Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer Parcial de C´ alculo alculo III
25 de abril abril de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = −4e yy(0)(0)==4,4 −, 9.
2t
,
Respuesta:
Hallamos la soluci´ on on general de la ecuaci´on on (L) del problema a valor inicial; para tal efecto, comenzamos resolviendo la ecuaci´on on (LH) asociada: y + y − 2y = 0, (LHC) ⇒ p( p (λ) = λ 2 + λ − 2 = (λ + 2)(λ 2)(λ − 1), 1),
Las ra´ ra´ıces del polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico son λ son λ = = −2 y λ = λ = 1, de donde SF = {e 2t , et } y la soluci´on on general de t 2t (LH) asociada es y es y = c = c 1 e + c2 e . Pasamos a encontrar una soluci´on on particular de (L) por tanteo, planteando y = αe = αe 2t , derivamos y reemplazamos, lo que da: 4αe2t + 2αe 2αe2t − 2αe2t = −4e2t ⇒ α = α = − 1, 2t soluci´ on particular encontrada y on encontrada y = − e y soluci´ on on general de (L): −
−
2t
−
y = c = c 1 e
+ c2 et − e2t .
Ahora, encontramos los valores de c 1 y c 2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general:
y(0) = c c + c = c + c + c − 1 = 4, + c = 5, 1
2
1
⇒
+ c2 − 2 = −9. −2c1 + c
2
+ c2 = −7 −2c1 + c
2t
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es y = 4e on
−
⇒ c 1 = 4,
c2 = 1.
+ et − e2t e y (ln 2) = 1 + 2 − 4 = − 1.
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver yy = y 2 y + (y (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x para x = = 0. 2
Respuesta:
Reducimos el orden planteando u planteando u((y) = y , derivamos y derivamos y = uu , reemplazamos
yuu = y 2 u + u + u2 ⇒ uyu = u( u(y2 + u) u)
Como y Como y = 1 cuando x cuando x = 0, u 0, u = 0, as´ as´ı que podemos simplificar la ecuaci´ on diferencial y obtenemos on 1 yu = y 2 + u ⇒ u = u + y + y (L) ⇒ u = u = cy cy + + y y 2 . ⇒ y = cy + cy + y y 2 . y
Hallamos c Hallamos c,, reemplazando la condici´on on inicial y inicial y = = − 1/2, y 2, y = 1, lo que da c da c = = − 32 . La ecuaci´on on que obtenemos es separable y
y 2 3 2 y − 3/2 3 y − 3/2 = 1 ⇒ ln(y ln(y − ) − ln(y ln(y ) = x + x + d d ⇒ ln( ) = x + d + d ⇒ = de 3x/2 . 3 3 2 3 y 2 y y (y − 2 )
Hallamos d Hallamos d reemplazando la condici´on on inicial x inicial x = = 0, y 0, y = − 1/2, lo que da d da d = = 4. 4. De dond dondee 2y − 3 = 8ye 8 ye 3x/2 . on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y = y 2 + 2xy. 2xy.
Respuesta:
La ecuaci´on on es de tipo homog´eneo eneo
2
y2 y y = +2 , x x planteamos z = y/x = y/x,, y = xz = xz,, derivamos y derivamos y = xz + z y z y reemplazamos
xz + z = z = z z 2 + 2z 2z ⇒ xz = z 2 + z ⇒
integramos ln(
z 1 = , (z + 1)z 1) z x
z z y ) = ln x + c + c = = ln cx ⇒ = cx ⇒ = cx ⇒ y = y = cx cx 2 + cxy, z + 1 z + 1 x + y + y
de donde la soluci´on on general es y =
cx 1−cx
.
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = −4e yy(0)(0)==4,4 −, 9.
2t
,
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = − 1, d) y (ln (ln 2) = 7, 7, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 5, 5, e) y (ln (ln 2) = 1, 1,
c) y(ln (ln 2) = 8, 8, f) y(ln (ln 2) = 3, 3,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver yy = y 2 y + (y (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x para x = = 0. 2
Respuesta:
a) y = 1 o 3y 3 y + x + x3 = 3, 3, x d) y = 3ln xe , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = 2e x , e) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, −
c) xy 2 = 3x + y + y 3 , f) 2y − 3 = 8ye 8 ye 3x/2 ,
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y = y 2 + 2xy. 2xy.
Respuesta:
a) ln x − sin(x/y sin(x/y)) = c, d) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
2
b) y = c = c 1 x cx , e) y = 1 + sin x + cx, + cx, −
c) sin(y/x) y/x ) − ln(cx ln(cx)) = 0, 3 f) x cos y = c, = c,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = −4e yy(0)(0)==4,4 −, 9.
2t
,
Respuesta:
b) y(ln (ln 2) = − 1, e) y(ln (ln 2) = 7, 7,
a) y(ln (ln 2) = 3, 3, d) y(ln (ln 2) = 8, 8, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) y (ln (ln 2) = 5, 5, f) y (ln (ln 2) = 1, 1,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver yy = y 2 y + (y (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x para x = = 0. 2
Respuesta:
a) 2y − 3 = 8ye 3x/2 , d) xy 2 = 3x + y + y 3 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = 1 o 3y 3y + x + x3 = 3, e) y = 3ln xex ,
c) y = 2e x , f) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, −
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y = y 2 + 2xy. 2xy.
Respuesta:
a) x3 cos y = c, = c, d) sin(y/x) y/x) − ln(cx ln(cx)) = 0, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) ln x − sin(x/y sin(x/y)) = c, e) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0,
2
c) y = c = c 1 x cx , f) y = 1 + sin x + cx, + cx, −
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = −4e yy(0)(0)==4,4 −, 9.
2t
,
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 1, 1, d) y(ln (ln 2) = 5, 5, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 3, 3, e) y(ln (ln 2) = 8, 8,
c) y (ln (ln 2) = − 1, f) y (ln (ln 2) = 7, 7,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver yy = y 2 y + (y (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x para x = = 0. 2
Respuesta:
a) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, d) y = 2e x , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
b) 2y − 3 = 8ye 3x/2 , e) xy2 = 3x 3 x + y + y 3 ,
c) y = 1 o 3y 3y + x + x3 = 3, 3, f) y = 3 lnxe ln xex ,
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y = y 2 + 2xy. 2xy.
Respuesta:
a) y = 1 + sin x + cx, + cx, x d) y = c = c 1 cx , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. 2
−
b) x3 cos y = c, = c, e) sin(y/x) y/x) − ln(cx ln(cx)) = 0,
c) ln x − sin(x/y sin(x/y)) = c, f) cos cos(y/x) y/x ) + ln(cx ln(cx)) = 0,
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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = −4e yy(0)(0)==4,4 −, 9.
2t
,
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 7, 7, d) y (ln (ln 2) = − 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 1, 1, e) y (ln (ln 2) = 5, 5,
c) y(ln (ln 2) = 3, 3, f) y(ln (ln 2) = 8, 8,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver yy = y 2 y + (y (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x para x = = 0. 2
Respuesta:
a) y = 3ln xex , d) y = 1 o 3y 3 y + x + x3 = 3, 3, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, x e) y = 2e , −
c) 2y − 3 = 8ye 8 ye 3x/2 , f) xy 2 = 3x + y + y 3 ,
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y = y 2 + 2xy. 2xy.
Respuesta:
a) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0, d) ln x − sin(x/y sin(x/y)) = c, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = 1 + sin x + cx, + cx, x e) y = c = c 1 cx , 2
−
c) x3 cos y = c, = c, f) sin(y/x) y/x ) − ln(cx ln(cx)) = 0,
