Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Segundo parcial de C´ alculo alculo III II I
1, 2, 3, 4
4 de juni junio o de 20 2018 18
Tabla de Respuestas 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (ln2) sabiendo que
x˙ = 3x − 4y 4y + 10e 10 e , = x − 2y 2y + 7e 7e , xy˙ = x (0) = 3, 3, y (0) = 6 t
t
Respuesta:
Resolvemos Resolvemos primero el sistema sistema diferencia diferenciall (LH) asociado que es
x˙ 3
−4 1 −2
=
y
x y
,
(LHC)
Utilizamos Utilizamos la varian variante te del metodo de la matriz matriz exponencial exponencial para resolver resolver este sistema:
λ − 3 P (λ) = −1
4 = λ2 − λ − 2 = (λ ( λ − 2)(λ 2)(λ + 1). 1). λ + 2
A
La familia generadora de la soluci´on on general es F es F G = {e2t , e t }, planteamos como soluci´on on general −
x = c = c 11 e2t + c12 e t , y = c = c 21 e2t + c22 e t . −
−
Reemplazamos esta soluci´on on general planteada en la segunda ecuaci´on on de (LHC), lo que da: y˙ x − 2y 2y
= 2c21 e2t − c22 e t , = (c11 − 2c 2c21 )e2t + (c (c12 − 2c 2c22 )e −
t
−
⇒
2c21 = c = c 11 − 2c 2c21 , = c 22 = c 2 . ⇒ c 11 = 4c21 = 4c1 , c21 = c 2c22 −c22 = c 12 − 2c
La soluci´ soluci´ on general de (LHC) es por lo tanto: on x = 4c1 e2t + c2 e t , y = c = c 1 e2t + c2 e t . −
−
Hallamos Hallamos la soluci´ soluci´ on particular del sistema (L) por tanteo, planteamos x = αet , y = βe t . Deriv on Derivand andoo y 2t t reemplazando, obtenemos como soluci´on on particular x = −e , y = 2e , la soluci´ on general de (L) es por lo on tanto x = 4c1 e2t + c2 e t − et , y = c = c 1 e2t + c2 e t + 2e 2et . −
−
Hallamos los valores de c de c 1 y c 2 reemplando las condiciones generales en la soluci´on on general 4c1 + c + c2 − 1 = 3, 3, ⇒ c 1 = 0, c1 + c + c2 + 2 = 6
c2 = 4
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on x = 4e y = 4e
t
− et , t + 2e 2et .
−
−
De donde y (ln (ln 2) = 4e 4e
−
ln 2
+ 2e 2eln 2 = 2 + 4 = 6. 6.
on general de la ecuaci´ on en diferenciales, encontrando el valor de n, de manera 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ que esta ecuaci´ on sea exacta:
(x + ye + ye 2xy )dx + dx + nxe nxe2xy dy = dy = 0.. Determinamos n Determinamos n comprobando la condici´on on de primitiva: ∂x + ∂x + ye ye 2xy ∂nxe2xy = e 2xy + 2xe 2xe2xy = ne 2xy + 2nxe 2nxe2xy ⇒ n = n = 1. ∂y ∂x Ahora encontramos la primitiva f ( f (x, y). ∂f 1 1 = x + x + ye ye 2xy ⇒ f ( f (x, y) = x2 + e2xy + g( g (y ) ∂x 2 2 ∂f = xe 2xy + g (y ) = xe = xe 2xy ⇒ g( g (y ) = 0. ∂y
Primitiva encontrada f encontrada f ((x, y) = 21 x2 + 21 e2xy , soluci´ on on general x2 + e2xy = c . c .
on general 3. (30 puntos ) Dada la familia C de curvas de ecuaci´
(x2 + y 2 )3 = cx 2 y 2 Determinar por m´ etodos etodos diferenciales la ecuaci´ on general de la familia de curvas D, sabiendo que cuando se intersecta una curva de C y otra de las respectivas tangentes de las curvas en el punto de intersecci´ on tienen C D D como bisectrices rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Respuesta:
˜ Interpretemos el problema, sea C una curva de la familia C y C una curva de la familia de ecuaci´on on general (x ( x2 + y 2 )3 = cx 2 y 2 y sea A sea A el el punto de intersecci´on on de ambas curvas. Denotemos por por u ˜ un vector tangente de C en A y v un vector tangente de C en A en A.. Viendo la figura, se tiene que que v se puede obtener de u por medio de una reflexi´on on respecto a la recta horizontal que pasa por A. A . De donde si u1 u1 ⇒ v = u = −u2 u2
Ahora determinemos el campo campo u, lo obtenemos derivando la ecuaci´on on general 3(x 3(x2 + y 2 )2 (2x (2x + 2yy 2yy )x2 y 2 − (x (x2 + y 2 )3 (2xy (2xy 2 + 2x 2x2 yy ) =0 x2 y 2
2
u =
2
y (2x (2x2 − y 2 )
La ecuaci´on on diferencial que satisfacen las curvas de
y =
2
⇒ v =
y(2x (2x2 − y 2 ) −y(2x (2x2 − y 2 ) . x(x2 − 2y 2y2 ) x(x2 − 2y 2y 2 )
2
x(x − 2y 2y ) (2x2 − y 2 ) −y(2x
.
C es
−y(2x (2x2 − y 2 ) , x(x2 − 2y 2y2 )
ecuaci´ on on que puede convertirse convertirse a una de tipo homog´ eneo. eneo.
xz + z = z = ecuaci´ on on separable
de donde
−z (2 − z 2 ) −3z + 3z 3z3 xz = , ⇒ 1 − 2z 2z 2 1 − 2z 2z 2
2z 2 − 1 3 1 1 1 z = − ⇒ 2 + + 2 z (z − 1) x z z − 1 z + 1
ln(z ln(z 2 (z 2 − 1)) = ln(
6 z = − , x
c c ) ⇒ z 2 (z 2 − 1) = 6 , 6 x x
remplazando z remplazando z = y/x = y/x obtenemos (y/x) y/x )2 (
y2 − x2 ) = cx x2
2
6
−
=, lo que da
x(x − 2y 2y )
x2 y2
⇒ (3x (3x + 3yy 3yy )xy − (x (x2 + y 2 )(y )(y + xy + xy ) = 0 ⇒ y =
Por lo tanto
(x2 +y2 )3
⇒ x2 y2 (x2 − y 2 ) = c.
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Segundo parcial de C´ alculo alculo III
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
b
1. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (ln2) sabiendo que
x˙ = 3x − 4y 4y + 10e 10 e , = x − 2y 2y + 7e 7e , xy˙ = x (0) = 3, 3, y (0) = 6 t
t
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 21 , d) y (ln (ln 2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 0, 0, e) y (ln (ln 2) = −3,
c) y(ln (ln 2) = − 1, f) y(ln (ln 2) = 6, 6,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales, encontrando el valor de n, de manera 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ que esta ecuaci´ on sea exacta:
(x + ye + ye 2xy )dx + dx + nxe nxe2xy dy = dy = 0.. a) y = 1 + cx + cx2 , d) x2 = cey + 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 + e2xy = c, e) x2 − xy + xy + y y 2 = c,
c) 21 y 2 − xy = c, f) 2c = tan( cy ) , 2 ),
on general 3. (30 puntos ) Dada la familia C de curvas de ecuaci´
(x2 + y 2 )3 = cx 2 y 2 Determinar por m´ etodos etodos diferenciales la ecuaci´ on general de la familia de curvas D, sabiendo que cuando se intersecta una curva de C on tienen C y otra de D D las respectivas tangentes de las curvas en el punto de intersecci´ como bisectrices rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Respuesta:
a) x + 3y 3 y = c, = c, 2 d) x − 3y 3y 2 = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 y2 (x2 − y 2 ) = c, e) y2 = cx 3 ,
c) (x2 + y 2 )3 = cx 2 y2 , f) x2 + y 2 − cy + cy + 1 = 0, 0,
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
d
3.
f
on general 1. (30 puntos ) Dada la familia C de curvas de ecuaci´
(x2 + y 2 )3 = cx 2 y 2 Determinar por m´ etodos etodos diferenciales la ecuaci´ on general de la familia de curvas D, sabiendo que cuando se intersecta una curva de C on tienen C y otra de D D las respectivas tangentes de las curvas en el punto de intersecci´ como bisectrices rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Respuesta:
a) (x2 + y 2 )3 = cx 2 y2 , d) x2 + y 2 − cy + 0, cy + 1 = 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x2 − 3y 3y 2 = c, e) x + 3y 3y = c, = c,
c) y 2 = cx 3 , f) x2 y 2 (x2 − y 2 ) = c,
2. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (ln2) sabiendo que
x˙ = 3x − 4y 4y + 10e 10 e , = x − 2y 2y + 7e 7e , xy˙ = x (0) = 3, 3, y (0) = 6 t
t
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = − 1, d) y (ln (ln 2) = 6, 6, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 2, 2, e) y (ln (ln 2) = 21 ,
c) y (ln (ln 2) = − 3, f) y (ln (ln 2) = 0, 0,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales, encontrando el valor de n, de manera 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ que esta ecuaci´ on sea exacta:
(x + ye + ye 2xy )dx + dx + nxe nxe2xy dy = dy = 0.. a) 21 y2 − xy = c, d) 2c = tan( cy ) , 2 ), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 = cey + 2, 2, e) y = 1 + cx + cx2 ,
c) x2 − xy + xy + y y 2 = c, 2 2xy f ) x + e = c,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo parcial de C´ alculo alculo III
4 de juni junio o de 20 2018 18
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
e
3.
c
on general de la ecuaci´ on en diferenciales, encontrando el valor de n, de manera 1. (30 puntos ) Hallar la soluci´ que esta ecuaci´ on sea exacta:
(x + ye + ye 2xy )dx + dx + nxe nxe2xy dy = dy = 0.. a) x2 = cey + 2, 2, 2 d) y = 1 + cx + cx , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 − xy + xy + y y 2 = c, e) x2 + e2xy = c,
c) 2c = tan( cy ) , 2 ), y 1 2 f) 2 y − x = c,
on general 2. (30 puntos ) Dada la familia C de curvas de ecuaci´
(x2 + y 2 )3 = cx 2 y 2 Determinar por m´ etodos etodos diferenciales la ecuaci´ on general de la familia de curvas D, sabiendo que cuando se intersecta una curva de C on tienen C y otra de D D las respectivas tangentes de las curvas en el punto de intersecci´ como bisectrices rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Respuesta:
a) x2 − 3y 3y 2 = c, d) x + 3y 3 y = c, = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y2 = cx 3 , e) x2 y2 (x2 − y 2 ) = c,
c) x2 + y 2 − cy + cy + 1 = 0, 0, 2 2 3 2 2 f) (x + y ) = cx y ,
3. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (ln2) sabiendo que
x˙ = 3x − 4y 4y + 10e 10 e , = x − 2y 2y + 7e 7e , xy˙ = x (0) = 3, 3, y (0) = 6 t
t
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 2, 2, d) y (ln (ln 2) = 21 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = −3, e) y (ln (ln 2) = 0, 0,
c) y(ln (ln 2) = 6, 6, f) y(ln (ln 2) = − 1,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo parcial de C´ alculo alculo III
4 de juni junio o de 20 2018 18
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
a
3.
c
on general de la ecuaci´ on en diferenciales, encontrando el valor de n, de manera 1. (30 puntos ) Hallar la soluci´ que esta ecuaci´ on sea exacta:
(x + ye + ye 2xy )dx + dx + nxe nxe2xy dy = dy = 0.. a) 2c = tan( cy ) , 2 ), y 1 2 d) 2 y − x = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = 1 + cx + cx2 , e) x2 = cey + 2, 2,
c) x2 + e2xy = c, f ) x2 − xy + xy + y y 2 = c,
2. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (ln2) sabiendo que
x˙ = 3x − 4y 4y + 10e 10 e , = x − 2y 2y + 7e 7e , xy˙ = x (0) = 3, 3, y (0) = 6 t
t
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 6, 6, d) y (ln (ln 2) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 21 , e) y (ln (ln 2) = 2, 2,
c) y (ln (ln 2) = 0, 0, f) y (ln (ln 2) = − 3,
on general 3. (30 puntos ) Dada la familia C de curvas de ecuaci´
(x2 + y 2 )3 = cx 2 y 2 Determinar por m´ etodos etodos diferenciales la ecuaci´ on general de la familia de curvas D, sabiendo que cuando se intersecta una curva de C on tienen C y otra de D D las respectivas tangentes de las curvas en el punto de intersecci´ como bisectrices rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Respuesta:
a) x2 + y 2 − cy + cy + 1 = 0, 0, 2 2 3 2 2 d) (x + y ) = cx y , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x + 3y 3y = c, = c, 2 e) x − 3y 3y 2 = c,
c) x2 y 2 (x2 − y 2 ) = c, f) y 2 = cx 3 ,
