¿Cómo aplicar la derivada de una función para determinar la distancia mínima entre dos botes en movimiento? Prof. Juan Ramírez OBJETIVOS:
En esta práctica haremos uso de las aplicaciones de la calculadora CLASSPAD-330 para la resolución de problemas con aplicación de la derivada. CONOCIMIENTOS PREVIOS:
Antes de realizar esta práctica es imprescindible imprescindible comprender comprender los conceptos de Teorema de Pitágoras, ley de senos, ley de cosenos, desplazamiento, velocidad, tiempo, función, variable dependiente, variable independiente y derivada de una función. OBSERVACIONES:
Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas siguiendo
cuidadosamente cada instrucción. Las instrucciones y actividades están destacadas con los íconos , y en el margen izquierdo, para distinguirlas de la mera transmisión de información. El primer ícono indica que el estudiante debe ejecutar las instrucciones propuestas con la calculadora, el segundo indica el planteamiento de una situación problemática y el último indica que debe reportar por escrito, la respuesta a la situación problemática planteada. PROBLEMA:
Problema: Un bote sale de un muelle a las 2:00 P.M. y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 km/h. Otro bote ha estado enfilado hacia el este a 15 km/h y llega al mismo muelle a las 3:00 P.M. ¿En qué momento estuvieron los dos botes más próximos?
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N E
x = 15-15t y = 20t r=?
Solución: Tal como se muestra en la ilustración, tenemos dos botes: uno se dirige hacia el muelle en dirección este y el otro hacia el sur partiendo desde el muelle. Dichas trayectorias, x y y , forman a su vez, los catetos de un triángulo rectángulo, en donde la hipotenusa r constituye la distancia entre ambos botes. A continuación, tenemos que definir una función para la distancia entre ambos botes dependiente del tiempo t . Teorema de Pitágoras: De acuerdo a dicho teorema, la distancia entre ambos botes se define de la siguiente forma:
r = x 2
+
y 2
A las 2:00 PM, el bote de color rojo se encuentra a una distancia x , la cual recorre hasta llegar al muelle a las 3:00 PM. Por consiguiente, el tiempo que tardó en recorrer dicha distancia es de una hora. Como conocemos la velocidad a la que viaja dicho bote, podemos determinar su distancia hasta el muelle a las 2:00 PM de la siguiente forma:
v=
x
t x = vt x = (15 Km h )(1h ) = 15 Km Ahora, la distancia que recorre dicho bote desde su punto de partida es igual a 15t , por lo que la distancia que le falta para llegar al muelle es la diferencia con respecto al total original, o sea, x = 15 – 15t .
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En cuanto al bote amarillo, como conocemos su velocidad, podemos decir que su distancia al muelle es igual a 20t . Por lo que y = 20t . Una vez que hemos definido las distancias x y y en función del tiempo, podemos definir r en función del tiempo, para luego aplicar la primera derivada y encontrar en qué tiempo ambos botes estuvieron más cerca, o sea, en su mínima distancia. (1) Encienda la calculadora presionando la tecla con el lápiz.
(2) Seleccione la opción Principal.
3
o tocando suavemente la pantalla
(3) Defina las variables x y y como se muestra a continuación. cuando corresponda hacerlo:
A continuación definimos la variable r . (4) Escriba lo siguiente y presione la tecla
:
4
Presione la tecla
Finalmente, aplicaremos la primera derivada para encontrar los puntos crítico de la última función que hemos definido. (5) Seleccione Acción. Luego seleccione Ecuación/Desigualdad y luego la opción solve y escriba lo siguiente:
(6) Presione la tecla
:
Hemos encontrado un valor crítico en t = 0.36 . Antes de continuar, necesitamos saber si dicho valor constituye un máximo o un mínimo y para ello nos apoyamos en el criterio de la segunda derivada.
5
(7) Escriba lo siguiente y presione la tecla
:
Podemos percatarnos que la expresión que da el resultado de la segunda derivada es bastante extenso. Sin embargo, sólo nos interesa el valor de dicha segunda derivda cuando t = 0.36. (8) Escriba lo siguiente y presione la tecla
:
Como el resultado es un valor positivo, sabemos entonces que la concavidad de la función es hacia arriba por lo que el valor de la misma para t = 0.36 constituye un mínimo. Finalmente, tenemos que tener presente que t = 0.36 es un valor de tiempo dado en horas. Por cuestión de conveniencia haremos la conversión a minutos.
6
(9) Escriba lo siguiente y presione la tecla
:
(9) Para encontrar los segundos, escriba lo siguiente y presione la tecla
:
Finalmente, podemos concluir que la hora en que los botes se encontraron más próximos uno con respecto al otro fue a las 2:21:36 PM.
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Resuelva el siguiente problema y reporte su respuesta. Un bote sale de un muelle a las 6:00 P.M. y viaja con una velocidad de 15 km/h en dirección E 30° S. Otro bote ha estado enfilado hacia el norte a 10 km/h y llega al mismo muelle a las 7:15 P.M. Si la puesta del sol ocurre ese día a las 6:35 P.M., ambos botes ¿se encontrarán más próximos, uno con respecto al otro, antes de la puesta del sol o después de la misma?
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FUENTES DE INFORMACION: INTRODUCCIÓN: Título:
Autor: Editor: ISBN: N.º de páginas:
Calculus: concepts and contexts, single variable Mathematics Series James Stewart Brooks/Cole, 1998 053434450X, 9780534344504 643 páginas
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