EJERCICIOS 1. Una partícula que pesa 5 lb. Rebota sobre una superficie como se muestra en la figura. Si la velocidad de aproximación era de 20 pies/seg. Y la velocidad de salida es de 15 pies/seg., encontrar la magnitud del impulso a que la masa se encuentra sometida.
Sabemos que el impulso es la variación de la cantidad de movimiento de la partícula:
⃗ = ∆ = ⃗ Descomponemos los vectores de velocidad de aproximación y salida en X e Y:
= 20( 20(cos( cos(30)) 30))⃗−20( (30) 30))⃗ = 17.32⃗− 10⃗ = 15( 15(cos( cos(25)) 25))⃗+15( (25) 25))⃗ = 13.60⃗ + 6.34⃗ Hallamos la cantidad de movimiento para cada uno: p= m*V
= 5/32.2( 5/32.2(17. 17.32 32⃗− 10 ) = 2.69⃗ − 1.55⃗ = 5/32.2(13.60⃗ + 6.34⃗ ) = 2.11⃗ + 0.98⃗
Usamos la formula antes mencionada para hallar el impulso:
⃗ = ∆ ⃗ = − ⃗ = (2.11⃗+0.98⃗ ) − ( 2.69⃗ − 1.55⃗) ⃗ = −0.58⃗ + 2.53⃗ Y por último determinamos su magnitud:
(−0.58) +(2.53) |⃗| = (−0.58) 0.336+6.40 |⃗| = √ 0.336+6.40 / |⃗| = 2.6 / 2. Un proyectil de 20 lb se mueve con una velocidad de 100 ft/s cuando explota en dos fragmentos A y B, que pesan, respectivamente, 5 y 15 lb. Si se sabe que inmediatamente después de la explosión, los fragmentos A y B viajan en direcciones definidas respectivamente por θA = 45° y θB = 30°, determine la velocidad de cada fragmento.
Solución Puesto que no hay f uerza externa, se conserva la cantidad de movimiento lineal del sistema, y se escribe
Al resolver simultáneamente las dos ecuaciones para V A y VB, se encuentra VA =207 ft/s VB = 97.6 ft/s VA 207 ft/s a 45°
VB 97.6 ft/s a 30°
3. Una pequeña esfera B de masa m está unida a una cuerda inextensible con longitud 2a, La cual pasa alrededor de la clavija fija A y está unida a un soporte fijo en O. La esfera se mantiene cerca del soporte en O y se libera una velocidad inicial. Cae libremente hasta el punto C, donde la cuerda se pone tensa y oscila en un plano vertical, primero alrededor de A y después alrededor de O. Determine la distancia vertical desde la línea OD hasta el punto C” más alto que alcanzara la esfera
Velocidad en el punto C (antes de que el cable esté tenso). Conservación de la energía de B a C
T B
0
mg ( 2)
VB 1
T C
T B
0
v
2
mvc
V B
2
a
V c
T C
2
2
2
mga
2
0
V C
1
mga 2
c
2
mv c
2
0
2 ga
Velocidad en C (después de que el cordón se tensa). Se conserva el momento lineal perpendicular al cordón umbilical:
45
mv sin c
v'c
mv ' c
2
2 2
2
g
1
v'c
2ga
4
2 g
Nota: El peso de la esfera es una fuerza no impulsiva. Velocidad en C: C a C’ (conservación de la energía):
T c
1 2
m
v'c2
V c
0 '
T c'
1 2
m
v'c2
V c'
0
Datos: T c 1 2
m
V c
T c'
v'c2
v' c
1
0
2
v
V c'
m
v'c2
0
c
C a C’ (conservación de la energía): 1
T c'
2
m v'c'
1
Tc'
2
4
m 2 ga
2
2
Tc'
1
2
2
mga
Datos: T c'
V c'
0
T c'
0
Vc 2 2 h
V c'
V c
mgh
mga 2 2
T c'
0
0
mgh
4. Un collarín C de 8 lb se desliza sobre una varilla horizontal entre los resortes A y B. Si se empuja el collarín hacia la derecha hasta que el resorte B se comprime 2 pulg. y se suelta, determine la distancia que recorre el collarín, suponiendo a) ninguna fricción entre el collarín y la varilla b) un coeficiente de fricción:
k
0.35 k A
216
lb ft
k B
lb
144
ft
Puesto que el collar C deja el resorte en B y no hay fricción, debe acoplar el resorte en A.
T A
2/12
0
U
A B
T B
0
0
y
k B x d x k A x d 0 2
144 lb/ft 2 ft 216 lb/ft (y)2 2 12 2
U
A B
T A
U
A B
T B
Entonces
y d
Distancia Total
0
2 108y
0.1361ft
2 16
d
(6
2
0
1.633i
1.633)
13.63 i
Supongamos que C no alcanza el resorte en B debido a la fricción N
W
6lb
Ff ( 0.35) ( 8lb ) T A
T D
2.80lb
0
2/12
0
U
A B
T A
U
A B
y
144 x d x Ff ( y )
T D
0.714ft
Entonces
2 2.80y
0 2 2.80y
8.57in
El collar debe viajar 16-6 + 2 = 12 pulgadas, antes de que entre en el resorte en B. Desde y = 8.57 pulgadas, se detiene antes de fijar el resorte en B. Distancia Total
d
8.57in
5. Los paquetes que se muestran en la figura se lanzan hacia abajo sobre un plano inclinado en A con una velocidad de 1 m/s. Los paquetes se deslizan a lo largo de la superficie ABC hacia una banda transportadora que se mueve con una velocidad de 2 m/s. Si se sabe que d=7.5 m y =0.25 entre los paquetes y todas las superficies, determine: a) La rapidez del paquete en C. b) La distancia que se deslizara un paquete sobre la banda transportadora antes de llegar al reposo con respecto a la banda.
a) En el plano inclinado AB:
= cos(30) = =0.25 cos(30) → =sen(30) − =(sen(30) − cos(30)) En la superficie horizontal BC:
= = 7 = → = − En A: En C:
= y = 1 / = y = 2 /
Asumiendo que no se pierde energía en la esquina B:
+ → + → = 1 +((30) − (cos(30) − = 1 2 2
Trabajo y energía:
Hallando
:
= + 2 ((30) − (cos(30) − 2 =(1) +(2)(9.81)(7.5)((30) −0.25cos(30))−(2)(0.25)(9.81)(7) =8.3811 / = 2.9 / (b) La distancia X que se desliza la caja cuando está sobre la caja:
+↑ ∑ =. N−mg=0 N= = = = 2 / Aplicando el principio de trabajo y energía:
− → = − = − = 2 8.3811−(2) = (2)(0.25)(9.81) = 0.893
6. Una pelota de 0,5 kg es arrojada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 3 m/s. (a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial de la pelota? (b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento en el punto más alto? (c) ¿Qué impulso detiene la pelota?, ¿Cuánto tiempo actuó el impulso? Solución (a): Realizando una figura de la situación se tiene:
La cantidad de movimiento lineal o momento de un cuerpo queda definido por la ecuación = m Como se conoce la masa y la velocidad, simplemente hay que reemplazar en la ecuación anterior, es decir:
∗ ̅
Solución (b)
En el punto más alto, se tiene que la velocidad de la pelota es cero y como la cantidad de movimiento se define como el producto entre la masa y la velocidad, es que es cero, es decir:
Solución (c)
La única fuerza que actúa en el movimiento corresponde a la fuerza de gravedad (mg). El tiempo que actúa el impulso se determina aplicando la segunda ley de Newton, es decir:
Es decir, el tiempo que actúa la fuerza es de t = 0.31s 7. Según el diagrama, una esfera de 20 lb., que se mueve con una velocidad de 10 pies/s hacia abajo, choca con otra esfera de 12 lb, que se mueve, tal como se muestra en la figura, a una velocidad de (6) ^1/2 pie/s. El coeficiente de restitución es e =0,80. Calcular las velocidades V1 y V2 después del choque. 8.
Solución
El coeficiente de restitución de un choque se define por:
La idea es determinar las velocidades después del choque, por lo tanto:
Reemplazando valores conocidos, resulta:
Reemplazando los valores conocidos resulta
9. Un proyectil de 5 g es disparado horizontalmente sobre un bloque de madera de 3 kg, que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente dinámico de rozamiento entre el bloque y la superficie de 0,20. el proyectil permanece empotrado en el bloque y se observa que este se desliza 25 cm. sobre la superficie. ¿Cuál era la velocidad del proyectil?
Solución Sean:
En este caso se trata de un choque inelástico por lo tanto se cumple que:
Reemplazando valores
10. Una pelota es lanzada contra una pared vertical, alcanzándola en un punto situado a 1,20 m por encima del suelo, con una velocidad horizontal de 6m/s. Después de rebotar en la pared, la pelota toca el suelo en un punto situado 2,4 m delante de la pared. (a) ¿Cuál es el coeficiente de restitución?,
Solucion
t = 0.49487s
11. El empleado de una línea aérea lanza dos maletas, una de 15 kg y otra de 20 kg de masa, sobre un carrito para equipaje de 25 kg. Si se sabe que el carrito está al principio en reposo y que el empleado imparte una velocidad horizontal de 3 m/s a la maleta de 15 kg y una velocidad horizontal de 2 m/s a la maleta de 20 kg, determine la velocidad final del carrito si la primera maleta que se lanza sobre él es a) la de 15 kg, b) la de 20 kg.
a)
(15)(3) = (40) = 1.125 b)
(20)(2) = (49)′ ´ = 0.8889 (19)(3) + (49)(0.8889) =60′ ′ =1.417 ⁄ 12. Un hombre de 180 lb y una mujer de 120 lb están de pie en extremos opuestos de un bote de 300 lb, listos para lanzarse, cada uno con una velocidad de 16 f t/s en relación con el bote. Determine la velocidad del bote después de que ambos se hayan lanzado, si a) la mujer se lanza primero
−120(16−) + (300+180) = 0 480(3.20) =300 +180( +16) 480 =−1344 =−2.80 13. Se dispara una bala con una velocidad horizontal de 1 500 ft/s hacia un bloque A de 6 lb; la bala atraviesa el bloque y queda incrustada en otro bloque B de 4.95 lb. Si se sabe que los bloques A y B se empiezan a mover con velocidades respectivas de 5 ft/s y 9 ft/s, determine a) el peso de la bala
1500=30+44.5+9 14.91=74.5 =0.500 14.Desde el extremo A de una plataforma móvil de 80 kg inicialmente en reposo, un niño de 40 kg se desplaza hasta su extremo B. Determinar la posición del niño y del centro de la plataforma cuando el niño se encuentra en B. Razónese la respuesta. El niño se desplaza de A a B con velocidad constante de 1 m/s sobre la plataforma. Determinar la velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. Razónese la respuesta
4 = 80∗1+40∗2 = 80+40 3 La posicion del níño
− (2−) =2−2=2/3
La posicion del centro del plataforma
+ ( − 1) =2−1=5/3
80∗+40( − 1) = 0 = 13 / 15. Una bola de acero tiene una masa m y se mueve en línea recta con una velocidad de módulo v = 14 m/s. La bola impacta en el bloque de masa M, inicialmente en reposo en una superficie sin rozamiento, quedando incrustada en él. Tras el choque el conjunto se desplaza por el plano de la figura, donde el tramo inclinado AB es un tramo con rozamiento.
a. Calcular la velocidad del sistema bola-bloque después de la colisión
b. Determinar el coeficiente de rozamiento en el tramo AB si el conjunto se para al llegar al punto B
16. Se tiene un sistema de partículas formado por tres masas puntuales de valores m 1 = m, m2 = 3m y m 3 = 2m. La posición de las masas en el instante inicial y las fuerzas externas a las que se ven sometidas (de módulo constante F) son las que se muestran en la figura. El centro de masas (CM) se está trasladando con una velocidad VCM = 3 i (m/s) con respecto a O.
a. ¿Puede el CM describir una trayectoria curva? Calcular el momento lineal del sistema con respecto a O, ¿es contante? ¿Se conserva el momento angular del sistema con respecto a O?
b. Si en un instante dado las velocidades de las masas m 1 y m2 son respectivamente v1 = - 12 j y v2 = 6 i + 8 j (en m/s), calcular la energía cinética interna del sistema en ese
instante.
17. Por el carril circular sin rozamiento de radio R de la figura se lanza una masa m de dimensiones despreciables con una velocidad v. En el tramo rectilíneo siguiente de longitud d el coeficiente de rozamiento cinético entre la masa y el suelo es μ. Suspendida de una cuerda y en reposo se encuentra una masa M = 2m.
18.Una bala de masa 0.3 kg y velocidad desconocida choca contra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0.5 m de larga y en reposo. Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º con la vertical, mientras tanto la bala describe una parábola, estando el punto de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1.5 m por debajo. Calcular:
La velocidad del saco y la de la bala inmediatamente después del choque La velocidad de la bala antes del choque y la energía perdida en el mismo La tensión de la cuerda cuando esta hace 10º con la vertical
Solución
1 4 = 4 ∗ 9.8 ∗ (0.5 − 0.5cos30) 2 =1.15 La velocidad v se calcula aplicando el principio de conservación d ala energía
1 4 = 4 ∗ 9.8∗ (0.5−0.5cos30) + 1 4 2 2 = 1.08 /
19.Tres partículas A, B y C de masas m A = mB = m y mC = 2m, respectivamente se están moviendo con velocidades cuyo sentido se indica en la figura y de valor v y v C = 2v . A = v B = v Se dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan en el mismo instante. Al colisionar A y B quedan adheridas y salen en la dirección indicada con velocidad v /2. Determinar:
La velocidad y dirección sale la partícula C.
Solución Masa(kg)
v. antes del choque
v. después del choque
m
-vi
-(v/2)sin60*i-(v/2)cos60*j
m
vi
-(v/2)sin60*i-(v/2)cos60*j
2m
⃗
-2v j
(− ) + ( ) + (2)(−2 ) = (2)− 2 60∗− 2 60∗ +(2) ⃗ √ 3 ∗ − 7 ∗ ⃗ = 60∗+ (−4+60) ∗ = 2 4 4 = √13 2 / =−76.1º 20.Las esferas de la figura tienen masas m A = 20 g, mB = 30 g y mC = 50 g. Se mueven hacia el origen sobre una mesa sin fricción con velocidades v A = 1.5 m/s y v B = 0.5 m/s. Las tres esferas llegan al origen simultáneamente.
¿Cuánto tiene que valer →vcvc→ (módulo y dirección) para que las masas queden en el origen, sin moverse, después del choque?
Solucion
Masa(kg) 0.02 0.03 0.05
v. antes del choque 1.5 .i
v. después del choque 0
-0.5*cos60.i -0.5sin60.j
⃗
0 0
0.02) − 1.5)+ 0.03(−0.560 − −0.560) + 0.05 = 0 ⃗ =0.75+0.15√3 =0.79 =19.1º
