University for Business and Technology
MATEMATIKA 1 (USHTRIME- MATRICAT DHE DETERMINANTAT (PËRCAKTORET))
Mësimdhënësit Dr. Azir Jusufi
Prishtinë 2012
Matricat dhe determinantat 1. A janë të barabarta matricat
2 log 10 sin 90 A = 1 c o s s i n 4 − x − x o
2
2
2 sin 30 1 B = x c o s 1 8 0 c o s 2 4 o
o
Zgjidhje.
1 2 log 10 sin 90 2 1 A = 2 = −1 cos x − sin x 4 −1 cos 2 x 4 o
2
2
1 1 2 sin 30 1 2 B = = 2 cos180 cos 2 x 4 −1 cos 2 x 4 o
o
Dmth A=B
2. Janë dhënë matricatë
3 −2 5 A = 4 0 1 −7 6 5 4 −1 C = 2 5 −1 3
3 x 3
−1 5 2 B= −3 2 2 −5 0 4
1 3 5 3 5 1
3 x3
D=
2 x 3
3 x 2
Njehsoni a) A ± B,
b) C+D,
c) A ⋅ B,
d) B ⋅ C,
e) B ⋅ D
Zgjidhje
a ) A ± B,
3 −2 5 −1 5 2 3 + ( −1) −2 + 5 5 + 2 A+B= 4 0 1 + −3 2 0 = 4 + ( −3) 0 + 2 1+ 0 = −7 6 5 −5 0 4 −7 + ( −5) 6 + 0 5 + 4 2 3 7 = 1 2 1 −12 6 9
3 −2 5 −1 5 2 3 − ( −1) −2 − 5 5 − 2 A-B= 4 0 1 - −3 2 0 = 4 − ( −3) 0 − 2 1−0 = −7 6 5 −5 0 4 −7 − (−5) 6 − 0 5 − 4 4 −7 3 = 7 −2 1 −2 6 1
b) C+D,
Nuk egziston
c) A ⋅ B, 3 −2 5 −1 5 2 ⋅ −3 2 0 = A ⋅ B= 4 0 1 −7 6 5 −5 0 4 1) + ( −2) ⋅ (−3) + 5 ⋅ (−5) 5) 3 ⋅ 5 + (−2) ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 3 ⋅ 2 + (−2) ⋅ 0 + 5 ⋅ 4 3 ⋅ (−1) 4 ⋅ (−1) + 0 ⋅ (−3) + 1 ⋅ (−5) 4 ⋅ 5 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 0 4 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 + 1⋅ 4 = = (−7) 1) + 6 ⋅ (−3) 3) + 5 ⋅ (−5) 5) (−7) 7 ) ⋅ 5 + 6 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 (−7) 7 ) ⋅ 2 + 6 ⋅ 0 + 5 ⋅ 4 7 ) ⋅ (−1) 1 5 + ( − 4) + 0 6 + 0 + 20 −22 11 26 −3 + 6 + ( −25) −4 + 0 + ( −5) = −9 20 12 = 20 + 0 + 0 8+0+4 7 + ( −18 1 8) + ( −25 2 5) ( −35 3 5) + 12 + 0 ( −14 1 4) + 0 + 20 −36 −23 6
d) B ⋅ C, −1 5 2 4 −1 −1 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ (−1) − 1⋅ (− 1) + 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 B ⋅ C = −3 2 0 ⋅ 2 5 = −3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ (− 1) − 3 ⋅ (− 1) + 2 ⋅ 5 + 0 ⋅ 3 = −5 0 4 −1 3 −5 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 4 ⋅ (− 1) − 5 ⋅ (− 1) + 0 ⋅ 5 + 4 ⋅ 3 2) 1 + 25 + 6 4 32 −4 + 10 + (−2) −12 + 4 + 0 3 + 10 + 0 = −8 13 −20 + 0 + (−4) 4 ) 5 + 0 + 12 −24 17
e) B ⋅ D
Nuk egziston
3. Janë dhënë matricatë
1 2 1 A = 2 1 2 1 2 3 Gjeni A ⋅ B − B ⋅
dhe
4 1 1 B= -4 2 0 1 2 1
A
Zgjidhje
1 2 1 4 1 1 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ ( −4 ) + 1 ⋅1 1 ⋅1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 1⋅1 -4 2 0 = 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ −4 + 2 ⋅1 2 ⋅1 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 2 ⋅1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 = A ⋅ B = 2 1 2 ⋅ -4 ( ) 1 2 3 1 2 1 1 4 2 4 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ( − ) + ⋅ 4 + ( −8) + 1 1 + 4 + 2 1 + 0 + 1 −3 7 2 = 8 + ( −4 ) + 2 2 + 2 + 4 2 + 0 + 2 = 6 8 4 4 + ( −8 ) + 3 1 + 4 + 6 1 + 0 + 3 −1 11 4
4 ⋅ 2 + 1⋅ 1+ 1⋅ 2 4⋅ 1+ 1⋅ 2 + 1⋅ 3 4 1 1 1 2 1 4 ⋅ 1 + 1⋅ 2 + 1⋅ 1 B ⋅ A = -4 2 0 ⋅ 2 1 2 = − 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 − 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1+ 0⋅ 2 − 4⋅ 1+ 2⋅ 2 + 0⋅ 3 = 1 2 1 1 2 3 1 ⋅ 1 + 2⋅ 2 + 1⋅ 1 1⋅ 2 + 2 ⋅ 1+ 1⋅ 2 1⋅ 1+ 2⋅ 2 + 1⋅ 3 8 + 1+ 2 4 + 2 + 3 7 11 9 4 + 2 +1 = −4 + 4 + 0 −8 + 2 + 0 −4 + 4 + 0 = 0 −6 0 1 + 4 + 1 2+ 2+ 2 1 + 4 + 3 6 6 8
−3 A ⋅ B − B ⋅ A = 6 − 1 −10 6 − 7
−4 14 5
2
7 8 11
7 4 − 0 6 4
11
−6 6
−3 − 7 0 = 6− 0 − 1 − 6 8 9
−7
= − 4 4
4. Janë dhënë matricatë
1 2 −1 M = 0 1 3 x 2 4
dhe
x y 5 N= 9 x x x 8 x
Gjeni x dhe y, në menyrë që të vlenë vetia komutative
M ⋅ N = N ⋅ M Zgjidhje
7 − 11 8 − (− 6 ) 11 − 6
2 − 9
4 − 0 =
4 − 8
9+(-1) ⋅ x 1⋅ y+2 ⋅ x+(-1) ⋅ 8 1⋅ 5+2 ⋅ x+(-1) ⋅ x 1 2 −1 x y 5 1 ⋅ x+2 ⋅ 9+ M ⋅ N = 0 1 3 ⋅ 9 x x = 0 ⋅ x+1⋅ 9+3 ⋅ x 0 ⋅ y +1⋅ x+3 + 3⋅ 8 0 ⋅ 5+1⋅ x+3 + 3⋅ x = x 2 4 x 8 x x ⋅ x+2 ⋅ 9+4 ⋅ x x ⋅ y +2 ⋅ x+4 ⋅ 8 x ⋅ 5+2 ⋅ x+4 ⋅ x
x +18+(-x) = 0+9+3 x x +18+4x 2
5+x y +2x-8 18 x+24 0+x +24 0+x+3x = 9+3x 4x xy+2x+3 + 32 5 x+2x+4 +4x x +18+4x xy+2 x+3 +32 11x y +2x+(-8)
5+2x+(-x)
2
x y 5 1 2 −1 x ⋅1+y ⋅ 0+5 ⋅ x x ⋅ 2+y ⋅1+5 ⋅ 2 x ⋅ ( −1 ) +y ⋅3+5 ⋅4 1+ x ⋅ 2 9 ⋅ ( −1 ) + x ⋅3+ x ⋅ 4 = N ⋅ M = 9 x x ⋅ 0 1 3 = 9 ⋅1+ x ⋅ 0+ x ⋅ x 9 ⋅ 2+ x ⋅1+ x 8 x x 2 4 x ⋅1+8 ⋅ 0+ x ⋅ x x ⋅ 2+8 ⋅1+x ⋅ 2 x ⋅ ( −1) +8 ⋅3+ x ⋅ 4 x +0+5x 2 x +y+10 − x+3y+20 6 x = 9+0+ x 18+x +2x −9+3 x +4x = 9+x x +0+x 2 x +8+2x − x+24+4x x+x
2 x +y+10
2
2
18+3x
2
2
4 x+8
− x+3y+20 −9 + 7 x
24+3x
Atëhere kemi M ⋅ N = N ⋅ M
18 9 + 3 x x 2 + 1 8 + 4 x
y + 2 x - 8
5+ x
x+24
1 1 x
xy + 2 x + 3 2
4x
1)
1 8 = 6 x
2)
4)
9 + 3 x = 9 + x 2
5)
7 ) x 2 + 1 8 + 4 x = x + x 2
6x = 9+x 2 x + x 2
2 x + y+ 1 0 18+3x 4 x+8
y + 2 x -8 = 2 x + y + 1 0
− x + 3 y+ 2 0 −9 + 7 x 24+3x 3)
5 + x = − x + 3 y+ 2 0
x + 2 4 = 1 8 + 3 x
6)
4 x = −9 + 7 x
8) xy + 2 x + 3 2= 4 x + 8
9)
11x = 24+3x
N ga 1) dhe 8) kemi 1 ) 1 8 = 6 x ⇒ x = 3
dhe
8 ) x y + 2 x + 3 2 = 4 x + 8 ⇒ 3 y + 2 ⋅ 3 + 3 2 = 4 ⋅ 3 + 8
⇒ 3 y+ 6+ 32 =1 2 + 8
D m th
x = 3
⇒ 3 y= y= 2 0 - 3 8
dhe
y = -6
⇒
y= -
18 3
⇒ y = -6 -6
5. Të llogaritet
f
(x ) = x − 3x + 5 2
nese
1 x = -1 2
0
4
3
-2
1
1
Zgjidhje f ( x ) = x 2 − 3 x + 5
1)+4 ⋅ 2 1 ⋅ 0+0 ⋅ 3+4 ⋅ 1 1⋅ 4+0 ⋅ (− 2) 2) +4 ⋅ 1 1 0 4 1 0 4 1 ⋅1+0 ⋅ (−1) x = -1 3 -2 ⋅ -1 3 -2 = -1 ⋅1+ 1+3 ⋅ (−1) +(-2) ⋅ 2 -1 ⋅ 0+3 ⋅ 3+(-2) ⋅ 1 -1⋅ 4+3 ⋅ (− 2) +(-2) ⋅ 1 = 2 1 1 2 1 1 2 ⋅ 1+1 ⋅ (−1) 1)+1 ⋅ 2 2 ⋅ 0+1 ⋅ 3+1⋅ 1 2 ⋅ 4+ 4+1 ⋅ (− 2) 2)+1⋅ 1 2
0 + 0+ 4 4+0+4 9 4 8 1+0+8 = -1+( −3)+(-4) 0+9+(-2) -4+(−6) +(-2) = −8 7 −12 2+( −1) 1)+ 2 0+3+1 8+(−2) 2 ) +1 3 4 7
1 0 4 3 0 12 3 x = 3 ⋅ -1 3 -2 = -3 9 -6 2 1 1 6 3 3 1 0 0 1 0 0 5 0 0 E = 0 1 0 matrica njesi 5 ⋅ E = 0 1 0 = 0 5 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 9 4 8 3 0 12 5 0 0 11 4 −4 f ( x ) = x − 3 x + 5 = −8 7 − 12 - -3 9 -6 + 0 5 0 = − 5 3 − 6 3 4 0 0 5 −3 1 9 7 6 3 3 2
6. Të vërtetohet se
n 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 n 0 0 1 0 0 1
Zgjidhje
Vertetojm se n 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 n 0 0 1 0 0 1
Për n=1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 1 0 0 1 0 0 1
Për n=2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 1 ⋅ 0 1 1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 ⋅1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 1 0 0 = 0 ⋅1 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 + 1 ⋅ 1 = 0 1 2 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅1 0 0 1
Për n=3 3 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 1 ⋅ 0 1 1 = 0 1 2 ⋅ 0 1 1 = 0 1 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Supozojm se barazimi vlen për n=k k 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 k 0 0 1 0 0 1
Supozojm se barazimi vlen për n=k+1 k +1 k 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 1 ⋅ 0 1 1 = 0 1 k ⋅ 0 1 1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1⋅ 0 + 0 ⋅ 1+ 0 ⋅ 0 1⋅ 0 + 0⋅ 1+ 0⋅ 1 1 0 = 0 ⋅ 1 + 1⋅ 0 + k ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1+ k ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1⋅ 1 + k ⋅ 1 = 0 1 k + 1 1 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1+ 1⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0⋅ 1+ 1⋅ 1 0 0 Pra n 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 1 n 0 0 1 0 0 1
7. Gjeni
A
n
1 2 -2 nese A= 2 1 -2 2 2 -3
Zgjidhje
Për n=1
1 2 -2 A = 2 1 -2 2 2 -3 1
Për n=2
1 2 -2 1 2 -2 1 0 0 A = 2 1 -2 ⋅ 2 1 -2 = 0 1 0 = E 2 2 -3 2 2 -3 -3 -3 0 0 1 2
Për n=3
2 -2 1 2 -2 1 2 -2 1 0 0 1 2 -2 1 2 -2 A = 2 1 -2 ⋅ 2 1 -2 = 0 1 0 ⋅ 2 1 -2 = 2 1 -2 =A 2 2 -3 2 2 -3 0 0 1 2 2 -3 2 2 -3 3
Për n=4
⇒ A = A ⋅ A = E A ⇒ = ⇒ A = A ⋅ A = A 4
2
2
n
Për n=5
5
3
2
⇒E n = 2k + 1 ⇒ A
n = 2k
8. Të gjenden x, y, z dhe t në qoft se
x 3⋅ z
x + y x 6 4 + = 3 t −1 2t z + t
y
Zgjidhje
x 3⋅ z
x + y x 6 4 + = t −1 2t z + t 3
y
6 + x + y 3 x 3 y x + 4 3 z 3t = −1 + z + t t 2 3 + 3 x = x + 4
⇒ 3x − x = 4
3 y = 6 + x + y
⇒ 3 y − y = 6 + 2 ⇒ 2y=8
3 z = −1 + z + t
⇒ 3z − z = −1 + t ⇒ 2 z = − 1 + 3 ⇒ z = 1
3t = 2t + 3
⇒ 3t − 2t = 3
dmth x = 2
y=4
z =1
t = 2
⇒ 2x = 4
⇒
t =3
⇒x=2 ⇒ y=4
⇒t =3
9. Me metodën e Sarusit njehsoni vlerën e përcaktorit
4
1
-3
5
2
0
-3 4
-7
a)
5 dhe
0
-7
b) 3 -1
2
3
1
4
Zgjidhje Metoda për zgjedhjen e detyrave me metodën e Sarusit është duke i shtuar dy shtylla te pare ne fund te shtyllave dhe mënyra e dyte është duke i shtuar dy rreshta te pare ne fund te rreshtave.
a)
4
1
-3 4
1
5
2
0 5
2 = 4 ⋅ 2 ⋅ (− 7) 7) + 1⋅ 0 ⋅ (− 3) 3) + (− 3) 3) ⋅ 5⋅ 4 − (− 3) 3)⋅ 2 ⋅ (− 3) 3) − 4 ⋅ 0⋅ 4 − 1⋅ 5⋅ (− 7) 7) =
-7 −3
4
-3 4
= −56 − 60 − 18 + 35 = − 99
b)
−7 5
5
0
0
3
−1
2 3 −1 = 5 ⋅ ( −1) ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 ⋅ 3 + ( − 7 ) ⋅ 3 ⋅ 4 − ( − 7) ⋅ ( − 1) ⋅ 3 − 5⋅ 2⋅ 4 − 0⋅ 3⋅ 1=
3
4
1 3
4
= −5 − 84 − 21 − 40 = −150
10. Duke zbatuar metodën e trekëndëshit të njehsohet vlera e përcaktorit
a)
-4
3
1
-2
b)
0
-9
1
2
5
2
1
c ) -1 3
0
-2
2
4
d)
5
2
−1
0
−4
3
2
0
−1
Zgjidhje
a)
-4
3
1
-2
=-4 ⋅ ( −2) − 3 ⋅ 1 = 8 − 3 = 5
b)
0 -9 1
2
= 0 ⋅ 2 − ( −9) ⋅ 1 = 0 + 9 = 9
5 2 1 c) -1 3 0 =5⋅ 3⋅ 2 + 2⋅ 0 ⋅ (−2) + (−1) ⋅4 ⋅1−(−2) ⋅3 ⋅1 −4 ⋅0 ⋅5 −2 ⋅(−1) ⋅2 =30 −4 +6 +4 =36
-2 4 2
5
2
−1
d) 0 −4 3 = 5⋅ (−4) 4)⋅ (−1) + 2 ⋅ 3⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⋅ (−1) 1) − 2 ⋅ (−4) 4) ⋅(−1) 1) − 0 ⋅3 ⋅5 −0 ⋅2 ⋅(−1) 1) =20 +12 −8 =24 2
0
−1
11. Zgjidhni përcaktorin
1 a
a2
1 b
b 2 = (b − a ) ⋅ (c − a ) ⋅ (c − b )
1 c
c2
Zgjidhje 1 1 1
=
a b c
a
2
b
2
c
2
=
r r2 − r r1
1
= 0 r r3 − r r1 0
b−a
(b − a ) ⋅ (b + a )
c−a
(c − a ) ⋅ ( c + a )
2
a
a
b−a
b −a
2
c−a
c −a
2
2
2
=1⋅
= (b − a ) ⋅ ( c − a ) ⋅
b−a
b −a
2
c−a
c −a
2
1
b+a
1
c+a
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
b−a
(b − a ) ⋅ ( b + a )
c−a
(c − a ) ⋅ ( c + a)
=
= ( b − a ) ⋅ ( c − a ) ⋅ (1 ⋅ ( c + a) − 1 ⋅ ( b + a) =
= (b − a ) ⋅ ( c − a ) ⋅ ( c + a − b − a ) = (b − a ) ⋅ ( c − a ) ⋅ ( c − b) 12. Gjeni vlerën e përcaktorit
=
Zgjidhje
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
2
2
2
2
7
=
=
sht1 + sht 2 + sht3 + sht 4 + sht5 + sht6 + sht7 + sht8 =
21 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
21 7
2 2
2 2
2 2
1 7
2
2
2 2
2 2
sht2 − 2 sht1 sht3 − 2 sht1
21 2
7
2
2
2
1 2 7
2
2
2
2
2
sht4 − 2 sht1
21 2
2 7
2
2
2
2
1
2
2
7
2
2
2
2
21 2
2
2
7
2
2
2
1
2
2
2
7
2
2
2
sht5 − 2 sht1 sht6 − 2 sht1
21 2
2
2
2
7
2
2
1
2
2
2
2
7
2
2
sht7 − 2 sht1
21 2
2
2
2
2
7
2
1
2
2
2
2
2
7
2
21 2
2
2
2
2
2
7
1
2
2
2
2
2
2
7
2 2
= 21 ⋅
1 0 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 0 0
= 21 ⋅
1 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 0 5
= 21 ⋅ 57
=
sht8 − 2 sht1
12. Gjeni vlerën e përcaktorit
3 2 2 2 . . 2 2 3 2 2 . . 2 2 2 3 2 . . 2 .
.
.
.
. . 2
2 2 2 2 . . 3
Zgjidhje 3
2
2
2 . . 2
2
3
2
2 . . 2
2
2
3
2 . . 2=
.
.
.
.
2
2
2
2 . . 3
sh1 + sh2 + sh3 + sh4 + ⋅ ⋅ ⋅ + shn
3 + ( n − 1)2
2
2
2 . . 2
3 + ( n − 1)2
3
2
2 . . 2
= 3 + ( n − 1)2 2 3 2 . . 2 =
. . 2
1 2 2 2 . . 2 1 3 2 2 . . 2
= (3 + (n − 1)2) ⋅ 1 2 3 2 . . 2 = .
.
.
.
. . 2
1 2 2 2 . . 3
.
.
.
.
3 + ( n − 1)2
2
2
2 . . 3
sh2 − 2 sh1
1 0 0 0 . . 0
sh3 − 2 sh1
. .
1 1 0 0 . . 0
= ( 3 + 2 n − 2) ⋅ 1 0 1 0 . . 0 =
shn − 2 sh1
= (2n + 1) ⋅ 1n = 2 n + 1
13. Janë dhënë matricat
-1 2 1 A= 4 0 2 , 0 -1 3
dhe
. . 2
0 1 4 -2 1 5
B=
.
.
.
.
. . 0
1 0 0 0 . . 1
Të njehsohet T
b) A ⋅ A dhe A ⋅ A ,
T
T
a) A dhe B ,
T
c) (B ⋅ A)
T
dhe A ⋅ B T
Zgjidhje
−1 4 0 T a ) A = 2 0 −1 1 2 3
0 −2 T B = 1 1 4 5
-2 7 −1 4 0 -1 2 1 17 -2 b) A T ⋅ A = 2 0 −1 ⋅ 4 0 2 = -2 5 -1 1 2 3 0 -1 -1 3 7 -1 14 -2 1 -1 2 1 −1 4 0 6 -2 2 0 −1 = -2 20 6 T A⋅A = 4 0 2 ⋅ 0 -1 3 1 2 3 1 6 10
T
-1 2 1 4 6 T − 0 1 4 4 4 1 4 = ⋅ = −4 −9 c) (B ⋅ A)T = 4 0 2 −2 1 5 0 -1 3 6 −9 15 14 15 −1 4 0 0 −2 4 6 T T A ⋅ B = 2 0 −1 ⋅ 1 1 = −4 −9 1 2 3 4 5 14 15 (Vetia: (B ⋅ A) = A ⋅ B ) T
T
T
T
-1
14. Të caktohet matrica inverse A e matricës
3 1 5 2
A=
Zgjidhje Mënyra I.
Le te jete
x y A = matrica inverse e matricës A. Atëhere sipas përkufizimit z t -1
kemi.
A ⋅ A -1 =E
3 1 x 5 2 ⋅ z 3 x + z = 1 3 y + t = 0 5 x + 2 z = 0 5 y + 2t = 1
y
1 0 3x+z 3y+t 1 0 ⇒ 5x+2z 5y = 0 1 t 0 1 5 y + 2 t =
⇒ x=2 ⇒ y = −1 ⇒ z = −5 ⇒ t = 3 -1
Pra matrica inverse A e matricës së dhënë A do të jetë
2 −1 A = −5 3 -1
Mënyra II. -1
Matrica inverse A e një matrice regulare A gjendet edhe sipas formulës
1
A = -1
detA
⋅ adjA,
detA=
3 1 5 2
=1
2
adjA=
-5
-1 3
sepse
A11 = ( −1) + ⋅ 2 = 2 1 1
A 21 = ( −1)
2 +1
⋅ 1 = −1
A12 = ( −1) + ⋅ 5 = −5 1 2
A 22 = ( −1)
2+2
⋅3 = 3
Prandaj
A = -1
1 2 -1 2 -1 ⋅ adjA= = , det A 1 -5 3 -5 3 1
15. Gjeni matricën inverse
A− = ? 1
nëse
2 2 3 A = 1 −1 0 −1 2 1
Zgjidhje Matrica inverse
A = −1
1 det A
adjA, ku
detA ≠ 0,
dhe
A11 A 21 A A 22 12 adjA= ..... ..... A1n A 2n
..... A n1
..... ..... ..... Ann ..... A n2
2 detA= 1
−1
2
3
−1 0 = 2 ⋅ ( −1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 − (−1) ⋅ ( −1) ⋅ 3 − 2 ⋅ 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2
1
= −2 + 6 − 3 − 2 = −1 dmth. detA ≠ − 1 , atëherë ekziston matrica inverse A . Tani gjejme adjA -1
2 2 3 A = 1 −1 0 −1 2 1 A11 A12 adjA= A 21 A 22 A 31 A 32
A11 =(-1)1+1
A 21 =(-1)1+2
A 31 =(-1)1+3
-1 0 2
1
2 3 2 1 2
A13 T
, A 33
A 23
= - 1 - 0 =-1
A12 =(-1) 2+1
= - (2 - 6)=4
A 22 =(-1) 2+2
3
−1 0
=0+3=3
A 32 =(-1) 2+3
1
0
−1 1 2
3
−1 1
2
3
1
0
A 13 =(-1) 3+1
= - (1 - 0) = -1
=2+3=5
= - (0 - 3) =3
A23 =(-1) 3+2
A 33 =(-1) 3+3
2
-1 4
Rrjedh se
3
−1
−1
2
2
−1 2 2
2
1
−1
-1 -1 1 T -1 4 3 adjA= 4 5 -6 , ⇒ adjA= -1 5 3 3 3 -4 1 -6 -4 1 -4 -3 -1 A = - -1 5 3 = 1 -5 -3 1 1 -6 -4 -1 6 4 1
1
= 2 −1 = 1
= −(4 + 2) = −6
= −2 − 2 = −4
16. Të gjendet matrica e panjohur X nëse është dhënë
a) A X + B = C
dhe
b) A X + B = 2 (X - C)
Nese
1 2 -1 A= 4 1 -2 , 1 0 -1
3 -1 4 B== -1 -5 0 , 0 -2 1
2 5 1 C= = 2 3 4 2 -1 2
Zgjidhje
a)
AX+B=C ⇒ AX=C-B ⇒
A -1
AX=C-B
⇒ A -1A X = A -1 (C - B) 7 1 4 4 6 10 X= − 4 4 7 3 − 4 4
−1 2 −3 -1 A = 2 0 −2 4 −1 2 −7 1
⇒ X = A -1 (C - B)
2
−2 1
b) A X + B = 2 (X - C)
⇒ A X + B = 2 X - 2C
⇒ (A - 2E)X = - 2C -B ⇒
⇒ X = (A - 2E)-1 ⋅ (-2C -B)
(A - 2E) -1
⇒ A X -2X = - 2C -B
(A - 2E) -1 ⋅ (A - 2E)X = (A - 2E) -1 ⋅ (-2C -B)
−37 −53 −41 1 X = −58 −118 −62 16 15 −39 13 17. Gjeni rangun e matricës
2 −1 3 −2 4 A= 4 −2 5 1 7 2 −1 1 8 2
Zgjidhje
2 −1 3 −2 4 A= 4 −2 5 1 7 2 −1 1 8 2
2 −1 3 −2 4 0 0 −1 5 −1 0 0 −1 5 −1
Rr2 − 2 Rr1 Rr3 − Rr 1
2 −1 3 −2 4 0 0 −1 5 −1 0 0 −2 10 −2
1 0 0 1 ⇒ r (A) = 2
Rr 3
2
18. Gjeni rangun e matricës
1 −1 2 1 A= -1 4 1 5
0
0
2
4
1
1
1
−1
4 1 −5 −4 8 2 −4 −5
Zgjidhje
1 −1 2 1 A= -1 4 1 5
1 −1 Rr2 − 2 Rr 1 0 3 4 1 1 −1 Rr3 + Rr 1 0 3 4 1 −5 −4 Rr Rr − 4 1 8 2 −4 −5 0 6 0
0
2
1
0
4 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1
⇒ r (A)=2
2 3 −1 të shumëzohet me 3. 4 2 5
19. Matrica A =
Zgjidhje. 2 3 −1 6 9 −3 = 12 6 15 . 4 2 5 1 5
3⋅
2
−3
1
−3
4 1 −3 −3 8 2 −6 −6
1 −1 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 3 4 1 −3 −3 0 3 4 1 −3 −3 0 3 4 1 −3 −3
0
Sht 2
Sht5
3 Sht3
−3 Sht 6
4
−3
20. Të mblidhen matricat 3 0 −2 0 1 8 3 + 0 0 + 1 −2 + 8 3 1 6 −4 1 1 + 3 2 6 = −4 + 3 1 + 2 1 + 6 = −1 3 7 .
21. Të zbriten matricat
−2 0 1 −1 −3 1 3 −1 − 3 −2 = 0 1 . 2 4 −2 5 4 −1
22. Të gjendet matrica 3 A - 2 B, në qoftë se
2 −1 −2 3 −2 −3 , B = . 0 4 1 1 6 0
A =
Duke patur parasysh ∀ A∈ M m,n m,n, (-1) A = -A, kemi
2 −1 −2 3 −2 −3 + ( −2) = 0 4 1 1 6 0
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 3 =
23.
6 −3 −6 −6 4 6 0 1 0 + = . 0 12 3 −2 −12 0 −2 0 3
1 2 1 4 1 2 1 2 ⋅ −4 2 1 2 3 1 2 4) + 1⋅1 1⋅ 4 + 2 ⋅ (−4) = 2 ⋅ 4 + 1⋅ (−4) 4) + 2 ⋅ 1 1⋅ 4 + 2 ⋅ (−4) 4) + 3 ⋅ 1 −3 7 2 = 6 8 4 −1 11 4
1
0 =
1
1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1⋅ 2
1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 + 1⋅ 1
2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 2 ⋅ 1 + 1⋅ 0 + 2 ⋅ 1 =
1⋅1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 1⋅1 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1
24. Jepen matricat 1 3 0 2 − 1 A= , B= . −2 1 −1 1 0
⋅ ekziston? a) Cili nga prodhimet A⋅ B, B A ⋅ . b) Të gjendet A B ⋅ dhe B A ⋅ plotësojmë tabelat: Zgjidhje. a) Për të kontrolluar ekzistencën e prodhimeve A B A B B A ∃ A B ⋅ ∃ B A ⋅ 2 2 2 ; 2 2 2 3 3 3 2 ⋅ , që është matricë me 2 × 3 përmasa. Prej tyre del se ekziston vetëm prodhimi A B b) Sipas formulës (13) kemi 2 − 1 1 3 0 ⋅ = A B ⋅ = 1 0 − 2 1 − 1 2 ⋅ 1 + ( −1)( −2) 2 ⋅ 3 + ( −1)1 2 ⋅ 0 + ( −1)(−1) = 1⋅ 3 + 0 ⋅1 1 ⋅ 0 + 0(−1) 1 ⋅ 1 + 0( −2) 4 5 1 = . 1 3 0 =
25. Jepen matricat 1
A= 0 , B=(3 2 4). − 2
Të gjendet AB dhe BA. Zgjidhje. Vëmë re se AB ekziston dhe se është matricë me 3 × 3 përmasa: 1 3 2 4
AB = 0 (3 2 4) = 0 0 −2 −6 −4
0.
−8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe është matricë me 1 × 1 përmasa:
1 BA = (3 2 4) 0 = (3⋅1+2⋅0+4⋅(-2)) = (-5) = -5. − 2 26. Jepen matricat 1 A= 0
0
0 1 B ; = . 0 0 0
Të gjendet AB dhe BA. Meqenëse të dyja matricat janë matrica katrore nga M 2, atëherë ekzistojnë prodhimet AB dhe BA. Kemi 1 0 0 1 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 0 1 AB = = = , 0 0 0 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 0 0
0 1 1 0 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 0 0 = = = O. 0 0 0 0 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 0 0
BA =
27. (Zbatim ekonomik) Tri firma A1 , A2 , A3 prodhojnë të njejtin mall dhe e shesin në të njejtin treg. Në vitin t 0 ato zotëronin përkatësisht 20%, 60%, 20% të klientëve në treg. Me këto të dhëna ndërtojmë vektorin shtyllë 0, 2 0,2
0,2 0, 2
S 0= 0, 6 ,
që e quajmë vektori i ndarjes se tregut në në përqindje. Gjatë vitit në vazhdim ndodhën këto ndryshime në klientelën e firmave: 85% e klientëve fillestar të firmës A1 qëndruan, 5% e tyre shkuan tek firma A2 dhe 10% e tyre tek firma A3; 55% e klientëve fillestar të firmës A2 qëndruan, 10% e tyre shkuan tek firma A1 dhe 35% e tyre tek firma A3; 85% e klientëve fillestar të firmës A3 qëndruan, 10% e tyre shkuan tek firma A1 dhe 5% e tyre tek firma A2. Me këto të dhëna formojmë matricën 0, 85 0,10 0,10 ·
·
·
0,10 0, 35 0, 85
K = 0, 05 0, 55 0, 05 ,
ku në kufizën k ijij është vendosur përqindja e klientelës së firmës A j, që kalon në firmën Ai vitin në vazhdim. Matrica K quhet matricë kalimtare e ndarjes së tregut . Në këto kushte është e qartë se vektori i ndarjes së tregut vitin në vazhdim do të ketë pamjen
0, 85 S 1=K · · S S0 = 0, 05 0, 10
0, 10 0, 55 0, 35
0, 10
0, 2 0, 05 · 0, 6 = 0, 85 0, 2
85 ⋅ 0, 2 0, 85 0 5 ⋅ 0, 2 = 0, 05 0, 10 ⋅ 0, 2
+
0, 10 10 ⋅ 0, 6
+
+
0, 55 5 5 ⋅ 0, 6 +
+
0, 35 ⋅ 0, 6 +
0, 0, 10 10 ⋅ 0, 2
0,25 0, 05 05 ⋅ 0, 2 = 0,35 . 0, 85 ⋅ 0, 2 0,40
Kuptohet se kur ruhet e njejta matricë kalimtare edhe në vitin e dytë në vazhdim 2 K · · S S 1 = K (K · · S S0 ) = K · S S0 . vektori i ndarjes së tregut në këtë vit do të jetë
3 2 3 −1 5 . , atëherë AT = −1 4 29. Nëse A = 2 4 0 2×3 5 0 3×2 1 2 30. Njehsoni A2 nëse A= . 0 3
Zgjidhje. 1 2 0 3
A2 = A ⋅ A =
1 2 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 1 8 = = . 0 3 0 ⋅1 + 3 ⋅ 0 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 0 9
⋅
3 −7
2 3 −7
1
2
−3 1
2 = 6 + 10 105 − 2 − 20 − 9 + 7 = 87
5
−1
1 5
−1
1
2
5
3
−4
7 =
31.
32.
−3 12 15 = 1⋅ (−4) ⋅ 15 15 + 2 ⋅ 7 ⋅ (−3) + 3 ⋅ 12 12 ⋅ 5 − 5 ⋅( −4) ⋅ (−3) − 3 ⋅ 2 ⋅15 15 − 7 ⋅ 12 12 ⋅ 1 = = −60 − 42 + 180 − 60 − 90 − 84 = −156
33. 2
3
4
0
1
2 = 2 ⋅ ( − 1) 1+1
−1
4
5
1
2
4
5
+ 3 ⋅ ( − 1) 1+ 2
0
2
−1
5
+ 4 ⋅ ( − 1) 1+ 3
= 2 ⋅ (5 − 8 ) − 3 ⋅ ( 0 + 2 ) + 4 ⋅ ( 0 + 1) = − 6 − 6 + 4 = − 8
0
1
−1
4
=
34. Të njehsohet përcaktori i matricës 2 1 −4 0
−1
0
0
5
3
2
6
7
1 10 −3 4
Kemi: 2
−1
0
4
1
0
5
1
−4
3
2
10
0
6
7
−3
1 4
+(-1) ⋅0⋅ −4
0
5
= (-1)²⋅2⋅ 3 2 6 7 0
1
1
1
5
1
10 +(-1)³ ⋅(-1) −4
2 10 +
−3
7
1
0 0
5
3 10 +(-1) ⋅4⋅ −4
−3
5
3 2 = 2⋅354+(-164)-4(-111) = 988
−3 0 6 7 35. Duke përdorur vetitë e detrminantave, të tregohet se vlen 0
6
1
1
1
a
b
c = (a + b + c )(b − a )(c − a )(c − b )
a3
b3
c3
1
Zgjidhje. 1 1 K
a
b
c
a3
b3
c3
1
2 − K 1
K 3 − K 1 → a
a3
0
0
b−a b3 − a 3
c −a = c3 − a3
b−a b −a 3
c−a 3
c −a 3
3
=
= (b − a )(c 3 − a 3 ) − (c − a )(b 3 − a 3 ) = (b − a )(c − a )(c 2 + ac + a 2 ) − (c − a )(b − a )(b 2 + ab + a 2 )
= (b − a )(c − a )(c 2 + ac + a 2 − b 2 − ab − a 2 ) = = (b − a )(c − a )(c 2 + ac − b 2 − ab ) = = (b − a )( c − a )((c − b )(c + b ) + a (c − b )) = = (b − a )( c − a )( c − b )( a + b + c ) 36. Të njehsohet përcaktori 1 1 2 det(A)= 0 0 −5 . 6 5
1
Duke zbatuar vetinë e parë, zhvillimi me më pak llogaritje është ai sipas rreshtit të dytë, ku të gjitha koordinatat janë zero, përveç të tretës. Kemi:
det A A = (-5)(-1)
2+3
1 1
= -5.
6 5
37. Të njehsohet përcaktori 1 det A = − 1
2
2
9
5
4.
−3 7
Duke zbatuar vetinë e gjashtë mund ta shndërrojmë përcaktorin në një tjetër të barabartë me të, por që t’i ketë të gjitha koordinatat e ndonjë rreshti (shtylle) të barabartë me zero, me përjashtim ndoshta të njërës. Për këtë, rreshtin e dytë të matricës A e zëvendësojmë me a2+a1, kurse rreshtin e tretë me a3+(-2)a1 dhe më tej përcaktorin e përftuar e zhvillojmë sipas shtyllës së parë. Marrim 1
2
9
−1
5
4
2
−3
7
a2 + a1
=
a3 + ( −2) a1
1
2
−1 + 1
5+2
4+9 =
2−2
−3 − 4
7 − 18
1
2
9
=0
7
13 =
0
−7
− 11
9
7
13
−7
− 11
=14.
38. Të gjendet matrica inverse e matricës 3 2 −1 A = 1 1 2 2 2 5
Zgjidhje. Njehsojmë determinantën e A. 3
2
−1
det A = 1
1
2 = 15 + 8 − 2 + 2 −12 1 2 −10 10 = 1 ≠ 0
2
2
5 -1
Meqë det A ≠ 0 , atëherë ekziston matrica inverse A .
1 2 1 adj A = − 2 1 2
2
−
5
2
−1
2
2
5
1
2
3
−1
5
2
5
1 2
rrjedhimisht matrica inverse është
−
3
2
2
2
−1
2 3 −1
1 −12 5 = − 1 17 − 7 , − 1 2 0 −2 1 3 2 1 1
A
−1
=
1
1 det A
⋅ adj A =
1
1
−1
0
−12 17
−2
1 −12 5 − 7 = − 1 17 − 7 . −2 1 0 1 5
39. Të gjendet matrica inverse e matricës 1 −1 0 A= 3 1 1 , −2 4 1 në qoftë se ekziston. Zgjidhje: Duke njehsuar determinantën e matricës A, gjejmë det A= 2 ≠ 0. Për rrjedhojë matrica A është e rregullt, pra ka matricë të inverse. Sipas formulës (2) gjejmë −1 0 −1 0 1 1 − + + 4 1 4 1 1 1 −3 1 −1 3 1 1 0 1 0 1 1 = −5 1 −2 . + − adjA= − 2 −2 1 −2 1 3 1 2 14 −2 4 − − 3 1 1 1 1 1 + − + −2 4 −2 4 3 1 Prandaj nga (1) marrim −3 1 −1 −3 / 2 1 / 2 -1
A =
−1 / 2
−5 1 −1 = −5 / 2 1 / 2 −1 / 2 2 14 −2 4 7 −1 2
1
40. Të gjendet rangu i matricës 1 2 −3 A = 2 0 5 3 2 2
Zgjidhje. Meqenëse matrica A ka elementë të ndryshëm prej zeros, atëherë mund të konstatojmë se rangA ≥ 1 . Marrim minorin e rendit të dytë
2
0
3
2
= 4 − 0 = 4 ≠ 0 , pra
konstatojmë se rangA ≥ 2 . Minori i rendit të tretë është vetë determinanta e matricës A.
1
2
det A = 2 0 3
2
−3 5 = 0 , pra rangA < 3 . 2
Meqë rangA ≥ 2 dhe rangA < 3 atëherë rangA = 2 .
41. Të caktohet rangu i matricës 1 3 −2 4 1 2 5 11 A = −2 −4 7 −6 2 9 −8 3
Zgjidhje. 1 3 −2 4 1 2 5 11 A = −2 −4 7 −6 2 9 −8 3 1 3 −2 0 −1 7 0 2 3 2 9 −8 1 0 0 0
1 3 −2 4 0 −1 7 7 R −R 2 1→ − 2 −4 7 − 6 2 9 −8 3
4
1 0 7 − 2 R R 4 1→ 0 2 3 0 3 −2 4 1 0 R +3R 7 −1 7 4 2→ 0 0 17 16 3 −4 −5 0
3
−2
4
−1
7
7
R + 2 R 3 1 →
R +2R 3 2→ 2 3 2 3 −4 −5 3 −2 4 R − R 7 −1 7 3 4 → 0 17 16 0 17 16
1 3 −2 4 0 −1 7 7 → 0 0 17 16 0 0 0 0 Matrica e fituar ka një rresht me zero, që domethënë se rangu i matricës nuk mundet të jetë 4, pra rangA < 4 . Minori
1
3
−2
0
−1
7 = −17 ≠ 0 , pra rangA = 3 .
0
0
17
42. Të gjendet matrica inverse e matricës 2 1 −1 A = 5 2 4 7 3 4 me transformime elementare.
Zgjidhje. Në fillim provojmë se −1
2 1 det A = 5
2
4 = 16 + 28 − 15 + 14 − 24 − 20 = −1 ≠ 0
7
3
4
2 1 −1 1 0 0 K ↑↓ K 2 ( A, I ) = 5 2 4 0 1 0 1 → 7 3 4 0 0 1 1 K + K 3 1 → 2
0 5 6 1 0 1 3 7 7 0 0 1 1 0 0 −2 K −2 K 1 2 → 0 1 6 5 0 1 1 7
1 → 0 1
2
0
0
1
0
0
−2
1
1
0
5
−2 13
1
1
0
0
1 K − K 3 2 → 0 0
−6
1 K − K 1 3 → → 0 0
1
0
0
1
0
1 2 −1 0 1 0 2 5 4 1 0 0 3 7 4 0 0 1 1 0 0 K −2 K 2 1→ → 2 1 6 3 1 7 1 0 K3−6 K 2 −2 1 → → 0 1
4
4
1
1
0
−8 −2
1
1
−1
Në anën e djathtë të vijës vertikale është matrica inverse
4 − A 1 = −8 −1
7
−6
−15 13 −1 1
43. Duket menjëherë që matricat 1 A = 0 0
3 2 0
4 , −2 2
3 B= 0 0
2
1
0
2 ,
0
0
0
0
−8 −15 13 = ( I , A−1 ) −1 −1 1
0 1
1
0
−6
7
0
0 C = 0 0
−1
2
0
3 ,
0
0
0
0 −2 1 → 0 1 1
−6
13 13 → 1
0 D = 0 0
2
−1
0
2
0
0
2 −2 , E = 0 0 0 4
3
−2
0
0
0
0
2
0
0
janë të shkallëzuara. Duke numëruar rreshtat jozero në secilën gjejmë gjej më rg A=3, rg B=2, rg C= 2, rg D=2, rg E=1. Matricat 1 8 2 2 1 5 0 1 2 3 0 6 0 0 2 − 1, 0 0 5 2 , 0 2 2 0 0 3 0 0 0 − 3 0 0 2 nuk janë të shkallëzuara. Për të gjetur rangjet e tyre, më parë ato duhen shkallëzuar.
44. Të gjendet rangu i matricës 1 − 1 3 2 A= 1 4 1 2 . 3 2 7 6 Meqenëse matrica A është e pashkallëzuar, e shndërrojmë më parë atë në një matricë të shkallëzuar. Për këtë, i shtojmë rreshtit të dytë a2 rreshtin e parë a1 të shumëzuar me -1 (e shprehur me formulën a2-a1), rreshtit të tretë a3 rreshtin e parë a1 të shumëzuar me -3(e shprehur me formulën a3-3a1) dhe në matricën e përftuar i shtojmë rreshtit të tretë a3 rreshtin e dytë a2 të shumëzuar me -1 (e shprehur me formulën a3-a2); marrim
1 −1 3 2 a − a 1 −1 3 2 A ≡ 0 5 −2 0 ≡ 0 5 −2 0 . a −3 a 0 5 −2 0 0 0 0 0 a2 − a1
3
3
2
1
Matrica e fundit është e shkallëzuar dhe ka dy rreshta të ndryshëm nga zero, prandaj rg A=2.
45. Të gjendet rangu i matricës 5 2 B= −1 3
−10
15
−5
4
5
−6
. 0 7
E sjellim matricën B në një matricë të shkallëzuar. Për këtë, në hapin e parë shumëzojmë rreshtin e parë me 1/5. Në hapin e dytë rreshtin e parë të përftuar të shumëzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dytë , pastaj e mbledhim me rreshtin e tretë dhe së fundi të shumëzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e katërt. Në hapin e tretë shumëzojmë rreshtin e dytë me -1 dhe të tretin me 1/3. Në hapin e katërt rreshtit të tretë i heqim rreshtin e dytë. Në hapin e fundit rreshtin e tretë të përftuar të shumëzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e katërt. Shndërrimet e mësipërme i paraqesim hap pas hapi si më poshtë:
5 −10 15 1 1 2 −5 4 5 a 2 ≡ B= 0 −1 5 −1 3 −6 7 3 1 − 2 3 0 1 2 −2 a + a ≡ ≡ 0 0 −1 0 0 2 − 1
3
4
−2 −5 5
−6
3
0 7 4
−2 a1 + a2 a1 + a3
≡
−3a1 + a4
1 −2 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0
−2 −1 3 0
−2 − a ≡ 3 1a 3 −2 3
2
3
1 0 0 0
−2 1 1 0
2 − a +a ≡ 1 −2 3
2
3
3
2 1
.
0
Matrica e fundit është matricë e shkallëzuar dhe ka 3 rreshta të ndryshëm nga zero , prandaj rg B=3.
46. Të zgjidhet barazimi matricor AX=B, ku −1 0 2 1 1 −1 A = −2 1 3 dhe B = 0 −1 1 . 0 −1 0 1 1 0
Zgjidhje. Njehsojmë në fillim A−1 , nëse A është matricë e rregullt. −1
3 −2 −2 det A = −2 1 3 = 1 dhe A−1 = 0 0 −1 . 2 −1 −1 0 −1 0 0
2
Zgjidhja e AX=B është e formës X = A−1B dhe marrim
3 −2 − 2 1 1 −1 1 3 −5 X = A B = 0 0 −1 0 −1 1 = −1 −1 0 2 −1 −1 1 1 0 1 2 −3 −1
47. Te zgjidhet barazimi matricor: 1 1 1 1
0 0 0
1 0 1 0 0 X 1 1 0 0 1 1 1 0
Zgjidhje.
0 0
2 2 1 1 0 = 0 1 1 3 0 0 1 3 1
2 1 1
6 4 3 7 7 5 3
2 3
AXB = C AXB = C
shumëzojmë nga e majta me A −1
−1
XB = A C shumëzojmë nga e djathta me B −1
X = A CB Njehsojmë në fillim
−1
−1
1 0 0 −1 1 0 −1 A = 0 −1 1 0 0 −1
1 − 1 1 − 1 0 dhe B −1 = 0 1 − 1 1 . 0 0 1 − 1 0 1 0 0 0 1
0
:
1 0 0 −1 1 0 −1 A C = 0 −1 1 0 0 −1 Përfundimisht kemi 2 2 1
1 1
0 1 1 2 0 ⋅ X = A CB = 1 3 2 0 0 0 1 3 2 0 −1
−1
−1 1 0 0
0 2
2 1 1
2 2 3 2 3 0 0 ⋅ = 0 3 6 4 3 1 0 3 7 7 5 0 −1
2 −1 1 0 = 1 −1 1 0 1 0 1
2 1
1
1 1
2
3 2 0 1 3 2
0 1
0
1
2
2 0 0 1 2 0 0
−1
− − 48. Të zgjidhet barazimi matricor ( AXB ) = B 1 ( X 1 + B ) , nëse
1 2 1 1 0 0 A = 0 1 2 , B = 2 −1 0 1 0 − 1 1 1 2 −1
Zgjidhje. Nga ( AXB ) = B −1 ( X −1 + B ) marrim −1
( AXB ) = B −1 ( X −1 + B ) | ⋅ AXB nga e majta ⇒ I = ( AXB ) B −1 ( X −1 + B ) ⇒ I = AX ( X −1 + B ) ⇒ I = A + AXB ⇒ AXB = I − A | ⋅ A−1 nga e majta ⇒ ⇒ XB = A−1 ( I − A) | ⋅B −1 nga e djathta ⇒ X=A−1( I − A) B −1
Pastaj gjejmë
1 −2 3 2 0 0 0 −2 −1 1 − − −2 1 0 dhe I − A = 0 0 −2 . A 1 = 0 1 2 , B 1 = 2 0 0 −1 −1 −1 −2 0 0 2 −1
−1
Duke i zëvendësuar këto te X= A ( I − A) B dhe duke kryer veprimet e nevojshme, marrim
1
X =
1 2
1
−3
2
2 .
−2 −2
−6
6
50. Duke përdorur vetitë e detrminantave, të tregohet se vlen 1
2
1 x + 1
3
...
n
3
...
n
x + 1 ...
n
1
2
:
:
:
:
1
2
3
... x + 1
Zgjidhje. 1 2
3
...
n
1 x + 1
3
...
n
x + 1 ...
= ( x − 1)( x − 2)...( x − n + 1)
:
R2 − R1 R3 − R1 ............ Rn − R1
1
2
3
...
n
0
x −1
0
...
0
x − 2 ...
0
→ = 0 n
0
:
:
:
:
:
:
0
0
0
.....
x − n +1
1
2
:
:
:
:
1
2
3
... x + 1
= ( x − 1)( x − 2)...( x − n + 1)
=
