Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Segundo Parcial de C´ alculo alculo III
1, 2, 3, 4
29 de noviembre de 2012
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1.- 40 puntos ) Determinar el valor de y (ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = 4x 3y + 2,2, xy˙ (0)= 2x2=x 4,4, y, y(0) = 4 −
−
Respuesta:
Resolvemos primer el sistema lineal homog´ eneo eneo asociado, utilizando la variante variante de la matriz exponencial:
x˙ = 4x4x
3y, y˙ = 2x − y −
⇒
x˙ 4 y˙
=
2
−3 −1
x y
(LHC) ⇒
λ 4 2 −
−
3 = λ2 − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ 1)(λ − 2) λ+1
Las ra´ ra´ıces del polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico son: λ1 = 1 y λ2 = 2, cuyas contribuciones a la soluci´on on general t 2t son: e , e . Planteamos como soluci´on on general: x = c11 et + c12 e2t , y = c21 et + c22 e2t . Remplazamos en la segunda ecuaci´on: on: y˙ 2x − y
= c21 et + 2c 2c22 e2t , = (2c (2c1 1 − c21 )et + (2c (2c21 − c22 )e2t
⇒ c11
= c21 = c1 ,
3c22 = 2c12 = 2c 2 c2 .
Por lo tanto, la soluci´on on general de (LHC) es: x = c1 et + c2 e2t , y = c1 et + 23 c2 e2t . Para hallar una soluci´on on particular, planteamos x = α, y = β , derivamos y remplazamos en el sistema diferencial del problema, lo que da:
0 = 4α
3β + β + 2, 2, 0 = 2α − β −
⇒
β = 2α,
4α − 6α = −2 ⇒ α = 1, β = 2.
La soluci´ soluci´ on general del sistema diferancial asociado es on x = c1 et + c2 e2t + 1, 1, 2 t 2t y = c1 e + 3 c2 e + 2. 2. Hallamos los valores de las constantes c1 y c2 , remplazando las condiciones iniciales en la soluci´on on general: x(0) = c1 + c2 + 1 = 4, 4, ⇒ c1 = 0, 0 , c2 = 3. 3. 2 y(0) = c1 + 3 c2 + 2 = 4. 4. La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on x = 3e2t + 1, 1, 2t y = 2e 2 e + 2. 2. y por lo tanto y (ln 2) = 8 + 2 = 10.
on general de la ecuaci´ on 2.- (30 puntos ) Hallar la soluci´
v du − u dv = (1 + u) du. Respuesta:
Dividimos la ecuaci´on on entre u2 , lo que da: −
u dv − v du 12 1 v 1 v = ( + ) du ⇒ −d( ) = d(− + ln u) ⇒ d( 2 u u u u u u
−
1 v + ln u) = 0 ⇒ u u
−
1 + u = c. u
Por consiguiente, la soluci´on on general es v + u ln u − 1 = cu. cu.
on general de la familia de curvas tales que la porci´ on de la normal de la 3.- (30 puntos ) Hallar la ecuaci´ curva entre (x, y ), punto de la curva, y el eje y queda partida por la mitad por el eje x. Respuesta:
De acuerdo a la gr´afica afica de la curva C , el vector normal n y el vector tangente t est´ an an dados por: C
n = −y
x 2y
, t=
0 1 x 2y −1
0
2y
=
−x
El sistem sistemaa difere diferenci ncial al asociad asociadoo y la ecuaci ecuaci´´on on diferencial diferencial asociada est´an an dadas por
x
2
x
x˙ = 2y 2y y˙ = −x
t
(x, y)
⇒
y =−
x 2y
ecuaci´ on on de tipo separable, separable, integrando integrando tenemos 1 y 2 = − x2 + c. 2
n
Por consiguie consiguiente nte,, la ecuaci´ ecuaci´on on general de la familia de curvas es x2 + 2y 2y 2 = c.
2
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo Segund o Parcial de C´ alculo alculo III II I
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
f
2.-
a
3.-
f
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Determinar el valor de y(ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = 4x 3y + 2,2, xy˙ (0)= 2x2=x 4,4, y, y(0) = 4 −
−
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 1, 1, d) y(ln (ln 2) = −3, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = −1, e) y(ln (ln 2) = 2, 2,
c) y (ln (ln 2) = 0, 0, f ) y (ln 2) = 10, 10,
on general de la ecuaci´ on 2.- (30 puntos ) Hallar la soluci´
v du − u dv = (1 + u) du. Respuesta:
a) v + u ln u − 1 = cu, d) u = v 2 /(c − v ), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) v + u2 − 1 = cu, e) uv( uv(u + v )2 = c,
c) u − 1 = c ln(v ln(v + 1), 1), 2 f) v + u − 1 = cv,
on general de la familia de curvas tales que la porci´ on de la normal de la 3.- (30 puntos ) Hallar la ecuaci´ curva entre (x, y ), punto de la curva, y el eje y queda partida por la mitad por el eje x. Respuesta:
a) y 2 = cx, d) yx 3 = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 2x2 + y2 = c, e) x + 3y 3y = c,
c) y2 = cx3 , f) x2 + 2y 2y 2 = c,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
e
2.-
f
3.-
e
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Determinar el valor de y(ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = 4x 3y + 2,2, xy˙ (0)= 2x2=x 4,4, y, y(0) = 4 −
−
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = −1, d) y(ln (ln 2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 0, 0, e) y(ln 2) = 10 10,
c) y(ln (ln 2) = −3, f) y(ln (ln 2) = 1, 1,
on general de la ecuaci´ on 2.- (30 puntos ) Hallar la soluci´
v du − u dv = (1 + u) du. Respuesta:
a) v + u2 − 1 = cu, d) uv( uv(u + v )2 = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) u − 1 = c ln(v ln(v + 1), 1), 2 e) v + u − 1 = cv,
c) u = v 2 /(c − v ), f) v + u ln u − 1 = cu,
on general de la familia de curvas tales que la porci´ on de la normal de la 3.- (30 puntos ) Hallar la ecuaci´ curva entre (x, y ), punto de la curva, y el eje y queda partida por la mitad por el eje x. Respuesta:
a) 2x2 + y2 = c, d) x + 3y 3y = c, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y 2 = cx3 , e) x2 + 2y 2y 2 = c,
c) yx3 = c, f) y2 = cx,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
d
2.-
e
3.-
d
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Determinar el valor de y(ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = 4x 3y + 2,2, xy˙ (0)= 2x2=x 4,4, y, y(0) = 4 −
−
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 0, 0, d) y (ln 2) = 10 10, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = −3, e) y (ln (ln 2) = 1, 1,
c) y(ln (ln 2) = 2, 2, f) y(ln (ln 2) = −1,
on general de la ecuaci´ on 2.- (30 puntos ) Hallar la soluci´
v du − u dv = (1 + u) du. Respuesta:
a) u − 1 = c ln(v ln(v + 1), 1), 2 d) v + u − 1 = cv, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) u = v 2 /(c − v ), e) v + u ln u − 1 = cu,
c) uv( uv(u + v )2 = c, f) v + u2 − 1 = cu,
on general de la familia de curvas tales que la porci´ on de la normal de la 3.- (30 puntos ) Hallar la ecuaci´ curva entre (x, y ), punto de la curva, y el eje y queda partida por la mitad por el eje x. Respuesta:
a) y 2 = cx3 , d) x2 + 2y 2y2 = c, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) yx 3 = c, e) y 2 = cx,
c) x + 3y 3y = c, 2 f) 2x + y 2 = c,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
c
2.-
d
3.-
c
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Determinar el valor de y(ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = 4x 3y + 2,2, xy˙ (0)= 2x2=x 4,4, y, y(0) = 4 −
−
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = −3, d) y(ln (ln 2) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 2, 2, e) y(ln (ln 2) = −1,
c) y (ln 2) = 10, 10, f ) y (ln (ln 2) = 0, 0,
on general de la ecuaci´ on 2.- (30 puntos ) Hallar la soluci´
v du − u dv = (1 + u) du. Respuesta:
a) u = v 2 /(c − v ), d) v + u ln u − 1 = cu, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) uv( uv(u + v )2 = c, e) v + u2 − 1 = cu,
c) v 2 + u − 1 = cv, f) u − 1 = c ln(v ln(v + 1), 1),
on general de la familia de curvas tales que la porci´ on de la normal de la 3.- (30 puntos ) Hallar la ecuaci´ curva entre (x, y ), punto de la curva, y el eje y queda partida por la mitad por el eje x. Respuesta:
a) yx 3 = c, d) y 2 = cx, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x + 3y 3y = c, e) 2x2 + y2 = c,
c) x2 + 2y 2y 2 = c, 2 f) y = cx3 ,
