Integrantes Gustavito Bernal Andrés Delgado Jorge Feijoo Nerio Silva Camilo Torres
La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia, su salida seguirá siendo senoidal de la misma frecuencia pero probablemente con otra magnitud C y fase φ
El diagrama polar de una función transferencia transferencia G( jω) es una gráfica de |G( jω)| respecto al ∠ G( jω) en coordenadas coordenadas polares cuando ω varía varía de 0 a ∞ Los ángulos de fase son positivos si se miden CCW a partir del eje real positivo Los ángulos de fase son negativos ne gativos si se miden CW a partir del eje real positivo Di
Principio simplificado de variación d argumentos de Cauchy Sea ∆(s) una función compleja continua de la variable compleja s. Si s varía a través de la curva cerrada Γs en el plano complejo, los valores de la función compleja ∆(s) también van a moverse a través de una curva cerrada Γ∆ Selección arbitraria de la trayectoria en el plano ‘s’
Si un contorno Γs en el plano s rodea Z ceros y P polos de ∆(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de ∆(s) durante su recorrido a lo largo del contorno, el contorno correspondiente Γ∆ en el plano ∆(s) rodea el origen de dicho plano N = Z – P
Veces en la misma dirección del recorrido
Principio del Argumento N = Z – P N = número de encierros del origen hechos por el lugar geométrico Γ∆ en el plano ∆(s).
Por definición N es positivo para encierros en la dirección anti horaria.
Matlab utiliza la dirección horaria como positiva
Z = número de ceros de ∆(s) encerrados por el lugar geométrico Γs en el planos P = número de polos de ∆(s) encerrados por el lugar geométrico Γs en el plano s
Valores de N: Positivo si Z > P
El lugar geométrico T∆ en el plano ∆(s) encerrará al origen del plano ∆(s) N veces en la misma dirección de Ts
Cero si Z = P
El lugar geométrico T∆ en el plano ∆(s) no rodea al origen del plano ∆(s)
Negativo si Z < P
El lugar geométrico T∆ en el plano ∆(s) encerrará al origen del plano ∆(s) N veces en dirección contraria de Ts
Punto Crítico
Por conveniencia se designa el origen del plano ∆(s) como el punto crítico para determinar el valor de N
Después vamos a designar otros puntos en el plano de la función compleja como puntos críticos (depende de la forma en que se aplique el criterio de Nyquist)
Provee información sobre Estabilidad relativa Grado de inestabilidad Estabilidad absoluta Proporciona información sobre las características en el dominio de la frecuencia: Tr , ωr , BW Es útil para sistemas de retardos puros que no se pueden tratar con el criterio de Routh-Hurwitz y difícil de analizar con el Lugar Geométrico de las Raíces
Considerando una función de transferencia de la forma:
Para p=0 (Sistema tipo 0)
Punto inicial (ω=0) es finito y está sobre el eje real positivo
Punto final (ω=∞) está en el origen y curva es tangente a uno de los ejes
Considerando una función de transferencia de la forma:
Para p=1 (Sistema tipo 1) Punto inicial (ω=0): |G(jω)|→∞ y ∠G( jω) → −90°(el diagrama polar a bajas frecuencias es asintótico hacia una línea paralela al eje imaginario negativo Punto final (ω=∞): |G(jω)|→0 y la curva converge hacia el origen y es tangente a uno de los ejes
Considerando una función de transferencia de la forma:
Para p=2 (Sistema tipo 2)
Punto inicial (ω=0): |G(jω)|→∞ y ∠G( jω) → −180°
Punto final (ω=∞): |G(jω)|→0 y la curva es tangente a uno de los ejes
Se analiza la estabilidad de un sistema a lazo cerrado basándose en la función de transferencia a lazo abierto Se utiliza un método aproximado para conocer la localización de las raíces de la ecuación característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho
Encierro
Un punto o región en un plano de una función compleja se dice encerrado por una trayectoria si está dentro de la trayectoria
Inclusión
Un punto o región se dice incluido por una trayectoria cerrada si está encerrado en la dirección CCW o el punto o región está a la izquierda de la trayectoria cuando ésta se recorre en la dirección dada
Definición del número de encierro e inclusión
El lugar geométrico correspondiente a Γ∆ en el plano ∆(s)
Trayectoria de Nyquist
Estabilidad involucra determinar si ∆(s)=1+L(s) tiene ceros en el semiplano derecho del plano ‘s’ (polos de T(s)) La trayectoria de Nyquist está definida para rodear el semiplano derecho del plano ‘s’ por completo
Traza de L(s)=G(s)H(s)
L(s) generalmente es conocida Origen del plano ∆(s) = 1 + L(s) corresponde al punto ( –1, j 0) en el plano L(s)
Se puede construir la curva de L(s) y analizar el comportamiento respecto al punto ( –1, j 0) en el plano L(s)
Para aplicar el criterio de Nyquist: Se define la trayectoria de Nyquist Se construye la traza de L(s) en el plano L(s) (correspondiente a la trayectoria de Nyquist. Se observa el valor de N, el número de encierros del punto (-1 , j0) hechos por la traza de L(s). El criterio de Nyquist se obtiene de la ecuación Donde: N=Z-P N : número de encierros del punto (-1, j0) hechos por la traza de L(s) Z : número de ceros de 1 + L(s) que están en el semiplano derecho P : número de polos de 1+L(s) que están en el semiplano derecho. (Polos de L(s))
Para que el sistema sea estable en lazo cerrado, Z debe ser igual a cero. Para que el sistema sea estable en lazo abierto, P debe ser igual a cero La condición de estabilidad para un sistema de lazo cerrado, de acuerdo al criterio de Nyquist se establece como: N = – P Si L(s) tiene P polos en el semiplano derecho del plano s, para ser estable, el lugar geométrico de L(s) deber rodear P veces el punto (-1,0) en sentido contrario a la trayectoria de Nyquist
Estabilidad
Para que un sistema de lazo cerrado sea estable, la traza de L(s) debe encerrar al punto (−1, j0) un número de veces igual al número de polos de L(s) que están en el semiplano derecho del plano s y los encierros, si los hay, deben ser hechos en la dirección horaria. ( Si Γ está definido en sentido antihorario)
Si L(s) no tienen polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s, es decir, L(s) es de fase mínima. N= 0
Si el punto (-1, j0) está encerrado por la traza de Nyquist, el sistema es inestable El criterio de Nyquist puede verificarse por medio de la traza del segmento de L( jω) desde ω=8 hasta 0
Sea α la distancia desde el origen al punto de intersección de la traza de Nyquist con la parte negativa del eje real, entonces el margen de ganancia MG es: MG = 20 log (1/ α)
El margen de fase es el ángulo que hay que rotar la traza de Nyquist alrededor del origen para que ésta atraviese el punto ( –1, j0) cuando la magnitud de la traza es uno Es decir, cuanto se debe rotar la traza de L( jω) para que el cruce de ganancia pase por el punto ( –1, j0)
Criterio de Nyquist Estabilidad a lazo cerrado puede determinarse graficando el lugar geométrico ∆(s) = 1 + L(s) cuando s toma valores a lo largo de la trayectoria de Nyquist e investigar el comportamiento de la curva de ∆(s) con respecto al punto crítico s = 0 (origen del plano ∆(s) ) Traza de L(s)=G(s)H(s) L(s) generalmente es conocida
Origen del plano ∆(s) = 1 + L(s) corresponde al punto (– 1, j 0) en el plano L(s) Se puede construir la curva de L(s) y analizar el comportamiento respecto al punto ( –1, j 0) en el plano L(s)
Trayectoria de Nyquist Involucra determinar si la función Δ(s)= 1+L(s) tiene ceros en el semiplano derecho del plano s, el descubrió aparentemente que el principio del argumento se podía aplicar para resolver el problema estabilidad si el lugar geométrico Ts en el plano s se tomaba como uno que encerrar al semiplano derecho entero del plano s. Por supuesto como un alternativa Ts se puede escoger para encerrar al semiplano izquierdo completo del plano s, ilustra el lugar geométrica Ts con el sentido SCMR que encierra el semiplano derecho del plano s para el criterio de Nyquist, ya que en matemáticas SCMR es tradicionalmente definido para el sentido positivo. La trayectoria Ts es define como la trayectoria de Nyquist. Ya que la trayectoria de Nyquist no debe pasar por ningún polo o cero de Δ(s), los pequeños semicírculos se muestran a lo largo del eje jw se emplean para indicar que la trayectoria debe encerrar estos polos y ceros si caen sobre eje jw.
El mapeo de los sistemas de lazo cerrado
Se considera el entorno cerrado en el plano “s” que encierra todo el semiplano derecho, formados por el eje j w completo y una trayectoria semicircular de radio infinito conocida como la “Trayectoria de Nyquist” (sentido horario )
