el aioma de la probabilidad del complemento que5
P ( y > 0.5) = 1 − P ( y ≤ 0.5) &ntonces5
P ( y > 0.5) = 1 −
6
0.5
( 3 y − y 7 ∫
2
) dy
0
Gplicando propiedades de integraci-n por sustituci-n se obtiene que5
P ( y > 0.5) = 1 −
6 3
7 2
y
2
+
y
3
3
0. 5
0
→
P ( y > 0.5) = 0.6428
2. &l inspector de calidad de una empresa dedicada a la fabricaci-n de cilindros para gas$
X determina que para la ariable aleatoria la cual describe el comportamiento del tiempo de duraci-n *en aEos# de un cilindro para gas$ se a+usta a la siguiente funci-n de probabilidad5
f X ( x) =
6 7
(3 x − x 2 )
0 ≤ x ≤1
Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que por lo menos un cilindro para gas pueda utilizarse entre 0., a 0.8 aEos es5 a# b# c# d# e#
0.!9!! 6 0.!9/! 6 0.!98! 6 0.!9!8 6 0.!9!/ 6
Solución
e debe calcular la siguiente probabilidad5
P (0.3 años ≤ X ≤ 0.8 años) &ntonces5 0.8
P (0.3 años ≤ X ≤ 0.8 años ) =
6 ( 3 x − x 2 ) dx 7 0.3
∫
Gplicando propiedades de integraci-n por sustituci-n se obtiene que5
P (0.3 años ≤ X ≤ 0.8 años ) =
6 3 x 2 7 2
−
x 3
3
0.8
0.3
→
P (0.3 años ≤ X ≤ 0.8 años ) = 0.5685
,. Gna es la gerente operatia de GJC Drilling$ una empresa encargada de acer perforaciones de pozos petroleros. 7ara la pr-ima perforaci-n Gna está planeando utilizar una nuea tecnología para tratar de alcanzar un niel alto de profundidad. De acuerdo con la eperiencia de otras empresas utilizando dica tecnología en superficies parecidas$ se sabe que en el 206 de los casos se alcanz- una profundidad de ! mil pies$ en el !06 de los casos se alcanz- una profundidad de 8 mil pies$ mientras que en el ,06 restante se logr- una profundidad de 10 mil pies. ¿Cuál es la probabilidad de que la profundidad alcanzada en el proceso de perforaci-n sea mayor a !000 pies" a# b# c# d#
0.20 0.80 0./0 0.!0
%. &l +efe de producci-n de una empresa encargada de la fabricaci-n de componentes electr-nicos determina que la funci-n de probabilidad del tiempo de falla de un componente electr-nico en una copiadora *en oras# es5
f x ( x) =
e
− x1000
1000
∀ x ∈ (0, ∞)
4a probabilidad de que un componente falle en el interalo de 1000 oras a 2000 oras es5 a# b# c# d# e#
2,.%! 6 2,.10 6 2,.2! 6 2,.22 6 2,.%8 6
Solución
P (1000 horas ≤ X ≤ 2000 horas ) e considera que la probabilidad solicitada es entonces5 2000
P (1000 ≤ X ≤ 2000) =
e
− x1000
∫ 1000
dx = e −1
K
− e − 2 = 23,25 %
1000
!. &l departamento financiero de la compaEía << está interesado en la ealuaci-n de un nueo proyectoK la ealuaci-n se a a realizar basada en la funci-n de densidad de probabilidad de la ariable aleatoria :$ que representa la utilidad del proyecto en millones de d-lares. eg3n el departamento financiero la funci-n de densidad de : está definida en el rango de >1 asta !$ y sta está definida de la siguiente forma5
f X ( x ) =
{
1 6
−1< x < 5
0 delocontrario
&l departamento financiero clasifica el proyecto de acuerdo a las siguiente categorías5 malo *utilidad entre >1 y 0.!#K aceptable *utilidad entre 0.! y ,.!# y bueno *utilidad entre ,.! y !#. Jasado en la informaci-n anterior$ la probabilidad de que el proyecto sea calificado como malo es5 a# b# c# d# e#
0.2!0 0.!00 0./!0 0.19/ 0.8,,
9. &n una escena editada de la famosa película de terror '&l amanecer de los muertos($ )oger *el protagonista# se encuentra en una bodega de municiones dentro del centro comercial. &n un descuido de+a la puerta de la bodega abierta lo que permite que un grupo de , zombies entre a atacarlo. &n su desesperaci-n y miedo$ )oger encuentra una ca+a de municiones la cual contiene 12 cartucos de escopeta$ de los cuales / están acíos y ! están llenos. En la escena 0o"er nunca devuelve uno de los cinco cartuchos seleccionados a la caja de municiones. ea $ la ariable aleatoria que denota el n3mero de cartucos acíos. 4a probabilidad de que )oger seleccione más de , cartucos acíos es5 a# 2%.%/ 6
b# c# d# e#
2,./% 6 2%./% 6 2,.%/ 6 2%.// 4
Solución
&n
esta
situaci-n
P (Y > 3) = P (Y = 4) + P (Y = 5)
se
requiere
la
siguiente
probabilidad
L0.2%/% Nota: &ste e+ercicio tambin se resoli- por tcnicas de conteo
/. &l departamento financiero de la compaEía << está interesado en la ealuaci-n de un nueo proyectoK la ealuaci-n se a a realizar basada en la funci-n de densidad de probabilidad de la ariable aleatoria :$ que representa la utilidad del proyecto en millones de d-lares. eg3n el departamento financiero la funci-n de densidad de : está definida en el rango de >1 asta !$ y sta está definida de la siguiente forma5
f X ( x ) =
{
1 6
−1< x < 5
0 delocontrario
&l departamento financiero clasifica el proyecto de acuerdo a las siguiente categorías5 malo *utilidad entre >1 y 0.!#K aceptable *utilidad entre 0.! y ,.!# y bueno *utilidad entre ,.! y !#. Jasado en la informaci-n anterior$ la probabilidad de que el proyecto no se calificado como aceptable es5 a# b# c# d# e#
0.2!0 0.!00 0./!0 0.19/ 0.8,,
8. &n una escena editada de la famosa película de terror '&l amanecer de los muertos($ )oger *el protagonista# se encuentra en una bodega de municiones dentro del centro comercial. &n un descuido de+a la puerta de la bodega abierta lo que permite que un grupo de , zombies entre a atacarlo. &n su desesperaci-n y miedo$ )oger encuentra una ca+a de municiones la cual contiene 12 cartucos de escopeta$ de los cuales / están acíos y ! están llenos. En la escena 0o"er nunca devuelve uno de los cinco cartuchos seleccionados a la caja de municiones. ea :$ la ariable aleatoria que denota el n3mero de cartucos llenos. 4a probabilidad de que )oger seleccione más de , cartucos es5 f# g# # i# +#
%.!%! 6 %.!,; 6 %.!%0 6 %.!,8 6 %.!!! 4
Solución
&n
esta
situaci-n
se
P ( X > 3) = P ( X = 4) + P ( X = 5)
requiere
la
L 0.0%!%!. Nota: &ste e+ercicio tambin se resoli- por tcnicas de conteo
siguiente
probabilidad
Variables Aleatorias Discretas
1. #on el avance tecnol"ico de los 6ltimos aos, la in"eniera de control de calidad, manda, ha lo"rado calcular la concentracin !romedio de sul9uros en las botellas de a"ua Riachuelo. sí, ha encontrado $ue la concentracin !romedio de sul9uros e:!resada en micro"ramos !or litro, se com!orta como una variable aleatoria con la si"uiente 9uncin de densidad de !robabilidad,
El valor es!erado de la concentracin !romedio de sul9uros en ;"
%.%% 1+ 1.7 in"una de las anteriores
&. La em!resa colombiana Matimba es una de las m-s im!ortantes del !aís en cuanto al control de calidad se re>ere. La concentracin de hi!oclorito en sus re9rescos re!resenta la variable m-s im!ortante a controlar dentro del !roceso !roductivo. ntonio, o!erario de la !lanta, revisa 15 veces !or día el lector de hi!oclorito, donde cada revisin resulta ser inde!endiente entre sí. La !robabilidad $ue tiene ntonio de re!ortar correctamente la concentracin re!ortada !or el lector de hi!oclorito es i"ual a +.%. 2#u-ntas veces se es!era $ue ntonio revise el lector hasta re!ortar correctamente la concentracin de hi!oclorito3 a' b' c' d' e'
%.%% +.% (.5 %. in"una de las anteriores
,. 7ara la materia Geromodelismo Jásico$ los estudiantes deben acer un ai-n de papel$ el cual será probado por el profesor durante la sustentaci-n. &l tiempo que dura un ai-n de papel sostenido en el aire es una ariable aleatoria *?#$ epresada en minutos$ con la siguiente funci-n de densidad5
t f T (t ) = 9 6 − t 9 0
0 ≤ t ≤ 3 3 < t ≤ 6 dlc.
4a nota que un estudiante recibe por el ai-n que diseE-$ depende del tiempo que dura en el aire y es calculada de la siguiente manera5
• • •
1 si el ai-n dura menos de 1 minuto en el aire. ,.! si el ai-n dura más de 1 pero menos de ! minutos en el aire. ! si el ai-n dura más de ! minutos en el aire.
De acuerdo a la informaci-n anterior$ la nota promedio que recibirá un alumno por su ai-n en la sustentaci-n será5 a# b# c# d# e#
,.00 2.8! ,.%% ,.20 Ainguno de los anteriores.
%. &l tiempo necesario para una operaci-n de ensambla+e de un componente electr-nico
S *en segundos#$ es una ariable aleatoria funci-n de probabilidad5
que se distribuye mediante la siguiente
f X ( x) = 0.1
30 < S < 40
Con base en la informaci-n suministrada$ la desiaci-n estándar del tiempo requerido para una operaci-n de ensambla+e es5 a# b# c# d# e#
8.,,, segundos 2.889 segundos ,.,,, segundos 8.889 segundos ,.889 segundos Solución
e procede mediante5
Var ( X ) = E [ X 2 ] − [ E [ X ] ]
2
2
40 2 Var ( X ) = ∫ (0.1) x dx − ∫ (0.1) x dx ∴ 30 30 40
(40) 2 − (30) 2 (40) 3 − (30) 3 Var ( X ) = (0.1) − (0.1) 3 2
Var ( X ) = (12333.33) (0.1) −1225 Var ( X ) = 1233.333 − 1225
= 8.333
4a desiaci-n se obtiene mediante5 X
=
X
= 2.8866
Var ( X )
=
8.333
segundos !. &l restaurante de comidas rápidas << recibe pedidos a domicilio por una cantidad : de artículos$ la cual se distribuye con la siguiente funci-n de probabilidad5
2
g X ( x )=
( 5 − x ) 10
x =1,2,3,4
&l costo por artículo *en miles de pesos# del pedido esta dado por la siguiente funci-n5
Costo ( x ) =
7− x 2
4a moto de la repartidora Gstrid solo tiene capacidad para máimo , artículos$ por lo que no siempre puede realizar el domicilio. &l pago promedio que recibirá Gstrid por cada domicilio que realice es5 a# b# c# d# e#
%.! ,.; 2.0 2.! Ao se puede calcular
9. &n un eperimento de laboratorio de física mecánica$ se desea conocer el comportamiento de la aplicaci-n de fuerza a un ob+eto. 7ara dico análisis$ se dispone de un dispositio que mide la distancia recorrida *en centímetros# cuando se le aplica
X una determinada fuerza al ob+eto. ea
la ariable aleatoria discreta que describe la
X distancia total recorrida del ob+eto. e sabe que la funci-n de probabilidad de dada por5
f X ( x) = 1
6
está
0 < X ≤ 6 cm
4a fuerza aplicada al ob+eto *medida en AeMtons# se calcula mediante la siguiente
P ( x) = x 2 epresi-n5 aplicada al ob+eto es5 a# b# c# d# e#
+ 3x − 2 . Con base en esta informaci-n$ la fuerza neta promedio
2!.09 AeMtons 2,.99 AeMtons 20.09 AeMtons 22.99 AeMtons 22.90 AeMtons
Solución
e sabe que el alor esperado de una ariable aleatoria discreta está dado por5
E ( X ) =
∑ x f ( x) X
∀ x
Cuando se desea el alor esperado de una funci-n que depende de la ariable aleatoria$ se considera que5
E ( X ) =
∑ P ( x) f ( x) X
∀ x
E ( X ) =
1 ( x 2 + 3 x − 2) = 1 6 x 2 + 1 6 x − 2 ∑ ∑ ∑ 6 x =1 2 x =1 x =1 6 6
E ( X ) = 23.66 Newtons
/. &studios de mercado estiman que un nueo instrumento para el análisis de muestras de suelo será de gran ito$ ito moderado$ o sin ito$ con probabilidades 0.,$ 0.9 y 0.1$ respectiamente. 4os ingresos anuales asociados con un producto de gran ito$ con un ito moderado o sin ito son de F 10 millones$ F ! millones y F 1 mill-n$ respectiamente. ea :$ la ariable aleatoria que denota los ingresos anuales del producto. 4a desiaci-n estándar del ingreso anual asociado a los productos es5 a# b# c# d# e#
9.2%! millones ,.,!2 millones 9.2%8 millones ,.8!2 millones 9.22! millones
Solución
4a arianza de una ariable aleatoria discreta se determina mediante5
V ( X ) = E ( X − µ ) 2
= E ( X 2 − 2 X µ + µ 2 ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2
donde$
µ = E ( X ) → Valor esperado de la var iable
V ( X ) =
3
∑ x i =1
2 i
3 f ( xi ) − ∑ xi f ( xi ) i =1
2
V ( X ) = ($1) 2 (0.1) + ($5) 2 (0.6) + ($10) 2 (0.3) − ($6.1) 2
V ( X ) = $ 39 millones
2
)ecuerde que la desiaci-n estándar es equialente a la raíz cuadrada de la arianza$ por lo tanto5
σ = V ( X )
→ σ =
$ 39 millones 2
σ = $ 6.245 millones 8. &n un eperimento de laboratorio de física mecánica$ se desea conocer el comportamiento de la aplicaci-n de presi-n a un gas. 7ara dico análisis$ se dispone de un dispositio que mide la distancia recorrida *en centímetros# cuando se le aplica
X una determinada presi-n al gas. ea la ariable aleatoria discreta que describe la distancia total recorrida de compresi-n del gas. e sabe que la funci-n de probabilidad
X de
está dada por5
f X ( x) = 1
0 < X ≤ 8 cm
8
4a presi-n aplicada al ob+eto *medida en 4ibras# se calcula mediante la siguiente
P ( x ) = 2 x 2
+ 0.75 x − 2
epresi-n5 promedio aplicada al gas es5 a# b# c# d# e#
. Con base en esta informaci-n$ la presi-n
!1./!0 4ibras !0./!, 4ibras !,.,/! 4ibras !,.,90 4ibras !1./,! 4ibras
Solución
e sabe que el alor esperado de una ariable aleatoria discreta está dado por5
E ( X ) =
∑ x f ( x) X
∀ x
Cuando se desea el alor esperado de una funci-n que depende de la ariable aleatoria$ se considera que5
E ( X ) =
∑ P ( x) f ( x) X
∀ x
1 2 1 8 2 0.75 8 E ( X ) = ∑ ( 2 x + 0.75 x − 1) = ∑ x + ∑ x − 1 8 4 8 x =1 x =1 x =1 8
E ( X ) = 53.375 Libras
;. uponga que la funci-n de densidad de probabilidad de la ariable aleatoria : está dada por5
{
y 0≤ y≤1 f Y ( y ) = 2− y 1 ≤ y ≤ 2 0d.l.c.
4a funci-n de distribuci-n acumulada$ B *y#$ de está dada por5
F Y ( y )=
a.
F Y ( y )=
b.
F Y ( y )=
c.
F Y ( y )=
d.
{
0 y < 0
y 2
y 2
0 ≤ y< 1
−1 1 ≤ y < 2 1 y ≥ 2
{ {
y
2 y −
y
2
−1 1 ≤ y < 2 2 0d.l.c.
y
2
0 ≤ y< 1
2
2 y −
{
F Y ( y )=
0 ≤ y <1
2
y
2
−
3
1 ≤ y <2 2 2 0d.l.c.
0 y < 0
y
2
0 ≤ y <1
2
2 y −
e#
2
y
2
2
− 1 1 ≤ y < 2
1 y ≥ 2
{
y
2
2
2 y −
0 ≤ y <1
y 2 2
−1 1 ≤ y < 2
10. &studios de mercado estiman que un nueo instrumento para el análisis de muestras de suelo será de gran ito$ ito moderado$ o sin ito$ con probabilidades 0.!$ 0., y
0.2$ respectiamente. 4os ingresos anuales asociados con un producto de gran ito$ con un ito moderado o sin ito son de F 11 millones$ F / millones y F 2 mill-n$ respectiamente. ea :$ la ariable aleatoria que denota los ingresos anuales del producto. 4a desiaci-n estándar del ingreso anual asociado a los productos es5 a# b# c# d# e#
,.2%! millones %.,!2 millones ,.2%% millones ,.%9% millones %.22! millones
Solución
4a arianza de una ariable aleatoria discreta se determina mediante5
V ( X ) = E ( X − µ ) 2
= E ( X 2 − 2 X µ + µ 2 ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2
donde$
µ = E ( X ) → Valor esperado de la var iable
V ( X ) =
3
∑ x i =1
2 i
3 f ( xi ) − ∑ xi f ( xi ) i =1
2
V ( X ) = ($2) 2 (0.2) + ($7) 2 (0.3) + ($11) 2 (0.5) − ($8) 2
V ( X ) = $ 12 millones 2 )ecuerde que la desiaci-n estándar es equialente a la raíz cuadrada de la arianza$ por lo tanto5
σ = V ( X )
→ σ =
$ 12 millones 2
σ = $ 3.464 millones
eneratri! de Mo"entos
1. Determine la funci-n generatriz de momentos de la siguiente f.d.p5
{
1
a < x < b f X ( x )= b − a 0d.l.c. s ( b − a)
a.
b.
e Ψ X = ( b− a ) s sb sa e −e = Ψ X ( b− a ) s
sb
sa
c.
e −e Ψ X = ( b −a )
d.
e s (¿ ¿ sb −e sa ) ( b −a ) Ψ X =¿
e. Ao se tiene informaci-n suficiente
Variables Aleatorias Con#untas
1. 4a producci-n diaria de enzimas del cuerpo umano de un ombre iene dada por una ariable aleatoria :$ mientras que para las mu+eres la producci-n de enzima está dada por una ariable aleatoria . De esta forma$ la Bunci-n de Distribuci-n de 7robabilidad Con+unta de :$ es5
f X ,Y ( x , y )=
{
−2 x − y
2e
e
; x ≥ 0, y ≥ 0 0;d.l.c.
a# : y son independientes$ donde
f X ( x ) =
{
f Y ( y )=
{
−2 x
2e ;x≥0 0;d.l.c.
− y
e
;Y ≥ 0 0;d.l.c.
b# : y son independientes$ donde
{
−2 x e ; x≥ 0 = ( ) f X x
f Y ( y ) =
0;d.l.c.
{
−2 y
;Y ≥ 0 2e 0;d.l.c.
c# : y no son independientes$ pero
f X ( x ) =
{
f Y ( y ) =
{
− 2 x
;x ≥0 2e 0;d.l.c. − y
e
;Y ≥ 0 0;d.l.c.
d# Ao se puede calcular las funciones marginales de : y $ porque no son independientes. e# Ainguna de las anteriores. 2. 4a conersi-n de la reacci-n de saponificaci-n en un reactor C?) iene dada por una ariable aleatoria :$ mientras que para un reactor tubular con membranas está dada por una ariable aleatoria . De esta forma$ la Bunci-n de Distribuci-n de 7robabilidad Con+unta de :$ es5
f X ,Y ( x , y )=
{
−2 x − y
2e
a# : y no son independientes$ pero
e
; x ≥ 0, y ≥ 0 0;d.l.c.
f X ( x ) =
{
f Y ( y )=
{
−2 x
2e ;x≥0 0;d.l.c.
− y
e
;Y ≥ 0 0;d.l.c.
b# : y son independientes$ donde
f X ( x ) =
{
−2 x
e
; x≥ 0 0;d.l.c.
{
−2 y ;Y ≥ 0 2e = ( ) f Y y
0;d.l.c.
c# : y no son independientes$ pero
f X ( x ) =
{
f Y ( y ) =
{
− 2 x
;x ≥0 2e 0;d.l.c. − y
e
;Y ≥ 0 0;d.l.c.
d# : y son independientes$ donde
f X ( x ) =
{
f Y ( y )=
{
−2 x
2e ;x≥0 0;d.l.c.
− y
e
;Y ≥ 0 0;d.l.c.
e# Ainguna de las anteriores. ,. &l rendimiento físico *medido en oras# de un ombre para realizar e+ercicios cardioasculares es una ariable aleatoria :K mientras que el rendimiento físico de una mu+er para la misma actiidad es una ariable aleatoria . 4a relaci-n entre el comportamiento de las dos ariables se presenta en la siguiente funci-n de probabilidad con+unta5
f XY ( x, y )
k (1 − y ) = 0
0 ≤ x ≤ y ≤ 1 d .l .c.
Con base en sta informaci-n$ la funci-n de probabilidad que describe el rendimiento físico *en oras# de un ombre para realizar e+ercicios cardioasculares es5
f X ( x) = (1 − x) 2 a#
0 ≤ x ≤1
f X ( x) =
3 2
(1 − x) 4 0 ≤ x ≤ 1
b#
f X ( x ) = 3 (1 − x ) 2 0 ≤ x ≤ 1 c#
f X ( x) = 3 (1 − x 2 ) 0 ≤ x ≤ 1 d#
f X ( x) = 1 − x
0 ≤ x ≤1
e# Solución 1 y
∫ ∫ 0 0
1
∫ 0
k (1 − y ) dxdy = 1
( y − y ) dy = 2
1 k
1
→
∫ k (1 − y) x
y 2
y 3
2
0
−
3
1 0
y 0
dy = 1
=1 ⇒ k
1 1 − 2 3
=1 ⇒ k
k = 6
Gora se procede procede con el el cálculo de la la marginal5 1
∫
f X ( x) = 6 (1 − y ) dy
1
= − 3(1 − x) 2 x = 3(1 − x) 2
0 ≤ x ≤1
x
%. e sabe sabe que el tiempo tiempo de espera espera de un cliente cliente en un banco banco en partic particula ular$ r$ es una
λ
X
ariable ariable aleatoria aleatoria que se distribuye distribuye eponencia eponenciall con tasa . Gdicionalmente el tiempo de atenci-n$ el cual se considera independiente con respecto al tiempo de
Y espera$ espera$ es una ariable ariable aleatoria aleatoria que se distribuy distribuye e eponen eponencial cial con tasa base en esta informaci-n$ la funci-n de probabilidad con+unta es5
f XY ( x, y ) = λµ e − ( λ x + µ y )
x > 0, y > 0
a$
f XY ( x, y ) = µ e − ( λ x + µ y )
x > 0, y > 0
f XY ( x, y ) = µ 2 e − ( λ x + µ y )
x > 0, y > 0
b$
c$
f XY ( x, y ) = λµ e − ( λ x − µ y ) d$
x > 0, y > 0
µ
. Con
f XY ( x, y ) = λµ e − ( µ x −λ y )
x > 0, y > 0
e$ Solución
e sabe que el tiempo de espera y el tiempo de atenci-n son ariables aleatorias independientesK por lo tanto5
f X ( x ) = λ e − λ x x > 0 f Y ( y ) = µ e − µ y y > 0 f XY ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y ) = ( λ e − λ x ) ( µ e − µ y ) = λµ e − (λ x + µ y ) x > 0, y > 0
!. &l profesor profesor de un curso de ?ermod ?ermodiná inámica mica para ingenie ingenieros ros industrial industriales es establece establece que seg3n el n3mero de fallas que tenga un estudiante$ ste puede aprobar o reprobar el curso. &n ista de esta situaci-n$
Y ∈ { 1, 2, 3, 4 } fallas es una ariable aleatoria
y la aprobaci-n o prdida del curso de
X ∈{ 1, 2 } ?ermodinámica es representado por la ariable aleatoria Y\X 1 2 3 4
Aprobar (1)
Reprobar (2)
0.07142
0.07142
0.07142
0.14285
0.14285
0.21428
0.07142
0.21428
5
i
P (Y ≥ 2 | X = 2) = 0.50 a#
P (Y ≥ 2 | X = 2) = 0.0052 b#
P (Y ≥ 2 | X = 2) = 0.3452 c#
P (Y ≥ 2 | X = 2) = 0.8888 d#
P (Y ≥ 2 | X = 2) = 0.2222 e# Solución
P (Y ≥ 2 | X = 2) e procede con la probabilidad condicional5
P (Y ≥ 2 | X = 2) =
P (Y ≥ 2 ∩ X = 2)
P (Y ≥ 2 | X = 2)] =
P ( X = 2)
=
K entonces5
P (Y = 2, X = 2) + P (Y = 3, X = 2) + P (Y = 4, X = 2) P ( X = 2)
(0.14285) + (0.21428) + (0.21428) 0.64283
= 0.8888
9. e sabe que que el n3mero n3mero de clientes clientes que llegan llegan a un banco banco en particul particular$ ar$ es es una ariable ariable
λ t
X
aleatoria aleatoria que se distribuye distribuye 7oisson 7oisson con tasa . Gdicionalmente el n3mero de clientes que son atendidos$ el cual se considera independiente con respecto al n3mero
Y de clientes que llegan al banco$ es una ariable aleatoria
µ t
con tasa
que se distribuye 7oisson
. Con base en esta informaci-n$ la funci-n de probabilidad con+unta es5
f XY ( x, y ) =
(λµ t ) x+ y e − ( λ + µ ) t x! y!
x
> 0, y > 0
f XY ( x, y ) =
(λµ t ) x e − ( λ + µ ) t x! y!
x
> 0, y > 0
f XY ( x, y ) =
(λ x µ y ) (t ) x+ y e − ( λ − µ ) t x > 0, y x! y!
>0
f XY ( x, y ) =
(λ x µ y ) (t ) x+ y e − ( λ + µ ) t x! y!
x
> 0,
y
>0
f XY ( x, y ) =
(λ y µ x ) (t ) x+ y e − ( λ − µ ) t x! y!
x
> 0,
y
>0
a$
b$
c$
d$
e$ Solución
e sabe que las dos ariables son independientesK por lo tanto5
f X ( x ) =
(λ t ) x e − λ t x > 0 x!
( µ t ) y e − µ t f Y ( y ) = y!
y > 0
f XY ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y ) =
(λ x µ y ) t x+ y e − (λ + µ ) t x > 0, y > 0 x! y!
/. &l profesor de un curso de Bísica Noderna para ingenieros industriales establece que seg3n el n3mero de fallas que tenga un estudiante$ ste puede aprobar o reprobar el curso. &n ista de esta situaci-n$ 7edro considera sus posibilidades de acuerdo a la siguiente funci-n de probabilidad con+unta considerando que el n3mero de fallas es una
Y ∈ { 1, 2, 3, 4 } ariable aleatoria
y la aprobaci-n o prdida del curso de
X ∈{ 1, 2 } ?ermodinámica es representado por la ariable aleatoria Y\X 1 2 3 4
Aprobar (1)
Reprobar (2)
0.07142
0.07142
0.07142
0.14285
0.14285
0.21428
0.07142
0.21428
5
i 7edro$ ¿cuál es la probabilidad de que
P ( X = 1 | Y ≥ 2) = 0 a#
P ( X = 1 | Y ≥ 2) = 0.3333 b#
P ( X = 1 | Y ≥ 2) = 0.01020 c#
P ( X = 1 | Y ≥ 2) = 0.6666 d#
P ( X = 1 | Y ≥ 2) = 0.100085 e# Solución
P ( X = 1 | Y ≥ 2) e procede con la probabilidad condicional5
P ( X = 1 | Y ≥ 2) =
P ( X = 1∩ Y ≥ 2)
P ( X = 1 | Y ≥ 2)] =
P (Y ≥ 2)
=
K entonces5
P ( X = 1, Y = 2) + P ( X = 1,Y = 3) + P ( X = 1, Y = 4) P (Y = 2) + P (Y = 3) + P (Y = 4)
(0.07142) + (0.14285) + (0.07142) 0.8571
= 0.3333
Covarianza
1. 4ece 4a Ne+or .G. es una empresa encargada de la producci-n y distribuci-n de lece en el Departamento del Aorte de antander. Dentro de su plan de producci-n se considera la fabricaci-n de lece semidescremada y de lece descremada$ las cuales
X
Y
son dos ariables aleatorias e *medidas en litrosHminuto#$ respectiamenteK que se distribuyen mediante la siguiente funci-n de densidad con+unta5
f XY ( x, y ) =
x y
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4
16
e sabe que en promedio se producen %H, litrosHminuto de lece semidescremada y 8H, litrosHminuto de lece descremada. 4a relaci-n entre los dos tipos de lece es5
Co( X , Y ) = 1 a. b. c. d.
Co( X , Y ) = 0.05 Co( X , Y ) = 0 Co( X , Y ) = 3.5555 Co( X , Y ) = 2.6666
e. Solución
E [ XY ] e procede con el cálculo de 2 4
E [ XY ] =
2
x y
∫∫ 16 0 0
2
dx dy
=
5
32 9
Gora se aplica la ecuaci-n de la coarianza entre dos ariables aleatorias5
Co( X , Y ) = E [ XY ] − E [ X ] E [Y ]
32 − 4 8 → 9 3 3
∴
Co( X , Y ) =
Co( X , Y ) = 0
2. 4ece 4a Ne+or .G. es una empresa encargada de la producci-n y distribuci-n de lece en el Departamento del Aorte de antander. Dentro de su plan de producci-n se considera la fabricaci-n de lece pasteurizada y de lece ultrapasteurizada$ las cuales
X
Y
son dos ariables aleatorias e *medidas en litrosHminuto#$ respectiamenteK que se distribuyen mediante la siguiente funci-n de densidad con+unta5
f XY ( x, y ) =
x y
16
0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2
e sabe que en promedio se producen 8H, litrosHminuto de lece semidescremada y %H, litrosHminuto de lece descremada. 4a relaci-n entre los dos tipos de lece es5
Co( X , Y ) = 1 a. b. c. d.
Co( X , Y ) = 0 Co( X , Y ) = 0.3333
Co( X , Y ) = 2.6666 Co( X , Y ) = 3.5555
e. Solución
E [ XY ] e procede con el cálculo de 2 4
E [ XY ] =
x 2 y 2
∫∫ 16
dx dy
=
0 0
5
32 9
Gora se aplica la ecuaci-n de la coarianza entre dos ariables aleatorias5
Co( X , Y ) = E [ XY ] − E [ X ] E [Y ]
∴
32 − 8 4 → 9 3 3
Co( X , Y ) =
Co( X , Y ) = 0
,. n profesor de probabilidad y estadística aplic- un corto eamen compuesto por una parte de selecci-n m3ltiple y otra de pregunta abierta. 7ara un estudiante seleccionado
X al azar$ sea
la ariable aleatoria que describe el punta+e obtenido en la parte de
Y selecci-n m3ltiple$ y la ariable aleatoria que describe el punta+e obtenido en la parte de pregunta abierta. 4a funci-n de probabilidad con+unta de las dos ariables se presenta en la siguiente tabla5 p*$y# :
0 ! 10
0 0.02 0.0% 0.01
! 0.09 0.1! 0.1!
10 0.02 0.20 0.1%
1! 0.10 0.10 0.01
Con base en esta informaci-n y mediante el cálculo de la coarianza entre el punta+e obtenido en la parte de selecci-n m3ltiple y la parte de pregunta abierta$ se puede inferir que5
Co( x, y ) = 0 a. b.
no eiste correlaci-n entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = −3.20
eiste correlaci-n negatia entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = 2.30 c. d.
eiste correlaci-n positia entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = −5.80
eiste correlaci-n negatia entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = 5.80
e.
eiste correlaci-n positia entre las dos parte del parcial
Solución
e procede inicialmente con el cálculo de los alores esperados5
E ( X ) =
∑ x p ( x) = (0)(0.2) + (5)(0.49) + (10)(0.31) = 5.55 x
∀ x
E (Y ) =
∑ y p ( y) = (0)(0.07) + (5)(0.36) + (10)(0.36) + (15)(0.21) = 8.55 Y
∀Y
E ( XY ) = 44.25 Gplicando la ecuaci-n de la coarianza$ se obtiene5
Co ( X , Y ) = 44.25 − (5.55)(8.55)
∴
Co( X , Y ) = −3.2025
&iste una correlaci-n negatia entre el punta+e obtenido en la parte de selecci-n m3ltiple y la parte de pregunta abierta. %. n profesor de Control de 7roducci-n aplic- un corto eamen compuesto por una parte de selecci-n m3ltiple y otra de pregunta abierta. 7ara un estudiante seleccionado al
X azar$ sea
la ariable aleatoria que describe el punta+e obtenido en la parte de
Y selecci-n m3ltiple$ y la ariable aleatoria que describe el punta+e obtenido en la parte de pregunta abierta. 4a funci-n de probabilidad con+unta de las dos ariables se presenta en la siguiente tabla5 p*$y# 0 ! 10
:
0 0.01 0.0% 0.02
! 0.09 0.1! 0.1!
10 0.02 0.1; 0.1!
1! 0.01 0.10 0.10
Con base en esta informaci-n y mediante el cálculo de la coarianza entre el punta+e obtenido en la parte de selecci-n m3ltiple y la parte de pregunta abierta$ se puede inferir que5
Co( x, y ) = 0 a. b. c. d.
no eiste correlaci-n entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = −2.35
eiste correlaci-n negatia entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = 3.20
eiste correlaci-n positia entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = −3.20
eiste correlaci-n negatia entre las dos parte del parcial
Co( x, y ) = 1.82 e.
eiste correlaci-n positia entre las dos parte del parcial
Solución
e procede inicialmente con el cálculo de los alores esperados5
E ( X ) =
∑ x p ( x) = (0)(0.1) + (5)(0.48) + (10)(0.42) = 6.6 x
∀ x
E (Y )
∑ y p ( y) = (0)(0.07) + (5)(0.36) + (10)(0.36) + (15)(0.21) = 8.55 Y
∀Y
E ( XY ) = 58.25 Gplicando la ecuaci-n de la coarianza$ se obtiene5
Co ( X , Y ) = 58.25 − (6.6)(8.55)
∴
Co( X , Y ) = 1.82
&iste una correlaci-n positia entre el punta+e obtenido en la parte de selecci-n m3ltiple y la parte de pregunta abierta.
Valor esperado condicional
1. 7laytoys es una empresa dedicada a la fabricaci-n de +uguetes para niEos entre los , y / aEos. Dentro de su plan de inestigaci-n y desarrollo proponen el diseEo de prototipos de un +uguete tipo 1 y un +uguete tipo 2. &l n3mero de prototipos es una
X
Y
ariable aleatoria e $ para el +uguete tipo 1 y tipo 2$ respectiamente. 4a funci-n de probabilidad con+unta para los dos tipos de +uguetes es la que se presenta a continuaci-n5
x + 2 y
p XY ( x, y ) =
18
; x = 1,2. y = 1,2
i el departamento de inestigaci-n y desarrollo construye dos prototipos del +uguete
Y
X $ el n3mero de prototipos del +uguete
es5
E [ X | Y = 2] = 17 / 11 a. b. c. d.
E [ X | Y = 2] = 12 / 10
E [ X | Y = 2] = 20 / 11 E [ X | Y = 2] = 17 / 12
E [ X | Y = 2] = 11 / 17
e. Solución
y e calcula la funci-n marginal de
pY ( y ) = pY ( y ) =
2
x + 2 y
x =1
18
∑
1 2 y + ; 6 9
1 2 x = 18 x =1
∑
+
5
y
2
∑1
9 x =1
y = 1, 2
4a funci-n de probabilidad condicional es5
x + 2 y p X |Y ( x | y ) =
18 1 2 y + 6 9
=
x + 2 y 18 36 y
6
+
=
x + 2 y
3 + 4 y
→ p X |Y = 2 ( x | y = 2) =
9
&l alor esperado es entonces5
E [ X | Y = 2] =
1 2 2 ( x 11 x =1
∑
+ 4 x) ∴
E [ X | Y = 2] =
17 11
x + 4
11
2. 7laytoys es una empresa dedicada a la fabricaci-n de +uguetes para niEos entre los , y / aEos. Dentro de su plan de inestigaci-n y desarrollo proponen el diseEo de prototipos de un +uguete tipo 1 y un +uguete tipo 2. &l n3mero de prototipos es una
X
Y
ariable aleatoria e $ para el +uguete tipo 1 y tipo 2$ respectiamente. 4a funci-n de probabilidad con+unta para los dos tipos de +uguetes es la que se presenta a continuaci-n5
x + 2 y
p XY ( x, y ) =
18
; x = 1,2. y = 1,2
i el departamento de inestigaci-n y desarrollo construye dos prototipos del +uguete
X
Y $ el n3mero de prototipos del +uguete
es5
E [Y | X = 2] = 8 / 10 a. b. c. d.
E [Y | X = 2] = 12 / 10 E [Y | X = 2] = 10 / 8
E [Y | X = 2] = 8 / 5 E [Y | X = 2] = 5 / 8
e. Solución
X e procede con el cálculo de la funci-n marginal de
p X ( x) =
2
x + 2 y
y =1
18
∑
=
2
x
1
2
∑1 + 9 ∑ y 18 y =1
→
5
p X ( x) =
y =1
x
9
+ = x + 3
9
Gora se calcula la funci-n de probabilidad condicional5
x + 2 y pY | X ( y | x) =
18 x + 3 9
=
x + 2 y
2( x + 3)
→
&l alor esperado condicional es5
E [Y | X = 2] =
2
y + y 2
y =1
5
∑
2
2
= 1 ∑ y + 1 ∑ y 2 5 y =1
5 y =1
pY | X = 2 ( y | x = 2) =
1 + y 5
9
3
;
x = 1,2
X ,. n comerciante de autom-iles paga una cantidad
*en miles de d-lares# por un
Y carro usado y lo ende despus por una cantidad
Y
X aleatorias
. e conoce que las ariables
e
se a+ustan a al siguiente funci-n de densidad con+unta5
f XY ( x, y ) =
x
36
0 ≤ x ≤ y ≤ 6
Con base en la informaci-n anterior$ si el comerciante paga 2 mil d-lares por un carro usado$ la ganancia promedio por la enta del mismo es5
E [Y | X = 2] = 4 a. b. c. d.
E [Y | X = 2] = 3.28
E [Y | X = 2] = 6 E [Y | X = 2] = 2.5 E [Y | X = 2] = 5.45
e. Solución
X Considere el cálculo de la funci-n marginal de 6
f X ( x) =
x
∫ 36
dy =
x(6 − x)
0
36
x
5
4a funci-n de probabilidad condicional es5
x f Y | X ( y | x) =
36 x (6 − x ) 36
=
1 6 − x
&l alor esperado condicional se calcula de la siguiente manera5 6
E [Y | X ] =
y
∫ 6 − x
dy
=
1 (6 + x) 2
2
x
E [Y | X ] =
1 36 − x 1 y = 2 6 − x x 2 6 − x 6
→ E [Y | X ] = 3 +
E [Y | X = 2] = 3 + 1
∴
2
1 (6 − x)(6 + x) = 2 6 − x
x
2
E [Y | X = 2] = 4 mil d!lares
%. rlando y &lena quedaron de encontrarse en el Guditorio 4e-n de Oreiff para asistir al concierto de opera de la obra Don Oioanni de Polfgang Gmadeus Nozart$ entre las /500 p.m y 8500 p.m. Considere que el tiempo de llegada *medido en oras# de
X rlando$ es una ariable aleatoria
$ y el tiempo de llegada *medido en oras# de
Y &lena$ es una ariable aleatoria
. 4a funci-n de densidad con+unta del tiempo es5
f XY ( x, y ) = x + y,
0 < x < 1, 0 < y < 1
i rlando llega al Guditorio ,9 minutos despus de las /500 p.m.$ el tiempo promedio de llegada de &lena despus de las /500 p.m. al Guditorio es5
E [Y | X = 0.6] = 30 a. b. c. d.
E [Y | X = 0.6] = 35
minutos minutos
E [Y | X = 0.6] = 1
ora
E [Y | X = 0.6] = 45 E [Y | X = 0.6] = 39
e.
minutos minutos
Solución
X e procede con el cálculo de la marginal de 1
∫
f X ( x) = ( x + y ) dy = 0
2 x + 1 2
5
0 < x <1
4a funci-n de probabilidad condicional es5
f Y | X ( y | x) =
x + y 2 x + 1
x + y )
= 2(
2 x + 1
2 &l alor esperado condicional es5 1 2 3 x + 2 E [Y | X ] = ∫ y ( x + y ) dy = 3(2 x + 1) 2 x + 1 0
&ntonces5
E [Y | X = 0.6] =
3(0.6) + 2 3(2 * 0.6 + 1)
= 0.575757 ≈
0 < x <1
35 minutos
!.
X aleatoria
$ y el tiempo de llegada *medido en oras# de Na=acio es una ariable
Y aleatoria
. 4a funci-n de densidad con+unta del tiempo es5
f XY ( x, y ) = x + y,
0 < x < 1, 0 < y < 1
i
E [Y | X = 0.5] = 35 a. b. c. d.
E [Y | X = 0.5] = 30
minutos minutos
E [Y | X = 0.5] = 1
ora
E [Y | X = 0.5] = 45 E [Y | X = 0.5] = 39
e.
minutos minutos
Solución
X e procede con el cálculo de la marginal de 1
∫
f X ( x) = ( x + y ) dy = 0
2 x + 1 2
5
0 < x <1
4a funci-n de probabilidad condicional es5
f Y | X ( y | x) =
x + y 2 x + 1
=
2( x + y ) 2 x + 1
2 &l alor esperado condicional es5 1 2 3 x + 2 E [Y | X ] = ∫ y ( x + y ) dy = 3(2 x + 1) 2 x + 1 0
&ntonces5
E [Y | X = 0.5] =
3(0.5) + 2 3(2 * 0.5 + 1)
= 0.58333 ≈
0 < x <1
35 minutos
Distribución Nor"al
1. ?n elevador de car"a "rande !uede trans!ortar un m-:imo de 1+:+++ libras. @u!n"ase $ue una car"a, $ue contiene (5 cajas, se debe trans!ortar mediante el elevador. La e:!eriencia ha demostrado $ue el !eso de una caja de este ti!o de car"a se ajusta a una distribucin de !robabilidad con una media µ A &++ libras y una desviacin est-ndar de Q A 55 libras. #alcular la !robabilidad de $ue las (5 cajas se !uedan trans!ortar simult-neamente.
a% b% c% d% e%
0.;;99 0.00,% 0.00/1 0.8;22 0
Solución
X i N ( 200,55
2
)
45
X N (45∗200,45 ∗55 ) ∑ = 2
i
i 1
(∑ 45
P
i=1
(
X i ≤ 10000
P Z ≤
10000
)
−45∗200
55 √ 45
)= (
P Z ≤ 2.7103 ) = 0.9966
2. &n un curso de Calculo @ntegral se encuentran inscritos %0 estudiantes. &l instructor del curso sabe por eperiencia que el tiempo requerido para calificar un parcial
Y seleccionado al azar es una ariable aleatoria con media / minutos y desiaci-n de 9 minutos. 4os tiempos de calificaci-n son independientes. i el instructor empieza a calificar a las /5!0 p.m.$ la probabilidad de que termine de calificar todos los parciales entre las 115,0 p.m. a 125,0 a.m es5
70.19 % a%
51.19 % b%
15.38 % c%
52.19 % d%
44.29 % e%
Solución
Y T ~ N ( n µ , n σ )
∴
Y T ~ N ( 280, 37.94)
e sabe que5 4a probabilidad requerida se obtiene mediante la siguiente forma5
P ( 220 ≤ Y T
220 − 280 280 − 280 ≤ 280) = P ≤ " ≤ ∴ 37.94 37.94
P ( 220 ≤ Y T
≤ 280) = P ( " ≤ 0) − P (" ≤ −1.58) = 0.5 − 0.0571
P ( 220 ≤ Y T
≤ 280) = 0.4429
P ( −1.58 ≤ " ≤ 0)
,. 7ara determinar la calidad de los insumos de producci-n$ como el mineral de ierro$ el carb-n y el az3car sin refinar$ se toman peri-dicamente pequeEas muestras cuando el material se muee sobre una banda transportadora. ea 1$ 2$ ,$R$n los alores obserados donde i representa el olumen de la i>sima muestra pequeEa con E SiT L U y Var SiT L %. e requiere que el olumen total de la muestra eceda las 200 pulgadas c3bicas con una probabilidad de 0.;! cuando se seleccionan n L !0 muestras pequeEas. ¿Cuál debe ser el alor de U para satisfacer los requerimientos del muestreo" a% b% c% d% e%
%.%9 %.2, ,.!, ,./9 2.%/
Solución 50
Y ∑ =
i
i
N ( 50 µ , 50∗4 )
1
(∑ 50
0.95 = P
i= 1
Y i ≥ 200
(
0.95 =1 − P Z ≤
Z 0.05=
200 −50 µ
200 −50 µ 2 √ 50
)
2 √ 50
)
=−1.644
µ =4.46
%. &n un curso de Bundamentos de &stadística se encuentran inscritos %0 estudiantes. &l instructor del curso sabe por eperiencia que el tiempo requerido para calificar un
Y parcial seleccionado al azar es una ariable aleatoria con media 9 minutos y desiaci-n de 9 minutos. 4os tiempos de calificaci-n son independientes. i el instructor empieza a calificar a las 95!0 p.m.$ la probabilidad de que termine de calificar todos los parciales antes de las 11500 p.m. es5
70.19 % a%
51.19 % b%
80.32 % c%
60.26 % d%
61.41 % e% Solución
e procede mediante5
Y T ~ N (n µ , n σ )
∴
Y T ~ N (240, 37.94)
4a probabilidad requerida se calcula de la siguiente forma5
P (Y T
Y − n µ 250 − 240 ≤ 250 ) = P T ≤ ∴ 37 . 94 n σ
P (Y T
≤ 250) = 0.6026
P (Y T
≤ 250) = P ( " ≤ 0.26)
!. &n una empresa dedicada a la enta de mesas plásticas considera que el tiempo del
X proceso de ensamble de una mesa es una ariable aleatoria normalmente distribuida con media de 1.! minutos y desiaci-n estándar de 0., minutos. &n un día en particular$ el encargado del proceso de ensamble toma una muestra aleatoria de 12 mesas plásticas. Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que el tiempo total de ensambla+e de 12
X T
= ∑ X i i =1
las 12 mesas
$ est entre 1/ y 20 minutos es5
P (17 ≤ X T
≤ 20) = 19.48 %
P (17 ≤ X T
≤ 20) = 51.99 %
P (17 ≤ X T
≤ 20) = 80.41%
a% b% c%
P (17 ≤ X T
≤ 20) = 41.08 %
P (17 ≤ X T
≤ 20) = 58.59 %
d% e% Solución
X T ~ N (12 µ , 12 σ ) e sabe que
X T ~ N (18, 1.039) K entonces5
4a probabilidad requerida es5
P (17 ≤ X T
17 12 µ X T − 12 µ 20 − 12 µ 17 − 18 20 − 18 ≤ 20) = P − ≤ ≤ = ≤ P " ≤ 1.039 12σ 12σ 12 σ 1.039
P (17 ≤ X T
≤ 20) = P (−0.96 ≤ " ≤ 1.92) = P ( " ≤ 1.92) − P (" ≤ −0.96)
P (17 ≤ X T
≤ 20) = 0.9726 − 0.1685
∴
P (17 ≤ X T
≤ 20) = 0.8041
9. 7ara determinar la calidad de los insumos de producci-n$ como el mineral de ierro$ el carb-n y el az3car sin refinar$ se toman peri-dicamente pequeEas muestras cuando el material se muee sobre una banda transportadora. ea 1$ 2$ ,$R$n los alores obserados donde i representa el olumen de la i>sima muestra pequeEa con E SiT L U y Var SiT L 2. e requiere que el olumen total de la muestra no eceda las 1!0 pulgadas c3bicas con una probabilidad de 0.;0 cuando se seleccionan n L !0 muestras pequeEas. ¿Cuál debe ser el alor de U para satisfacer los requerimientos del muestreo" a% b% c% d% e%
%.%9 2./% ,.!, ,./9 2.2%
Solución 50
Y ∑ =
i
N ( 50 µ , 50∗2 )
i 1
(∑ 50
0.90= P
i=1
(
0.90= P Z ≤
Y i ≤ 150
)
150− 50 µ 10
)
Z 0.90 =
150 − 50 µ 10
=1.28
µ =2.74
/. &n una empresa dedicada a la enta de mesas plásticas considera que el tiempo del
X proceso de ensamble de una mesa es una ariable aleatoria normalmente distribuida con media de 1.! minutos y desiaci-n estándar de 0., minutos. &l encargado del proceso de ensambla+e considera que el tiempo total de ensambla+e 12
X T
= ∑ X i i =1
debe ser a lo máimo de 20 minutos Con base en esta informaci-n$ el n3mero de mesas plásticas que se deben considerar para concluir que en un ;06 el tiempo total de ensambla+e sea a lo máimo de 20 minutos$ es5
n = 19 a% b% c% d%
n = 12 n = 15 n = 20 n = 13
e% Solución
e sabe que5
X T ~ N ( n µ , nσ )
∴
X T ~ N ( n(1.5), n (0.3))
4a probabilidad establecida es5
P ( X T
≤ 20) = 0.90 ∴
20 − n(1.5) n (0.3)
X T − n(1.5) 20 − n(1.5) → P " ≤ 20 − n(1.5) ≤ = 0.90 n (0.3) n (0.3) n (0.3)
P
≈ " 0.90 ∴ 20 ≈ n(1.5) + " 0.90
20 ≈ n (1.5) + n (0.8159) (0.3)
∴
n (0.3)
20 ≈ (12)(1.5) + 12 (0.8159) (0.3)
∴
20 ≈ 18.84
&l tamaEo de muestra apropiado para obtener un tiempo total de ensambla+e cercano a einte minutos es de 12 mesas plásticas.
8. 4a compaEía cerecera u !er"e#a .$. compr- una nuea máquina para embasar la cereza que produce$ por especificaciones de la maquina se sabe que la cantidad de liquido que se embasa en cada botella se distribuye como una ariable aleatoria : con &S:T L,00 ml. y Iar*:#L,9 ml.2. 7ara analizar el desempeEo de la maquina$ los ingenieros de la compaEía quieren seleccionar una cantidad n de botellas embasadas y analizar la cantidad promedio embasada en las botellas seleccionadas. sted a sido seleccionado para colaborar en el estudio que se a a realizar$ por lo que se le a formulado la siguiente pregunta$ ¿Cuál debe ser el n3mero n de botellas estudiadas$ para asegurar que con probabilidad 0$;0 el promedio de cantidad embasada no a a eceder los ,01 ml" a% ,0 b% ,! c% %2 d% !, e% Ao se puede calcular. Solución n
Y ∑ = i
i
1
n
N
0.90= P
(
(
300 ,
n
)
n
Y ∑ = i 1
n
(
0.90= P Z ≤
Z 0.90 =
36
i
≤ 301
)
301−300 6
√ n
− 300
301
6
)
=1.28
√ n n =53
;. &l contenido de pulpa Scm ,T en los +ugos de ca+a %el !ampo es una ariable aleatoria : que se distribuye normalmente con media !00 y arianza % unidades. 4a probabilidad 7*!00V:V!02# se puede epresar como5 a# b# c# d# e#
0.9% 0.8% 0.!0 0.,% Ainguna de las anteriores.
10. eg3n estudios demográficos del DGA& realizados a 100.000 abitantes del departamento del Aorte de antander$ la ida media de los abitantes de Colombia es de 8! aEos con una desiaci-n de !. Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que un abitante ia entre /! y 82 aEos es5 a# b# c# d# e#
0.2!2 0.2/1 0.022 0.!00 Ainguna de las anteriores
11. &l contenido en gramos de las microemulsiones realizadas por el grupo de inestigaci-n niandes$ es una ariable aleatoria : que se distribuye normalmente con media !00 y arianza % unidades. &n las pruebas realizadas con cerdos$ para erificar la penetraci-n de la microemulsi-n$ se encontr- que las que tenían un contenido igual a !0% g$ eran las que más penetraban en la piel. 4a probabilidad 7*%;8V:V!0%# se puede epresar como5 a# b# c# d# e#
0.1!; 0.818 0.;// 0.,%2 Ainguna de las anteriores
12. &n el eamen final de 7robabilidad y &stadística 1 del semestre 2008>1$ la nota obtenida por los estudiantes se puede representar con la ariable aleatoria : con funci-n de densidad de probabilidad Aormal con media ,.! y desiaci-n 1. Con base en la informaci-n anterior calcule la probabilidad de que un estudiante obtenga una nota que lo ubique dentro del me+or 106 de los estudiantes. a# b# c# d# e#
%.1% %.!! %.81 %./, Ao se puede calcular con la informaci-n dada.
1,. &n el eamen final de 7robabilidad y &stadística 1 del semestre 2008>1$ la nota obtenida por los estudiantes se puede representar con la ariable aleatoria : con funci-n de densidad de probabilidad Aormal con media ,.0 y desiaci-n 0.8. Con base en la informaci-n anterior calcule la probabilidad de que un estudiante obtenga una nota que lo ubique dentro del me+or !6 de los estudiantes. a# b# c# d# e#
%.%% %.,2 %.1% %.81 Ao se puede calcular con la informaci-n dada.
Distribución &'ponencial
1. &n una pizzería de la ciudad$ se an tomado las -rdenes de dos clientes conocidos5 Camila y Gndrs$ las cuales deben ser entregadas en sus respectias casas. &l repartidor conoce un trayecto que debe realizar para entregar a tiempo las pizzas$ tal como indica la figura.
X &l tiempo que el repartidor se demora para entregar la orden de Camila '
λ 1
Y orden de Gndrs '
λ 2
= 0.95 h
($ y la
= 0.8 h −
1
($ se distribuyen eponencial con tasa
y
−1
$ respectiamente. 4os tiempos de demora para cada cliente son
" = X + Y
independientes. Con base en esta informaci-n$ el tiempo promedio total ' para entregar las dos ordenes es5
µ "
= 2.30 horas
µ "
= 4.25 horas
µ "
= 1.50 horas
µ "
= 3.00 horas
µ "
= 1.89 horas
(
a% b% c% d% e% Solución
e sabe que el tiempo de las -rdenes son independientesK por lo tanto5
µ "
µ "
= =
d dt
= µ X + µ Y
[ # X (t ) # Y (t )] t =0
(0.8) h −1 + (0.95) h −1 (0.8) (0.95) h − 2
∴
µ "
=
d dt
=
[ # X (t ) # Y (t )] t =0
1 λ 1
+
1 λ 2
= 2.30 horas
2. &l tiempo en minutos que dura una llamada telef-nica en la oficina Nl /!2$ se puede representar con una ariable aleatoria : con funci-n de densidad de probabilidad &ponencial con media igual a 2 minutos. i una persona que está ablando por
=
λ 1 + λ 2 λ 1 λ 2
telfono llea un minuto en la línea$ calcule la probabilidad de que la llamada dure en total menos de , minutos. a# b# c# d# e#
0./8 0.9, 0.,; 0.1, Ainguna de las anteriores.
,. &l tiempo en minutos que dura una llamada telef-nica en la oficina Nl /!2$ se puede representar con una ariable aleatoria : con funci-n de densidad de probabilidad &ponencial con media igual a 2 minutos. Calcule la probabilidad de que la llamada dure más de , minutos. a# b# c# d# e#
0./// 0.9,2 0.!9% 0.22, Ainguna de las anteriores
%. N&?G4B4&: .G. es una empresa dedicada a la fabricaci-n de láminas de acero inoidable. Dentro del estudio de seguridad industrial de la empresa se determina que un traba+ador en particular puede presentar , accidentes por semana en promedio. Calcule la probabilidad de que pase más de una semana antes del siguiente error. a# b# c# d# e#
0.;! 0.0! 0.9, 0.,/ Ainguna de las anteriores.
Distribuciones () *+) , - t
1. &n un eperimento de Bísica Necánica$ los estudiantes deben aplicar dos cargas a una iga$ tal como se obsera en la figura5
&l momento de flei-n en el origen debido a las cargas aplicadas es5
= a1 X 1 + a2 X 2
# 0
X 1
X 2
. uponga que las distancias y son ariables aleatorias independientes con medias de ! y 8 m.$ respectiamente y la desiaci-n estándar de 0., y 0.; m.$ respectiamente.
a1 = 2 lb
a2 = 5 lb
i a la iga se le aplican las cargas y $ la probabilidad de que el momento de flei-n en el origen sea a lo máimo !2 lb.m. es5 a% b% c% d% e%
%! 6 ,2 6 8; 6 9/ 6 /9 6
Solución
e procede con el cálculo del momento de flei-n promedio y la desiaci-n estándar5
E ( # 0 )
= a1 E ( X 1 ) + a2 E ( X 2 ) ∴
E ( # 0 )
= (2 lb)(5 m) + (5 lb)(8 m) ∴ E ( # 0 ) = 50 lb.m
Var ( # 0 ) = a12 Var ( X 1 ) + a22 Var ( X 2 ) ∴ Var ( # 0 ) = 4(0.3) 2
σ # 0
=
20.61lb 2 .m 2
+ 25(0.9) 2
∴ σ # = 4.539 lb.m 0
4a probabilidad requerida es5
P ( # 0
− − ≤ 52 lb.m) = P # 0 # 0 ≤ 52 50 → P ( " ≤ 0.44) = 67 % σ 4 . 539 # 0
2. &n el proceso de moldeo de láminas de acero$ es importante el control de la ariabilidad del espesor de las láminas. e considera que el espesor de las láminas de acero es una ariable aleatoria que se distribuye normal con desiaci-n estándar de 0.1! cm. &l +efe de control de calidad$ toma una muestra aleatoria de ,0 láminas y obtiene que la desiaci-n estándar muestral es de 0.11/2 cm.
Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que la arianza muestral eceda *0.11/2 cm#2 es5
a% b% c% d%
P [ S 2
> (0.1172 cm) 2 ] = 0.05
P [ S 2
> (0.1172 cm) 2 ] = 0.95
P [ S 2
> (0.1172 cm)2 ] = 0.10
P [ S 2
> (0.1172 cm)2 ] = 0.90
P [ S 2
> (0.1172 cm) 2 ] = 0.15
e% Solución
e considera que la probabilidad requerida es5
P [ S
2
2 P χ 29
> (0.1172 cm)
2
(n − 1) S 2 (30 − 1) (0.1172 cm) 2 ] ∴ P 2 > ∴ P [ χ 292 > 17.704] 2 (0.15 cm) σ
> 17.704 = 0.95008 ≈ 0.95
,. &n la fabricaci-n de láminas de acero se requieren las operaciones de corte$ moldeado y pulido. &l tiempo de cada operaci-n se distribuye normal y los tres tiempos son independientes entre si. 4os alores promedios de cada operaci-n son 1!$ ,0 y 20 minutos$ respectiamente y las desiaciones estándar son 1$ 2 y 1.! min respectiamente. Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que una lámina de acero requiera por lo menos una ora de procesamiento es5
P (T ≥ 1 hora ) = 0.031 a% b% c% d%
P (T ≥ 1 hora ) = 0.123 P (T ≥ 1 hora ) = 0.968
P (T ≥ 1 hora ) = 0.876 P (T ≥ 1 hora ) = 0.914
e% Solución
e procede con el cálculo del tiempo promedio y desiaci-n estándar del procesamiento de una lámina de acero5
T = X 1 + X 2 + X 3
∴
T = 15 + 30 + 20
∴ T = 65 minutos
σ T
=
σ 12 + σ 22 + σ 32
∴
σ T = 1 + 4 + (1.5) 2
∴
σ T = 2.6925 minutos
4a probabilidad requerida es5
P ( T ≥ 1 hora )
− 60 − 65 = P T T ≥ ∴ P ( T ≥ 1 hora ) = 1 − P ( " < −1.857) σ 2 . 6925 T
P (T ≥ 1 hora ) = 0.9678 ≈ 0.968 %. &n el proceso de moldeo de láminas de plástico$ es importante el control de la ariabilidad del espesor de las láminas. e considera que el espesor de las láminas de plástico es una ariable aleatoria que se distribuye normal con desiaci-n estándar de 0.1 cm. &l +efe de control de calidad$ toma una muestra aleatoria de 2! láminas y obtiene que la desiaci-n estándar muestral es de 0.11/9 cm. Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que la arianza muestral eceda *0.11/9 cm#2 es5
a% b% c% d%
P [ S 2
> (0.1176 cm) 2 ] = 0.95
P [ S 2
> (0.1176 cm)2 ] = 0.10
P [ S 2
> (0.1176 cm)2 ] = 0.90
P [ S 2
> (0.1176 cm) 2 ] = 0.05
P [ S 2
> (0.1176 cm) 2 ] = 0.15
e% Solución
e considera que la probabilidad requerida es5
P [ S
2
2 P [ χ 24
> (0.1176 cm)
2
(n − 1) S 2 (25 − 1) (0.1176 cm) 2 ] ∴ P 2 > ∴ P [ χ 242 > 33.191] 2 (0.1cm) σ
> 33.191] = 0.100107 ≈ 0.10 ($C )
!. &n el proceso de templado de un acero$ se considera su calor específico es una ariable aleatoria que se distribuye normal con media de 2;.021 Wcal. e toma una
muestra aleatoria de ! piezas de acero y se obtiene que la media y desiaci-n muestral son de ,1.2 Wcal. y 1., Wcal.$ respectiamente. Con base en esta informaci-n$ la probabilidad de que el alor máimo del calor específico del acero sea de ,1.2 Wcal. es5
P ($C ≤ 31 .2 %cal ) = 0.10 a%
P ($C ≤ 31 .2 %cal ) = 0.80 b%
P ($C ≤ 31 .2 %cal ) = 0.15 c%
P ($C ≤ 31 .2 %cal ) = 0.90 d%
P ($C ≤ 31 .2 %cal ) = 0.20 e% Solución
e procede con el cálculo de probabilidad5
$ − µ 31.2 %cal − 29.021 %cal C $ P ( $C ≤ 31.2 %cal ) ∴ P ≤ S %cal 1 . 3 $ 5 n P ( $C ≤ 31.2 %cal )
= P ( t 4 ≤ 3.747 ) →
P ( $C ≤ 31.2 %cal )
= 0.90
Propiedades de &sti"adores
1. &n un estudio de presupuesto bancario$ se determin- que el capital de inersi-n es una
E ( X ) = θ
X ariable aleatoria
Var ( X ) = σ
$ que se distribuye con media
y arianza
2
. 4os analistas del presupuesto consideran el siguiente estimador para la media de la distribuci-n5 n
θ * =
∑ x − ( x i
i =1
n +1
+ xn + 2 )
n−2
Con base en esta informaci-n$ se puede concluir que5
b(θ ) = a% &l estimador de la media es sesgado b% &l estimador de la media es insesgado
θ n−2
b(θ ) = 0
b(θ ) = θ c% &l estimador de la media es sesgado
b(θ ) = 1
d% &l estimador de la media es sesgado e% &l estimador es eficiente absoluto Solución
e procede con el análisis de insesgadez para el estimador5
n ∑ xi − ( xn +1 + xn + 2 ) 1 n i =1 = E (θ *) = E E ( xi ) − E ( xn +1 ) − E ( xn + 2 ) ∑ n − 2 i =1 n−2 1 ( nE ( X ) − E ( X ) − E ( X ) ) ∴ E (θ *) = E ( X ) n − 2 n − 2 n − 2
E (θ *) =
E (θ *) = E ( X ) = θ b(θ ) = 0 &l estimador de la media es insesgado 2. &n un estudio de presupuesto bancario$ se determin- que el capital de inersi-n es una
E ( X ) = θ
X ariable aleatoria
Var ( X ) = σ
$ que se distribuye con media
y arianza
2
. 4os analistas del presupuesto consideran el siguiente estimador para la media de la distribuci-n5 n
θ * =
∑ x − ( x i
i =1
n +1
+ xn + 2 )
n−2
Con base en esta informaci-n$ se puede concluir que5
Var (θ *) = Var ( X ) /( n − 2) a% &l estimador de la media es inconsistente
Var (θ *) = Var ( X ) /(n − 2) 2 b% &l estimador de la media es inconsistente
Var (θ *) = Var ( X ) /(n − 2)
c% &l estimador de la media es consistente
Var (θ *) = Var ( X ) /(n − 2) 2 d% &l estimador de la media es consistente e% &l estimador de la media es inconsistente
Var (θ *) = Var ( X )
Solución
e procede con el cálculo de la arianza del estimador5
n − xi ( xn +1 + xn + 2 ) ∑ 1 n i =1 → Var (θ *) = Var (θ *) = Var Var ( xi ) − Var ( xn +1 ) − Var ( xn + 2 ) 2 ∑ n−2 (n − 2) i =1 n−2 ∴ 2 − ( 2 ) n
Var (θ *) = Var ( X )
Var (θ *) =
Var ( X ) n−2
e procede con la propiedad de consistencia del estimador5
1 ∴ Var ( X ) Lim 1/ n ∴ LimVar (θ *) = 0 n →∞ 1 − 2 / n n→ ∞ n − 2
Lim Var (θ *) = LimVar ( X ) n→∞
n→∞
&l estimador es consistente. ,. &n una tipografía de la ciudad$ se sabe que el n3mero de errores tipográficos por página de contendido en un libro de 7robabilidad y &stadística traducido al espaEol$ es
λ
X una ariable aleatoria distribuida 7oisson con parámetro aleatoria de ' n( páginas de una edici-n de dico libro.
. e toma una muestra
Dentro del análisis estadístico del n3mero de errores tipográficos del libro se plantea el
λ siguiente estimador para el parámetro
5 n
∧
λ 1 =
∑ =
xi
i 1
n
−2 λ
Con base en la informaci-n anterior$ el estimador del parámetro a% &s un estimador insesgado ∧ 2λ b λ 1 = n − 2
b% &s un estimador sesgado
∧
b λ 1 = c% &s un estimador asint-ticamente insesgado
∧
b λ 1 = d% &s un estimador sesgado
λ n−2
2λ n−2
es5
∧ 2 b λ 1 = n − 2
e% &s un estimador asint-ticamente insesgado Solución
7ara conocer si el estimador es insesgado o no$ se procede con el cálculo del alor esperado del estimador5
n xi ∑ ∧ ∧ n E ( X ) = λ n E λ 1 = E i =1 → E λ 1 = n − 2 n − 2 n − 2 K el estimador es sesgado5 ∧ 2λ b λ 1 = n − 2
∧ ∧ 1/ n ∴ Lim b λ 1 = ( 2λ ) Lim Lim b λ 1 = 0 n →∞ n→∞ 1 − 2 / n n→∞
$ pero estimador es asint-ticamente insesgado.
$ entonces el
%. &n una tipografía de la ciudad$ se sabe que el n3mero de errores tipográficos por página de contendido en un libro de 7rogramaci-n de 7roducci-n traducido al espaEol$
λ
X es una ariable aleatoria distribuida 7oisson con parámetro muestra aleatoria de ' n( páginas de una edici-n de dico libro.
. e toma una
Dentro del análisis estadístico del n3mero de errores tipográficos del libro se plantea el
λ siguiente estimador para el parámetro
5 n
∧
λ 1 =
∑ =
xi
i 1
n
−2 λ
Con base en la informaci-n anterior$ el estimador del parámetro
∧
Lim Var λ 1 = 0 n→∞
a% &l estimador es consistente ∧ Lim Var λ 1 = λ n→ ∞
b% &l estimador es inconsistente
∧
Lim Var λ 1 = 2λ n→∞
c% &l estimador es inconsistente ∧ Lim E λ 1 = 0 n→∞
d% &l estimador es consistente
es5
∧ Lim E λ 1 = λ n→∞
e% &l estimador es inconsistente Solución
e procede con el cálculo de la arianza del estimador5
n ∑ xi ∧ ∧ n λ i =1 → Var λ 1 Var λ 1 = Var = (n − 2) 2 n − 2 límite
nλ ∴ 2 n → ∞ ( n − 2)
Lim
de
K aora se procede con el cálculo del la arianza5
∧ 1 / n → λ Lim Var ( 1) = 0 2 n → ∞ (1 − 2 / n) n→ ∞
λ Lim
. 7or lo tanto$ el estimador es consistente
Pruebas de .ipótesis
1. e sabe que la ida en oras de una bombilla de /! Matts tiene una distribuci-n
σ =12 horas
aproimadamente normal$ con desiaci-n estándar
. na muestra
x = 1 003 horas aleatoria de !0 bombillas tiene una ida media de . na posible afirmaci-n del comportamiento de las bombillas es que stas duren más de
1 000 horas . Con base en esta informaci-n y considerando un niel de significancia del ! 6$ se puede concluir que5
& 0 : µ = 1000 horas a% 4a ip-tesis nula es
0.0392 y se acepta con un 7>alue de
& 0 : µ > 1000 horas b% 4a ip-tesis nula es
0.0392 y se recaza con un 7>alue de
& 0 : µ = 1000 horas c% 4a ip-tesis nula es
0.0392 y se recaza con un 7>alue de
& 1 : µ >1000 horas d% 4a ip-tesis alternatia es
y se acepta con un 7>alue de
0.0864 & 1 : µ > 1000 horas e% 4a ip-tesis alternatia es
y se recaza con un 7>alue de
0.0864 Solución
e procede con la definici-n de prueba de ip-tesis para la media5
& 0 : µ = 1000 horas & : µ > 1000 horas 1 " 0
> "
e sabe que se recaza la ip-tesis nula si de la prueba es5
" 0
α > P − al'e
0.05
-
. &l estadístico
= x − µ = 1003 −1000 = 1.7677 σ / n
12 / 50
1.7677 > " 0.05
= −1.64
e puede obserar que
0.05 > 0.0392 -
K por lo tanto se
& 0 : µ = 1000 horas concluye que se debe recazar la ip-tesis nula
0.0392 de
.
con un 7>alue
2. e sabe que la ida en oras de una bombilla de 100 Matts tiene una distribuci-n
σ =13 horas
aproimadamente normal$ con desiaci-n estándar
. na muestra
x = 1 004 horas aleatoria de %0 bombillas tiene una ida media de . na posible afirmaci-n del comportamiento de las bombillas es que stas duren más de
1 000 horas . Con base en esta informaci-n y considerando un niel de significancia del ! 6$ se puede concluir que5
& 0 : µ = 1000 horas a% 4a ip-tesis nula es
0.0255 y se recaza con un 7>alue de
& 0 : µ > 1000 horas b% 4a ip-tesis nula es
0.0393 y se recaza con un 7>alue de
& 0 : µ = 1000 horas c% 4a ip-tesis nula es
0.0255 y se acepta con un 7>alue de
& 1 : µ >1000 horas d% 4a ip-tesis alternatia es
y se acepta con un 7>alue de
0.0514 & 1 : µ > 1000 horas e% 4a ip-tesis alternatia es
y se recaza con un 7>alue de
0.0514 Solución
e procede con la definici-n de prueba de ip-tesis para la media5
& 0 : µ = 1000 horas & : µ > 1000 horas 1 " 0
> "
e sabe que se recaza la ip-tesis nula si de la prueba es5
" 0
=
x − µ
σ / n
=
1.950 > " 0.05
-
1004 −1000 13 / 40
= −1.64
e puede obserar que
α > P − al'e
0.05
. &l estadístico
= 1.950 0.05 > 0.0255
-
K por lo tanto se
& 0 : µ = 1000 horas concluye que se debe recazar la ip-tesis nula
0.0255 de
.
con un 7>alue
,. &n el estudio de la elocidad de combusti-n de dos cargas propulsoras s-lidas diferentes usadas en el sistema de epulsi-n de la tripulaci-n de un ai-n$ se sabe que ambas cargas propulsoras tienen aproimadamente la misma desiaci-n estándar para
σ 1
= σ 2 = 3 cm / s
la elocidad de combusti-n
n1 = 10
. e toman dos muestras aleatorias de
n2 = 10 y
e+emplares de cada carga y se obtiene que las medias muestrales
x1 = 18 cm / s de la elocidad de combusti-n son
x2 = 24 cm / s y de
.
&n el estudio se considera la ip-tesis que las elocidades de ambas cargas propulsoras tienen la misma elocidad de combusti-n. Con base en esta informaci-n y considerando un niel de significancia del ! 6$ se puede concluir5 a% b% c% d% e%
Ao se recaza la ip-tesis nula ya que >%.%/ X 1.;9 Ao se recaza la ip-tesis nula ya que >1.;9 Y >%.%/ e recaza la ip-tesis nula ya que >%.%/ X 1.;9 e recaza la ip-tesis nula ya que >%.%/ X >1.;9 Ainguna de las anteriores
Solución
e procede con la definici-n de la prueba de ip-tesis para la diferencia de medias5
& 0 : µ 1 − µ 2 = 0 & : µ − µ ≠ 0 1 1 2 " 0
< " α / 2
e sabe que se recaza la ip-tesis nula si se cumple que
" 0
> " −α
-
1
/2
.
&l estadístico de prueba es5
" 0
=
18 − 24 9 / 10 + 9 / 10
= −4.47
− 4.47 < " 0.025 = −1.96 bsere que
por lo tanto se recaza la ip-tesis nula.
%. &n la fabricaci-n de proyectiles de corto alcance$ se analiza las elocidades iniciales de los proyectiles utilizando un nueo tipo de p-lora. 7ara esto se tom- una muestra aleatoria de 8 proyectiles y se obtiene que la media y desiaci-n estándar muestral de
2 959 ft / s
38.68 ft / s
la elocidad de un proyectil es de y $ respectiamente. &l fabricante de los proyectiles afirma que la nuea f-rmula imprime una elocidad media
3 000 ft / s mayor a
.
Con base en esta informaci-n y considerando un niel de significancia del 2$! 6$ se puede concluir que5 a% Ao se recaza la ip-tesis nula ya que 2.,09 Y >2.;; b% e recaza la ip-tesis nula ya que >2.;; X 2.,9!
c% Ao se recaza la ip-tesis nula ya que 2.,9! Y >2.;; d% e recaza la ip-tesis nula ya que >2.;; X 2.,09 e% Ainguna de las anteriores Solución
e procede con la definici-n de prueba de ip-tesis5
& 0 : µ = 3 000 ft / s : µ > 3000 / ft s & 1 t 0
> t 1−α
e sabe que se recaza la ip-tesis nula si &l estadístico de prueba es5
t 0
= x −
µ
s / n
=
2959 − 3000 38.68 / 8
.
= −2.998
− 2.998 < t 0.975 = 2.365 bsere que
$ por lo tanto no se recaza la ip-tesis nula.
!. &n el estudio de la elocidad de combusti-n de dos cargas propulsoras s-lidas diferentes usadas en el sistema de epulsi-n de la tripulaci-n de un ai-n$ se sabe que ambas cargas propulsoras tienen aproimadamente la misma desiaci-n estándar para
σ 1
= σ 2 = 5 cm / s
la elocidad de combusti-n
n1 = 10
. e toman dos muestras aleatorias de
n2 = 10 y
e+emplares de cada carga y se obtiene que las medias muestrales
x1 = 18 cm / s de la elocidad de combusti-n son
x2 = 24 cm / s y de
.
&n el estudio se considera la ip-tesis que las elocidades de ambas cargas propulsoras tienen la misma elocidad de combusti-n. Con base en esta informaci-n y considerando un niel de significancia del ! 6$ se puede concluir5 a% b% c% d% e%
e recaza la ip-tesis nula ya que >2.98 X >1.;9 Ao se recaza la ip-tesis nula ya que >2.98 X 1.;9 Ao se recaza la ip-tesis nula ya que >1.;9 Y >2.98 e recaza la ip-tesis nula ya que >2.98 X 1.;9 Ainguna de las anteriores
Solución
e procede con la definici-n de la prueba de ip-tesis para la diferencia de medias5
& 0 : µ 1 − µ 2 = 0 & : µ − µ ≠ 0 1 1 2
" 0
< " α / 2
e sabe que se recaza la ip-tesis nula si se cumple que
α > P − al'e
" 0
> " −α 1
-
/2
-
. &l estadístico de prueba es5
" 0
=
18 − 24 25 / 10 + 25 / 10
= −2.6832
− 2.6832 < " 0.025 = −1.96 -
− 2.6832 > 1.96 0.05 > 2(0.003681) → 0.05 > 0.00736
9. &n la fabricaci-n de proyectiles de corto alcance$ se analiza las elocidades iniciales de los proyectiles utilizando un nueo tipo de p-lora. 7ara esto se tom- una muestra aleatoria de 8 proyectiles y se obtiene que la media y desiaci-n estándar muestral de
2 959 ft / s
38.68 ft / s
la elocidad de un proyectil es de y $ respectiamente. &l fabricante de los proyectiles afirma que la nuea f-rmula imprime una elocidad media
3 000 ft / s mayor a
.
Con base en esta informaci-n y considerando un niel de significancia del 2$! 6$ se puede concluir que5 a% b% c% d% e%
Ao se recaza la ip-tesis nula ya que 2.,09 Y >1.8;! e recaza la ip-tesis nula ya que >1.8;! X 2.,9! Ao se recaza la ip-tesis nula ya que 2.,9! Y >1.8;! e recaza la ip-tesis nula ya que >1.8;! X 2.,09 Ainguna de las anteriores
Solución
e procede con la definici-n de prueba de ip-tesis5
& 0 : µ = 3 000 ft / s & : µ > 3000 ft / s 1 t 0 e sabe que se recaza la ip-tesis nula si &l estadístico de prueba es5
t 0
=
x − µ s / n
=
2959 − 3000 74.6286 / 8
> t 1−α .
= −1.895
− 1.895 < t 0.975 = 2.365 bsere que
$ por lo tanto no se recaza la ip-tesis nula.
/e0resión
1. n estudio para la aloraci-n de la capacidad de sistemas de umedecimiento de suelos mediante flu+o subsuperficial para eliminar la Demanda Jioquímica de ígeno *DJ# y arios otros constituyentes químicos$ arro+an los siguiente resultados5 1
,
8
10
11
1,
19
2/
,0
,!
,/
,8
%%
2
%
/
8
8
10
11
19
29
21
;
,1
,0
10 , /!
1%2 ;0
ea 15 la carga masia de DJ$ y sea 25 la eliminaci-n masia de DJ. Con los resultados se construye la siguiente regresi-n lineal5 ∧
y = β 0
∧
+ β 1 x
tilizando el programa 7$ se obtiene la siguiente informaci-n parcial de significancia global5 Su"a de Cuadrados 8!10$8;9 ,;1$;91 8;02$8!/
Modelo )egresi-n )esidual ?otal
0l 1 12 1,
Media Cuadrática 8!10$8;9 ,2.99,
, 290.!9%
Completando los datos de la tabla de significancia global y considerando una significancia del ! 6$ se puede concluir que5 a. &l estimador de la ariable que describe la carga masia de DJ es significatia para el modelo de regresi-n. b. &l estimador de la ariable que describe la eliminaci-n masia de DJ es significatia para el modelo de regresi-n. c. 4os estimadores de las ariables son significatios para el modelo de regresi-n. d. &l estimador de la ariable que describe la eliminaci-n masia de DJ no es significatio para el modelo de regresi-n. e. &l estimador de la ariable que describe la carga masia de DJ no es significatio para el modelo de regresi-n. 2. n estudio para la aloraci-n de la capacidad de sistemas de umedecimiento de suelos mediante flu+o subsuperficial para eliminar la Demanda Jioquímica de ígeno *DJ# y arios otros constituyentes químicos$ arro+an los siguiente resultados5 1
,
8
10
11
1,
19
2/
,0
,!
,/
,8
%%
2
%
/
8
8
10
11
19
29
21
;
,1
,0
10 , /!
1%2 ;0
ea 15 la carga masia de DJ$ y sea 25 la eliminaci-n masia de DJ. Con los resultados se construye la siguiente regresi-n lineal5 ∧
y = β 0
∧
+ β 1 x
tilizando el programa 7$ se obtiene la siguiente informaci-n parcial de significancia indiidual5 Modelo
Coeficientes no estandari!ados
Coeficientes
t
B
*Constante # cargaDJ
&rror t3p
0$929 0$9!2
2$1,! 0$0%
estandari!ados Beta
0.2; , 19.,
0$;/8
Completando los datos de la tabla parcial de significancia indiidual y considerando una significancia del ! 6$ se concluye con respecto a la ariable que representa la carga masia de DJ5 a. Zue el estimador asociado a esta ariable no es significatio para el modelo de regresi-n propuesto. b. Zue el estimador asociado a esta ariable es significatio para el modelo de ∧
β 1 < 0 regresi-n propuesto.
.
c. Zue el estimador asociado a esta ariable es significatio para el modelo de ∧
β 1 > 0 regresi-n propuesto.
.
d. Zue el estimador asociado a esta ariable no es significatio para el modelo de ∧
β 1 ≠ 0 regresi-n propuesto.
.
e. Zue el estimador asociado a esta ariable no es significatio para el modelo de ∧
β 1 > 0 regresi-n propuesto.
.
,. 4os precios promedios de enta de casas nueas para una sola familia durante un periodo de oco aEos se presentan en la siguiente tabla5 A4o 1;/2 1;/, 1;/% 1;/! 1;/9 1;//
Precio pro"edio de 5enta 67S 8$' 9 2/.9 ,2.9 ,!.; ,;., %%.2 %8.8 ∧
y
∧
= β 0 + β 1 x
e desea a+ustar los datos al siguiente modelo de regresi-n lineal
$
y
donde representa el precio promedio de entaK para esto$ se utiliz- el programa 7 de donde se obtiene la siguiente informaci-n parcial de significancia indiidual5
Modelo
*Constante# GEo
Coeficientes no estandari!ados B &rror t3p 2,$9/% 0$!!! %$12 0$1%2
Coeficientes estandari!ados Beta
0$;;8
t
%2.9!9 2;.01%
Completando los datos de la tabla de significancia indiidual y considerando una significancia del !6$ se concluye con respecto a la ariable que representa el precio promedio de enta5 a. Zue el estimador asociado a esta ariable no es significatio para el modelo de regresi-n propuesto. b. Zue el estimador asociado a esta ariable es significatio para el modelo de ∧
β 0 < 0 regresi-n propuesto.
.
c. Zue el estimador asociado a esta ariable es significatio para el modelo de ∧
β 0 > 0 regresi-n propuesto.
.
d. Zue el estimador asociado a esta ariable no es significatio para el modelo de ∧
β 0 ≠ 0 regresi-n propuesto.
.
e. Zue el estimador asociado a esta ariable no es significatio para el modelo de ∧
β 0 > 0 regresi-n propuesto.
.
%. 4os precios promedios de enta de casas nueas para una sola familia durante un periodo de oco aEos se presentan en la siguiente tabla5 A4o 1;/2 1;/, 1;/% 1;/! 1;/9 1;//
Precio pro"edio de 5enta 67S 8$' 9 2/.9 ,2.9 ,!.; ,;., %%.2 %8.8 ∧
y
∧
= β 0 + β 1 x
e desea a+ustar los datos al siguiente modelo de regresi-n lineal
y
$
donde representa el precio promedio de entaK para esto$ se utiliz- el programa 7 de donde se obtiene la siguiente informaci-n parcial de la tabla de significancia global5 Modelo )egresi-n )esidual ?otal
Su"a de Cuadrados 2;/.0!2 1.%21 2;8.%/,
0l 1 % !
Media Cuadrática 2;/.0!2 0.,!!
, 8,!.;81
Completando los datos de la tabla de significancia global y considerando una significancia del ! 6$ se concluye que5 a. &l estimador de la ariable que describe el aEo en que se enden casas nueas es significatia para el modelo de regresi-n.
b. &l estimador de la ariable que describe el precio promedio de enta es significatia para el modelo de regresi-n. c. 4os estimadores de las ariables son significatios para el modelo de regresi-n. d. &l estimador de la ariable que describe el precio promedio de enta no es significatio para el modelo de regresi-n. e. &l estimador de la ariable que describe el aEo en que se enden casas nueas no es significatio para el modelo de regresi-n.
!. De un modelo de regresi-n lineal de la forma L [ 0 \ [ 1:1 \ e$ se tomaron un total de 20 obseraciones obteniendo el siguiente resultado$ entre otros5 Coeficientes a
Coeficientes no estandarizados
Nodelo
1
J >12$/;! $9;!
*Constante# ?I oursHMee=
Coeficientes estandarizado s
&rror típ. 2$81; $0,%
Jeta
t >> >>
$8,/
ig. $000 $000
a Iariable dependiente5 Gge
De la informaci-n anterior se puede concluir que5 a% &l alor de la estadística t calculada$ asociada a la ariable alor de 20$%%1. b% &l alor de la estadística t calculada$ asociada a la ariable alor de 0$8,0. c% &l alor de la estadística t calculada$ asociada a la ariable alor de 0$0%;. d% &l alor de la estadística t calculada$ asociada a la ariable alor de 0$000. e% Ainguna de las afirmaciones anteriores es erdadera.
t c =
0,695 0,034
?I oursHMee= tiene un ?I oursHMee= tiene un ?I oursHMee= tiene un ?I oursHMee= tiene un
=20,441
9. De un modelo de regresi-n lineal de la forma L [ 0 \ [1:1 \ [2:2 \ [,:, \ e$ se tomaron un total de 20 obseraciones obteniendo el siguiente resultado$ entre otros5 Coeficientes a
Nodelo
Coeficientes no estandarizados
Coeficientes estandarizado s
t
ig.
1
J %$802 $001
&rror típ. 1$!;1 $001
7eso total *=g#
$009
7otencia *CI#
>$022
*Constante# Cilindrada en cc
Jeta $9;8
,$01/ 2$,%9
$008 $0,2
$00,
$!2!
2$01!
$091
$019
>$,20
>1$,;2
$18,
a Iariable dependiente5 Consumo *1H100Wm#
tilizando un niel de significancia de ] L 0.0!$ con base en la informaci-n anterior se puede concluir que5 a% Ao ay en el modelo ninguna ariable significatia. b% 4a ariable más significatia en el modelo es la ariable 7otencia puesto que su significancia es 0$18,. c% Ao se puede concluir nada sobre la significancia de las ariables puesto que no se tiene el alor de la estadística B. d% 4a estadística 't( asociada a la significancia de la ariable 7eso total tiene 1; grados de liberta. e% 4a 3nica ariable significatia en el modelo es la ariable Cilindrada puesto que su significancia es menor a 0.0!.
/. De un modelo de regresi-n lineal de la forma L [ 0 \ [1:1 \ [2:2 \ [,:, \ e$ se tomaron un total de 20 obseraciones obteniendo el siguiente resultado$ entre otros5 AN;VA b
Nodelo 1
)egresi-n )esidual
uma de cuadrados 229$2%0 %0$!90
gl , 19
Nedia cuadrática >> >>
B >>>
ig. $000a
?otal
299$800 1; a Iariables predictoras5 *Constante#$ 7otencia *CI#$ 7eso total *=g#$ Cilindrada en cc b Iariable dependiente5 Consumo *1H100Wm#
De la informaci-n anterior se puede concluir que5 a% 4a C) es mayor que C&$ por lo tanto$ el modelo es globalmente significatio. b% &l alor de
β 1 es igual a 229$2% ^
c% Cada una de las ariables que están en el modelo son significatias$ puesto que la significancia de la estadística B es igual a 0$000 X 0.0!. d% 4a estadística B tiene 1 grado de libertad en el numerador y 1; grados de libertad en el denominador. e% 4a estadística B calculada es igual a 2;$/%8
C! 226,240 " −1 3 75,413 = = =29,748 F C = 40,560 2,535 C# n −" 16
8. De un modelo de regresi-n lineal de la forma L [ 0 \ [ 1:1 \ e$ se tomaron un total de 181 obseraciones obteniendo el siguiente resultado$ entre otros5
