Cadenas de Markov 1. Una computadora se inspecciona cada hora. Se encuentra que está trabajando o descompuesta. Si está trabajando la probabilidad de que siga trabajando la siguiente hora es 0.9 Si está descompuesta, se toman las medidas para repararla lo que puede llevar más de una hora. Siempre que la computadora esté descompuesta, Independientemente de cuanto tiempo haya pasado, la probabilidad de que siga descompuesta la siguiente hora es 0.35. A. Modele el sistema como una cadena de Markov. Solución: Debemos definir los estados Eo = La maquina está trabajando E1 = La maquina está descompuesta Eo E1 0.9 0.1 0.65 0.35 B. Hoy está trabajando, ¿Cuál es la probabilidad de que en 4 hrs sigatrabajando Solución: Buscamos T4 = P(4) T4 =
Eo E1
Eo E1 Eo 0.85 0.15 E1 0.84 0.16 2. Un fabricante de grabadoras está tan seguro de su calidad que está ofreciendo garantía de reposición total si el aparato falla en dos años. Basándose en datos compilados la compañía ha notado que solo el 1 % de las grabadoras falla durante el primer año y 5 % durante el segundo. La garantía no cubre grabadoras ya reemplazadas. A. Modele el sistema como una cadena de Markov. Solución: Debemos definir los estados Eo = Está funcionando en su primer año. E1 = Está funcionando en su segundo año. E2 = Se reemplaza por garantía. E3 = Finaliza la garantía. Eo E1 E2 E3
Eo 0 0 0 0
E1 0.99 0 0 0
E2 0.01 0.05 1 0
E3 0 0.95 0 1
3. Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de una zona urbana, rural ó suburbana, durante un año determinado el 15% de las familias urbanas se cambian a la zona suburbana y el 5 % a la zona rural. El 6% de la familias suburbanas pasan a la zona urbana y el 4% a la rural, el 4% de las familias rurales pasan a la zona urbana y el 6% a la suburbana . A. Construya la matriz de transición Solución: Debemos definir los estados Eo = Zona urbana E1 = Zona Rural E2 = Zona Suburbana
Eo E1 E2 Eo 0.8 0.05 0.15 E1 0.04 0.90 0.06 E2 0.06 0.04 0.90 B. Si una familia vive actualmente en lazona urbana ¿ Cual es la probabilidad que después de dos años viva en la zona urbana? Solución: Buscamos T2 Eo E1 E2 Eo 0.651 0.091 0.258 E1 0.0716 0.8144 0.114 E2 0.1036 0.075 0.8214 El valor que buscamos se encuentra en azul y este nos indica que la probabilidad que buscamos es del 65.1 %. C. Suponga que en la actualidad el 40% de las familias viven en la zona urbana, el 35% en la zona suburbana y el 25 en la zona rural . Después de dos años ¿Qué porcentaje de familias vivira en la zona urbana? Solución: Debemos identificar el vector P = 0.4 0.25 Que lo tomamos de los porcentajes que nos da el problema. Buscamos P*T2
Eo 0.651 0.0716 0.1036
Eo E1 E2 *
E1 0.091 0.8144 0.075
0.35
E2 0.258 0.114 0.8214
0.4 0.25 0.35 Lo que nos da este resultado: 0.31456 0.26625 0.41919 La respuesta se encuentra marcada en azul, lo que nos da un porcentaje de 31.45% de familias que después de dos años vivira el la zona urbana 4. El departamento de mantenimiento de una empresa da servicio a tres departamentos de ella (A, B, C), sujeto a ciertas restricciones. Nunca se da servicio al mismo departamento en días seguidos. Si se atiende al departamento A, entonces al día siguiente se atiende al B. Sin embargo, si se atiende a uno de los departamentos B ó C, entonces el día siguiente se tiene doble probabilidad de atender a A, que atender a otro departamento. A. Construya la matriz de transición: Solución: A B C
A 0 2/3 2/3
B 1 0 1/3
C 0 1/3 0
Ejemplos 1. Una computadora se inspecciona cada hora. Se encuentra que está trabajando o descompuesta. Si está trabajando la probabilidad de que siga trabajando la siguiente hora es 0.9 Si está descompuesta, se toman las medidas para repararla lo que puede llevar más de
una hora. Siempre que la computadora esté descompuesta, Independientemente de cuanto tiempo haya pasado, la probabilidad de que siga descompuesta la siguiente hora es 0.35. A.
Modele el sistema como una cadena de Markov.
Solución: Debemos definir los estados Eo = La maquina está trabajando E1 = La maquina está descompuesta
B.
Eo
E1
Eo 0.9
0.1
E1 0.65
0.35
Hoy está trabajando, ¿Cuál es la probabilidad de que en 4 hrs sigatrabajando Solución: Buscamos T4 = P(4) T4 = Eo
E1
Eo 0.85
0.15
E1 0.84
0.16
2. Un fabricante de grabadoras está tan seguro de su calidad que está ofreciendo garantía de reposición total si el aparato falla en dos años. Basándose en datos compilados la compañía ha notado que solo el 1 % de las grabadoras falla durante el primer año y 5 % durante el segundo. La garantía no cubre grabadoras ya reemplazadas. A.
Modele el sistema como una cadena de Markov.
Solución: Debemos definir los estados Eo = Está funcionando en su primer año. E1 = Está funcionando en su segundo año. E2 = Se reemplaza por garantía. E3 = Finaliza la garantía. Eo
E1
E2
E3
Eo
0
0.99 0.01 0
E1
0
0
0.05 0.95
E2
0
0
1
0
E3
0
0
0
1
3. Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de una zona urbana, rural ó suburbana, durante un año determinado el 15% de las familias urbanas se cambian a la zona suburbana y el 5 % a la zona rural. El 6% de la familias suburbanas pasan a la zona
urbana y el 4% a la rural, el 4% de las familias rurales pasan a la zona urbana y el 6% a la suburbana . A.
Construya la matriz de transición
Solución: Debemos definir los estados Eo = Zona urbana E1 = Zona Rural E2 = Zona Suburbana Eo
E1
E2
Eo 0.8
0.05
0.15
E1 0.04
0.90
0.06
E2 0.06
0.04
0.90
B. Si una familia vive actualmente en lazona urbana ¿ Cual es la probabilidad que después de dos años viva en la zona urbana? Solución: Buscamos T2 Eo Eo 0.651
E1
E2
0.091
0.258
E1 0.0716 0.8144
0.114
E2 0.1036 0.075
0.8214
El valor que buscamos se encuentra en azul y este nos indica que la probabilidad que buscamos es del 65.1 %. C. Suponga que en la actualidad el 40% de las familias viven en la zona urbana, el 35% en la zona suburbana y el 25 en la zona rural . Después de dos años ¿Qué porcentaje de familias vivira en la zona urbana? Solución: Debemos identificar el vector P = 0.4 0.25 0.35 Que lo tomamos de los porcentajes que nos da el problema. Buscamos P*T2 Eo
E1
E2
Eo 0.651
0.091
0.258
E1 0.0716
0.8144
0.114
E2 0.1036
0.075
0.8214
0.4 0.25 0.35
Lo que nos da este resultado: 0.31456
0.26625
0.41919
La respuesta se encuentra marcada en azul, lo que nos da un porcentaje de 31.45% de familias que después de dos años vivira el la zona urbana 4.
El departamento de mantenimiento de una empresa da servicio a tres departamentos de ella (A, B, C), sujeto a ciertas restricciones. Nunca se da servicio al mismo departamento en días seguidos. Si se atiende al departamento A, entonces al día siguiente se atiende al B. Sin embargo, si se atiende a uno de los departamentos B ó C, entonces el día siguiente se tiene doble probabilidad de atender a A, que atender a otro departamento. A. Solución: A
Construya la matriz de transición: B
C
A
0
1
0
B
2/3
0
1/3
C
2/3
1/3
0
Ejemplo
Existe un 75% de posibilidades de que el día siguiente funcione y un 25% de que no funcione , pero si no esta funcionando hay un 75% de posibilidades de que tampoco funcione al día siguiente y solo un 25% de que si lo haga para comenzar el análisis se debe de conocer el estado actual supóngase que esta comenzando y que hay un 75% de posibilidades de que este funcionando y un 25% de que no este funcionando ,Cual es la probabilidad de estar funcionando el primero y segundo día. Inicio P (f)= .75 P (nf) =.25 Procedimiento para calcular la proporción de estados no absorbentes que terminaron en estados absorbentes 1. Eliminar los renglones correspondientes, a los estados absorbentes originales. 2. Dividir la matriz restante en estados absorbentes y no absorbentes, denominar "g "a la parte de la matriz bajo estados absorbentes y "h" a la parte de la matriz bajo estados no absorbentes. 3. Calcular la matriz fundamental "Q" que es igual a Q =(I-H)-1 , donde I es igual a la matriz original y el exponente -1 , se refiere al inverso de la matriz. 4. Calcular la matriz de posiciones R =QG. Ejemplo
Una empresa de abogados emplea 3 categorías de empleados: principiantes, con experiencia y socios como se muestra en la matriz de transición. a. Determine la probabilidad de que un abogado principiante, recién contratado deje la empresa antes de ser socio. b. Cual es la probabilidad de que un abogado principiante salga siendo socio.
Conclusión: 50% de los principiantes sale siendo socio. 50% da los principiantes sale sin ser socio. De los abogados con experiencia: 33% sale sin ser socio. 66% sale siendo socio. De los socios: 100% sale siendo socio
Ejemplo Tres laboratorios farmacéuticos (A,B y C) que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogéneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente:
Este es un ejemplo de cadena de Markov irreductible y ergódica. Todos los estados sonrecurrentes y están comunicados entre sí, formando una sola clase. Hay solución de estado estable (reparto del mercado a largo plazo, independiente de la situación inicial). En principio se debe tener presente a la matriz Po o la actual: Siendo 0.3 la de A, 0.2 la de B y 0.5 la de C Al multiplicar la matriz de transición con la matriz Po se irán generando las distintas distribuciones al correr el tiempo, como se muestra a continuación:
Existe otra forma de resolver esta clase de estados, llegando simplemente a la matriz estable, sin tener que hallar los demás Pn. Haciendo L=[x y z] LT=L nos quedaría el siguiente sistema de ecuaciones 0.8x + 0.15y + 0.13z = x 0.1x + 0.82y + 0.12z = y 0.1x + 0.03 y + 0.75z = z x+y+z=1 Ésta última ecuación se coloca debido a que se debe complicar que la suma de las probabilidades debes ser exactamente igual a 1. Al resolver este sistema de ecuaciones por el método que más le guste, obtendrá los mismos resultados de la matriz estable, es decir: x=0.4165 y=0.3722 z=0.21131 Por lo que este método es práctico para los resultados a largo plazo. TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA Ejercicio.
A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, realizar un análisis de esta línea de espera. Datos l = 20 unidades por hora m = 30 unidades por hora Con los datos anteriores podemos calcular la probabilidad de que el sistema esté ocupado: Pw = 20 / 30 = 2 /3 r = Pw Entonces la probabilidad de que el sistema no esté ocupado: Po = 1 - r = 1 / 3 El numero esperado de unidades en el sistema quedará definido por: = 2 Unidades El numero esperado de unidades que esperan ser atendidas quedará definido por:
Entonces en promedio habrá 4 / 3 de unidades esperando ser atendidas y 2 / 3 de unidad siendo atendida. de hora W = 6 minutos De manera similar, el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida estará definido por: de hora Wq = 4 minutos
Ejercicio. Para ejemplificar el modelo M / M / S, suponga que existen cinco canales de servicio con tasas promedio de servicio m = 6 y una tasa de llegada de l = 24 unidades por hora, esto implica que S = 5. Datos m=6 l = 24 S=5 Entonces tenemos que
Nota: Para encontrar los valores de Po con una mayor rapidez nos podemos auxiliar de la tabla que se anexa a este sistema, la cual nos proporciona este valor teniendo como parámetros los valores de S y de r . Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de Po = 0.0130, la probabilidad de que el sistema este ocupado será P(sistema ocupado) = 0.5547, utilizando este valor obtenemos que: Unidades L = 2.2188 + 4 = 6.2188 unidades Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma:
EJERCICIOS
Problema A.
Problema B.
Problema C.
Problema D.
Problema E.
Problema F.
Problema A. Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias. Datos ? = 20 / 8 = 2.5 cartas/hora ? = (1 / 20 min)(60 min/ 1 hora) = 3 cartas/hora La tasa de utilización de la secretaria estará definida por: El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta se deducirá de la siguiente manera: horas Ahora el numero promedio de cartas que estarán en la línea de espera: Si deseáramos conocer la probabilidad de que a la secretaria tenga mas de cinco cartas que mecanografiar, se determinaría de la siguiente manera: K 0 0.834 1 0.694 2 0.578 3 0.482 4 0.401 5 0.334 6 0.279 Problema B. Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar: Datos ? = 1 / 6 = 0.167 perros/min ? = 1 / 3 = 0.34 perros/min La probabilidad de que Sam este de ocioso definirá de la siguiente manera: Ahora la proporción de tiempo en que Sam está ocupado. El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados El numero promedio de perros que esperan a ser vacunados. Problema C. Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. Datos ? = 2 llamadas/minutos ? = (1 / 20 seg)(60 seg) = 3 llamadas/minuto La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá: El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador El numero de llamadas que esperan ser contestadas Problema D. Al principio de la temporada de futbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos. Datos ? = (4 / 10) = 0.4 c/min ? = (1 /2 ) = 0.5 c/min El numero promedio de gente en línea se definirá de la forma siguiente: personas El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos minutos La proporción de tiempo que el servidor está ocupado Problema E.
Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar descomposturas de máquinas que ocurren con promedio de tres por día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La brigada puede servir a un promedio de ocho máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. Datos ?= 3 repar. /día ? = 8 repar. /día La tasa de utilización de este sistema se encontrará de la siguiente forma: El tiempo promedio de descompostura para cada máquina que está descompuesta Las máquinas que están esperando a ser reparadas el cualquier momento dado La probabilidad de que haya una máquina en el sistema, dos, tres o más máquinas en el sistema. K 0 0.375 1 0.140 2 0.052 3 0.019 4 0.007 5 0.002 Ejercicios de Teoría de Colas PROBLEMA 1. El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada tres minutos. Suponiendo que las llegadas son de Poisson y que el servicio es exponencial, encuentre: 1. La utilización del cajero. 2. El número promedio en cola. 3. Número promedio en el sistema. 4. Tiempo promedio de espera en cola. 5. Tiempo promedio de espera en el sistema (incluyendo el servicio). Por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicio aceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con un 95% de certeza que los clientes no tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello tiene dos opciones: conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje más rápido, o poner más empleados conservando la misma tasa de servicio. Evaluar las dos posibilidades. SOLUCION p=0.75 Lq=2.25 L=3 Wq=9 minutos W=12 minutos Pw<=0.05 =>u=5 cl/minuto Pw<=0.05 => s=3 servidores -----------------------------
PROBLEMA 2. En el departamento de servicio del concesionario de automóviles Glenn-Mark, los mecánicos que necesitan recambios para la reparación o el servicio de un automóvil presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de recambios. El empleado del departamento llena una solicitud y va a buscar el repuesto que le ha pedido el mecánico. Los mecánicos llegan en forma aleatoria (Poisson) a una tasa de 40 por hora mientras que el empleado puede completar 20 solicitudes por hora (exponencial). Si el coste de un empleado del departamento de recambios es de 6 $/hora y el de un mecánico es de 12 $/hora, determinar el número óptimo de empleados para el mostrador. (Por la alta tasa de llegadas, se puede suponer una población infinita) SOLUCION s=4 => Coste Total=26$/hora ----------------------------PROBLEMA 3. Una empresa de ingeniería contrata a un especialista técnico para que auxilie a cinco ingenieros de diseño que trabajan en un proyecto. El tiempo de ayuda del especialista varía considerablemente; algunas de las respuestas las tiene en la cabeza; otras requieren cálculos; y otras más requieren mucho tiempo de investigación. En promedio, el especialista tarda una hora con cada solicitud. Los ingenieros requieren el apoyo del especialista una vez al día, en promedio. Puesto que cada ayuda tarda aproximadamente una hora, cada ingeniero puede trabajar siete horas, en promedio, sin ayuda. 1. ¿Cuántos ingenieros, en promedio, esperan ayuda del especialista técnico? 2. ¿Cuál es el tiempo promedio que tiene que esperar un ingeniero al especialista? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un ingeniero tenga que esperar en cola al especialista? SOLUCION Lq=2,44 Wq=2,49 horas Pw=98,22%
----------------------------PROBLEMA 4. L. Winston Martín es un alergólogo de Tucson con un excelente sistema para atender a sus clientes habituales que sólo van por inyecciones antialérgicas. Los pacientes llegan por una inyección y llenan una papeleta, la cual se coloca en una rendija que comunica con otra sala, donde están una o dos enfermeras. Se preparan las inyecciones específicas para un paciente y se le llama por el sistema de megafonía para que pase a la sala para la inyección. A ciertas horas del día, baja la carga de trabajo y solo se requiere una enfermera para aplicar las inyecciones. Centrémonos en el más sencillo de los dos casos, es decir, cuando sólo hay una enfermera. Suponga también que los pacientes llegan de forma aleatoria y que la tasa de servicio de una enfermera está distribuida exponencialmente. Durante el periodo más lento, los pacientes llegan aproximadamente cada tres minutos. La enfermera necesita dos minutos para preparar el suelo del paciente y aplicar la inyección. 1. ¿Cuál es promedio de personas que estarían en el consultorio del Dr. Martín? 2. ¿Cuánto tiempo tardaría una persona en llegar, recibir la inyección y salir? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que estén tres o más pacientes en el consultorio? 4. ¿Cuál es la utilización de la enfermera?
SOLUCION L=2 W=6 minutos P(L>2)=30% p=66,67% ----------------------------PROBLEMA 5. Una empresa de reproducción gráfica tiene cuatro unidades de equipo automáticas, pero que en ocasiones están fuera de servicio porque requieren suministros, mantenimiento o reparación. Cada unidad requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora o, para ser más precisos, cada unidad de equipo funciona durante un promedio de 30 minutos antes de requerir servicio. Los tiempos de servicio varían, desde un mantenimiento sencillo (como oprimir un botón de reinicio o colocar el papel) hasta una complicada operación de desmontaje del equipo. Sin embargo, el tiempo promedio de servicio es de cinco minutos. El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una pérdida de 20 dólares por hora. El único empleado de mantenimiento recibe 6 $/hora. Utilice el análisis de colas con población finita para calcular: 1. El número promedio de unidades en cola. 2. El número promedio de unidades en operación. 3. El número promedio de unidades en el sistema de mantenimiento. 4. La empresa piensa contratar a otro empleado de mantenimiento a 6 $/hora. ¿Debe hacerlo? SOLUCION Lq=1,61 4-L=1,43 L=2,57 M/M/1//4 => 57,40 $/h M/M/2//4 => 48,08 $/h
-----------------------------
PROBLEMA 6. Durante la feria, el puesto de coches de choque tiene el problema de que los coches se averían y requieren reparaciones con demasiada frecuencia. Se puede contratar personal para las reparaciones a 15 $/hora, pero sólo trabajan en equipo, es decir, si se contrata a una persona, trabaja sola; si son dos, tres o cuatro personas, sólo pueden trabajar juntas en la misma reparación. Una única persona puede reparar vehículos en un tiempo promedio de 30 minutos; dos personas tardan 20; tres tardan 15 minutos y cuatro, 12 minutos. Si un vehículo está inactivo, las pérdidas ascienden a 20 $/hora. El promedio de averías en vehículos es de dos por hora (suponer población infinita y todas las distribuciones exponenciales). ¿A cuántas personas hay que contratar para las reparaciones? SOLUCION 2 personas => 70 $/h 3 personas => 65 $/h 4 personas => 73,3 $/h
----------------------------PROBLEMA 7. Una tienda de bebidas ha determinado que es económicamente factible añadir una ventanilla para dar servicio a los automóviles, con espacio para dos vehículos: uno en la ventanilla y otro esperando. El dueño quiere saber si le conviene alquilar más espacio de espera. Se espera que los automóviles lleguen (según una distribución de Poisson) a una tasa de ocho por hora. En la ventanilla se puede atender a una tasa de 10 automóviles por hora (exponencial). Cada transacción deja un beneficio de 1 $, y el dueño piensa abrir 12 horas al día, 6 días por semana y 52 semanas al año. Los espacios adicionales cuestan 2000 $/año cada uno. ¿Cuántos vale la pena alquilar?. SOLUCION Q=2 => efect=5 c/h => Bº=22089 $/año Q=3 => efect=6,61 => Bº=22747 $/año Q=4 => efect=7,02 => Bº=22282 $/año ----------------------------PROBLEMA 8. Se trata de elegir entre dos tipos de equipo de manejo de materiales, A y B, para transportar cierto tipo de bienes entre distintos centros de producción dentro de un taller. La necesidad de una unidad de este equipo para mover una carga es en esencia aleatoria (es decir, sigue un proceso de entradas Poisson) con una tasa media de 4 por hora. El tiempo total requerido para mover una carga sigue una distribución exponencial, con media 12 minutos con el equipo A y 9 minutos con el B. El coste total uniforme equivalente por hora (coste de recuperación de capital más el coste de operación) sería 50 $ para A y 150 $ para B. Se estima que el coste de los bienes inútiles (en espera de ser transportados o en tránsito) causados por el aumento de inventario de materiales en proceso es 20 $/hora y carga. Además, la programación de trabajo en los centros de producción proporciona sólo una hora entre la terminación del proceso de una carga en un centro y la llegada de esa carga al siguiente centro. Así, debe asociarse un coste de 100 $/carga y hora de retraso (incluyendo el tránsito) después de la primera hora, por pérdida de producción debida al personal y equipo desocupados, costes extras para acelerar la producción y supervisarla, etc. Suponiendo que sólo se comprará un equipo de manejo de materiales, ¿cuál de los dos deberá seleccionarse? SOLUCION A => 130 $/h B => 180 $/h ----------------------------PROBLEMA 9. Una compañía ferroviaria pinta sus propios vagones de ferrocarril según se van necesitando. La alternativa 1 consiste en proporcionar dos talleres de pintura en los que se pinta a mano (un vagón cada vez en cada taller), con un coste total anual de 300.000 $. El tiempo de pintado para cada vagón es de seis horas (exponencial). La alternativa 2 consiste en proporcionar un taller de pintura aerosol que implica un coste anual de 400.000 $. En este caso, el tiempo de pintado por vagón (de nuevo uno a la vez) es de tres horas (también exponencial). Para ambas alternativas, los vagones llegan de acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 1 cada 5 horas. El coste por vagón
inutilizado es de 50 $/hora. ¿Qué alternativa debe elegir la compañía ferroviaria? Supóngase que los talleres de pintura siempre están abiertos, es decir, trabajan (24)·(365)=8760 horas por año. SOLUCION 1 => 127 $/h 2 => 120 $/h ----------------------------PROBLEMA 10. Se está estudiando un pequeño negocio de lavado de autos. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 15 por hora y solo se puede lavar un coche a la vez. El tiempo que se requiere para lavar un auto sigue una distribución exponencial con tasa media de 4 minutos. También se ha observado que los clientes que llegan cuando hay 4 coches en el sistema (incluyendo el que se está lavando), se van y llevan su auto a otro lado. La pérdida de la ganancia incremental por cada cliente que se va es de 3 $. Se han hecho dos propuestas. La propuesta 1 incluye agregar cierto equipo, a un coste capitalizado de 3 $/hora, que reduciría el tiempo esperado de lavado a tres minutos. Además, se daría una garantía a cada cliente que llega de que si tiene que esperar más de media hora para que le entreguen su auto listo, tendrá derecho a un lavado gratuito (a un coste marginal de 2 $ para la compañía). Esta garantía se publicará en un letrero, por lo que se piensa que no se perderán más clientes. La propuesta 2 consiste en obtener el equipo más avanzado que existe, a un coste incremental de 10 $/hora, en el que cada vehículo pasaría por dos ciclos sucesivos. El tiempo requerido para un ciclo sigue una distribución exponencial de media un minuto, es decir, el tiempo total esperado de un lavado sería de dos minutos. Se piensa que el aumento de velocidad y eficiencia hará que ningún cliente que llegue se vaya. El dueño piensa que en el análisis de las alternativas debe incluirse la pérdida de imagen (que podría derivar en pérdida de clientes en el futuro), cuando los clientes tienen que esperar antes de que se comience a lavar su automóvil, con un coste de 0,1 $/minuto de espera. Evalúe el coste total esperado por hora del estado actual, de la propuesta 1 y de la propuesta 2 para determinar cuál debe elegirse. SOLUCION Actual => 16,2 $/h Alt 1 => 16,5+0,202=16,7 $/h Alt 2 => 13 $/h -----------------------------
PROBLEMA 11. El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la cola, se supone que se incurre en una pérdida de 0,05 $. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajero tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al banco le cuesta 9 $/hora la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. SOLUCION s=4 => Inestable s=5 => 0,86 $/min s=6 => 0,92 $/min
PROBLEMA 12. En un hospital se recibe un promedio de 20 solicitudes de ambulancias por hora. Una ambulancia necesita un promedio de 20 minutos para recoger un paciente y llevarlo al hospital. La ambulancia queda disponible entonces para recoger otro paciente. ¿Cuántas ambulancias debe tener el hospital para asegurar que no haya más del 1% de probabilidades de no poder atender de inmediato una solicitud de ambulancias?. Suponga que los tiempos entre solicitudes están distribuidos exponencialmente. SOLUCION s=13 => Pw=2,1% s=14 => Pw=0,9% PROBLEMA 13. La Newcoat Painting Company, durante largo tiempo, ha tenido una alta demanda de su servicio de pintura de automóviles. Como ha tenido que rechazar trabajos, a la gerencia le preocupa que la causa de la pérdida de ingresos sea el espacio restringido de que dispone para guardar los automóviles que tiene que pintar. Al lado de las instalaciones hay un pequeño solar vacío, que se ofrece en renta a un coste de 10 $/día. La gerencia cree que cada cliente perdido supone 20 $ de pérdidas. Se calcula que la demanda actual es de 21 automóviles por día con tiempos exponenciales entre llegadas, incluyendo los que debe rechazar por no haber espacio para la espera, y el taller puede dar servicio a 24 coches por día (exponencial). El espacio de espera está limitado actualmente a 9 autos, pero si se alquila el solar adjunto, se puede aumentar a 20 vehículos en total. Newcoat desea saber si le se debe alquilar el solar vacío. También se desea conocer las pérdidas diarias por culpa de rechazar trabajos, actualmente y si se alquila el solar. Sólo se puede pintar un coche a la vez. SOLUCION Actual Q=10 Cost Balked=17,94 $/dia Total Cost=17,94 $/dia Actual Q=21 Cost Balked= 3,35 $/dia Total Cost=13,35 $/dia PROBLEMA 14. El departamento de investigación de operaciones de una universidad tiene dos líneas telefónicas. Un promedio de 30 personas por hora tratan de llamar al departamento, y la longitud promedio de cada llamada es de 1 minuto. Si una persona trata de llamar cuando ambas líneas están ocupadas, cuelga y se pierde del sistema. Suponer que el tiempo entre las llamadas que tratan de comunicarse, así como los tiempos de servicio, son exponenciales. 1. ¿Qué fracción del tiempo estarán libres ambas líneas? ¿Qué fracción de tiempo están ocupadas las dos? ¿Qué fracción de tiempo habrá desocupada exactamente una línea? 2. En promedio, ¿cuántas líneas están ocupadas? 3. En promedio, ¿cuántas solicitudes colgarán cada hora? SOLUCION P0=61,5% P2=7,6% P1=0,3%
