UNIVERSITETI I PRISHTINËS “HASAN PRISHTINA” FAKULTETI I INXHINIERISË ELEKTRIKE DHE KOMPJUTERIKE DEPARTAMENTI ELEKTROENERGJETIKË
Punim seminai! Me"#$a" ma"ema"i!#e n% in&'iniei P#(a(i)i"e"i
Men"#i* P#+,D, Ma-an Dema
S"u$en"i* V%s'im Kas"a"i ................... ...................
M/01/22/13
Pis'"in%4 2/15
Probabiliteti
Në praktikë shpesh ndeshemi me procese, fakte apo dukuri të ndryshme të natyrës, të cilat mund të japin rezultate të ndryshme në varësi nga rrethanat, kushtet në të cilat ato realizohen apo zhvillohen. Teoria e probabilitetit është degë e matematikës e cila studion fenomenet e rastësishme. Koncepte themelore të teorisë së probabilitetit janë ndryshorja e rastësishme, proçeset stohastike dhe ngjarjet e rastësishme: ër shembull hedhja e një kubi për lojë të numëruar me pika në secilën nga gjashtë fa!et e tij është një ngjarje e rastësishme. Nëse hedhja e kubit përsëritet një numër të madh herësh do të shohim se këto ngjarje do të plotësojnë një rregullshmëri të caktuar statistikore të cilat mund të studiohen dhe të parashikohen. "eorema të rëndësishme në teorinë e probabilitetit janë #$igji i numrave të mëdhenj# dhe #"eorema !ëndrore kufitare#. "eoria e probabilitetit është bazë matematikore e statistikës, ajo ka zbatim të madh në analizën kuantitative të bashkësive të cilat përmbajnë një numër të madh të dhënash, metodat e saj kanë mundësuar zbulimin e fenomeneve fizike në nivelin e atomit !ë i përshkruan mekanika kuantike. Përkufizimi klasik robabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është herësi i numrit të ngjarjeve të favorshme dhe numrit të përgjithshëm të para!itjeve të asaj ngjarje me supozim se të gjitha ngjarjet e mundshme kanë gjasë të njëjtë të para!itjes në fushën elementare të ngjarjeve. %arazmundësia e ndodhjes së ngjarjeve është një koncept themelor !ë nuk përkufizohet, por gjykohet nga natyra konkrete e ngjarjeve, nga simetria fizike, gjeometrike, etj., !ë u jep atyre të njëjtat mundësi objektive për të ndodhur. ër shembull ngjarja #ara!itja e një numri çift pikash gjatë hedhjes së kubit#, probabiliteti i kësaj ngjarje është dhënë me , sepse vetëm tre nga gjashtë fa!et e kubit kanë numër çift pikash.
2
robabiliteti është një matës numerik për gjasat se një ngjarje do të ndodhë. robabiliteti i një ngjarje duhet të jetë në mes të & dhe '. (huma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve reciprokisht përjashtuese)të papajtueshme) duhet të jetë i barabartë me '. robabiliteti klasik bazohet në supozimin se rezultatet e një eksperimenti kanë mundësi të barabarta. (ipas pikëpamjes klasike:
3
Përfaqësimi i të dhënave, mesatarja "ë dhënat mund të përfa!ësohen numerikisht ose grafikisht në mënyra të ndryshme. ër shembull, gazeta e përditshme mund të përmbaj tabelën e çmimeve të aksioneve, të kurseve të këmbimit të parave, të dhëna ekonomike, zhvillime politike ose mënyrën se si është shpenzuar paraja e tatimeve. Në këtë kapitull ne kryesishtë diskutojmë rreth prezentimit të të dhënave standarde në statistikë. Shembulli 1: (pjegohen konceptet dhe metodat përkatëse me anë të shembujve, duke filluar: *'+
-
/ ' - 0 -' -& / -
/
-- 1
-
2anë para!itur gjithsej ' pesha të bilancit të çelikut në kg)mm 3 të rrumbullakësuara me numër të plotë të vlerave. Këto pesha ne do t4i renditimin duke filluar !ë nga më e vogla e deri tek më e madhja, pra: *3+
/
' 1 0 / / - - -
-
-& -'
--
Shembulli 2: Ky është njëri ndër shembujve prej më të thjeshtve por edhe ndër më të dobishmit në përfa!ësimin e të dhënave. Numrat e para!itur në vargun *3+ ku përfshihen /5-- i ndajmë në 6 grupe /65/-, &5, 65-, -&5-, -65--. Numrat fillestar të grupeve janë /, , , -, -. Këta renditen si në figurën më poshtë. 7leta e parë është *!ë përfa!ëson /+. 7leta e dytë është '1 *duke përfshirë ', 1, +, e kështu me radhë. Numri i kohërave të vlerës !uhet frekuencë absolute. Kështu p.sh. / ka frekuencën absolute '. 8lera e - ka frekuencën absolute etj. Kolona në anën e majtë tregon frekuencat kumulative absolute !ë është shuma e frekuencave absolute të vlerave deri në vijën e fletave*gjetheve+. Kështu numri në rreshtin e dytë të majtë tregon !ë *'+ ka vlera duke përfshirë edhe numrin . Numri '' në linjën tjetër tregon !ë në të ka '' vlera !ë nuk e kalon - etj. 9uke ndarë frekuencat kumulative absolute nga n' jep frekuencat kumulative relative.
4
Devijimi standard, mesatarja, variana ;adhësia mesatare e vlerave të të dhënave në mënyrë më të saktë mund të gjendet nga shprehjet si më poshtë:
Kjo është mesatarja aritmetike e vlerave të të dhënave e cila gjendet duke e marrë shumën e tyre dhe duke e ndarë me madhësinë n si në rastin *e vlerave të shembullit '+, pra:
ra, për të gjetur variancën e të dhënave, marrim ndryshimin e =j > = për secilën vlerë të të dhënave nga mesatarja, e ngrisim në katror atë vlerë, pastaj katrorët e vlerave të ngritur i mbledhim dhe në fund e pjesëtojmë për n5'.
randaj, devijimi standard është:
5
6
