descrierea calcului in domeniu elastic si plastic pentru o structura metalica
šUMARSTVO
suruburiFull description
Calculul parametrilor regimului de aşchiere la strunjire
Calculul parametrilor regimului de aşchiere la strunjire
calcul si constructie diferential autoblocabilFull description
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU Combinatorica Calculul unor sume
1. Să se calculeze sumele: a) C1n 2C 2n 3C 3n ... nC nn
b)
C 0n C1n C 2n C nn n .... 1 . 1 2 3 n 1
Rezolvare. Rezolvare.
a) Metoda 1 Utilizând formula
C k n n k Ck nCk 1 şi aplicând-o fiecărui termen n n 1 k 1 k C n 1
în parte obţinem: 1C1n nC 0n 1 2C n2 nC1n 1
3C 3n nC n2 1 C1n 2C n2 .... nC nn n C 0 C1n 1 .... C nn 11 n 2 n 1 . n 1 ......................... 1 nC nn nC nn 1
Notăm S n C1n 2C 2n 3C 3n ..... nC nn . Resc Rescri riem em suma suma S n , utili utilizâ zând nd formula combinărilor complementare , C k n C nn k : S n C nn 1 2C nn 2 3C nn 3 ..... n 1C1n nC 0n . Adunând Adunând această sumă cu suma iniţială
Metoda 2
vom obţine: 2S n n C 0n C1n ..... C nn 2S n n 2 n S n n 2 n 1 k 1 n 1 1 k 1 k 1 C Cn Cn 1 şi aplicând-o fiecărui termen în b) Folosind formula nk 1 Cn
k 1
k 1
n 1
parte obţinem: 1 0 1 1 Cn C 1 n 1 n 1 1 1 1 Cn C 2n 1 C 0n C1n C 2n C 3n 1 n 1 ..... 2 n 1 2 2 n 1 n 1 1 2 3 4 n 1 1 2 1 3 C C 3 n n 1 n 1 ........................ Am ţinut cont că: C1n 1 C 3n 1 .... C 0n 1 C 2n 1 .... 2 n .
2. Să se deducă egalităţile:
n n a) C n0 C n2 C n4 C 6n ..... 2 cos ; 4 n n b) C1n C 3n C 5n C 7n ..... 2 sin . 4
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU Rezolvare.
Plecăm de la numărul complex z 1 i , care scris sub formă trigonometrică devine: z 1 i 2 cos isin 4 4
.
n n n Formula lui Moivre dă z n 1 in 2 cos i sin (1).
4
4
Aplicând pentru acelaşi număr complex formula lui Newton şi ţinând seama de puterile lui i, avem: 1 in C 0n C 2n C 4n C 6n ..... i C1n C 3n C 5n C 7n ..... (2). Din (1) şi (2) prin identificarea părţilor reale şi imaginare, rezultă egalităţile cerute.
2 n cos n4 i sin n4 C 0n C 2n C 4n C 6n ..... i C1n C 3n C 5n C 7n .....
n n 2 cos n4 i 2 sin n4 C 0n C 2n ..... i C1n C 3n ..... n n n n C 0n C 2n ..... 2 cos şi C1n C 3n ..... 2 sin . 4 4
1 n 3. Să se arate că C0n C3n C6n ..... 2 n 2cos 3 3 Rezolvare.
1 i 3 2 2 1 i 3 cos i sin , o rădăcina cubică a unităţii ( 3 1 2 2 2 3 3 n şi 2 1 0 ). În dezvoltarea 1 k C0n kC1n k 2 C2n k 3 C3n k 4 C4n .... luăm pe rând k 1, k , k 2 şi obţinem: 2n C0n C1n C2n C3n C4n ....
1 2 C0n 2C1n C 2n C3n 2C4n .... Adunând membru cu membru n
cele
3
egalităţi
vom
obţine
n
2n 1 1 2 3 C0n C3n C6n ...... (3). Deoarece 1 i 3 1 i 3 1 cos i sin , 1 2 cos i sin , 2 2 3 3 2 2 3 3 egalitatea (3) obţinem egalitatea din enunţ.
din
4. Să se calculeze sumele: a) C 0n 2C1n 3C 2n .... n 1C nn ; b) C 0n 3C1n 5C 2n .... 2n 1C nn ; c) C 0n 5C1n 9C 2n .... 4n 1C nn ; d) 3C0n 7C1n 11C 2n .... 4n 3C nn ; e) k 1C 0n k 5C1n .... 4n k 1C nn . Indicaţii.
a) Notăm Sn C0n 2C1n 3C2n ..... n 1Cnn . Rescriem suma S n , utilizând formula combinărilor complementare , C k n C nn k :
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU S n C nn 2C nn1 3C nn 2 ..... nC1n n 1C 0n . Adunând această sumă cu suma iniţială vom obţine: 2S n n 2 C 0n C1n ..... C nn 2S n n 2 2 n S n 2 2n 1 . n
5. Să se calculeze sumele:
a) b)
C1n C 2n C nn .... ; 2 3 n 1 C 0n C1n C 2n C nn .... ; n 1n 2 1 2 2 3 3 4
C 0n
C 0n C1n C 2n C nn .... c) ; 2 3 4 n2 n C1n C 2n C 3n n Cn .... 1 d) . 2 3 4 n 1 Indicaţii. 1 k 1 k 1 Cn C , se obţine: a) Utilizând formula n 1 n 1 k 1 n n n 1 C 0n C1n C 2n C nn C nn C k 1 1 n 1 Sn .... C k n 1 1 2 3 n 1 k 0 k 1 k 0 n 1 n 1 k 0
1 1 C1n 1 C 2n 1 .... C nn 11 C 0n 1 C1n 1 .... C nn 11 C 0n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 C 0n 1 . n 1 n 1
n
6.
1 i 3 Să se calculeze în două moduri (aplicând formula lui Moivre şi 2 2
formula binomului lui Newton), apoi să se deducă egalităţile: a) C 0n 3C 2n 9C 4n 27C 6n ..... 1n 2 n cos 2n ; 3
n 1 n 1
b) C1n 3C 3n 9C 5n ..... 1 2 3
sin
2n . 3
Indicaţii. n
n 1 i 3 2 2 2n 2n i sin ; cos i sin cos 2 2 3 3 3 3 n
n n 1 1 i 3 i 3 0 1 1 1 ..... etc. Cn Cn 2 2 2 2 2
7. Demonstraţi identităţile:
a) b)
n 1 n n 1 ..... 2 2 2 cos ; 2 4 n 1 n 1 5 9 n 1 C n C n C n ..... 2 2 2 sin . 2 4
C 0n
C 4n
C 8n
8. Fie S1 C 0n C 2n C 4n C 6n ..... şi S2 C1n C 3n C 5n C7n ..... . Să se arate că: a) S1 iS2 1 i n PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU
b) S1 2 S 2 2 2 n . Indicaţii.
Se dezvoltă 1 i n după formula binomului lui Newton; n
b) 1 i n S1 iS2 S1 iS2 1 i n S1 2 S2 2 2 S1 2 S 2 2 2 n .
