Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on Segundo Parcial de C´ on alculo alculo III
22 de junio junio de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, = x + 2y + 4 et , x(0) = 0, 4. y (0) =
− −
Convertimos a una ecuaci´on on diferencial ordinaria con x funci´on on inc´ognita ognita y t como variable independiente. Para tal efecto derivamos la primera ecuaci´on on y remplazamos la segunda, lo que da t
¨ = y˙ x
⇒ ¨x = −x + 2y + 4e ⇒ ¨x = −x + 2(2(x˙ ) + 4e
t
Por consiguiente, tenemos el problema a valor inicial siguiente:
¨ − 2 ˙ + = 4 =0 ˙ (0) (0) = −4 x x x
x
x , .
et
Resolvemos primero la ecuaci´on on lineal li neal homog´enea enea asociada, aso ciada, que dicho sea de paso es a coeficientes constantes. Para tal efecto utilizamos el polinomio p olinomio caracter´ caracter´ıstico de la ecuaci´on on lineal homog´ena ena asociada asoci ada p(λ) = λ 2
2
− 2λ + 1 = (λ − 1) ,
de donde, donde, se tiene como sistema sistema fundamental fundamental SF = et , tet .
{
}
Para la soluci´on on particular de la ecuaci´on on lineal, utilizamos el m´ etodo etodo de variaci´ on de constantes, planteando on t t x = c 1 (t)e + c2 (t)te , lo que da el siguiente sistema lineal
et et
tet (1 + t)et
0 c1 c2
=
2et
.
Resolvemos el sistema lineal, utilizando la regla de determinantes:
c1
c2
=
=
0
et (4 + t)et
tet t
t
e et
te
(1 + t)et
4 =
te2t = t e2t
=2 (2 + )
et et
et et
0 2et
e2t =2 e2t
tet t et
2
⇒ c = 2t ; 1
⇒ c = 4t. 2
Por lo tanto, la soluci´on on particular encontrada es x =
2
t
t
−2t · e − 4t · te
= 2 t2 et .
La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on lineal es x = c 1 et + c2 tet + 2t2 et .
Ahora, resolvamos el problema a valor inicial, determinando los valores de c1 y c2 ; para tal efecto, remplazamos las condiciones iniciales: x(0) = c1 = 0 c1 = 0, c2 = 4. x˙ (0) = c1 + c2 = 4
− ⇒
Por lo tanto, la soluci´on on del problema es x =
consiguientemente x(2) =
−8e
2
+ 8e2 = 0 .
t
−4te
+ 2t2 et ,
−
ıticos y el su carac caracter ter del sistema sistema diferencial diferencial:: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ıticos
˙ =
x x + y 2xy, y˙ = 2x + y + 3 y 2 .
−
−
Respuesta:
Hallamos los puntos fijos o cr´ cr´ıticos del sistema diferencial resolviendo:
0=
x + y 2xy, 0 = 2x + y + 3 y2 .
−
−
⇒ y = 0,
x = 0
⇒ x = 0,
y = 0.
Punto cr´ıtico ıti co encont e ncontrado rado P = (0 , 0). Ahora linearizamos el sistema en el punto cr´ cr´ıtico (0 , 0):
˙ 1 1 x y˙
=
−2
x y
1
.
Hallamos Hallamos los valores valores propios de la matriz matriz asociada asociada al sistema sistema diferencia diferenciall linearizado linearizado::
−1 = ( λ − 1) + 2 2 λ0 − 1 √ √ λ = 1 + i 2, λ = 1 − i 2,
Los valores propios encontrados:
λ
−1
2
1
2
la parte real real es positiva, positiva, de donde (0, 0) es un foco repetente
on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar y (x) > 0, con y (a) = 3. (30 puntos ) Determinar la ecuaci´ on que genera y (x) al girar en torno al eje x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´ tenga un area ´ m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta: b
El area a´rea de la superficie de revoluci´on on del problema est´a dada por 2 1+ π
y
y 2 dx, por lo tanto el problema
a
consiste en encontrar y(x), con y (a) = A e y (b) = B tal que b
1+ y
a
y 2 dx
→ m´ın
1 + 1 +
Aplicamos las ecuaciones de Euler Lagrange a la funci´on objetivo f (y, y ) = y 2
1 + yy
y 2
Despejamos y , lo que da cy =
−y
1 +
− y2
y 2 =
− 1 y+ y
c2 .
2
2
= c
⇒ y = c
y 2 lo que da
y 2 .
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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
a
2.
f
3.
b
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, = x + 2y + 4 et , x(0) = 0, 4. y (0) =
− −
a) x(2) = 0, d) x(2) = 2e, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
−
b) x(2) = 2, e) x(2) = 1,
c) x(2) = 3e, f) x(2) = e,
−
ıticos y el su carac caracter ter del sistema sistema diferencial diferencial:: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ıticos
˙ =
x x + y 2xy, y˙ = 2x + y + 3 y 2 .
−
−
Respuesta:
a) (0, 0) p. eq. estable , d) (0, 1) foco foc o c´ıclico ıcl ico , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) (0, 0) y (1, 0) p. equ. silla, e) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable ,
−
c) (1, 0) foco absorvente , f ) (0 (0, 0) foco repelente ,
on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar y (x) > 0, con y (a) = 3. (30 puntos ) Determinar la ecuaci´ on que genera y (x) al girar en torno al eje x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´ tenga un area ´ m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:
a) xy = c (1 + y 2 ), y d) √ 1+y = c, 1+y g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) cy = y 2 c2 , e) y2 = c 1 + y 2 ,
c) y (1 + (y )2 ) = c, f ) y = c 1 + y 2 ,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
b
2.
a
3.
c
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, = x + 2y + 4 et , x(0) = 0, 4. y (0) =
− −
a) x(2) = e, d) x(2) = 3e, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(2) = 0, e) x(2) = 2e,
−
c) x(2) = 2, f ) x(2) = 1,
−
ıticos y el su carac caracter ter del sistema sistema diferencial diferencial:: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ıticos
˙ =
x x + y 2xy, y˙ = 2x + y + 3 y 2 .
−
−
Respuesta:
a) (0, 0) foco repelente, d) (1, 0) foco absorvente , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) (0, 0) p. eq. estable , e) (0, 1) foco foc o c´ıclico ıcl ico ,
c) (0 (0, 0) y (1, 0) p. equ. silla, f) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable ,
−
on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar y (x) > 0, con y (a) = 3. (30 puntos ) Determinar la ecuaci´ on que genera y (x) al girar en torno al eje x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´ tenga un area ´ m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:
a) y = c 1 + y 2 , d) y (1 + (y )2 ) = c, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) xy = c (1 + y 2 ), y e) √ 1+y = c, 1+y
−
c) cy = y 2 c2 , f ) y 2 = c 1 + y 2 ,
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3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
b
3.
d
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, = x + 2y + 4 et , x(0) = 0, 4. y (0) =
− −
a) x(2) = 1, d) x(2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
−
b) x(2) = e, e) x(2) = 3e,
c) x(2) = 0, f) x(2) = 2e,
−
ıticos y el su carac caracter ter del sistema sistema diferencial diferencial:: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ıticos
˙ =
x x + y 2xy, y˙ = 2x + y + 3 y 2 .
−
−
Respuesta:
a) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable , d) (0, 0) y (1 , 0) p. equ. silla, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) (0 (0, 0) foco repelente, e) (1, 0) foco absorvente ,
c) (0, 0) p. eq. estable , f ) (0 (0, 1) foco foc o c´ıclico ıcl ico ,
on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar y (x) > 0, con y (a) = 3. (30 puntos ) Determinar la ecuaci´ on que genera y (x) al girar en torno al eje x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´ tenga un area ´ m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:
−
a) y2 = c 1 + y 2 , d) cy = y2 c2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = c 1 + y 2 , e) y (1 + (y )2 ) = c,
c) xy = c (1 + y 2 ), y f) √ 1+y = c, 1+y
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22 de junio junio de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
c
3.
e
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar x(2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= y, = x + 2y + 4 et , x(0) = 0, 4. y (0) =
− −
a) x(2) = 2e, d) x(2) = 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
−
b) x(2) = 1, e) x(2) = 2,
c) x(2) = e, f) x(2) = 3e,
−
ıticos y el su carac caracter ter del sistema sistema diferencial diferencial:: 2. (30 puntos ) Determinar el o los puntos cr´ıticos
˙ =
x x + y 2xy, y˙ = 2x + y + 3 y 2 .
−
−
Respuesta:
a) (0, 1) foco foc o c´ıclico ıcl ico , d) (0, 0) p. eq. estable , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) ( 1, 0), (1, 0) p. equ. inestable , e) (0, 0) y (1, 0) p. equ. silla,
−
c) (0 (0, 0) foco repelente , f ) (1, 0) foco absorvente ,
on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar y (x) > 0, con y (a) = 3. (30 puntos ) Determinar la ecuaci´ on que genera y (x) al girar en torno al eje x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´ tenga un area ´ m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:
y a) √ 1+y = c, 1+y d) xy = c (1 + y 2 ), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) y2 = c 1 + y 2 , e) cy = y 2 c2 ,
c) y = c 1 + y 2 , f ) y (1 + (y )2 ) = c,
