CONTROL ADAPTIVO POR MODELO DE REFERENCIA (MRAC) PARA UNA PLANTA DE SEGUNDO ORDEN

2011-B

Universidad Nacional del Callao- FIEE

“

CONTROL ADAPTIVO POR MODELO DE REFERENCIA (MRAC) ”

Cuya Solari, Omar Antonio [email protected]

Flores Bustinza, Edwing Irwing [email protected]

Torres Chavez, Jonathan Emmanuel [email protected]

Laboratorio de Control Avanzado

1

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I.- Objetivos  

Aprender la técnica de control adaptivo por modelo de referencia. Comprobar los resultados del control en simulación y tiempo real usando la tarjeta NIDAQUSB-6009 de National Instruments y el software LABVIEW.

II.- Modelamiento del sistema

Fig1.-Planta prototipo de segundo orden

De la planta prototipo obtenemos las siguientes ecuaciones:

                            Despejando

 de las ecuaciones (1) y (2), e igualando obtenemos:














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    Ahora reemplazando la ecuación (3):

        Reemplazando las ecuaciones (3) y (6) en la ecuación (5) se obtiene la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

       ̇    ̈  Aplicando la transformada de LAPLACE y hallando la función de transferencia obtenemos:

             Sabemos que el sistema prototipo de segundo orden es:

           Dándole la forma estándar de segundo orden a la ecuación (7):

  √             √     III.- Técnica de control 1.- Control Adaptivo

El termino adaptivo significa cambiar el comportamiento conforme a nuevas circunstancias. Un controlador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en respuesta a cambios en la dinámica del proceso y en las perturbaciones. El control adaptativo puede controlar sistemas con parámetros














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El control adaptativo, tanto para sistemas lineales ó no lineales, es esencialmente no lineal. La configuración básica del control adaptivo fue propuesta por Landau (1974). El mecanismo de adaptación provee una solución en el tiempo real al problema de diseño para sistemas de parámetros desconocidos.

Fig 2.- Diagrama de bloque de un controlador adaptivo en general

Esquema básico del control adaptivo Existen dos clasificaciones principales de controladores adaptivos:  

Sistemas con adaptación en lazo cerrado (STR, MRAC). Sistemas con adaptación en lazo abierto (Ganancia programable).

Para este laboratorio se implementó el algoritmo de control adaptivo por modelo de referencia (MRAC), para ello definiremos la técnica apara luego explicar el método de adaptación que sea ha logrado en esta experiencia: 2.- Algoritmo de Control Control Adaptivo con modelo de referencia (MRAC) para una Sistema de Segundo orden

En este controlador la adaptación MRAC se obtiene a partir de la señal de error “e” que resulta de comparar la salida real del sistema con la esperada a partir de un modelo de comportamiento establecido (modelo de referencia. El comportamiento ideal del modelo de referencia debería poder ser alcanzado por el sistema de control adaptativo.














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En cualquier caso, los resultados son semejantes pero todos los métodos tiene un mismo objetivo, lograr que la planta original siga al modelo de referencia lo más rápido posible y con un error que converga a cero o muy próximo. El diseño adaptivo, consiste en encontrar un controlador para manejar la respuesta de la planta para imitar la respuesta de la planta para imitar la respuesta ideal ( ). El diseñador escoge el modelo de referencia, la estructura del controlador, y luego sintoniza las ganancias para el mecanismo de ajuste o de adaptación.

       

Fig 3.- Diagrama de bloques del MRAC a implementar

Donde: 





El controlador de Ajuste: Debe cumplir la condición de hacer posible que

el conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia. Suele ser necesario dependiendo la planta original. El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinámico estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar. Éste modelo, estable o marginalmente estable según la utilidad que el queramos dar. La ley de adaptación: Es el bloque encargado del ajuste de los nuevos parámetros de la planta a través de parámetros de adaptación (θ) introducidos en la ley de control “u”, que lograrán llevar nuestro sistema al

modelo de referencia propuesto. Esta se puede obtener por diferentes métodos: Método de sensibilidad, método de Lyapunov y método de hiperestabilidad.














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Los sistemas adaptivos con modelo de referencia basan su ley de control en métodos que garanticen su rápida adaptación o ajuste a lo deseado, la regla de MIT constituye uno de ellos y fue propuesto por Whitaker del MIT (Massachussets Institute of Technology) en 1958. La regla de MIT basa su aplicación en el planteamiento de la función de costo que debe ajustar el error a cero rápidamente, por ello se define matemáticamente como:

Considerando el error como:

   

Para minimizar J es razonable cambiar los parámetros en la dirección de la gradiente negativa de J, como se muestra en la siguiente ecuación conocida como la regla de MIT:

Donde:



: Coeficiente de Adaptación o parámetro de sintonía.

J : Función de costo.

 Derivada de sensitividad. 

 Parámetros de adaptación. :

El signo menos evidencia una reducción o minimización del tiempo de adaptación que define una parte importante de la robustez del método y el “γ” es un

coeficiente netamente de simulación ya debe existir un equilibrio en su elección (normalmente es pequeño) es crucial para la razón de convergencia y estabilidad, aquí una grafica de su influencia en la adaptación:
















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

Fig 4.- Simulación de la elección del coeficiente de adaptación “

“.

Además se muestra una gráfica que evidencia la tendencia de los parámetros de adaptación hasta la estabilidad:

Fig 5.- Convergencia de los parámetros de adaptación

Luego de la definición de la regla de MIT se define la ley de control para nuestro sistema prototipo de segundo orden como:














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Fig 6.- Diagrama de bloques MRAC simplificado

Ahora denotaremos la ecuación del error y trabajaremos en función a las relaciones anteriores despejadas:

 Entonces el error quedará:

     =    Luego de la función de costo de la regla de MIT, se obtuvo:

     Ahora:

       Pasaremos a definir la variación de los parámetros de adaptación se tiene que de













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3.- Planta Prototipo de segundo orden

Nuestra planta se define a través de la siguiente función de transferencia:

         Donde:

 : Coeficiente de amortiguamiento. : Frecuencia de oscilación. Este prototipo es estable cuando la frecuencia tiende a cero es decir en el estacionario, las plantas implementadas para esta experiencia son: 3.a.- Primera Planta a.- Modelo de la planta

Tenemos los los siguientes siguientes valores valores a considerar: considerar:

  

   

     

Ahora procedemos a encontrar el modelo de referencia al cual nuestra planta se va a adaptar:

          Llevando a ecuaciones diferenciales la planta y el modelo de referencia tenemos: Planta:





̈ ̇   

















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     Recordemos que nuestra planta posee un sobrepaso del 14% y un coeficiente de amortiguamiento de 0.527. Entonces tenemos como función de transferencia de la planta:

                                 b.- Modelo de Referencia

Para este punto tenemos que tener bien en claro que estamos empleando la misma planta a la cual se le realizó el control por linealización exacta por realimentación de estados. Entonces aprovechando el algoritmo del laboratorio anterior implementado en MATLAB mediante el cual podíamos obtener matrices de realimentación y una nueva planta con polos deseados, podemos nuevamente emplearlo con la finalidad de obtener un modelo de referencia al cual se le adaptará nuestra planta 1. Las modificaciones básicas radican en anular los comandos de la matriz de realimentación K puesto que no la necesitamos. clear all all; ; close all all; ; clc R1=10e3; R2=29.74e3; C2=100e-9; C1=470e-9; wn=sqrt(1/(C1*C2*R1*R2)) delta=((R1+R2)/2)*sqrt(C2/(R1*R2* C1)) if(delta<1) if (delta<1) %PLANTA PROTOTIPO SEGUNDO ORDEN SUBAMORTIGUADO

zeta= sqrt((log(Mp)/pi)^2/(1+(log(Mp)/p i)^2)); wn=4/(zeta*ts); sigma=zeta*wn; wd=wn*sqrt(1- zeta^2); numE=(wn^2); denE=[1 2*zeta*wn wn^2]; polos=roots(denE)' disp('SISTEMA disp('SISTEMA EN LAZO CERRADO') CERRADO') E=tf(numE,denE)














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Mientras que el modelo de referencia tienes la siguiente notación, con un Mp=5% y un ts=0.02 :

                       Además sabemos que:                                                   Hallamos las derivadas de la sensitividad:

                     Además el modelo de referencia es la planta en lazo cerrado, que puede ser aproximado por:

        Siendo sus sensibilidades:
















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IV.- Simulaciones Simulaciones 1.- Caso Primera Planta 1.a.- Matlab

Para este punto debemos tomar en consideración el algoritmo implementado en el laboratorio pasado. La razón fundamental es que la programación nos permite obtener modelos de referencia dependiendo de los parámetros de ts y Mp que deseamos para nuestra planta, no debemos olvidar que el algoritmo está diseñado para procesos de repuesta subamortigada. Podemos apreciar en la Figura 7 que la función de transferencia obtenida es la misma a la obtenida de manera matemática en el modelamiento, además de acuerdo a los valores deseados obtendremos el modelo de referencia para realizar el control:













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Sistema Sistema Subamortiguado 6

5

4

a d i l 3 a S

2

1

0 0

0.02

0.04

0. 06

0. 08

0.1

0.12

0. 14

0. 16

0.18

t(s)

Fig 8.- Señal de respuesta en Lazo Abierto

0. 2














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1.b.- Labview

Para implementar el algoritmo de diagrama de bloque empleamos la plataforma LABVIEW. En la siguiente figura se describen básicamente 4 etapas: 

Ley de Control.- Recordemos según lo mencionado en la teoría de control

que la señal de control depende de 2 parámetros:

     Debemos mencionar además que dependiendo de la planta se suele adicionar a la señal de control un controlador P, PI o PID con la finalidad de garantizar que nuestra señal “u” sea capaz de adaptar nuestro modelo al de referencia. 

Modelo de Referencia: modelo que pretendemos que sirva de referencia

para el control de la planta en lazo cerrado:

                    

Planta Análoga: planta o sistema dinámico que va a adaptarse al modelo














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Ahora mediante la plataforma Labview en su Panel Frontal podemos observar la simulación del controlador y la respuesta de la Planta ante un estímulo de amplitud de 5 voltios. De acuerdo a la figura que se muestra encontramos 2 señales: la de color azul que es el modelo de referencia del sistema, y la de rojo que es la planta que se va adaptando a medida que pasa el tiempo. También podemos visualizar las matrices del Modelo de Referencia de la Planta en lazo abierto, así como los parámetros: Factor de Adaptación, Periodo y Amplitud de la señal de referencia. Para el factor de adaptación hemos considerado uno de 0.5, por la experiencia se conoce que el factor de adaptación debe ser mayor a cero y menor a cinco; el motivo de la elección es puesto que la planta con este factor de 0.5 va adaptándose de manera suave sin que se altere demasiado la señal de control y sin que la respuesta de la planta se vea altera abruptamente. Además debemos apreciar que la señal de control está siendo limitada entre 0 y 5 voltios puesto que la idea de realizar esta simulación es de establecer la etapa previa para luego pasar a realizar el CONTROL EN TIEMPO REAL; y como sabemos la tarjeta de adquisición NIDAQ 6009 que se empleará arroja tensiones entre 0 y 5 voltios.
















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Ahora debemos encontrar el tiempo en el cual se logra la adaptación suficiente para garantizar el adecuado control de la planta. Según el simulador y el siguiente gráfico podemos apreciar que la planta se está adaptando al modelo de referencia de manera óptima a los 25 segundos de iniciado el proceso. Este tiempo podría mejorar si se aplica un control previo PID a nuestra señal de control luego de ser sintonizada por los parámetros teta, sin embargo esto también depende de la respuesta que pretendamos obtener con el modelo de referencia, pues si realizamos una sintonización de Ziegler Nichols para este modelos, los parámetros Kp, Ki y Kd no serían los suficientemente adecuados pues el modelo de referencia es subamortiguado con un 2% de Mp.














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2.- Caso Segunda Planta 2.a.- Matlab

Nos propusimos obtener del código anterior del Matlab el modelo de referencia pero con unos requerimientos más exigentes de ts=0.0045 seg y Mp =0.2% y obtuvimos la función de transferencia del modelo de referencia para nuestra planta, no debemos olvidar que el algoritmo está diseñado para procesos de repuesta subamortigada. Ver figura ().














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máxima pendiente en el trazo de la curva de reacción, para el modelo de referencia: % funcion de transferencia % parametros n = 9920; d = [1 177.8 9920]; sys = tf(n,d); Gp = tf(n,d); t = 0:0.001:1; y = step(sys,t); plot(t,y,'r' plot(t,y,'r', ,'linewidth' 'linewidth',2) ,2) title('\bf title('\bf Respuesta del Modelo de referencia Gm(s)') Gm(s)') axis([0 0.12 0 1])

%trazando recta de mayor pendiente P = polyfit(tmax,ymax,1); R = polyval(P,t1); %calculo del parametro L L = roots(P); %calculo del parametro T Tx = roots(P - [0 K]); T = Tx - L; figure














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2.b.- LabView

Para la implementación del algoritmo MRAC para una planta de segundo orden se tienen el siguiente diagrama de bloques detallado implementado en LabView:














Se ha insertado la función de transferencia de esta segunda planta:

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V.- Control en Tiempo Real 1.- Materiales y equipos:

Dentro de los materiales a emplear para esta experiencia podemos mencionar de














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