FUNDACION TECNOLOGICA ANTONIO DE AREVALO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA CARTAGENA DE INDIAS - 2007
Problema 11-16 Llevar las siguientes ecuaciones a la forma rectangular. b) r=2senθ c) r=4cosθ Para poder realizar la transformación de las ecuaciones dadas en el sistema de coordenadas polares al sistema de coordenadas rectangulares se hará uso de las relaciones existentes entre estos dos sistemas: x = r cos θ
y
=
rsen θ
r
2
= x
2
+ y
2
Ejercicio b. r=senθ Despejando senθ de la ecuación: y
=
rsen θ
Se tiene que: sen θ =
y r
.
Reemplazando, se obtiene: r = 2
y
→
r
2
=
2 y
r
Se debe despejar (r 2), haciendo uso de las ecuaciones se tiene que: r 2 =x 2 +y 2
Reemplazando (r 2): 2y= x 2 +y 2
Entonces: r=2sen θ será en la forma rectangular igual a: 2y= x 2 +y 2
Ejercicio c.
r=4cosθ Despejando cosθ de la ecuación: cos θ =
x r
Se tiene que: r = 4
x r
Reemplazando se obtiene: 2
r
=
4 x
Se debe despejar (r 2), haciendo uso de las ecuaciones se tiene que: r 2 =x 2 +y 2
Reemplazando (r 2), se obtiene finalmente que la forma rectangular es: 4x= x2+y2
Problema 11.19 Describir las siguientes cónicas especificando: • clase de curva
b) f)
•
valor de e
•
Valor de p 12
r =
2 + 3 cos θ 12
r =
3 + 2 sen θ
Conociendo de antemano que: La ecuación polar de una conica para la cual el eje principal es el eje polar, es: r =
ep
1 − e cos θ
Y que la ecuación polar de una cónica para la cual el eje principal es el eje (90°) es: r =
ep
1 − esen θ
Se tiene que según el valor de la excentricidad la ecuación representará: e = 1 Parábola e < 1 Elipse e > 1 Hipérbola Y P será la distancia desde la directriz hasta el foco.
Ejercicio a. 3 r =
2 + cos θ
Se dividirá la ecuación por 2, para llevarla a la forma general: 3 r =
2 2
+
2 1 cos θ 2
3 r =
1+
2 1 cos θ 2
De esta ecuación se puede observar que el valor de la excentricidad es: e = 0.5 La ecuación corresponde a una elipse. Conociendo el valor de e, se puede hallar p: 3 p =
2 1 2
Reemplazando:
6 p =
2
=
3
3 ep =
2
π
2
Para graficar se hace uso de Grapes v.6.0:
Ejercicio f. 12 r =
3 + 2 cos θ
Se dividirá la ecuación por 3, para llevarla a la forma general:
12 r =
3 3
+
3 2 cos θ 3 4
r =
1+
2
cos θ
3
De esta ecuación se puede observar que el valor de la excentricidad es: 2 e =
3
La ecuación corresponde a una elipse. Conociendo el valor de e, se puede hallar p: 4 p = e
