Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on Segundo Parcial de C´ on alculo alculo III
19 de junio junio de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, x + 2 y = x(0) = 0, y(0) = 2.
−
t
−e ,
Convertimos a una ecuaci´on on diferencial ordinaria con x funci´on on inc´ognita ognita y t como variable independiente. Para tal efecto derivamos la primera ecuaci´on on y remplazamos la segunda, lo que da t
x ¨ = y˙
t
⇒ ¨x = −x + 2y − e ⇒ ¨x = −x + 2(2(x˙ ) − e
Por consiguiente, tenemos el problema a valor inicial siguiente:
¨ − 2 ˙ + =0 ˙ (0) (0) = 2 x x x
x
x = , .
t
−e
Resolvemos primero la ecuaci´on on lineal li neal homog´enea enea asociada, aso ciada, que dicho sea de paso es a coeficientes constantes. Para tal efecto utilizamos el polinomio p olinomio caracter´ caracter´ıstico de la ecuaci´on on lineal homog´ena ena asociada asoci ada p(λ) = λ 2
2
− 2λ + 1 = (λ − 1) ,
de donde, donde, se tiene como sistema sistema fundamental fundamental SF = et , tet .
{
}
Para la soluci´on on particular de la ecuaci´on on lineal, utilizamos el m´ etodo etodo de variaci´ on de constantes, planteando on t t x = c 1 (t)e + c2 (t)te , lo que da el siguiente sistema lineal
et et
tet (1 + t)et
0 c1 c2
=
t
−e
.
Resolvemos el sistema lineal, utilizando la regla de determinantes:
c1
c2
0
tet
=
t
e et
=
(−1 + ) − = = ⇒ = 12 (1 + ) 0 − = − = 1 ⇒ = − (1 + ) et
t et
t
te t et
et et
et et
te2t e2t
et
tet t et
t
e2t e2t
c 1
c 2
t2 ;
t.
Por lo tanto, la soluci´on on particular encontrada es x =
1 2 t t e 2
· − t · te = − 12 t e . 2 t
t
La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on lineal es x = c 1 et + c2 tet
− 12 t e . 2 t
Ahora, resolvamos el problema a valor inicial, determinando los valores de c 1 y c 2 ; para tal efecto, remplazamos las condiciones iniciales: x(0) = c1 = 0 c 1 = 0, c2 = 2. x˙ (0) = c1 + c2 = 2
⇒
Por lo tanto, la soluci´on on del problema es x = 2tet
consiguientemente x(2) = 4e2
2
− 2e
= 2e2 .
− 12 t e , 2 t
cr´ıticos ıticos y el su caracter caracter del sistema diferencial: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ x y (x2 + 1), y˙ = x(x2 + 1).
˙ =
−
Respuesta:
Hallamos los puntos fijos o cr´ cr´ıticos del sistema diferencial resolviendo:
y (x2 + 1) = 0, x(x2 + 1) = 0
(x2 + 1) = 0
⇒ y = 0, −x = 0 ⇒ x = 0,
−
y = 0.
Punto cr´ıtico ıti co encont e ncontrado rado P = (0 , 0). Ahora linearizamos el sistema en el punto cr´ cr´ıtico (0 , 0):
˙ 0 1 x y˙
=
−1
x y
0
.
Hallamos Hallamos los valores valores propios de la matriz matriz asociada asociada al sistema sistema diferencia diferenciall linearizado linearizado::
1
−1 = λ
λ
λ
2
+1
λ2 =
−i,
Los valores propios encontrados son imaginarios puros: λ1 = i,
de donde donde (0, 0) es un foco c´ıclico ıclic o .
on y (x), con y(0) = 0 e y (4) = 3 tal que 3. (30 puntos ) Hallar la funci´ 4
(xy
0
2
− (y ) ) dx → ´optimo optimo
Respuesta:
La funci´on on objetivo f (x, y ) = xy satisface la soluci´on on es
(f y ) = x
2
− (y )
− 2y
no depende de y, por lo tanto la ecuaci´on on de Euler Lagrange que
= c
⇒ y
=
1 (x 2
− c) ⇒ y = 14 x − cx + d 2
Hallamos los valores de c y d reemplazando las condiciones de borde y (0) = 0 e y(4) = 3, lo que da: d = 0,
La soluci´ soluci´ on on del problema es y =
1 2 (x 4
4
− 4c = 3 ⇒ c = 14 .
− x).
2
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Segundo Segund o Parcial de C´ alculo alculo III II I
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2. 3.
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, x + 2 y = x(0) = 0, y(0) = 2.
−
a) x(2) = 0, d) x(2) = 2e, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
t
−e ,
b) x(2) = 2, e) x(2) = 1,
−
−
c) x(2) = 3e, f) x(2) = e,
cr´ıticos ıticos y el su caracter caracter del sistema diferencial: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ x y (x2 + 1), y˙ = x(x2 + 1).
˙ =
−
Respuesta:
a) (0, 0) foco repelente, d) (0, 1) p. equ. estable, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) (0, 0) y (1, 0) p. equ. silla, e) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable ,
c) (1, 0) foco absorvente , f ) (0 (0, 0) foco c’iclico,
−
on y (x), con y(0) = 0 e y (4) = 3 tal que 3. (30 puntos ) Hallar la funci´ 4
0
(xy
2
− (y ) ) dx → ´optimo optimo
Respuesta:
a) y = x1 + x + 1 , y d) = 3x,
√
1+y2
g)
Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = 41 (x2 x), e) y = x 2 + 1,
−
c) (x 1)2 + (y f) y = 4cos(x),
−
2
− 4)
= 25 ,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2. 3.
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, x + 2 y = x(0) = 0, y(0) = 2.
−
a) x(2) = e, d) x(2) = 3e, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
t
−e ,
b) x(2) = 0, e) x(2) = 2e,
−
c) f)
x(2) = 2, x(2) = 1,
−
cr´ıticos ıticos y el su caracter caracter del sistema diferencial: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ x y (x2 + 1), y˙ = x(x2 + 1).
˙ =
−
Respuesta:
a) (0, 0) foco c’iclico, d) (1, 0) foco absorvente , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) (0, 0) foco repelente , e) (0, 1) p. equ. estable,
c) (0 (0, 0) y (1, 0) p. equ. silla, f) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable ,
−
on y (x), con y(0) = 0 e y (4) = 3 tal que 3. (30 puntos ) Hallar la funci´ 4
(xy
0
2
− (y ) ) dx → ´optimo optimo
Respuesta:
a) y = 4cos(x), d) (x 1)2 + (y g)
−
2
− 4)
= 25,
Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = x1 + x + 1, y e) = 3x,
√
1+y 2
c) f)
y = 41 (x2 x), y = x 2 + 1,
−
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19 de junio junio de 201 2017 7
3
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2. 3.
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, x + 2 y = x(0) = 0, y(0) = 2.
−
a) x(2) = 1, d) x(2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
t
−e ,
b) x(2) = e, e) x(2) = 3e,
−
c) x(2) = 0, f) x(2) = 2e,
−
cr´ıticos ıticos y el su caracter caracter del sistema diferencial: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ x y (x2 + 1), y˙ = x(x2 + 1).
˙ =
−
Respuesta:
a) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable , d) (0, 0) y (1, 0) p. equ. silla, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) (0 (0, 0) foco c’iclico, e) (1, 0) foco absorvente ,
−
c) (0, 0) foco repelente , f ) (0 (0, 1) p. equ. estable,
on y (x), con y(0) = 0 e y (4) = 3 tal que 3. (30 puntos ) Hallar la funci´ 4
0
(xy
2
− (y ) ) dx → ´optimo optimo
Respuesta:
a) y = x 2 + 1, d) y = 41 (x2 x), g)
−
Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = 4cos(x), e) (x 1)2 + (y
−
2
− 4)
= 25 ,
c) y = x1 + x + 1 , y f) = 3x,
√
1+y2
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Segundo Segund o Parcial de C´ alculo alculo III II I
19 de junio junio de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2. 3.
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, x + 2 y = x(0) = 0, y(0) = 2.
−
a) x(2) = 2e, d) x(2) = 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
t
−e ,
b) x(2) = 1, e) x(2) = 2,
−
c) x(2) = e, f) x(2) = 3e,
−
cr´ıticos ıticos y el su caracter caracter del sistema diferencial: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ x y (x2 + 1), y˙ = x(x2 + 1).
˙ =
−
Respuesta:
a) (0, 1) p. equ. estable, d) (0, 0) foco repelente, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable , e) (0, 0) y (1, 0) p. equ. silla,
−
c) (0 (0, 0) foco c’iclico, f ) (1, 0) foco absorvente ,
on y (x), con y(0) = 0 e y (4) = 3 tal que 3. (30 puntos ) Hallar la funci´ 4
(xy
0
2
− (y ) ) dx → ´optimo optimo
Respuesta:
a)
y
√
1+y2 1
= 3x,
d) y = x + x + 1 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = x 2 + 1, e)
y =
1 (x2 4
− x),
c) y = 4cos(x), f)
(x
− 1)
2
+ (y
2
− 4)
= 25 ,
