Coordenadas polares
Ahora vamos a obtener una fórmula para el área de un sector F, (grafica nº1), dado en coordenadas polares. polares.
( ) () Donde f: ,α β- ⟶ es una función continua y no negativa; es decir F es el sector comprendido entre los gráficos de:
r f (θ), eje α eje β con α<β.
GRAFICA Nº1
GRAFICA Nº2
θ∘ ϵ [α β- y sea A(θ∘) el área del sector limitado por la curva rf(θ) y por las rectas θα y θθ∘ . Sea θ∘+Δβ ϵ ,α β- con Δθ>0 y m=mín f(θ) Mmáx f(θ) θ∘θθ∘+Δθ θ∘θθ∘+Δθ El área A(θ∘+Δθ)–A(θ∘) está comprendida entre las áreas de los sectores circulares de radios m y M (grafica nº2); luego para Δθ> se Sea
tiene
(∘+) (∘) 2 2
(∘)(∘) de donde, es continua en ,θ∘θ∘+θ ], por el teorema de los valores Como
intermedios existe θ ϵ ,θ∘θ∘+θ] tal que () (∘+) (∘) 2 Por la continuidad de en θ∘ se sigue que
() ( ) ∘+ (∘) 2 lm Procediendo de modo analógico para Δθ< 0, se tiene () (∘+)(∘) 2 lm () Por lo tanto, ( ) , ∀ θ ϵ ,α β- (*) Como el área A(F)=A(β)-A(α) de (*) resulta () ()
: sea f g: ,α β- funciones continuas en ,α β- tales que g(θ)f(θ) ∀ θ ϵ ,α β- y sea F el sector limitado por las graficas de : rg(θ) rf(θ) y las rectas θα y θβ (grafica nº3). Entonces el área de la región F esta dado por:
() , () ()-
GRAFICA Nº3
En coordenadas cartesianas, cuando queremos analizar la dirección de una curva en un punto, utilizamos el ángulo medido en sentido contrario a la mancilla del reloj, desde la parte positiva del eje X a la recta tangente. En coordenadas polares, es más conveniente calcular el ángulo , del radio vector a la tangente. Entonces el ángulo puede calcularse por la ecuación
+ Que proviene de aplicar el teorema del ángulo exterior de la siguiente figura Aquí va una figura que esta
http://books.google.co.ve/books?id=fcvPeAOIVMC&pg=PA744&lpg=PA745&dq=angulo+entre+radio+vectorial+y+la
+linea+tangente&hl=es#v=onepage&q=angulo%20entre%20radio%20 vectorial%20y%20la%20linea%20tangente&f=false Supongamos que la ecuación de la curva esta dada en la forma r=f donde f ( es una función diferenciable de 0, Entonces
()
)
X=r. cos
y
Y=r. sen
Son funciones diferenciables de 0 con
= -r sen+cos = r. cos+sen Como ψ=
Tan ψ=tan (
-
-
.tanθ
)=
Además
==
Tan
Ya que tan es la pendiente de la curva en p. también
tan
De aquí que
+ + . El número en la última expresión de la ecuación (4) se encontró con base en las ecuaciones (2) y (3) como:
De manera similar, el denominador es:
+ Cuando sustituimos estas ecuaciones en (4), obtenemos.
(5) Esta es la ecuación que utilizamos para determinar de .
como una función
El sistema de coordenadas polares al igual que las coordenadas rectangulares permite ubicar un punto, teniendo en consideración su Angulo de inclinación respecto al eje polar y su magnitud
,-
Sea r: f( ) una función continua en un intervalo . El área comprendida entre la curva y los rayos t: a y t: esta dada por
.
lim(∑ ) ∫ 2 ,()- 2 Nota. Podemos usar la misma fórmula para hallar el área de una región limitada por la grafica de una función continua no positiva. Sin embargo no es necesariamente valida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [
-
Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una región polar es determinar los límites de integración. Un buen dibujo de la región puede ayudar
Se denomina solido de revolución o volumen de revolución, al solido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución
-
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [ . Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, esta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar
).
Sea r=f( El volumen del solido de revolución que se obtiene al hacer girar esta área alrededor del eje X está dada por
() , ()()-
()
Si r=f representada una función en coordenadas polares, entonces la longitud de arco está dada por la expresión
∫ √ , ()- + , ()- d
L=
Centroide De Una Región Plana Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano Sea g<=f funciones continuas en [a , b]. El centroide de la región delimitada por y = g(x), y=f(x), x=a, x=b viene dado por:
, ( ) () ∫ ̄
∫ , () ()- ̄ 2 Donde A es el área de la región.
Un ejemplo de esta aplicación de la
es:
Para hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de f(x)= 4-x2 y g(x)= x+2 tenemos que :
Centroide de un sólido de revolución Para encontrar el centro de masa de solido, en general podemos utilizar las integrales. Aquí se explicara como hallar el centro de masa de un sólido de revolución homogéneo con la suposición de que dicho centro de masa esta sobre el eje de rotación. La región R está limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b, donde la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x) 0 para toda x en [a,b].
≥
El número en kilogramos-metros del momento de masa de S con respecto al plano yz se representa por Myz.
,
,()- (formula de centroide).
Recordamos que el volumen es:
,()- Ejemplo: Hallar el centroide de un sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje X, la región limitada por la curva ,el eje x y la recta x=3.
Calculando el momento de masa de S con respecto al plano yz:
, ,
243 2
Calculando el volumen
243 , - 5 Entonces el centroide es:
243 5 2 245 2 3 Por lo tanto el centroide está ubicado en el punto
/
