Sub-Unidad 2.3: ”ECUACIÓN
DE 2° GRADO”
Ecuación Cuadrática o de 2O grado Aquí se estudiará la ecuación que compone la función cuadrática, es decir las expresiones de la forma:
ax 2 + bx + c , donde a, b, c ∈ IR Ejemplos: 1. x 2 − 5 x + 6
2. 4 x 2 − 4 x + 1
3. − x 2 + 3 x + 4
4.
1 2 3 x + x −1 2 4
TIPOS DE ECUACIONES DE 2º GRADO Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero. La expresión de una ecuación de segundo grado completa es: ax2 + bx + c = 0. Ecuación de segundo grado incompleta Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos, son cero. (Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.) La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es: ax2 = 0;
si
ax2 + bx = 0; ax2 + c = 0;
b=0
y
si
c = 0.
si
c = 0.
b = 0.
EJERCICIOS PROPUESTOS Reconoce el tipo de ecuación de 2º grado, indicando los valores de los coeficientes a, b y c: 1. 5 x 2 + 3 x − 2 = 0
2. 9 x 2 − 1 = 0
3. 4 x 2 + 4 x + 1 = 0
4. 3 x 2 + 2 x = 0
5. − 12x 2 + 6 x + 9 = 0
6. 36 x 2 − 25 = 0
7. − 11x 2 = 110 x
8. 16 x 2 − 24 x = −9
9. 49 = − x 2
10. 121x 2 = 45 x − 15
11. 23 x = 4 x 2
12. 50 x 2 = 87
TRANSFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO A LA FORMA ax2 + bx + c = 0 EJERCICIO RESUELTO Expresar en la forma ax2 + bx + c = 0, la ecuación
Resolución:
3( x − 1) 2( x − 1) ( x + 1)( x + 2) − = 2 3 5
1. Se quitan paréntesis:
3 x + 3 2x − 2 x 2 + 3 x + 2 − = 2 3 5
2. Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30 15(3x + 3) - 10(2x - 2) = 6(x2 + 2x + x + 2); 45x + 45 - 20x + 20 = 6x2 + 12x + 6x + 12); 45x + 45 - 20x + 20 - 6x2 - 12x - 6x - 12 = 0. 3. Se reducen términos semejantes: 7x - 6x2 + 53 = 0 4. Se ordena la ecuación resultante: -6x2 + 7x + 53 = 0. Esta ecuación también puede expresarse así: 6x2 - 7x - 53 = 0.
EJERCICIOS PROPUESTOS Escribe las siguientes ecuaciones de 2º grado de la forma ax2 + bx + c = 0 1. x (x + 3) = 5x + 3
2. ( 2x − 3)2 − ( x + 5)2 = −23
3. 7( x − 3) − 5( x 2 − 1) = x 2 − 5( x + 2)
4. 3 x( x − 2) − ( x − 6) = 23( x − 3)
x2 x 3 − = 5 2 10 5 1 =1 7. − x x+2 5.
13 3 = x 2 8x 5x − 1 + =3 8. 3x + 5 x + 1 6. 4 x −
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos:
C.
ax2 = 0; si b = 0 y c = 0. ax2 + bx = 0; si c = 0. ax2 + c = 0; si b = 0.
A.
ax2 = 0.
A. B.
2 Despejando x2 se tiene: x =
0 = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 a ax2 = 0
Por lo tanto, las ecuaciones de la forma solución única x = 0.
tienen como
B. ax2 + bx = 0. Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0. Para que un producto de dos factores x resultado cero, uno de ellos debe ser cero:
y
(ax + b),
dé como
x = 0 x (ax + b) = 0 ⇒ ó −b ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = a En consecuencia, las ecuaciones de la forma tienen dos soluciones:
x=0 ∧ x=− C.
ax2 + c = 0.
ax2 + bx = 0
b a
2
Despejando x , se tiene:
x2 = Si el radicando, −
−c −c ⇒x=± a a
c es negativo, ax 2 + c = 0 no tiene solución, pues a
no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Si el radicando es positivo, la ecuación tiene dos soluciones:
x=+
−c −c ∧ x=− a a
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 3 x 2 = 0 b)
5 2 x =0 2
Resolución: 2 2 0 a) 3 x = 0 ⇒ x = = 0 ⇒ x = 0
3
b)
5 2 x = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 2
2. Resolver las ecuaciones: a) 2x2 + 4x = 0; b) -3x2 + 2x = 0;
c) x2 - x = 0
Resolución: a) 2x2 + 4x = 0 Sacando factor común x, resulta:
x = 0 x (2x + 4) = 0ó −4 2x + 4 = 0 ⇒ x = = −2 2 La ecuación tiene dos soluciones: x = 0
y
x = -2.
b) -3x2 + 2x = 0 Sacando factor común x, resulta:
x = 0 x ( −3 x + 2) = 0 ⇒ ó −2 2 − 3 x + 2 = 0 ⇒ x = = −3 3 La ecuación tiene dos soluciones x1 = 0 ∧ x 2 = c) x2 - x = 0 Sacando factor común x, resulta:
2 3
x = 0 x ( x − 1) = 0 ⇒ ó x − 1 = 0 ⇒ x = 1 La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 1. Resolver las ecuaciones: a) 3x2 - 27 = 0; b) 3x2 + 27 = 0;
y
x = 1.
c) -25x2 + 4 = 0
Resolución: a) 3x2 - 27 = 0
3 x 2 = 27 ⇒ x 2 =
27 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒ x = ±3 3
La ecuación tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3. b) 3x2 + 27 = 0
− 27 3 x 2 = −27 ⇒ x 2 = ⇒ x 2 = −9 ⇒ x = ± − 9 3
El radicando, -9, es un número negativo, luego no tiene raíz. La ecuación, por lo tanto, no tiene solución. c) -25x2 + 4 = 0
− 25 x 2 = −4 ⇒ x 2 =
−4 4 4 2 = ⇒x=± =± − 25 25 25 5
La ecuación tiene dos soluciones x =
2 2 ∧ x=− 5 5
EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas: 2. ( x + 5)( x − 5) = −7
1. 3 x 2 = 48
3. x 2 − 5 x = 0 4. x 2 - 3x = 3x 2 - 4x 5. ( 4 x − 1)(2x + 3) = ( x + 3)( x − 1) x2 x − 9 3 6. − =
3
2
7. 3( x + 2)( x − 2) = ( x − 4) + 8 x 9. 9 x 2 − a2 = 0
6
2
2
8. 5 x + 4 = 2( x + 2)
RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS Una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números distintos de cero. Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:
− b ± b2 − 4ac x= 2a Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente. De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x1 y x2, dependiendo del signo + ó que se toma delante de la raíz:
x1 =
− b − b2 − 4ac − b + b2 − 4ac ∧ x2 = 2a 2a
DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO A la expresión que aparece, en las fórmulas anteriores, bajo el signo de raíz, b2 - 4ac, se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, ∆. ∆ = b2 - 4ac. Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Se distinguen tres casos: A. Si ∆ > 0. Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas:
x1 =
− b − b2 − 4ac − b + b2 − 4ac ∧ x2 = 2a 2a
B. ∆ = 0. Si el discriminante es cero, las dos soluciones anteriores coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso es una solución doble: Por lo tanto, x1 = x2. C. ∆ < 0. Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe. ∆ > 0 Dos soluciones distintas ∆ = 0 Solución única doble ∆<0
No hay solución
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0. Resolución: a = 1; b = -5; c = 6.
x=
− b ± b2 − 4ac − ( −5) ± ( −5)2 − 4 ⋅ 1⋅ 6 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 = = = = 2a 2 ⋅1 2 2 2 5 +1 6 5 −1 4 x1 = = = 3 y x2 = = =2 2 2 2 2 La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.
2. Resolver la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0 Resolución: Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla: x2 + x - 6 = 0 a = 1; b = 1; c = -6
x=
− 1 ± 12 − 4 ⋅ 1⋅ ( −6) − 1 ± 25 − 1 ± 5 = = 2 ⋅1 2 2
Las soluciones son: x1 =
− 1+ 5 4 − 1− 5 − 6 = = 2 y x2 = = = −3 2 2 2 2
3. Resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0
Resolución: En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1. Aplicando la fórmula:
x=
− 1 ± 1 − 4 ⋅ 1⋅ 1 − 1 ± 1 − 4 − 1 ± − 3 = = 2 ⋅1 2 2
La ecuación no tiene solución, ya que el discriminante es negativo. 4. Resolver la ecuación 10x2 + 5(4x + 2) = 0 Resolución: Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0.
10x2 + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo en 10: x2 + 2x + 1 = 0 a = 1, b = 2, c = 1 Se aplica la fórmula:
x=
− 2 ± 4 − 4 ⋅ 1⋅ 1 − 2 ± 0 − 2 = = = −1 2 ⋅1 2 2
Por ser el discriminante cero, la ecuación tiene una solución doble: x1 = x2 = -1
EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado completas: 1. 3 x 2 − 5 x + 2 = 0 2. 6 x 2 = x + 222 3. 12 x − 4 − 9 x 2 = 0
4. 49 x 2 − 70 x + 25 = 0
5. 8 x 2 − 2x − 3 = 0
6. 105 = x + 2x 2
7.
x 2 + 2ax − 35a2 = 0
8.
1−
2x − 3 x − 2 = x+5 10
9. 176 x = 121 + 64 x 2
10. x 2 = −15 x − 56
11. x 2 + ax = 20a2
12.
4 x − 1 2x + 1 = 2x + 3 6 x + 5
x2 − x − 2 = 0
10 x = −25 − x 2
x 2 − 144 = 0
x 2 − 3x = 4
2 x 2 + 5x − 3 = 0
x 2 + 5x − 24 = 0
x 2 − x − 42 = 0
x 2 − 4 x = 21
x 2 − 10 x = 0
x 2 + 24 = 10 x
3x 2 − 16 x = 0
2x 2 − 8 x − 24 = 0
3x 2 − 12 x + 12 = 0
2x 2 − 4 x − 5
2 x 2 − 5x + 1 = 0
x 2 − 5x − 14
3x 2 − 8 x + 5 = 0
3x 2 − 6 x + 2 = 0
