La compañía bluegrass farm., Lexington, Kentucky, está experimentando una ración especial para caballos de carreras. Los componentes disponibles para la ración son un peso común para caballos, un producto de avena enriquecido con vitaminas y minerales. Los valores nutritivos por unidad de libra y los costes para los tres componentes alimenticios son los l os siguientes:
1.
Supóngase que el entrenador de los caballos fija los requerimientos diarios de la ración en 3 unidades del ingrediente A, en 6 unidades del ingrediente B y en 4 unidades del ingrediente C. para efectos de control de peso, el entrenador no desea que el alimento total diario de un caballo exceda las 6 libras. Plantear y resolver el problema para determinar cuál es la mezcla m ezcla optima diaria de los tres tr es componentes alimenticios. Solución
Sean X1, X2, X3 LAS LIBRAS DE LOS TRS COMPONENTES: pienso, avena y aditivo, respectivamente. El problema que resulta es
Min Z=25X1+50X2+300X3 S.A 0.8X1 + 0.2X2>3 X1+1.5X2+3X3>6 0.1X1+0.6X2+2X3>4 X1+X2+X3<6 X1, X2, X3 >0
Para determinar la mezcla optima diaria se debe consumir 3.5135 libras de pienso ,0.9459 libras de avena y 1.5405 libras de aditivo. Para obtener un costo mínimo de 597.2972. con una contribución de 87.8378 por el pienso, 47.2973 por la avena y 462.1621 por el aditivo con un requerimiento diario de 3 libras para el pienso, 9.5541 libras para la avena , 4 libras de alimento aditivo y con un requerimiento total de 6 libras total de alimentos.
En un laboratorio existen dos contadores de bacterias disponibles. El contador C1 puede ser manipulado por un estudiante que gana 400 ptas. por hora. En promedio es capaz de contar 5 muestras en una hora. El contador C 2 es más rápido, pero también más sofisticado. Solo una persona bien preparada pero que gana 1000 Ptas. Por hora puede manipularlo. Con la misma precisión que C1 el contador C2 permite contar 10 muestras en una hora. Al laboratorio se le dan 1000 muestras para que se cuenten en un periodo que no exceda las 80 horas ¿cuantas horas deben usar cada contador para realizar la tarea con un coste mínimo? ¿Cuál es el dicho coste? 2.
Solución:
Sean X1 y X2 las horas utilizadas con el primer y segundo contador, respectivamente. Puesto que los dos contadores pueden estar trabajando simultáneamente tendremos dos restricciones X1 <= 80 y X2 <= 80, y el problema que resulta es: Minimizar Z= 400X1 + 1000X2 S A: X1 <= 80 X2 <= 80 6X1 + 10x2 = 1000 X1, X2 >= 0
Debido a esto podemos decir que el contador 1 debe utilizar 80 horas y el contador 2 utilizar 52 horas para obtener un coste mínimo de 84000, con un costo de 32000 para el contador 1 y de 52000 para el contador 2. Con un requerimiento de 80 horas para el contador 1 y de 52 horas para el contador 2 y un requerimiento total de 1000 horas. En su consumo diario de alimento, un animal rapaz necesita 10 unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C. estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies. Una presa de la especie 1 suministra 5, 2 y 1 unidades de los alimentos A, B y C respectivamente; una presa de la especie 2 suministra 1, 2 y 4 unidades respectivamente de los alimentos A, B y C, capturar y digerir una presa de la especie 1 requiere 3 unidades de energía en promedio, mientras que el gasto de energía correspondiente para la especie 2 es de 2 unidades. ¿Cuántas presas de cada especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimentarias, haciendo un gasto mínimo de energía? 3.
Solución:
Sean Xi el numero de presas de cada especie (i=1,2) Minimizar z=3X1 +2X2 Sujeto a 5X1 + X2 > 12 2X1 + 2X2 >12 X1 + 4X2 = 12 X1 . X2 > 0
El animal rapaz necesita 4 presas de la especie 1 y 2 presas de la especie 2 para consumir un mínimo de 16 unidades de energía promedio, consumiendo 12 unidades de energía para la especie 1 y 4 unidades de energía para la especie 2. Suministrando así 22 unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C. Una familia dispone de una explotación agraria de 100 Ha de terreno cultivable y dispone de $ 4.000.000 ptas. Para invertir. Los miembros de la familia pueden producir un total de 3500 Horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno y de 4000 horas hombre durante el resto del tiempo, el verano. Si no fuesen necesarias en la explotación familiar una parte de esas horas hombre se emplearan para trabajar en un campo vecino a razón de 500 ptas. La hora en invierno y de 600 en verano. En la explotación se pueden obtener ingresos produciendo tres tipos de cosecha Soja, Maíz y Avena y cuidando las vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesitan inversión (se autoabastecen), pero cada vaca exige un desembolso de $ 120.000 Ptas; y cada gallina les cuesta $800 Ptas. Para el pasto de las vacas se necesitan 1,5 Ha por cada vaca, 70 horas-hombre durante el invierno y 50 Horas-hombre durante el verano. Cada vaca produce un ingreso neto de $100.000 Ptas. Las gallinas se pueden pasear por cualquier lugar, no necesitando pues de un terreno propio, pero hay que dedicar 0,6 horas-hombre en invierno y 0,3 horas-hombre en verano para cada gallina, de cada una de ellas se obtiene un beneficio de 700 Ptas. Por la noche hay que recoger las gallinas y las vacas, para ello se disponen de un gallinero de 300 plazas y de un establo para treinta y dos vacas, si hubiera más morirían asfixiadas. La cosecha de Soja requiere 20 Horas-hombre de trabajo por Ha, en invierno y 5º en verano; la de maíz requiere 35 horas-hombre de trabajo por Ha en invierno y 75 en verano y la de avena requiere 10 horas-hombre de trabajo por Has en invierno y 40 en verano. El rendimiento neto que se obtiene, por cada Ha de la cosecha de Soja es de 51 Ptas, por cada Ha de la cosecha de maíz es de $ 79.000 Ptas, y por cada Ha de la cosecha de avena es de $ 32.000 Ptas. Como es lógico la familia quiere maximizar sus ingresos. Plantea el problema de programación lineal que corresponda. 4.
SOLUCION
X1: Número de Ha dedicadas al cultivo de Soja X2: Número de Ha dedicadas al cultivo de Maíz X3: Número de Ha dedicadas al cultivo de Avena X4: Número de Vacas X5: Número de Gallinas X6: Número de horas trabajadas en invierno X7: Número de horas trabajadas en verano F.O. Z(máx): 51000 X1 + 79000 X2 + 32000X3 + 100000X4 + 700X5 + 500 X6 + 600X7 S.A. X1 + X2 + X3 + 1.5X4 <= 100 . 120000X4 + 800X5 <= 4000000 . 20 X1 + 35X2 + 10X3 + 70X4 + 0.6X5 + X6 = 3500 50 X1 + 75X2 + 40X3 + 50X4 + 0.3X5 + X7 = 4000 X4 < = 32 X5 < = 300
Se deben cultivar solamente 31.2 Has de Maíz, y debe de tener 32 vacas en el establo y 200 gallinas en el gallinero, además de trabajar solamente 48 horas en el invierno y nada en el verano para obtener una máxima utilidad de $5.828.800 Ptas con una utilidad de $2.464.800 Ptas por el cultivo de maíz, $3.200.000 Ptas por las vacas, $140.000 Ptas por las gallinas y una utilidad de $24000 Ptas por las horas trabajadas en invierno. En un laboratorio se fabrican 4 productos P1, P2, P3, P4 que consumen un día por unidad en su proceso completo de producción, aunque se pueden producir varias unidades simultáneamente. El espacio (m 2) en el almacén y la mano de obra (número de trabajadores) disponibles limitan la producción. La siguiente tabla contiene los datos relevantes del proceso de producción, así como los costos de fabricación y precios de venta (en miles de pesos). 5.
a) Encontrar el plan de producción de beneficio máximo b) Interpretar los valores de los precios sombra Solución
X1=p1 X3=P3 X2=P2 X4=P4 Z(MAX)=10X 1+20X2+40X3+32X4 S.A 10X1+ 30X2+ 80X3+ 40X4 <900 2X1+ X2+ X3+ 3X4<80
se debe producir 10 unidades del producto 1 y 20 del producto 4 para obtener una máxima utilidad de $740000, generando una utilidad de $100000 del producto 1 y de $640000 del producto 4. Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintado y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. De esmalte para su pintado y 14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. 6.
El empresario dispone semanalmente de 4.500 horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. De esmalte y 20.000 horas para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos, 600 unidades. Se desea: a) Formular un modelo de programación lineal que indique cuántos congeladores deben fabricarse de cada tipo para que el beneficio sea máximo, teniendo en cuenta el estudio de demanda. b) Resolverlo mediante el método simplex. Interpretar la solución óptima ncluyendo las variables de holgura. c) Determinar los precios sombra de las horas de ensamblaje y control de calidad. Al fabricante
le ofrecen disponer de 200 horas más para ensamblaje con un costo adicional total de $750.000 pesos. ¿Debería aceptar la oferta? Solución: TIPO DE CONGELADOR
ENSAMBLAJE
PINTADO
CONTROL DE CALIDAD
A B DISPONIBILIDAD
2.5 3 4500
3 6 8400
14 10 20000
X1: No. De congeladores tipo A X2: No. De congeladores tipo B F.O. Z (Max) = (52-30)X1 + (48-28)X2 S.A. 2.5 X1 + 3 X2 <= 4500 3 X1 + 6 X2 <= 8400 14 X1 + 10 X2 <= 20000 X1 + X2 <= 1700 X2 >= 600
El empresario debe fabricar 882 unidades de congeladores tipo A y 764 unidades de congeladores tipo B para obtener una utilidad máxima de $ 34706 con una utilidad de $ 19412 para los congeladores tipo A y de $15294 paras los congeladores tipo B, con una disponibilidad de 4500 horas de ensamblaje, 7235 Kg. de esmalte para pintado y de 20000 horas de control de calidad y con una demanda semanal de 1647 unidades de congeladores de los cuales tipo a son 765 unidades. Una empresa fabrica dos tipos de silla: ergonómica y normal. Para su construcción una silla pasa por 4 departamentos: ensamble, tapizado, color y terminado. Cada departamento tiene disponible 1.000 horas, 450 horas, 2.000 horas, y 150 horas respectivamente. Los requerimientos de producción y utili dades por silla se muestran en la siguiente tabla: 7.
Tipo de silla Normal Ergonómica
ensamble 2 3
Tapizado 1 1
color 4 6
terminado
¼ ½
a) Plantea el modelo de programación lineal, definiendo las variables
Utilidad/silla 15 20
b) resuelva el problema por el método simplex, para determinar cuántas sillas normales y ergonómicas se deben producir para obtener mayor utilidad. c) Interprete todas las variables de holgura del problema. SOLUCION
X1: Silla normal y X2: Silla ergonómica F.O. Z(máx) : 15X1 + 20X2 S.A. 2X1 + 3X2 <= 1000 X1 + X2 <= 450 4X1 + 6X2 <= 2000 (¼)X1 + (1/2) X2 <= 1000 C.N.N X1, X2 >= 0
Se deben fabricar 350 sillas normales y 100 sillas ergonómicas para obtener una utilidad máxima de $7250, con una utilidad de $5250 para las sillas normales y de $2000 para las sillas ergonómicas, con un requerimiento de 1000 horas para ensamble, 450 horas para tapizado, de 2000 horas para color y 138 horas para terminado.
