Ejercicios Óptica 2ª Parte
Ejercicio 1: La fórmula del desfase al llegar al borde de la bra viene dada por:
No obstante se tiene que el sustrato y que la cubierta tiene diferente índice, por lo que el desfase será diferente en cada una de las supercies, esto es, nos encontramos ante un caso de bra no simétrica. θi , esto es
omo se ve en la formula, formula, el desfase desfase esta dado en función de
el ángulo de incidencia en la bra, con respecto a la normal del plano de incidencia:
!or otro lado, si se aplican las leyes de "neell, se tiene que el ángulo critico será
aquel,
para
el
que
se
consigue
,
esto
es,
. #inalmente, los diferentes posibles valores producidos, respetando el valor mínimo del ángulo de incidencia en función del ángulo crítico es:
$on se observa que a mayor contraste entre los índices de refracción de los diferentes componentes de la bra se tendrán pasa posibilidades para los posibles angulos mayores que el ángulo crítico. crí tico. No obstante, no todos los valores de ángulo son posibles, ya que la relación de dispersión limita el con%unto de angulos de incidencia que generan los modos guiados. &sta relación es la siguiente:
La resolución de esta relación 'a de 'acerse de forma analítica. !ara el modo fundamental, esto es m ( ), se tiene que: 2 K o nf h cos
( θ ) = φ s + φc
$onde tanto el valor de la i*quierda de la igualdad depende de +, como las diferentes retardos dados por . !or ello, aplicando una resolución mediante -atlab.
$onde se observa la curva correspondiente a la epresión de la i*quierda, en a*ul, mientras que se observan observ an los diferentes retardos de la bra. &l punto para el cual se obtiene el modo m ( ), es para el cual se tiene el cruce entre la curva a*ul, y la curva negra. &n este caso el ángulo obtenido, 'aciendo uso de -atlab para encontrar el punto de intersección, es de /0.12. &l índice efectivo para este valor vendrá dado por:
N ef =sin ( 56.2 º )∗ N f = N f ∗0.838
A) Obtener el Índice efectivo para los diferentes valores
a. "34. !ara ' ( ).1/ 5m
6plicando las formulas anteriores: 7 ( /0.12 N ef =sin ( 56.2 º )∗ N f = N f ∗0.838 =3.476∗0.838 =0.91288
b. "34. !ara ' ( ).8 5m &n esta nueva gráca si la comparamos con la anterior se tiene que la epresión de la i*quierda es un valor mayor, por lo que la caída se 'ace mas
tarde y por lo tanto el punto de cruce también. &sto produce que el ángulo sea mayor y por lo tanto también el índice de refracción efectivo. 6plicando las formulas anteriores: 7 ( 00.8902 N ef =sin ( 69.9 º )∗ N f = N f ∗¿ 3.476∗0.9165 = 3.1856
c. "34. !ara ' ( 9 5m
6plicando las formulas anteriores:
7 ( ;.;/10 N ef =sin ( 69.9 º )∗ N f = N f ∗¿ 3.476∗0.9811 = 3.1414
Se observa en este material como al amentar el tama!o de la "bra# el $ndice efectivo resltante amente# lo cal es indicativo de la onda al recorrer la "bra la ma%or parte del material por el cal viaja es el del n&cleo
d. "34. !ara ' ( <./ 5m
$e nuevo se observa, como al disminuir el contraste entre los índices de refracción de las diferentes elementos los posibles valores de angulos de incidentica disminuyen. 6demás, para que este primer modo se produ*ca es necesario aumentar considerablemente '. !or otro lado el ángulo en el cual se propaga el primer modo, es:
6plicando las formulas anteriores: 7 ( ;8.0=<0 N ef =sin ( 84.6936 º )∗ N f = N f ∗¿ 1.48∗0.9957 =1.4737
Apartado ' >allar la relación ?'@AB que garanti*a que solo se propague el modo fundamental. !ara el modelo dado anteriormente, con ' ( <./ 5m. "e tiene, en principio, que los modos aceptados son tanto el modo fundamental, m ( ), y otro modo para m ( 9. &sto se observa entre el punto de cruce del grafo a*ul, y los grafos para m ( ), m ( 9, m ( 1, siendo solo para la Cltima curva para la que el punto de cruce da un ángulo menor que el ángulo crítico, indicado con la línea discontinua.
"e tiene como para valores de '@A menores de 1.)/< se tendrá Cnicamente un modo. &sto viene dado por la fórmula:
&ste es el factor que limita la posibilidad de que se transmita más de un modo. !or otro lado, para que se transmita un modo, su punto de cruce en la gráca de la ecuación de la relación de dispersión sea con un ángulo superior al ángulo crítico !ara una bra en la que el índice del sustrato y el de la cubierta es el mismo, se tendrá que siempre 'abrá un modo propagándose, esto puede observarse con una simulación, reduciendo signicativamente el valor de la altura de la bra:
6 pesar de la se 'a reducido considerablemente ', todavía se produce un punto de corte superior al 6ngulo crítico, en este caso prácticamente el propio 6ngulo crítico. !or tanto, el margen es el siguiente
( *+# 2.2,-).
Para el otro material. eali/ando na simlaci0n con ( +., m:
"e ve como se admite el segundo y el primer modo sin problemas ?&sto se percibe en el punto de corte de la curva del desfase producido por el modo m ( ) DnegroE, la curva del modo m(9 DmoradoE con respecto a la curva de desfase positivo generado en función de la altura de la braB. -ientras que ya el tercer modo no respeta el ángulo crítico, propiciado por la diferencia de índice de refracción entre los elementos del revestimiento. Feali*ando la simulación para - máimo:
6'ora se tendrán dos factores limitadores, ya que los índices de cubierta y sustrato son diferentes, por ello se 'a de tomar el mas limitante, es decir, aquel que permite una relación menor. &n este caso el que mas limita es la cubierta, lo cual es lógico ya que es la parte con menor índice y por lo tanto mas contraste. &ste límite es de +.13-.
Anal$ticamente# tomando el índice de la cubierta ya que es con el que más contraste se tiene que: &s importante ver que este nCmero máimo de modos solo viene limitado por esta fórmula aun cuando los dieléctricos que cubren el nCcleo son diferentes. &sto es así ya que se toma para obtener el límite el dieléctrico más limitante, esto es, aquel con el que 'ay menos contraste. 6demás ns 4 nc M max=
2∗h
λ0
∗√ n f 2−n s2
!ara que 'aya solo un modo debe cumplirse - G 9 por lo que: 1
>
2
∗h
λ 0
h λ0
∗ √ 3.475 −1.444 = ∗6.656 ; 2
2
h < 0.158 λ0
Hue es un valor similar al obtenido a partir de la gráca. !or otro lado, se tiene que para diferentes valores de índice de refracción entre cubierta y sustrato que no 'aya ningCn modo que se propague. &l mínimo ángulo aceptado para que 'aya modo fundamente es el ángulo critico dado por el elemento con el cual 'ay menos contraste de índices. &n este caso es para el sustrato, n ( 9.88. &l ángulo crítico para el sustrato se calcula a partir de: θc = arcsen
() ns
nf
=arcsen
(
1.44 3.576
)=
26.38 º
Lo que se 'a obtenido es el valor seIalado en la siguiente gráca. !ero, para obtener la relación ?'@AB minima, 'a de obtenerse el desfase producido en ese punto.
&sto se reali*a con matlab y el valor es de ).01 radianes. !or lo que tomando este valor y resolviendo cual sería el punto de cruce limitante con la curva a*ul, con la mínima relación:
0.6772 =
2∗2 π
λ
∗3.476∗h
Fesolviendo la ecuación anterior se tiene que: h =0.0155 λ
Feali*ando una simulación para este valor:
&n la imagen se ve como %usto para ese valor de la relación se tiene que el punto de cruce es algo anterior al ángulo crítico del sustrato, por ello el valor se 'a de tomar algo superior. #inalmente el rango de esta relación es el siguiente: h =( 0.0156,0.1580 ) λ
Apartado 5 Para el material !ara el rango determinado anteriormente, de ).)9/0 a ).9/)1 para el cociente de '@A, se garanti*aba que eistiera solo un modo. "egCn la teoría electromagnética el nCmero de modos en una guía vendrá dado por su valor de frecuencia normali*ada, obtenido a partir de: h 2 2 V = 2∗π ∗√ n f − n s λ
!ara los dos valores límite del rango anterior:
V max =3.1396 V min=0.3263
!ara obtener los valores de b en función del rango anterior 'ay que obtener el valor de la variable JaK:
Hue en este caso es de ).9);/, por lo que el valor más cercano será el del grafo de a ( ). &n la siguiente gráca se observa como para el rango anterior se tiene solo un modo disponible. 6un así, parece que el margen de la óptica geométrica es algo más restrictivo. olor amarillo
eali/ando lo mismo para el otro material , cuyo rango obtenido 'abía sido:
h =( 0,2.25 ) λ
!ara este caso como no 'ay diferencia entre los índices de refracción de cubierta y sustrato se tendrá, a ( ), mientras que la frecuencia normali*ada será: V max =3.42 V min=0
&n la siguiente gráca se ve como segCn la teoría electromagnética solamente se propaga un modo para los rangos especicados anteriormente. "e indica el rango del material de alto contraste en ro%o mientras que el material de ba%o contraste esta en amarillo.
Apartado 6 "imulación con #&&N de los diferentes guías ondas. !ara el material de alto contraste: aB ' ( ).1/eM0
bB ' ( ).8eM0
cB ' ( 9eM0
!ara el material de ba%o contraste: ' ( <./eM0
Ejercicio 2 $emostrar la equivalencia de la ecuación de dispersión segCn la óptica geométrica
2 k o hcos
( θ ) =∅s + ∅c + 2 πm
?9B
on respecto a la ecuación segCn la teoría electromagnética: −1
tg
[ ] [ ] γ c
γ s
+tg −
1
k yf
K yf
+ πm=k yf h ?1B
k yf referida al e%e de
&n primer lugar, se tomará la constante
coordenadas segCn la propagación en la óptica geométrica, referenciándola a la constante de propagación normali*ada. &sto es: k yf = k 0 cos ( θ )∗nf
?
"ustituyendo en ?1B, y multiplicando todo por 1: 2 tg
−1
[
γ c
] [ + 2 tg−
γ s
1
k 0 cos ( θ )∗nf
k 0 cos ( θ )∗ nf
]
+ πm=2 k cos ( θ ) n f h 0
?8B
!or otro lado, los desfases por la reeión en la cubierta o sustrato segCn la óptica geométrica vienen dados por, tomado para el sustrato:
∅s
−1
= 2∗tg
(
√
2
sen ( θ ) −
()
2
ns
nf
cos ( θ )
)
?/B
"ubstituyendo en ?9B:
2 tg
−1
(
√
2
()
sen ( θ ) −
cos ( θ )
ns
n f
2
) ( −1
+ 2 tg
√
❑
2
()
sen ( θ ) −
ns
n f
cos (θ )
2
)
+ 2 πm=2 k o hcos ( θ ) ?0B
6plicando que la constante de desvanecimiento en cubierta y sustrato se puede epresar como: γ s= √ β −n s k 0=√ neff k 0 − n s k 0 2
"ubstituyendo en ?8B:
2
2
2
2
2
2
?B
2 tg
−1
(
) (
)
√ neff k 0 −ns k 0 + 2 tg−1 √ neff k 0 −nc k 0 + 2 πm= 2 k cos ( θ ) n h 0 f 2
2
2
2
k 0 cos ( θ )∗n f
2
2
2
2
k 0 cos ( θ )∗n f
?;B
Oomando de óptica geométrica: neff =n f sen ( θ)
?=B
6plicando la ecuación anterior y manipulando los datos en ?;B
2 tg
−1
(
) (
)
2 2 2 2 2 2 √ nf sin (θ )− ns + 2 tg−1 √ n f sin ( θ)− nc + 2 πm= 2 k cos (θ ) n h 0 f
cos ( θ )∗nf
cos (θ )∗n f
?9)B !or lo que llevando el término nf, del denominador al numerado en los términos contenidos en la tangente:
2 tg
−1
(
√
2
sin
2
n (θ )− s n f
cos
(θ)
) ( + 2 tg−
1
√
2
sin
2
n (θ )− c n f
cos
(θ)
)
+ 2 πm=2 k cos ( θ ) n f h 0
?99B
on lo que nos queda la epresión utili*ada en óptica geométrica para el cálculo de la relación de dispersión.
Ejercicio 7 Pna línea biplaca tiene la siguiente estructura:
$onde lo que se tiene son dos planos conductores paralelos en ( ) y ( b, siendo b la distanciante entre dic'os planos. "egCn la teoría electromagnética, las ondas se transmitirán de la siguiente forma:
$onde se 'a de cumplir la siguiente condición de guiado, también conocido como relación de dispersión:
6plicando las siguientes epresiones: 2 π
β z = N
λ 0
2
2
( )
w ! = β = n
2 π
2
λ0
6plicando estas fórmulas, ?donde N es el índice efectivo, mientras que n es el índice del dieléctrico entre los dos planos paralelos conductoresB:
2 π
( N
λ 0
2
( ) 2 π
)= n
λ 0
2
2
−( mπ ) "
$ividiendo todo por n, y multiplicando todo por
λ0 2 π
:
2
mπ ∗ λ 0 2 N " ( ) =1−( ) 2 π n
6plicando estas epresiones: qué para nuestro caso que para nuestro caso $onde ' es la distancia entre las placas, esto es b, mientras que Q ( R. !or lo que aplicando estos cambios: 2
mπ ) " = 1−( V 2
&sta es la epresión bMS para una línea biplaca. &nlace 'ttp:@@Tcc'eT.ece.illinois.edu@c'eT@ece
Ejercicio
6proimación mediante -arcatili &n este método se debe dividir el "L6U <$ en sus equivalentes en dos dimensiones, tomando para la resolución de estas dos nuevas guías los modos O- y O&, resolviéndolos posteriormente y aplicando que:
&ste problema se resolverá aplicando #een para los diferentes modos. 6plicando diferentes longitudes de T, que van de 8)) a 99))nm de /) en /) nm.
6proimación mediante el -étodo de Vndices efectivos
&valuación de los modos permitido para la guía propuesta. 6unque se 'a calculado el índice efectivo de la guía <$ en función de la longitud WXY, otro parámetro importante a calcular es si es posible que los modos indicados se propaguen para los diferentes valores dados de X. !ara ello 'ace falta observar detenidamente la gráfica RMS de cada uno de los modos O- y O& en los que se 'a dividido la guía <$.
