Shembulli 11. Le t’i referohemi figurës vijuese:
Të caktohen probabilitetit: a) p(e gjelbër ose e kaltër) b) p(e gjelbër ose e kuqe) c) p(e kaltër ose numër më i madh se 5) d) p(e kuqe ose numër çift) e) p(numër i thjeshtë ose e gjelbër) f) p(numër i thjeshtë ose numër tek). Detyra për ushtrime të pavarura 5. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit numri që bie është: a) shumëfish i numrit 3,
b) më i vogël se 7,
c) faktor i numrit 6.
6. Nga 52 letra është tërhequr një letër. Të caktohet probabiliteti që letra e tërhequr të jetë: a) të jetë katror,
b) të jetë katror ose zemër,
c) të mos jetë figurë.
7. Nga letrat që mbajnë numrat 1 deri në 20 është tërhequr një letër. Të caktohet
probabiliteti që numri të jetë: a) i plotpjesëtueshëm me 4, b) më i madhe se 15, c) i plotpjesëtueshëm me 4 dhe me i madhe se 15. 8. Nga kutia që përmban 10 topa të kuq, 15 topa të zi, 10 topa të gjelbër dhe 10 topa të verdhë është nxjerrë një top. Të caktohet probabiliteti që topi i nxjerrë të jetë: a) i zi, b) as i gjelbër as i verdhë, c) jo i verdhë, d) i kuq, i zi ose i gjelbër, e) jo i
kaltër. 9. Janë hedhur dy kube. Të caktohet probabiliteti që:
a) shuma në dy kubet të jetë 3, b) shuma në të dy kubet të tejkalojë 9 c) në të dy kubet të
paraqitet i njëjti numër, d) numrat në kube të ndryshojnë për 2. e) prodhimi i dy numrave të jetë 6. 10. Nxënësit në klasë janë pyetur se sa motra dhe sa vëllezër i kanë. Përgjigjet e tyre janë dhënë në tabelën vijuese Numri i vëllezërve dhe motrave Numri i nxënësve
01 4 12
2 3 4 5 8 3 2 1
Përgatitur nga Ferid Emini
Të caktohet probabiliteti që në familjen e fëmijës së zgjedhur rastësisht të jenë 3 fëmijë.
PJESA
D.1. Hedhim dy kube (zare) me ngjyra të ndryshme. (a) Sa rezultate të ndryshme kemi nëse hedhim njëri pas tjetrit?
PJESA
D.1. Hedhim dy kube (zare) me ngjyra të ndryshme. (a) Sa rezultate të ndryshme kemi nëse hedhim njëri pas tjetrit?
D.1. Hedhim dy kube (zare) me ngjyra të ndryshme. (a) Sa rezultate të ndryshme kemi nëse hedhim njëri pas tjetrit? (b) Sa mënyra të ndryshme mund të bien në çoftë se i hedhim së bashku?
Zgjidhje
6 6 D.2. Në qytet ka 8 restorante studentore të shpërndarë në mënyrë të barabartë në 4 lagje të qytetit. Në afërsi të çdo restoranti ka dy salla sportive. Studenti dëshiron të marrësh me qira një banesë: Në sa mënyra mund të zgjedhim një lagje, një restorant studentore dhe një sallë sportive, nëse: a) Nuk ka rëndësi se restoranti i studentëve është në të njëjtën njëjtën lagje apo sallë b) nuk është e rëndësishme rëndësishme që restoranti i studentëve të jetë në të njëjtën lagje, por salla duhet të jetë patjetër c) Të gjitha ndodhen në afërsi të tij. Zgjidhje
D.3.Për sa kohë mund të formohen fjalëkalime me 4 karakter (shkronja) nga shkronjat v dhe c (rasti më i vogël) dhe numrat 1 dhe 5, nëse nuk lejohen të përsëriten shkronjat (karakteret).
Zgjidhje
!∗∗∗ {,,,}
Çdo fjalëkalim është një ndryshim pa përsëritje n=4 anëtaresh në bashkësinë
{,,,}
Numri total i permutacioneve pa përsëritje është Mund të formojmë 24 fjalëkalime.
D.4. Sa numra katër shifrorë përbëhen nga shifrat e bashkësisë
atë mënyrë që shifrat nuk përsëriten?
në
Zgjidhje Çdo numër me katër shifra është një permutacion i grupit n = 4-anëtarësh të bashkësisë S. Numri i permutacioneve është:
!∗∗∗
D.5. Sa fjalëkalime me 4 shkronja mund të formohen nga shkronja v (shkronja e vogël) dhe numrat 1 dhe 5, nëse shkronja v përsëritet 2 herë?
D.5. Sa fjalëkalime me 4 shkronja mund të formohen nga shkronja v (shkronja e vogël) dhe numrat 1 dhe 5, nëse shkronja v përsëritet 2 herë? Zgjidhje Fjalëkalimi është një ndryshim 4-anëtarësh me elementë përsëritës nga bashkësia
{,,,}
kështu që është përsëritje është
Numri i permutacioneve me
Ne mund të formojmë 12 fjalëkalime.
D.6. Në një kuti të madhe madhe janë disa lapsa të kuqe, të bardha dhe të kaltër. Sa mënyra mund të zgjedhim një model me 9 lapsa që janë 2 të kuqe, 3 të bardha dhe 4 stilolapsa të kaltër .
Zgjidhje
Grupi i bashkësisë është shumë e madhe (e panjohur) .Mostra është e veçuar me një r-çiftin përsëritës të përbërë nga Permutacioni
D.7. Një numër është zgjedhur rastësisht rastës isht nga tabela e numrave. Ngjarja A=”numri është i pjesëtueshëm me dy”, dy” , ngjarja B=” B= ”shifra e fundit është 0” Cila 0” Cila është ngjarja C për:
Zgjidhje
D.8. Ka pesë sfera në kuti: dy të bardha dhe tre të zeza. Rastësisht nxjerrim një top nga kutia. Cili është probabiliteti sfera e tërhequr do të jetë e zezë?
D.8. Ka pesë sfera në kuti: dy të bardha dhe tre të zeza. Rastësisht nxjerrim një top nga kutia. Cili është probabiliteti sfera e tërhequr do të jetë e zezë?
Zgjidhje Eksperiment të rastësishme: tërheqim 2 sfera te bardha dhe 3 sfera të zeza nga kutia;
{,,,,}, |Ω|5≡"ℎ" Ω sfera është e zezë A {,,} | | 3 || ||
D.9. Cili është probabiliteti i gjashte gjate hedhjes së zarit në loje. E hedhim zarin 1000 kurse 170 herë ka rënë numri gjashtë .
Zgjidhje Prova e rastit: Hedhja e zarit.
ëë ëë Prova i plotëson kushtet e stabilitetit statistikor të frekuencave relative nëse kubiku është homogjen.
D.10. E hedhim një monedhë n = 24000 herë. Cila është probabiliteti i një ngjarjeje pasuese A = "ranë një letër" nëse letra ra 12012 herë. Zgjidhje Prova e rastësishme: hedhja e monedhave.
0 asnjë letër nuk ra 1 Prova i plotëson kushtet e stabilitetit statistikor të frekuencave relative nëse kubiku është homogjen.
D.11.I hedhim dy kube. Cili është probabiliteti që do të bjerë numra të barabartë
D.11.I hedhim dy kube. Cili është probabiliteti që do të bjerë numra të barabartë apo mund të jenë edhe produkt?
Zgjidhje Nga karakteri: për ngjarjen A = numrat dhe ngjarjet të jenë barabarta B = numri i produktit që ka rene është numri që ne llogarisim probabilitetin
PJES II
Përmbajtja e lëndës përfshinë: Njohuri themelore të kombinatorikës; Modeli probabilitar i eksperimentit me numër të fundëm rezultatesh ; Ndryshoret e rastit diskrete, kushti dhe pavarësia; Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit; Teoremat limite; Karakteristikat e vendosjes e të shpërndarjes ; Vlerësimi pikësor; Vlerësimi intervalor i pritjes matematike, i dispersionit, i probabilitetit ; Hipotezat statistikore ; Regresioni dhe korelacioni . Permbajtje-Ligjeratat: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
Hapësira e ngjarjeve elementare. Ngjarjet. Algjebra e ngjarjeve. Verpimet me ngjarje. Kuptimi i probabilitetit. Përkufizimi aksiomatik. Përkufizimi klasik. Probabiliteti me kusht. Ngjarjet e varura dhe të pavarura. Formula e probabilitetit të plotë. Formula e Bayes-it Ndryshoret e rastit. Funksioni i vektorit të rastit Pritja matematike. Lineariteti i pritjes matematike. Dispersioni. Kovarianca Ligji Binomial Vlerësimi pikësor dhe intervalor Kontrolli i hipotezave. Regresioni dhe korrelacioni.
Teoria e probabilitetit është degë e matematikës e cila studion fenomenet e rastësishme [1] Koncepte themelore të teorisë së probabilitetit janë ndryshorja e
Teoria e probabilitetit është degë e matematikës e cila studion fenomenet e rastësishme [1]. Koncepte themelore të teorisë së probabilitetit janë ndryshorja e rastësishme, proçeset stohastike dhe ngjarjet e rastësishme: Për shembull hedhja e një kubi për lojë të numëruar me pika në secilën nga gjashtë faqet e tij është një ngjarje e rastësishme. Nëse hedhja e kubit përsëritet një numër të madh herësh do të shohim se këto ngjarje do të plotësojnë një rregullshmëri të caktuar statistikore të cilat mund të studiohen dhe të parashikohen. Teorema të rëndësishme në teorinë e probabilitetit janë "Ligji i numrave të mëdhenj"" dhe "Teorema qëndrore kufitare". Teoria e probabilitetit është bazë matematikore e statistikës, ajo ka zbatim të madh në analizën kuantitative të bashkësive të cilat përmbajnë një numër të madh të dhënash, metodat e saj kanë mundësuar zbulimin e fenomeneve fizike në nivelin e atomit që i përshkruan mekanika kuantike. Statistika është shkenca që studion marrjen, organizimin, analizimin dhe interpretimin e ndryshimeve sasiore në zhvillimin e shoqërisë, të ekonomisë, të kulturës etj., duke mbledhur të dhëna numërore për to, të cilat grupohen e përpunohen me metoda të veçanta. Statistikë gjithashtu paraqet tërësia e të dhënave numërore të mbledhura nga një fushë e jetës, e ekonomisë etj. ose për një dukuri dhe të renditura sipas një kriteri të caktuar. Statistika nuk është degë e matematikës, por konsiderohet si një degë e veçantë për shkak të karakterit multidisiplinar .
Degët e statistikës
Statistika deskriptive
Statistika induktive
Statistika eksplorative
Statistika llogaritëse
1. ELEMENTET E PROBABILITETIT 1.1.
Hapësira e ngjarjeve ( e rezultateve). Ngjarjet
Definicioni 1. Situata e cila varet nga rasti quhet eksperiment. Shembulli 1. Shembuj të eksperimenteve në kontest të probabilitetit janë:
a) hedhja e zarit; b) hedhja e monedhës metalike c) zgjedhja e një letre nga 52 letrat d) rrotullimi i ruletit e) formimi i një delegacioni nga një grup njerëzish etj. Definicioni 2. Çdo rezultat i
mundshëm quhet ngjarje. Bashkësia e të gjitha hapësirë e ngjarjeve. Hapësirën e ngjarjeve do të
ngjarjeve quhet shënojmë me S . Shembulli 2. Nëse hedhim monedhën metalike janë të mundshme dy ngjarje: Paraqitet stema Paraqitet numri
Atëherë hapësira e ngjarjeve do të jetë S = {St , N }. Shembulli 3. Gjatë hedhjes së zarit mund të paraqiten rastet që tregohen në figurë.
Pra, hapësira e ngjarjeve në këtë rast është S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Shembulli 4. Dy kube ( në faqet e të cilëve janë shënuar numrat 1,2,3,4,5,6) hidhen.
Në këtë rast hapësira e ngjarjeve përbëhet nga 36 dyshet e renditura. Përgatitur nga Ferid Emini
(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) Shembulli 5. Të caktohet hapësira e ngjarjeve për eksperimentin e tërheqjes së një
letre nga kompleti prej 52 letrash. Zgjidhja.
Hapësira e ngjarjeve është
Detyra për ushtrime të pavarura
Të caktohet hapësira e ngjarjeve për eksperimentet vijuese: 1. Hidhet një kub dhe një monedhë metalike 2. Hidhen dy monedha metalike 3. Hidhen dy kube dhe një monedhë metalike 4. Hidhen dy monedha metalike dhe një kub.
Nëse hapësira e ngjarjeve ka numër të fundëm të elementeve, numrin e tillë do ta shënojmë me n ( S ). Nëse E është ngjarja që është nënbashkësi e bashkësisë S , atëherë vlen n ( E ) ≤ n ( S ). Shembulli 6. Le të jetë eksperimenti: hidhet kubi. Atëherë hapësira e ngjarjeve është
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Vërejmë se numri i elementeve të hapësirës S është 6. Pra, n ( S ) = 6. Le të jetë E 1 ngjarja “numri është tek”.
ëℎ {1,3,5}., 3
Le të jetë E 2 ngjarja “numri është çift”. Atëherë E 2 = {2, 4, 6}. Pra n ( E 2 ) = 3.
1.2.
Definicioni klasik i probabilitetit
1.2.
Definicioni klasik i probabilitetit
Nëse hapësira e ngjarjeve S përbëhet nga ngjarjet me mundësi të barabartë të paraqitjeve, atëherë probabiliteti për paraqitjen e ngjarjes E , shënohet me dhe definohet me formulën:
Formulën e fundit e komentojmë si vijon: Probabiliteti për ngjarjen E është raporti në mes të numrit të rasteve të volitshme (të kërkuara) dhe rasteve të përgjithshme. Kështu, në bazë të shembullit paraprak, probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të bie numri tek është:
Po ashtu, probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të paraqitet numri çift është sepse
,
Le të shohim në vijim se për çdo ngjarje A vlen: 0 ≤ p ( A) ≤ 1.
Le të jetë n, numri i elementeve të hapësirës së ngjarjeve, pra Le të jetë r , numri i elementeve të ngjarjes A, pra Sipas definicionit
hapësirës së ngjarjes S atëherë 0 ≤ r ≤ n , prej nga merret
0≤≤1 ,0≤ ≤1 Pra
Përgatitur nga Ferid Emini
Formula e fundit tregon se probabiliteti i ngjarjes
n-r
Formula e fundit tregon se probabiliteti i ngjarjes numrave 0, 1 duke përfshirë edhe këta të fundit. Nëse p ( A) = 0 atëherë ngjarja A nuk mund të ndodh. Ngjarja e tillë quhet ngjarje e pamundshme. Nëse p ( A) = 1 atëherë ngjarja A do të ndodh me siguri. Ngjarja e tillë quhet ngjarje e sigurtë. Shembulli 7. Janë dhënë ngjarjet: A: gjatë hedhjes së kubit bie numri 2. B: nga kutia që ka vetëm topa të kuq, tërhiqet topi i kaltër C: nga kutia që ka topa të kuq dhe të kaltër, tërhiqet topi i kaltër. D: Gjatë hedhjes së kubit bie numri 7. Cila nga ngjarjet e mësipërme është e mundshme, e pamundshme, e sigurt? Për çdo ngjarje A , me A e shënojmë ngjarjen e kundërt të ngjarjes A. Pra shënimi nënkupton “ngjarja A nuk ndodh”.
n
Atëherë duke iu referuar figurës kemi: n − r
n ( A) ( A) = n
S
=
n
nr =
S
r
n− n = 1 − n = 1 − p ( A).
r
Pra p( A) = 1 − p ( A),
gjegjësisht
n-r
p ( A) + p ( A) = 1. Shembulli 8. Nga 52 letra është tërhequr një letër. Të caktohet probabiliteti që
letra e tërhequr: a) të jetë 3,
b) të mos jetë 3.
Zgjidhja.
Hapësira e ngjarjeve është S = {52 letrat }, pra n ( S ) = 52. a) Le të jetë A ngjarja: “letra është 3”. Atëherë n ( A) = 4.
D.m.th.
Pra, probabiliteti që letra e tërhequr të jetë 3 është
b) Ngjarja “letra nuk është 3” shënohet me A.
Atëherë
1 1
Pra, probabiliteti që letra e tërhequr të mos jetë 3 është
.
Përgatitur nga Ferid Emini
Shembulli 9. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të bie numri 3. Të
Shembulli 9. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të bie numri 3. Të
caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së dy kubeve shuma e numrave të jetë 9. Zgjidhja.
Hedhja e një kubi:
Hapësira e ngjarjeve është S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pra n ( S ) = 6. Nëse A është ngjarja: “bie numri 3” atëherë n ( A) = 1. Prandaj.
6
Hedhja e dy kubeve:
Në këtë rast dimë se hapësira e ngjarjeve është S = {(1,1), (1, 2),..., (1, 6),....(6, 6)}, pra
36
Le të jetë B ngjarja: “shuma e numrave në të dy zaret është 9”. Le t’i referohemi figurës: ët y d i i
6 5 4 3 2 1 0
2
3 4 5 6
kubi i parë
Vërejmë se shuma është 9 në rastet (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3). Pra Atëherë
Shembulli 10. Janë hedhur dy monedha metalike. Të caktohet probabiliteti që në të ë
dy monedhat të paraqitet stema. Zgjidhja.
t y d e a h
Hapësira e ngjarjeve është S = {StSt , StN , NSt , NN }.
Nëse me A e shënojmë ngjarjen “në të dy monedhat
d e n o m
N
S T NN
S T
S T S T
bie stema”, atëherë n ( A) = 1.
Pra
NS
1 4 T
Përgatitur nga Ferid Emini
Shembulli 11. Le t’i referohemi figurës vijuese:
