CURSO: ANALISIS MATEMATICO I
COORDENADAS POLARES DOCENTE:
Lic. Mat. Juan Carlos Curí Gamarra PRESENTADO POR:
1. POLONIO ORDOÑEZ; LIZBETH. 2. POMA JULCA; VICTOR ADRIAN. 3. SALAS PEDRAZA; NOEMI .
Tingo María - Perú
2016 .
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INDICE: 1.- INTRODUCCION------------------------------------------------------------2.- OBJETIVOS-------------------------------------------------------------------3.- RELACION ENTRE COORDENDAS POLARES Y RECTANGULARES 3.1 Ejemplos---------------------------------------------------------4.- DICUSION DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES 4.1 Intersecciones---------------------------------------------------------4.2 Simetrías----------------------------------------------------------------4.3 Trazado de la gráfica------------------------------------------------4.4 Ejemplos-----------------------------------------------------------------5.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES 5.1 Ejemplos-------------------------------------------------------------6.-TRANSFORMACION DE POLARES A CARTESIANAS----------------6.1 Ejemplos--------------------------------------------------------------7.- INTERSECCION DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES 7.1 Ejemplos---------------------------------------------------------------
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1.-INTRODUCCIÓN: Existen varios sistemas de coordenadas en esta ocasión se estudiaran las coordenadas polares, por este medio en lugar de fijar la posición de un punto de cualquier plano en función de sus distancias a dos rectas perpendiculares se pueden ejecutar en función de su distancia a un punto fijo este método es usado en la física y la trigonometría.
P(r,Ө)
y
Y
ᶿ O
X
A x .
De donde:
→ es la distancia de “P” al origen “O” radio. O → Un punto del plano, al que se le llama origen o polo. OA → recta, rayo o segmento OA; llamada eje polar (equivalente al r
eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.
→ punto del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) . θ →es el ángulo formado entre el eje polar
P
recta
dirigida
r ≥ 0
(OA) y la
(OP).
Nota: “Θ” crece en sentido anti-horario y decrece en sentido horario. Llamado «coordenada angular» o «ángulo polar». “r” llamado «coordenada radial» o «radio vector».
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2.-OBJETIVOS: Al terminar el estudio, deberemos de estar en la capacidad de:
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Relacionar las coordenadas cartesianas con las coordenadas polares.
Calcular y comprender las coordenadas polares de un punto del plano.
Transformar ecuaciones analíticas a ecuaciones polares.
utilizar las coordenadas polares en las diversas aplicaciones, longitudes, etc.
3.- RELACION ENTRE COORDENDAS POLARES Y RECTANGULARES Suponemos que el polo del sistema de coordenadas polares P (r, Ө).Coinciden en el origen del sistema cartesiano(x, y) y el eje polar coincide con el eje X en sentido positivo.Como se muestra en la siguiente imagen:
P(r,Ө) ( x,y)
y
Y
ᶿ O
X
A x
Las relaciones en el ∆OAP, se tiene:
cartesianas a polares
Para Ө Para r (radio) Para x
Polares a cartesianas
Para y
Ө= ⁄ => Ө = arctg(⁄) = + => = + cosӨ= ⁄ => = Ө Ө = ⁄ => = Ө
De cartesianas a polares: Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
De polares a cartesianas: Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas
cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
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3.1
Ejemplos:
1.- Hallar el par principal de coordenadas polares de cada uno de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son A (-2, 3) y B (3, -2). Solución: En el punto A: x = -2, y = 3 Tgɵ =
=>
r=
= (ɵ en el II cuadrante)
+ = √ 13 => ɵ = arcTg (-1.5)
ɵ = 180° - 56°18’ = 123°82’
√ 13 ,123°4′) r = + = √ 13
:. A ( En el punto B: x = 3, y = -2 Tgɵ =
= (ɵ en el IV cuadrante) => ɵ = arcTg (-2/3)
:. B (
.
ɵ = 360° - 33°41’ = 326°19’
√ 13 ,326°19′)
4.- DICUSION DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES: La discusión de curvas en ecuaciones polares, se ejecuta de la misma manera en la construcción de gráficas en ecuaciones rectangulares; se establece los siguientes análisis:
4.1 Intersecciones:
Con el eje polar: Se hace: Con el eje a 90°: Se hace:
Ө = nπ ; n ∊ Z Ө = π⁄2 + nπ ; n ∊ Z
4.2 Simetrías:
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con respecto al eje polar: se reemplaza (r,- Ө) por (r, Ө) si no cambia la ecuación, la curva presenta simetría.
Con respecto al eje a 90°: Se reemplaza (r, Ө) por (r, π-Ө) y por (-r, -Ө) si la ecuación no cambia la curva es simetría.
Con respecto al polo: se sustituye( r, Ө) por (-r, Ө) si la ecuación no cambia la curva es simétrica)
4.3 tabulación:
Se determina los valores de “r” correspondiente a los valores asignados a Ө
en el dominio y se ordenan los pares.
4.4 Trazado de la gráfica:
Se localizan los untos hallados y se traza la curva
Ejemplos: 4rCosɵ - 3r Senɵ = 12 Solucion: Sea f(r, ɵ): (4 Cosɵ - 3 Senɵ)r = 12 1. Intersecciones a) Con eje polar. Si ɵ = 0 => (4)r = 12
r = 3 :. A (3, 0°)
ɵ = π => (-4)r = 12 r= -3 :. B (-3, π) Dado que r<0 , entonces A = B b) Con eje normal. Si ɵ = π/2 => -3r = 12
r = -4 => C (-4 , π/2)
2. S imetrías a) Con el eje polar. f(r, - ɵ) : (4Cosɵ + 3Senɵ)r = 12 f(r, - ɵ) ≠ f(r, + ɵ)
:. No es Simétrica
b) Con eje normal. f(r, π - ɵ) : (-4Cosɵ - 3Senɵ)r = 12 f(r, π - ɵ) ≠ f(r, ɵ) :. No es Simétrica c) Con el polo. f(r, π + ɵ) : (-4Cosɵ + 3Senɵ)r = 12 f(r, π + ɵ) ≠ f(r ,ɵ) :. No es Simétrica
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3. Tabulación
3.1 Extensión r € R
r=
ɵ−Sɵ
4Cosɵ - 3Senɵ ≠ 0 ,
esto es , si Tg ɵ ≠ 4/3
Por lo tanto, la gráfica de f(r , ɵ) se extiende definitivamente ᵾ ɵ ≠ arcTg(4/3) 3.2 Dirección del polo Como r ≠ 0, entonces, no existe tangentes en el polo Tabla de Valores (tabulación ) 90°
ɵ
r
0
3
π/2
-4
π
-3
3π/2
O
A 0°
π C
4
ECUACIONES PRAMETRICAS Ejemplo.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas cartesianas x = -1 + cos ɵ , y = 2+ 2sen ɵ Solución: x = -1 + cos ɵ
x + 1 = cos ɵ
y = 2+ 2sen ɵ
− =sen
ɵ
(+1) = ɵ (−) = 2ɵ
(-1 , 2)
Sumando ambas ecuaciones se tiene:
(+1) + (−) = 1 .
que es una elipse
0
5.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES Consideremos dos puntos en coordenadas polares P1 (r 1, Ө1) y P2n(r 2 ,Ө2). Y cuyos componentes en el sistema de coordenadas cartesianas son P 1 ( x1, y1) y P2(x2 ,y2) y como la distancia entre dos puntos es dado por:
(x2 x1) +(y2 y1) d(P P )= x1 +y1 + x2 + y2 2 (x1x2 + y1y2) d(P P )= r1 +r2 2 r1r2 cos(Ө1 Ө2) d(P1 , P2)= 1,
1,
2
2
5.1 Ejemplos
6.-TRANSFORMACION DE POLARES A CARTESIANAS
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6.1 Ejemplos
7.- INTERSECCION DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES 7.1 Ejemplos
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