Demostración Directa En la prueba directa, la conclusión se establece al combinar lógicamente los axiomas, definiciones, y teoremas previos aceptados como válidos por la comunidad matemática. Ejemplo El entero n es par si existe un entero k tal que n = 2k y es impar si existe un entero k tal que n = 2k +1 Ejemplo. 2 Demostrar que si n es un entero impar, entonces n es un entero impar. p: n es impar. (Hipótesis) 2 q: n es impar. (Tesis) Se demuestra p -> q, se parte de que p verdadero y se termina demostrando que q es verdadero. Si n es impar entonces, n = 2k+1, donde k es un entero. n2 2 2 2 Se sigue que = (2k + 1) = 4k + 4k + 1 = 2 (k + k) +1 2 2 Por tanto como n es de la forma 2t + 1 entones n es impar. Inducción Matemática Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones: Paso 1.- La proposición p(n) es verdadera para n = 1, o bien, p (1) es verdadera. Paso 2.- Hipótesis de Inducción. Se supone que p (k) es verdadera, donde k es un número natural cualesquiera. Paso 3.- Tesis de Inducción. Se demuestra que p (k + 1) es verdadera, o bien, p (k) verdadera ) p(k + 1) verdadera: La técnica de Inducción Matemática consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposición p(n) para todos los valores naturales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3. Comentario: Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de Efecto Domino". Si imaginamos una fila infinita de fichas de dominó: dispuestas verticalmente y suficientemente próximas una cualquiera de la siguiente, entonces si el volteamiento de la primera ficha provoca el volteamiento de la segunda ficha, por el Principio de Inducción Matemática la fila completa es volteada. n 2 Determine para que valores de n ∈ N es verdadera la desigualdad 2 > n + 4n + 5 Al examinar los valores de n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 nos damos cuenta que l a desigualdad es incorrecta, pero si es verdadera para n = 7, por lo que podemos intentar demostrar por el método de Inducción Incompleta que para todos los valores de n ≥ 7, la desigualdad es verdadera. 7
2
Paso 1.- Si n = 7, obtenemos 2 = 128 > 7 + 4 · 7 + 5 = 82 o sea, cuando n = 7 la desigualdad es correcta. Paso 2.- (Hipótesis Inductiva) Se supone que la desigualdad es verdadera para un cierto valor de k
2
n = k, o sea, 2 > k + 4k + 5. Paso 3.- Finalmente a partir de la hipótesis inductiva, se desea probar la Tesis dada por (k+1)
2
2
> (k + 1) + 4(k + 1) + 5.
Al multiplicar la desigualdad dada en l a hipótesis inductiva por 2, obtenemos (k+1)
2
2
> 2k + 8k + 10
Transformando el segundo miembro de esta desigualdad obtenemos (k+1)
2
2
2
> (k + 1) + 4(k + 1) + 5 + k + 2k 2
Teniendo en cuenta que k + 2k > 0 para todo k ≥ 7, podemos deducir que (k+1)
2
2
> (k + 1) + 4(k + 1) + 5, obteniendo lo que se requería demostrar (Tesis).
Contraposición o Contrareciproco Se llama contrarrecíproco a una ley lógica, formalizada en los silogismos por Aristóteles, que consiste en el bicondicional entre una implicación y la negación del antecedente y consecuente de la misma implicación. Esta ley lógica puede utilizarse como regla de derivación en la línea de premisas. Formalmente, puede definirse como la fórmula lógica
.
Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p. Esto se conoce como demostración por contrarrecíproco o contraposición. Nótese que " p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes
Ejemplo Todos los números primos mayores que 2 son impares.
Aquí, la proposición p es "n es un número primo mayor que 2" y la proposición q es "n es un número impar". Demostrar que todo número primo mayor que 2 es impar ( p -> q) es lo mismo que demostrar que no existe un número par que sea número primo mayor que 2, o equivalentemente, que el único número primo par es 2 (no q -> no p). Esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k , k >= 1 (la idea de número primo tiene sentido sólo en los números naturales).
Si k = 1, tenemos n = 2, número primo. Si k > 1, entonces n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 Así que 2 es el único número primo par. Por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.
Reducción al absurdo Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas. El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo una proposición de la forma (H1 H2 … Hn ) Q consiste en: 1) Negar la conclusión Q utilizando las leyes de la lógica, la negación de Q es denota por Q que se lee “no Q”. 2) El conjunto de hipótesis ahora es de la forma H1 H2 … Hn Q, es decir que Q se añade como una hipótesis 3) Del conjunto de hipótesis enunciadas en 2) obtener una contradicción evidente, una contradicción es una proposición que siempre es falsa y es denotada por C, en forma simbólica: H1 H2 … Hn Q C, es decir que el conjunto de hipótesis {H1, H2, … ,Hn,Q} es inconsistente o contradictorio. 4) entonces Q es verdadera por la obtención de una contradicción al suponer verdadera la negación de Q Demuestre que para todo entero n, si n2 es par entonces n es par Demostración: Seleccionando un entero arbitrario n e identificando hipótesis y conclusión se tiene: 2
Hipótesis H1: n es par Conclusión: Q: n es par Negación de la conclusión Q: n es impar 2 Ahora, el conjunto de hipótesis es H1 y Q: n es par y n es impar ¿Cómo se inicia la secuencia de la demostración? La respuesta no es única como veremos en esta demostración pero una guía general es la 2 generación de una contradicción. Para tal fin, consideremos la suma de n y n en el siguiente proceso lógico deductivo: Proposición Razón 2 1) n es par hipótesis 2) n es impar hipótesis 2 3) n +n es impar la suma de un par e impar es impar 2 4) n +n=n(n+1) distributiva 5) n+1 es par por proposición 2) 6) n(n+1) es par por proposición 5) 2 7) n +n es par por proposiciones 4) y 6) 2 2 8) n +n es impar y n +n es par por proposiciones 3) y 7) Se ha obtenido una evidente contradicción en la proposición 8) por lo tanto la negación de Q no es verdadera: n es impar y se acepta la veracidad de Q: n es par. Queda formalmente demostrada la proposición.
Demostración por Contradicción La demostración de un teorema diremos que es por contradicción cuando suponiendo que la conclusión, Q, es falsa y utilizando la hipótesis P, y otros teoremas y equivalencias lógicas establecidas previamente, se llega a una contradicción. Está basada en la equivalencia lógica conocida como reducción al absurdo, es por ello que este método de demostración es conocido, también, como demostración por reducción al absurdo. P −> Q (P ^ ¬Q) −> C Donde C es una contradicción. Por lo tanto, si probamos que (P ^ ¬Q) −> C es una tautología tendremos que P −> Q también lo es y, consecuentemente, P => Q.
Demostrar que si el cuadrado de un número entero es impar, entonces el número es impar. Demostración 2
El teorema a demostrar es “Para cada entero n, si n es impar, entonces n es impar” 2 Supongamos que n es impar y que, sin embargo, n no es impar. 2 Entonces, tendremos que n es impar y n es par de aquí que por la definición de número impar y la de par dada en el ejemplo tengamos que existan dos números enteros k y l tales que: 2
n = 2k + 1 y n = 2l Luego
2
n = 2k + 1 y Por lo tanto,
2k + 1 = 4l De donde se sigue que
2
2
n = 4l
2
2
2
1 = 4l − 2k = 2(2l − k) 2
y como si l y k son enteros, 2l − k también lo es (lo llamaremos m), tendremos que hemos Encontrado un número entero m tal que 1 = 2m es decir, el 1 es par, lo cual, obviamente, es una contradicción. Lo que nos ha llevado a la contradicción es la suposición de que n no era impar, por lo tanto esta es falsa siendo cierta la contraria, es decir, n es impar.
Demostración por Casos La demostración por casos es un método de demostración matemática en el cual la proposición a ser probada se divide en un número finito de casos, y cada caso es demostrado por separado. También se la conoce como: prueba exhaustiva prueba por exhaución prueba por exhausción o método de fuerza bruta. Una demostración por casos consta de dos etapas: Una prueba de que los casos son exhaustivos; es decir, que cada instancia de la proposición a ser probada coincide con las condiciones de (al menos) uno de los casos. Una demostración de cada uno de los casos.
Ejemplo. Demuestra que si a y b son dos números reales, entonces |a+b|=<|a|+|b|. Partimos de la definición de valor absoluto |r| de un número r, que es r si r>=0 y -r si r<0. En todo caso es un número positivo o nulo y siempre es cierto r=<|r|. Esto nos invita a distinguir dos casos en la tarea propuesta. Si a+b>=0 entonces |a+b|=a+b. Como a=<|a| y b=<|b|, es claro que se tiene la desigualdad. Si a+b<0, entonces |a+b|=-a-b. Como -a=<|a| y -b=<|b|, también en este resulta cierta la desigualdad.
El método progresivo-regresivo El método progresivo-regresivo consiste en trabajar con la hipótesis y la tesis de forma simultánea obteniendo afirmaciones equivalentes a ambas y de alguna forma llegar a vincularlas lógicamente. Si trabajamos con la hipótesis y vamos obteniendo afirmaciones equivalentes estamos procediendo según el método progresivo, por otro lado, si trabajamos con la tesis y vamos obteniendo afirmaciones equivalentes estamos procediendo según el método regresivo. En lenguaje coloquial, la idea es ir “descomponiendo” la hipótesis y la tesis hasta llegar a una verdad evidente que vincule a ambas, en otras palabras, la idea es ir dando “saltos” desde la hipótesis hacia la tesis (método progresivo) y desde la tesis hacia la hipótesis (método regresivo). Ejemplo Si tenemos un triángulo 4(XY Z) rectángulo tal que su hipotenusa tiene longitud z, y su área es 2 z /4, entonces el triángulo es isósceles. Comencemos a trabajar a partir de la hipótesis, es decir, trabajemos de forma progresiva: Si x e y son las longitudes de los catetos y z la longitud de la hipotenusa, como 4(XY Z) es Rectángulo, aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos la siguiente relación: 2 2 2 x + y = z . Recordar que el área del triángulo se calcula como “(base) (altura)/2”, y entonces el área es xy/2. 2 2 Por otro lado, parte de la hipótesis es que el área de este triángulo es z /4, por tanto xy/2 =z /4. 2 2 2 Sustituyendo z por x + y en la igualdad anterior obtenemos: 2
2
xy/2 = (x + y )/4 Hasta aquí hemos utilizado la hipótesis y hemos obtenido cierta información, tomemos ahora la tesis y trabajemos con ella, es decir, realicemos el proceso regresivo. El proceso regresivo consiste usar como guía la pregunta ¿cómo o cuando se puede concluir la tesis? En el ejemplo que estamos trabajando esto es: ¿Cuándo se puede concluir que el triángulo 4(XY Z) es isósceles? En este caso una respuesta posible es apelar a una definición: “El triángulo 4(XY Z) es isósceles si tiene dos lados iguales, por ejemplo x = y. Aplicando este proceso se obtiene una nueva proposic ión B1: x = y, que es equivalente con B, con lo que, si se pudiera demostrar que B1 es verdadera, entonces B seria verdadera. Paso seguido nos podemos preguntar “¿cómo o cuando se puede concluir que la proposición B1 es verdadera?” Aquí se puede plantear que x = y ⇔ (x − y) = 0, con lo que obtenemos una nueva proposición B2: (x − y) = 0 (2) La selección de la respuesta es más un arte que una ciencia dado que una pregunta puede tener varias respuestas posibles. En circunstancias afortunadas habrá solo una respuesta posible, en otros casos, se tendrá que proceder por ensayo y error, en ocasiones una respuesta correcta será una definición, en otras un resultado anteriormente probado. Aquí es donde la intuición, ingenio, creatividad, experiencia, diagramas y gráficas juegan un papel importante. Una guía general es permitir que la información contenida en la hipótesis ayude a seleccionar la respuesta.
Tomemos xy/2 = (x2 + y2)/4
si multiplicamos ambos miembros por 4 obtenemos 2xy = x 2 + y2, ahora si sumamos a ambos miembros (-2xy) obtenemos x 2 - 2xy + y2 = 0, identificando el término de la izquierda como el cuadrado de un binomio obtenemos (x - y) 2 = 0 y aplicando raíz cuadrada a ambos miembros tenemos finalmente (x - y) = 0. Todas estas transformaciones realizadas son equivalentes, por tanto hemos logrado vincular lógicamente la hipótesis y la tesis.
