Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on Segundo Parcial de C´ on alculo alculo III
29 de noviem noviembre bre de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Determinar el valor de x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ = x + 2 y 4, y˙ = x + 4 y 2, x(0) = 0 , y (0) = 0 .
− −
−
Resolvemos el sistema diferencial lineal asociado al problema:
x˙ = x + 2 y 4, y˙ = x + 4 y 2.
− −
−
Comenzamo Comenzamoss con (LH) asociado, asociado, que dicho de paso es (LHC), (LHC), escrito escrito matricialm matricialment entee x˙ y
=
1 2 1 4
−
⇒ x y
pA (λ) =
λ
−1 1
− 1
λ
4
= λ 2
− 5λ + 6 = (λ − 3)(λ − 2)
Familia generadora: e3t , e2t , planteamos como soluci´on on general de (LHC), remplazamos en la segunda ecuaci´on on para obtener relaciones entre las constantes
{
x = c 11 e3t + c12 e2t , y = c 21 e3t + c22 e2t
}
3t
2t
e + 2c e , ⇒ −y˙ =x +3c4y = (−c + 4 c 21
22
11
3t 21 )e
+ ( c12 + 4 c22 )e2t .
−
21 = c 11 = c 1 ,
⇒c
2c22 = c 12 = 2c2 .
La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociado es on x = c 1 e3t + 2c2 e2t , y = c 1 e3t + c2 e2t
Ahora hallamos hallamos una soluci´ on particular por tanteo, planteamos x = α , y = β . Derivamos y reemplazamos: on
= x + 2y 4, y˙ = x + 4y 2,0 = α + 2 β 0 = α + 4 β 2,
− −
−
− −
− 4, ⇒ α = 2,
β = = 1
La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on (L) es x = c 1 e3t + 2c2 e2t + 2, y = c 1 e3t + c2 e2t + 1
Con la soluci´on on general podemos halla los valores de las constantes c1 y c2 , reemplazando las condiciones inicia ini ciales les en ´esta. esta . x(0) = c 1 + 2 c2 + 2 = 0, c1 = 0, c2 = 1 y(0) = c 1 + c2 + 1 = 0
⇒
−
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es: on x = y =
De donde x(ln (ln 2) =
2t
−2e + 2, −e + 1 2t
−8 + 2 = −6.
punto P es es arrastrado por el plano x plano x 2. (30 puntos ) Un punto P
− y mediante una cuerda P P T T de longitud 2 T arranca 2 . Si T
del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ on de la trayectoria del punto P . P . Respuesta:
El punto P se mueve con una velocidad proporcional al vector P T , por consiguiente el segmento P T es tangente a la trayectoria del punto P , ver figura. Por lo tanto, si la trayectoria es el grafo de y (x), se tiene
−→
−→ − −→ − − PR
y =
=
RT
y
1
y2
.
La trayectoria del punto P es soluci´on on del problema a valor inicial
y
− √ −
y =
1 y2
,
y (0) = 2 .
La ecuaci´on on diferencial es de tipo separable, integrando, mediante substituci´on trigonom´ trigono m´ etrica, etrica, obtenemos 2 ln
− − − 2+
4
y2
4
y
y 2 = x + C
Remplazando el valor inicial y = 2, cuando x = 0, obtenemos C = 0. Por lo tanto, tanto, la ecuaci´ on on de la trayectoria es x = 2ln
− − − 2+
4
y2
4
x
y2.
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(1 + y )2 dx + (1
2
− x)
dy = 0.
Respuesta:
Dividimos la ecuaci´on on por (1 + y )2 (1
2
− x) , lo que da dx
(x
−
1)2
+
dy
(y + 1) 2
= 0,
ecuaci´ on on que s´ı admite primitiva. Integrando respecto resp ecto a x e y, obtenemos la primitiva f (x, y ) =
De donde la soluci´on on general es
− x +1 1 − y +1 1 .
1 1 + = c . x + 1 y + 1
2
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo Segund o Parcial de C´ alculo alculo III II I
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
d
3.
e
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Determinar el valor de x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ = x + 2 y 4, y˙ = x + 4 y 2, x(0) = 0 , y (0) = 0 .
− −
−
a) y (ln (ln 2) = 1, d) y (ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 3, e) y (ln (ln 2) = e,
−
punto P es es arrastrado por el plano x plano x 2. (30 puntos ) Un punto P
c) y (ln (ln 2) = f) y (ln (ln 2) =
−6, −3,
y mediante una cuerda P P T T de longitud 2 T arranca 2 . Si T P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca on de la trayectoria del punto P . P . Respuesta:
− √ − √ −
√ x 2+ 4−x √ d) y = 2 ln 2+ x4−x
a)
g)
y = ln
2
4 + x2 ,
2
4 x2 , Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
−
b) y = cosh(x), e)
y = 2 ln
2
−
√
4+x2 x
c) y = sinh(x),
√ + 4 + x , 2
f)
y = e x
− 1,
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(1 + y )2 dx + (1
2
− x)
dy = 0.
Respuesta:
a)
y
√
= 3x,
1+y2 y = x1 + x +
d) 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = x 2 + 1, e)
y =
1 (x2 4
− x),
c) y = 4cos(x), f)
(x
− 1)
2
+ (y
2
− 4)
= 25 ,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
c
3.
d
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Determinar el valor de x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ = x + 2 y 4, y˙ = x + 4 y 2, x(0) = 0 , y (0) = 0 .
− −
−
a) y (ln (ln 2) = 3, d) y (ln (ln 2) = e, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = e) y (ln (ln 2) =
punto P es es arrastrado por el plano x plano x 2. (30 puntos ) Un punto P
−6, −3,
c) f)
y(ln (ln 2) = 1, y(ln (ln 2) = 1,
−
y mediante una cuerda P P T T de longitud 2 T arranca 2 . Si T P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca on de la trayectoria del punto P . P . Respuesta:
a)
y = cosh(x),
√
2
−
b) y = sinh(x),
√
d) y = 2 ln 2− x4+x + 4 + x2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
e)
y = e x
c)
y = 2ln
− 1,
f)
2
dy = 0.
y = ln
√
4 x2 x
2+
2+
√ x
−
4 x2
−
− √ −
− √
4
4 + x2 ,
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(1 + y )2 dx + (1
− x)
Respuesta:
a) y = x 2 + 1, d) y = 41 (x2 x), g)
−
Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = 4cos(x), e) (x 1)2 + (y
−
2
− 4)
= 25 ,
c) y = x1 + x + 1 , y f) = 3x,
√
1+y2
x2 ,
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3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
b
3.
c
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Determinar el valor de x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ = x + 2 y 4, y˙ = x + 4 y 2, x(0) = 0 , y (0) = 0 .
− −
−
a) y (ln (ln 2) = 6, d) y (ln (ln 2) = 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 1, e) y (ln (ln 2) = 1,
− −
−
punto P es es arrastrado por el plano x plano x 2. (30 puntos ) Un punto P
c) y (ln (ln 2) = e, f) y (ln (ln 2) = 3,
y mediante una cuerda P P T T de longitud 2 T arranca 2 . Si T P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca on de la trayectoria del punto P . P . Respuesta:
a)
y = sinh(x),
b) y = 2 ln
d) y = e x 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
e)
y = ln
−
√
2+
√ x
2+
4 x2 x
−
4 x2
−
− √ −
− √
4
x2 ,
c) y = 2 ln
4 + x2 ,
f)
2
−
√
y = cosh(x),
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(1 + y )2 dx + (1
2
− x)
dy = 0.
Respuesta:
a) y = 4cos(x), d) (x 1)2 + (y g)
−
2
− 4)
= 25,
Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = x1 + x + 1, y e) = 3x,
√
1+y 2
c) f)
y = 41 (x2 x), y = x 2 + 1,
−
4+x2 x
+
√ 4 + x , 2
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo Segund o Parcial de C´ alculo alculo III II I
29 de noviem noviembre bre de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
a
3.
b
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Determinar el valor de x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ = x + 2 y 4, y˙ = x + 4 y 2, x(0) = 0 , y (0) = 0 .
− −
−
a) y (ln (ln 2) = 1, d) y (ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = e, e) y (ln (ln 2) = 3,
−
punto P es es arrastrado por el plano x plano x 2. (30 puntos ) Un punto P
c) y (ln (ln 2) = f) y (ln (ln 2) =
−3, −6,
y mediante una cuerda P P T T de longitud 2 T arranca 2 . Si T P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca on de la trayectoria del punto P . P . Respuesta:
a)
y = 2 ln
√
2+
4 x2 x
−
− √ −
− √
4
x2 ,
d) y = ln 2+√ x4−x 4 + x2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. 2
−
b) y = 2 ln e)
2
−
√
4+x2 x
y = cosh(x),
+
√ 4 + x , 2
c) y = e x f)
− 1,
y = sinh(x),
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(1 + y )2 dx + (1
2
− x)
dy = 0.
Respuesta:
a) y = x1 + x + 1 , y d) = 3x,
√
1+y2
g)
Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = 41 (x2 x), e) y = x 2 + 1,
−
c) (x 1)2 + (y f) y = 4cos(x),
−
2
− 4)
= 25 ,