Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Segundo parcial de C´ alculo alculo III II I
7 de juni junio o de 20 2018 18
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (40 puntos ) Hallar el valor de x(1) x (1) sabiendo que
x˙ = x = x + + 2y 2y + t + t − 1 xy˙ =(0)3=x − +22y2,y −y 5t 5(0)t −= 2, 2,3
Respuesta:
Para cambiar la costumbre, esta vez resolveremos convirtiendo el sistema sistema diferencial en una ecuaci´on diferencia diferenciall ordinaria ordinaria con una sola funci´ funci´on on inc´ognita. ognita. Derivamos la primera ecuaci´on, on, obtenemos x ¨
− x˙ − 2y˙ = t = t − 1
(1)
Introducim Introducimos os y˙ de la segunda ecuaci´on on del sistema a (1). Obtenemos x ¨ x ¨
− x˙ − 2(3x 2(3x + 2y 2 y − 5t 5t − 2) = 1 − x˙ − 6x 6x − 2(2y 2(2y ) = −10 10tt − 3. 3.
(2)
Despejamos (2y (2y) de la primera ecuaci´on on del sistema 2y = x˙ x t + 1, t + 1,
(3)
− −
introducimos a la ecuaci´on on (2), lo que da x ¨ x˙ 6x 6x 2(x˙ x t + t + 1) = x ¨ 3x˙ 4x 4x = 12 12tt 1. 1.
− − − − − − − − −
−10 10tt − 3, 3,
(4)
Ahora resolvamos la ecuaci´on on (4). El polinomio caracter´ caracter´ıstico est´a dado por p( p(λ) = λ 2
4t
− 3λ 3λ − 4 = (λ − 4)(λ 4)(λ + 1) ⇒ SF = {e
t
−
,e
}.
La soluci´ soluci´ on particular la realizamos por tanteo, planteando x = on x = αt αt + + β β , de donde
−3α − 4αt 4αt − 4β 4β = = −12 12tt − 1 ⇒ α = α = 3, β = = −2 ⇒ x = x = 3t − 2. 2. Por consiguiente la soluci´on on general de la ecuaci´on on (4) es x = c = c 1 e4t + c2 e
t
−
+ 3t 3t
− 2. 2. (5) Ahora transformamos los valores iniciales x iniciales x(0) (0) = −2 y x˙ (0) = −2 + 2(3) − 1 = 3. Hallamos los valores de c 1
y c 2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ solucion o´n general: x(0) = c = c 1 + c + c2 2 = 2, x˙ = 4c1 c2 + 3 = 3. 3.
− − ⇒ c = c = 0.
−
Por lo tanto x tanto x = 3t 2 y x(1) = 3
−
1
2
− 2 = 1.
on general de la ecuaci´ on en diferenciales: 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(2xy (2xy2
− y) y ) dx + dx + x x dy = dy = 0
Veamos si la ecuaci´on on admite primitiva, verifiquemos las condiciones de existencia ∂ (2xy (2xy2 ∂y
− y) y ) = 4xy − 1, 1,
∂x = 1. 1. ∂x
Como no son iguales, la ecuaci´on on no admite primitiva. Para resolver, podemos realizar manipulaciones con diferenciales (2xy (2xy 2
2
− y) y ) dx + dx + x x dy = dy = 0 ⇒ 2xy 2 xy dx − (y (y dx − x dy) dy ) = 0 ⇒ (y ( y dx − x dy) dy ) x x 2x dx − = 0 ⇒ d( d (x ) − d( d( ) = 0 ⇒ d( d (x − ) = 0 y y y 2
2
2
x2
− xy = c ⇒ x
2
+ c = c =
x y
⇒
y =
x2
x . + c
area limitada por la curva desde el 3. (30 puntos ) Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´ origen al punto (x, area del rect´ angulo que tiene como v´ ertices ertices opuestos el origen ( x, y) y el eje x x es un tercio del ´ y el punto (x, y ). Los lados del rect´ angulo angulo son paralelos paralelos a los ejes de coordenadas. coordenadas. Determinar la ecuaci´ on de la curva. Respuesta:
Por el curso de C´alculo alculo I, dictado por el Ing. Oscar Antezana Mendoza, se tiene que el ´area area de la figura limitada por la curva y el eje x eje x,, en la figura achurada con rojo, est´a dada por x
AF =
y(t) dt.
0
El area a´rea del rect´angulo angulo limitado cuyos v´ertices ertices opuestos son el origen y el punto (x, (x, y) es AR = xy, xy , (en “Tercero de Primaria”, se aprende que el ´area area de un rect´angulo angulo es igual al producto de base por la altura). Por consiguiente, se tiene 1 AF = AR , 3
·
⇒
x
y (t) dt = dt = xy xy..
0
Derivando esta ultima u ´ ltima expresi´on on y por C´alculo alculo I, se obtiene la consiguiente ecuaci´on on diferencial y =
1 1 y + xy 3 3
⇒ 13 xy
2 = y 3
⇒ y
=
2 y, x
ecuaci´ on on diferencial lineal homog´ enea enea de primer orden, cuya soluci´on on es = ce2 ln x = cx 2 . y = ce Por consiguiente la ecuaci´on on de la curva es y = cx = cx 2 .
2
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Segundo parcial de C´ alculo alculo III
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
b
1. (40 puntos ) Hallar el valor de x(1) x (1) sabiendo que
x˙ = x = x + + 2y 2y + t + t − 1 xy˙ =(0)3=x − +22y2,y −y 5t 5(0)t −= 2, 2,3
Respuesta:
a) x(1) = 3, 3, d) x(1) = e4 + 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) x(1) = 0, 0, e) x(1) = e = e
1
−
− 3, 3,
c) x(1) = e = e4 + e f) x(1) = 1, 1,
1
−
− 2, 2,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales: 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(2xy (2xy2 a) y = 1 + cx + cx2 , x d) = y1 + y + y + c, c, y g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
−
−
− y) y ) dx + dx + x x dy = dy = 0 b) y = x/ = x/((x2 + c) c), e) 2 xy = xy = y y + + c, c,
√
c) 21 y2 xy = c, f) 2c = tan( cy ), ) , 2
−
area limitada por la curva desde el 3. (30 puntos ) Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´ origen al punto (x, area del rect´ angulo que tiene como v´ ertices ertices opuestos el origen ( x, y) y el eje x x es un tercio del ´ y el punto (x, y ). Los lados del rect´ angulo angulo son paralelos paralelos a los ejes de coordenadas. coordenadas. Determinar la ecuaci´ on de la curva. Respuesta:
a) y 3 = 1 + cx + cx3 , d) y 2 = cx, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = cx = cx 2 , e) y 2 = cx 3 ,
c) y = cx, = cx, f) y 3 = cx,
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
d
3.
f
area limitada por la curva desde el 1. (30 puntos ) Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´ origen al punto (x, area del rect´ angulo que tiene como v´ ertices ertices opuestos el origen ( x, y) y el eje x x es un tercio del ´ y el punto (x, y ). Los lados del rect´ angulo angulo son paralelos paralelos a los ejes de coordenadas. coordenadas. Determinar la ecuaci´ on de la curva. Respuesta:
b) y2 = cx, e) y3 = 1 + cx3 ,
a) y = cx, = cx, 3 d) y = cx, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) y 2 = cx 3 , f ) y = cx = cx 2 ,
2. (40 puntos ) Hallar el valor de x(1) x (1) sabiendo que
x˙ = x = x + + 2y 2y + t + t − 1 xy˙ =(0)3=x − +22y2,y −y 5t 5(0)t −= 2, 2,3
Respuesta:
a) x(1) = e = e 4 + e 1 2, 2, d) x(1) = 1, 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. −
−
b) x(1) = e4 + 3, 3, e) x(1) = 3, 3,
−
c) x(1) = e = e f) x(1) = 0, 0,
1
−
− 3, 3,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales: 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(2xy (2xy2 a) 21 y2 xy = c, d) 2c = tan( cy ), ) , 2 g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
− y) y ) dx + dx + x x dy = dy = 0 b) − = − + y + y + c, c, x y
e)
1 y
y = 1 + cx + cx2 ,
√
c) 2 xy = xy = y y + + c, c, 2 f) y = x/ = x/((x + c) c),
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo parcial de C´ alculo alculo III
7 de juni junio o de 20 2018 18
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
e
3.
c
on general de la ecuaci´ on en diferenciales: 1. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(2xy (2xy2 x a) = y1 + y + y + c, c, y 2 d) y = 1 + cx + cx , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
−
−
− y) y ) dx + dx + x x dy = dy = 0 √ xy = y y + b) 2 xy = + c, c, e)
y = x/ = x/((x2 + c) c),
c) 2c = tan( cy ), ) , 2 y 1 2 f) 2 y = c, x
−
area limitada por la curva desde el 2. (30 puntos ) Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´ origen al punto (x, area del rect´ angulo que tiene como v´ ertices ertices opuestos el origen ( x, y) y el eje x x es un tercio del ´ y el punto (x, y ). Los lados del rect´ angulo angulo son paralelos paralelos a los ejes de coordenadas. coordenadas. Determinar la ecuaci´ on de la curva. Respuesta:
a) y 2 = cx, d) y 3 = 1 + cx + cx3 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y 2 = cx 3 , e) y = cx = cx 2 ,
c) y 3 = cx, f) y = cx, = cx,
3. (40 puntos ) Hallar el valor de x(1) x (1) sabiendo que
x˙ = x = x + + 2y 2y + t + t − 1 xy˙ =(0)3=x − +22y2,y −y 5t 5(0)t −= 2, 2,3
Respuesta:
a) x(1) = e4 + 3, 3, d) x(1) = 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) x(1) = e = e e) x(1) = 0, 0,
1
−
− 3, 3,
c) x(1) = 1, 1, f) x(1) = e = e4 + e
1
−
− 2, 2,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo parcial de C´ alculo alculo III
7 de juni junio o de 20 2018 18
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
a
3.
c
on general de la ecuaci´ on en diferenciales: 1. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(2xy (2xy2 a) 2c = tan( cy ), ) , 2 d) 21 y2 xy = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
− y) y ) dx + dx + x x dy = dy = 0 b) y = 1 + cx + cx2 , x e) = y1 + y + y + c, c, y
−
−
c) y = x/ = x/((x2 + c) c), f) 2 xy = xy = y y + + c, c,
√
2. (40 puntos ) Hallar el valor de x(1) x (1) sabiendo que
x˙ = x = x + + 2y 2y + t + t − 1 xy˙ =(0)3=x − +22y2,y −y 5t 5(0)t −= 2, 2,3
Respuesta:
a) x(1) = 1, 1, d) x(1) = e = e 4 + e 1 2, 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. −
−
b) x(1) = 3, 3, e) x(1) = e4 + 3, 3,
−
c) x(1) = 0, 0, f) x(1) = e = e
1
−
− 3, 3,
area limitada por la curva desde el 3. (30 puntos ) Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´ origen al punto (x, area del rect´ angulo que tiene como v´ ertices ertices opuestos el origen ( x, y) y el eje x x es un tercio del ´ y el punto (x, y ). Los lados del rect´ angulo angulo son paralelos paralelos a los ejes de coordenadas. coordenadas. Determinar la ecuaci´ on de la curva. Respuesta:
a) y3 = cx, d) y = cx, = cx, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y3 = 1 + cx3 , e) y2 = cx,
c) y = cx = cx 2 , f ) y 2 = cx 3 ,
